CN116796396A - 一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，包括：将计算涉及到的土体视为各向同性弹性体，采用Mindlin弹性解计算基坑开挖时坑底及四壁卸荷引起的附加应力；将基坑视作大型降水井，基于有效应力原理与Dupuit假定计算出降水引起邻近隧道受到的附加应力；将隧道看作Pasternak地基上无限长的Timoshenko梁，将开挖及降水引起的总应力施加到下卧盾构隧道上，建立Timoshenko梁隧道控制方程，通过叠加法推导计算出隧道纵向变形解析解。通过横向测量结果的对比可见本发明所述方法获得的结果与实测值最为为接近，证明了本申请方法的准确性与合理性。
Description
技术领域
本发明公开了一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，涉及基坑工程技术领域。
背景技术
基坑工程及地铁建设是地下空间开发的有效手段，但随着地下空间建设的发展，邻近既有地铁隧道的基坑工程已屡见不鲜。由于基坑开挖及降水对下卧地铁隧道的影响显著，可导致下卧地铁隧道产生过大变形，甚至隧道管片开裂渗水等事故，影响其服役性能。因此，对基坑开挖及降水引起的下卧隧道受力变形进行合理地预测及评估成为地下空间发展亟待解决的问题。
目前已有众多学者通过各种方法研究了基坑开挖及降水对邻近隧道的影响。何忠明等利用FLAC3D对基坑开挖及降水过程中邻近隧道的变形规律进行研究。张治国等依托实际工程建立有限元模型，研究了不同降水方案对基坑开挖过程中邻近隧道变形的影响规律。目前针对基坑开挖及降水共同引起邻近隧道纵向变形的理论研究较少，欧雪峰等采用Euler-Bernoulli梁模拟隧道的受力变形，考虑坑底卸荷与降水对下卧隧道的影响，研究结果表明基坑降水对下卧隧道的影响不应忽视。仅考虑基坑降水影响的方面，徐长节等基于两阶段理论方法，结合土的有效应力原理与Pasternak地基模型，采用Euler-Bernoulli梁模拟管线，推导了单井降水引起邻近管线变形的解析解。仅考虑基坑开挖影响的方面，LiangR等将盾构隧道简化为Euler-Bernoulli梁研究了基坑开挖对隧道的影响。
上述文献及所公开的方法将隧道视为Euler-Bernoulli梁，由于Euler-Bernoulli梁仅考虑了隧道的抗弯刚度，将隧道的剪切刚度视为无穷大，无法考虑隧道受力时产生的剪切变形。然而盾构隧道的结构为多段环状管片，其剪切刚度相对较低，采用Euler-Bernoulli梁模拟盾构隧道会导致一定误差。于是近年来有部分学者采用可考虑剪切变形的Timoshenko梁在其他研究领域模拟隧道，Dong-MeiZhang等采用Timoshenko梁模拟隧道，研究了盾构隧道下穿引起上覆既有隧道的纵向位移。LiangR等基于Timoshenko梁提出了基坑开挖引起的隧道变形解析解。研究表明Timoshenko梁模拟盾构隧道具有一定的优越性。此外，目前的理论研究鲜有综合考虑基坑开挖及降水对下卧隧道的影响，然而降水作为基坑工程的必要步骤，其导致原水位之下的土体有效应力增加对下卧既有隧道造成不良影响，是引起隧道长期沉降的主要原因之一，因此在相关理论研究及实际工程分析中都不应忽略基坑降水的影响。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：针对现有技术的缺陷，提供一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，采用两阶段法对基坑开挖及降水共同作用下引起的下卧盾构隧道变形进行研究。在第一阶段采用Mindlin弹性解计算基坑开挖时坑底及四壁卸荷引起的附加应力，基于有效应力原理与Dupuit假定计算出降水引起邻近隧道受到的附加应力，在第二阶段将开挖及降水引起的总应力施加到下卧盾构隧道上，将盾构隧道视为可考虑剪切变形的Timoshenko梁搁置在Pasternak地基并建立隧道的位移控制方程，通过叠加法推导出隧道纵向变形解析解。
本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：
一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，所述方法包括：
步骤一、将计算涉及到的土体视为各向同性弹性体，采用Mindlin弹性解计算基坑开挖时坑底及四壁卸荷引起的附加应力；其中，隧道位于基坑下方时，基坑开挖卸荷引起的隧道轴线位置处附加应力由基坑坑底与四个侧壁的卸荷导致。
步骤二、将基坑视作大型降水井，基于有效应力原理与Dupuit假定计算出降水引起邻近隧道受到的附加应力；其中，所述降水引起的附加应力包括坑底至坑内水位的土体有效应力增加及坑外土体有效应力增加。
基于Dupuit假定，计算基坑降水引起的周围地下水位曲线，在降水半径内，水位下降会导致土中孔隙水压力下降，进而引起有效应力增加。分别求出基坑降水对下卧隧道引起的附加应力和基坑开挖及降水引起的下卧隧道轴线处附加应力。
步骤三、将隧道看作Pasternak地基上无限长的Timoshenko梁，将开挖及降水引起的总应力施加到下卧盾构隧道上，建立Timoshenko梁隧道控制方程，通过叠加法推导计算出隧道纵向变形解析解；其中，基坑开挖与降水引起的隧道—土相互作用时，隧道与土之间的变形协调。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：本申请所公开的方法针对基坑开挖及降水共同作用下引起的下卧隧道变形提出了分析及计算方法，本方法考虑了基坑开挖时坑底与坑壁卸荷及降水时土中有效应力增加引起的隧道附加应力。采用可考虑隧道及地基土剪切变形的Pasternak-Timoshenko地基梁模型模拟隧道与土的相互作用，推导出下卧隧道纵向变形的解析解。
将深圳地铁车公庙枢纽西风道基坑降水开挖引起下卧既有盾构隧道的变形监测数据与本发明分析计算方法进行对比。相较于忽略降水影响及忽略隧道剪切变形的结果，本方法计算结果与实测值最为接近。
附图说明
图1是既有地铁隧道位于基坑下方时的简化计算模型图。
图2是基坑与下卧隧道的平面位置关系示意图。
图3是降水引起的附加应力示意图。
图4是Pasternak-Timoshenko地基梁模型示意图。
图5是Timoshenko梁变形模式示意图。
图6是本发明的一个具体实施例中，隧道与基坑相对位置工况示意的截面图。
图7是本发明的一个具体实施例中，隧道与基坑相对位置工况示意的平面图。
图8是本发明所提方法在忽略降水影响、忽略隧道剪切变形及工程实测结果的对比示意图。
图9是不同开挖长度下的隧道位移示意图。
图10是不同开挖长度下的最大位移变化曲线示意图。
图11是不同开挖宽度下的隧道位移示意图。
图12是不同开挖宽度下的最大位移变化曲线示意图。
图13是不同隧道埋深下的隧道位移示意图。
图14是不同隧道埋深下的最大位移变化曲线示意图。
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施方式，所述实施方式的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：
基坑工程的建设必然伴随着土方开挖与地下降水两个施工步骤，当基坑下方存在既有地铁隧道时，土方开挖引起的卸荷作用与降水引起的土中有效应力增加使得下卧隧道受到额外的附加应力。为简化计算隧道受到的附加应力，本申请方法假定计算中涉及到的土体视为各向同性弹性体。
基坑开挖引起的附加应力，如图1所示，既有地铁隧道位于基坑下方时，基坑开挖卸荷引起的隧道轴线位置处附加应力由基坑坑底与四个侧壁的卸荷导致。
坑底①卸荷引起的附加应力通过Mindlin弹性解可得：
式中：B，L及h分别为基坑开挖宽度，长度及深度；p为基坑土方开挖总卸荷，γi与Hi分别为第i层土的实际容重与层厚；v为土体泊松比；z0为隧道轴线埋深；R1与R2由隧道与基坑的相对位置决定：
式中：X,Y分别为坐标系ξOη下隧道上某点的横坐标与纵坐标。由图2可知，以基坑中心为原点O，平行于基坑长度，宽度方向为ξ轴与η轴建立ξOη坐标系。此外以隧道轴线上某地为O’点，隧道轴线为x轴，垂直轴线方向为y轴建立xO’y坐标系。根据两坐标系的位置关系可得坐标转换公式：
式中：α，β分别为ξ轴与x轴，线段OO’的夹角；d为线段OO’的长度。
根据Mindlin弹性解计算基坑侧壁②卸荷引起的附加应力为：
式中：K0为静止土压力系数，可通过室内或原位静止侧压力试验测定，在缺乏试验资料时可用经验公式进行估算。砂性土，K0＝1-sinφ；黏性土，K0＝0.95-sinφ；超固结黏土，K0＝OCR(1-sinφ)，φ为土体有效内摩擦角，OCR为土体超固结比。T1与T2由基坑与隧道的相对位置决定：
类似的可得到侧壁③，④，⑤卸载作用对隧道产生的附加应力q3(x)，q4(x)，q5(x)。利用叠加原理便可计算出基坑开挖引起的隧道轴线处的总附加应力。
基坑降水引起的附加应力，现有技术研究发现采用大井法计算基坑降水引起管线变形较为准确，因此本申请将基坑视作大型降水井，假定基坑内外侧存在一定水力联系，围护结构两侧地下水位相同。基于Dupuit假定，基坑降水引起周围地下水位曲线计算公式为：
式中：r为与井中心的水平距离，在xO’y坐标系下，隧道轴线上任意点与井中心的距离H0为潜水含水层的初始水位高度；Ht为降水后坑内的水位高度；R0为降水井的半径，/>R为降水影响半径，/>sw为水位下降深度，sw＝H0-Ht。如图3中所示，在降水半径内，水位下降会导致土中孔隙水压力下降，进而引起有效应力增加，根据有效应力原理可得：
Δσ＝σt-σ0＝(H0-h)(γ-γs+γw)； (7)
式中：Δσ为土中有效应力增量；σt，σ0分别为降水前后的土中有效应力。γ、γs和γw分别为土体天然重度、土体饱和重度以及水的重度。需要注意的是，基坑内部土体在开挖后即不存在有效应力增加，因此降水引起的附加应力不用考虑开挖部分的土体，只需考虑坑底至坑内水位的土体有效应力增加及坑外土体有效应力增加，因此基坑降水对下卧隧道引起的附加应力可为：
式中：h1为坑内水位至坑底的距离。
综上所述，基坑开挖及降水引起的下卧隧道轴线处附加应力为：
Timoshenko梁隧道控制方程建立，盾构隧道产生的纵向变形由弯曲变形和剪切变形组成等，采用传统的Euler-Bernoulli梁模拟盾构隧道时，忽略了隧道的剪切变形。由于盾构隧道采用环状管片拼装而成，采用Euler-Bernoulli梁模拟隧道受力变形计算结果将产生一定的误差。因此本申请将隧道看作Pasternak地基上无限长的Timoshenko梁，如图4所示。Pasternak地基模型在Winkler地基模型的基础上考虑土体变形的连续性，由土体弹簧与只发生剪切变形的剪切层组成，比Winkler地基更具优越性。Timoshenko梁在受力产生纵向变形时考虑了隧道的剪切变形，垂直于中性轴梁截面在变形后由于剪切变形不再垂直与中性轴，而是与中性轴法线方向成θ角，如图5所示。本申请模型假定了基坑开挖与降水引起的隧道—土相互作用时，隧道与土之间的变形协调。
根据Timoshenko梁变形理论，隧道弯矩M、剪力Q与位移w的关系为：
式中：κ为等效截面系数，隧道为环形截面，取0.5；G为隧道剪切模量，G＝Et/2(1+vt)；vt为隧道泊松比；A为隧道环形截面面积；Et为隧道弹性模量；It为隧道惯性矩。
根据平衡微分方程有：
p(x)Ddx-q(x)Ddx-dQ＝0；(12)
式中：q(x)为降水产生的附加荷载，q(x)＝σ(x)；D为隧道直径；p(x)为地基反力。根据Pasternak地基模型可得p(x)为：
式中：k，gs分别为地基弹性系数与剪切系数，可由下式进行计算：
式中：Es土体弹性模量；v为土体泊松比；t为土体剪切层厚度，取t＝2.5D进行计算。
联立式(10～14)可得到隧道位移w(x)的控制方程为：
控制方程的求解，式(17)较为复杂，难以直接求解，因此先对其求通解。先令q(x)＝0，可求出式(17)的通解：
w(x)＝eαx[A1cos(βx)+A2sin(βx)]+e-αx[A3cos(βx)+A4sin(βx)]； (18)
式中：A1、A2、A3、A4为待定系数；其中
当隧道在x＝0处受到集中荷载P的作用时，隧道的边界条件为：
将式(19)代入式(18)中，可求得集中荷载P作用下隧道的位移方程为：
根据式(17)，将等式右边的部分视作Q(x)，隧道上任意点ξ受到的集中荷载P(ξ)为：
将该集中荷载代入式(20)，隧道竖向位移dw(x)为：
在基坑预降水的影响范围内对式(22)进行积分，即可求得基坑开挖及降水引起的隧道竖向位移：
为了验证本申请方法的正确性，根据深圳地铁车公庙枢纽西风道基坑降水开挖引起下卧既有盾构隧道的变形监测数据对本申请方法进行验证。风道基坑开挖尺寸为30m×20m×8m(长×宽×高)，由于降水开挖的共同作用，该基坑施工必将导致下卧隧道产生变形。既有盾构隧道位于基坑正下方，与基坑纵向平行，隧道与基坑相对位置如图6、图7所示。隧道轴线埋深z0＝14m，直径D＝6m，壁厚0.3m，管片采用C50混凝土，故取其弹性模量Et＝34.5GPa，泊松比vt＝0.3，可分别计算出隧道的抗弯刚度和剪切刚度为7.548×105MN·m2和2.212×103MN·m2。隧道所处地层为砾质黏性土层，取土体弹性模量为Es＝18MPa，渗透系数kt＝1m/d，泊松比v＝0.3，土体天然重度与饱和重度分别为γ＝19.9kN/m2，γs＝20.4kN/m2。该工程初始水位为地下1m，基坑开始施工后水位逐渐降至基坑底下1m，因此水位下降sw＝8m。
图8给出了本申请所提方法、忽略降水影响、忽略隧道剪切变形及工程实测结果的对比。由图可见，考虑基坑开挖与降水的共同作用预测得到的隧道变形与实测值较为接近。实测所得隧道最大变形值为13.68mm，本申请所提方法、忽略降水影响及忽略隧道剪切变形计算所得的隧道最大变形值分别为：13.47mm，22.24mm及16.37mm，本申请方法所得结果与实测值最为接近，并小于忽略隧道剪切变形所得结果，这与现有文献所得规律一致。同时从本申请计算方法所得曲线可以看出，在基坑开挖长度以外的隧道产生了略微的沉降，这是由于坑外水位的下降，导致坑外土体有效应力增加进而引起隧道产生沉降，现有的工程案例也出现同一现象。综上所述，证明了本申请方法的准确性与合理性。
为了研究基坑开挖及降水引起的隧道变形影响因素，以算例验证中的工程参数建立基本模型进行参数分析。主要研究基坑开挖长度，水位下降深度及隧道埋深对既有隧道变形的影响。分析过程中仅针对研究对象参数发生变化，其余参数不变。
基坑开挖长度：为研究基坑开挖长度对既有隧道变形的影响，取7组开挖长度进行分析，分别为20m、25m、30m、35m、40m、45m以及50m。
图9和图10分别为不同的开挖长度工况下，基坑开挖及降水引起的隧道位移曲线及位移最大值变化曲线。从图9可看出隧道隆起位移最大值发生在x＝0(位于基坑中心)的位置，隆起值向两侧逐渐减小直至基坑边缘附近产生沉降。这是由于降水引起坑外水位下降，土中有效应力增加，其作用力方向与基坑开挖卸荷方向相反，因此隧道在基坑内侧隆起，外侧沉降。此外随着开挖长度的增加，隧道最大隆起值逐渐增大，且发生沉降位置逐渐远离基坑中心，这是由于基坑开挖长度增加不仅导致了土体卸荷量增加，同时沿隧道长度方向的影响范围也增加。结合图10可以看出，在开挖长度从20m增加到50m时，隧道的最大竖向位移从6.45mm增大到23.93mm，且增大的趋势略微减小。
基坑开挖宽度：为研究基坑开挖宽度对既有隧道变形的影响，取8组开挖宽度进行分析，分别为15m、20m、25m、30m、35m、40m、45m以及50m。
图11和图12分别为不同开挖宽度情况下，基坑开挖及降水引起的隧道位移曲线及位移最大值变化曲线。图11显示出随着开挖宽度的增加，隧道隆起和沉降的最大值均增大。隧道隆起值增加是因为基坑开挖卸荷随着开挖宽度的增加而增加，而坑外侧隧道沉降增加的原因则是由于开挖宽度的增加导致降水对周围水位影响的程度与范围均增大，故引起更大的隧道沉降。结合图12可以看出，在开挖宽度从15m增加到50m时，隧道的最大竖向位移从10.62mm逐渐增大到20.47mm，增大的趋势明显减小，且相对于基坑开挖长度，宽度变化对隧道变形的影响较小。
隧道埋深：为研究既有隧道埋深对隧道变形的影响，取7种隧道埋深进行分析，分别为12m、14m、16m、18m、20m、22m以及24m。
图13和图14分别为不同隧道埋深情况下，基坑开挖及降水引起的隧道位移曲线及位移最大值变化曲线。图13展现出隧道的隆起随着隧道埋深的增加而逐渐减小。这是由于隧道埋深越深，则其与开挖基坑的净间距越大，受到基坑开挖卸荷的的影响越小。结合图14可以看出，隧道埋深从12m增加到24m时，隧道的最大竖向位移从15.49mm逐渐减小至4.85mm，且在该范围内变化的趋势几乎不变。
本申请针对基坑开挖及降水共同作用下引起的下卧隧道变形提出了理论计算方法。经过深入分析，得出以下主要结论：
(1)考虑了基坑开挖时坑底与坑壁卸荷及降水时土中有效应力增加引起的隧道附加应力。采用可考虑隧道及地基土剪切变形的Pasternak-Timoshenko地基梁模型模拟隧道与土的相互作用，推导出下卧隧道纵向变形的解析解。
(2)将深圳地铁车公庙枢纽西风道基坑降水开挖引起下卧既有盾构隧道的变形监测数据与本申请计算方法进行对比。相较于忽略降水影响及忽略隧道剪切变形的结果，本申请计算结果与实测值最为接近。
(3)随着基坑开挖长度从20m增加到50m，隧道最大隆起值从6.45mm近乎等比例地增大到23.93mm；随着基坑开挖宽度从15m增加到50m，隧道最大隆起值从10.62mm逐渐增大到20.47mm，增幅减小，同时相比于开挖长度，宽度对隧道变形的影响较小；随着隧道埋深在12m到24m范围内，隧道的最大竖向位移随着埋深的增加近线性减小。
上面结合附图对本发明的实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质，在本发明的精神和原则之内，对以上实施例所作的任何简单的修改、等同替换与改进等，均仍属于本发明技术方案的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于，所述方法包括：
步骤一、将计算涉及到的土体视为各向同性弹性体，采用Mindlin弹性解计算基坑开挖时坑底及四壁卸荷引起的附加应力；
步骤二、将基坑视作大型降水井，基于有效应力原理与Dupuit假定计算出降水引起邻近隧道受到的附加应力；
步骤三、将隧道看作Pasternak地基上无限长的Timoshenko梁，将开挖及降水引起的总应力施加到下卧盾构隧道上，建立Timoshenko梁隧道控制方程，通过叠加法推导计算出隧道纵向变形解析解。
2.如权利要求1所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于，所述步骤二中，降水引起的附加应力包括坑底至坑内水位的土体有效应力增加及坑外土体有效应力增加。
3.如权利要求1所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于，所述步骤三中，基坑开挖与降水引起的隧道—土相互作用时，隧道与土之间的变形协调。
4.如权利要求1所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于，所述步骤一中，隧道位于基坑下方时，基坑开挖卸荷引起的隧道轴线位置处附加应力由基坑坑底与四个侧壁的卸荷导致，
坑底卸荷引起的附加应力通过Mindlin弹性解可得：
式中：B，L及h分别为基坑开挖宽度，长度及深度；p为基坑土方开挖总卸荷，γi与Hi分别为第i层土的实际容重与层厚；v为土体泊松比；z0为隧道轴线埋深；
R1与R2由隧道与基坑的相对位置决定：
式中：X,Y分别为坐标系ξOη下隧道上某点的横坐标与纵坐标；以基坑中心为原点O，平行于基坑长度，宽度方向为ξ轴与η轴建立ξOη坐标系；以隧道轴线上某地为O’点，隧道轴线为x轴，垂直轴线方向为y轴建立xO’y坐标系。根据两坐标系的位置关系可得坐标转换公式：
式中：α，β分别为ξ轴与x轴，线段OO’的夹角；d为线段OO’的长度；
根据Mindlin弹性解计算基坑侧壁卸荷引起的附加应力为：
式中：K0为静止土压力系数，通过室内或原位静止侧压力试验测定；T1与T2由基坑与隧道的相对位置决定：
计算其他侧壁卸载作用对隧道产生的附加应力q3(x)，q4(x)，q5(x)；
利用叠加原理计算出基坑开挖引起的隧道轴线处的总附加应力。
5.如权利要求4所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于：所述步骤二中，基于Dupuit假定，基坑降水引起周围地下水位曲线计算公式为：
式中：r为与井中心的水平距离，在xO’y坐标系下，隧道轴线上任意点与井中心的距离H0为潜水含水层的初始水位高度；Ht为降水后坑内的水位高度；R0为降水井的半径，/>R为降水影响半径，/>sw为水位下降深度，sw＝H0-Ht；
在降水半径内，水位下降会导致土中孔隙水压力下降，进而引起有效应力增加，根据有效应力原理可得：
Δσ＝σt-σ0＝(H0-h)(γ-γs+γw)； (7)
式中：Δσ为土中有效应力增量；σt，σ0分别为降水前后的土中有效应力；γ、γs和γw分别为土体天然重度、土体饱和重度以及水的重度；
基坑降水对下卧隧道引起的附加应力为：
式中：h1为坑内水位至坑底的距离；
基坑开挖及降水引起的下卧隧道轴线处附加应力为：
6.如权利要求5所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于：所述步骤三中，根据Timoshenko梁变形理论，隧道弯矩M、剪力Q与位移w的关系为：
式中：κ为等效截面系数，隧道为环形截面，取0.5；G为隧道剪切模量，G＝Et/2(1+vt)；vt为隧道泊松比；A为隧道环形截面面积；Et为隧道弹性模量；It为隧道惯性矩；
根据平衡微分方程有：
p(x)Ddx-q(x)Ddx-dQ＝0； (12)
式中：q(x)为降水产生的附加荷载，q(x)＝σ(x)；D为隧道直径；p(x)为地基反力；
根据Pasternak地基模型可得p(x)为：
式中：k，gs分别为地基弹性系数与剪切系数，可由下式进行计算：
式中：Es土体弹性模量；v为土体泊松比；t为土体剪切层厚度，取t＝2.5D进行计算；
联立式(10)～(14)得到隧道位移w(x)的控制方程为：
7.如权利要求6所述的一种基坑开挖及降水引起下卧隧道变形的解析方法，其特征在于：对于公式(17)，先令q(x)＝0，求出式(17)的通解：
w(x)＝eαx[A1cos(βx)+A2sin(βx)]+e-αx[A3cos(βx)+A4sin(βx)]； (18)
式中：A1、A2、A3、A4为待定系数；
其中
当隧道在x＝0处受到集中荷载P的作用时，隧道的边界条件为：
将式(19)代入式(18)中，求得集中荷载P作用下隧道的位移方程为：
根据式(17)，将等式右边的部分视作Q(x)，隧道上任意点ξ受到的集中荷载P(ξ)为：
将该集中荷载代入式(20)，隧道竖向位移dw(x)为：
在基坑预降水的影响范围内对式(22)进行积分，求得基坑开挖及降水引起的隧道竖向位移：
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