CN116610939A - Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法 - Google Patents

Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于机械装备状态监测与故障诊断技术领域，具体是Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，包括以下步骤：拾取旋转机械装备关键件的振动加速度信号；在小波框架下构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；利用时频谱分析得到故障特征频率。本发明构建的稀疏正则化模型克服了经典稀疏罚正则化模型在零点的不可导性，提高了周期性稀疏瞬时脉冲分量的分离幅值；在强烈背景噪声中提取稀疏分量问题中，有效缓解了经典稀疏正则化方法的能量衰减问题，具有计算复杂度低，算法运行速度快的优点。

Description

Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法
技术领域
本发明涉及机械装备状态监测与故障诊断技术领域，具体涉及Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法。
背景技术
在旋转机械装备状态监测与故障诊断中，大型机电装备如航空发动机、鼓风机、汽轮机、列车减速机的健康运行状态可通过实时采集振动信号进行评估与预警，然而由于外界噪声与结构干扰分量的扰动，采集的振动信号往往具有很强的非线性、非平稳、非高斯特性。
作为旋转机械中的关键传动零部件，齿轮与滚动轴承长时间连续作业在恶劣工况（如变速、变负载、高周循环疲劳、无润滑）中，其不可避免地出现点蚀、裂纹、剥落、断齿等典型故障，轻则可导致设备停机、生产线停产，重则可能造成人员伤亡等重大安全事故，严重危害生命财产安全，因此，齿轮与滚动轴承的早期故障特征提取对于保障设备正常、安全、稳定、可靠运行具有重要意义。
研究发现，滚动轴承与齿轮出现局部损伤时，在时域内会表现为具有周期性瞬态脉冲的特征；然而，早期的周期性瞬态脉冲幅值极低，极易被外界噪声与结构干扰分量污染，使得较弱故障特征频率提取困难或无法提取。
目前，经典稀疏正则化方法可有效去除观测信号中的噪声与干扰分量，有效提取周期性瞬态脉冲及其故障频率，但仍存在部分瓶颈问题：
第一，对于结构复杂、噪声干扰严重、非平稳特性强的传感器采集信号，经典稀疏正则化方法往往难以提取被强背景噪声淹没的早期微弱周期性瞬态脉冲；
第二，经典稀疏正则化方法在滤除噪声与干扰分量的同时，也筛除了有用的周期性瞬态脉冲信息；
第三，经典稀疏正则化方法如L1-Norm方法，其罚函数在零点不可导，可能导致模型收敛问题与梯度消失问题。
发明内容
为克服上述背景技术中的瓶颈问题，尤其针对强背景噪声下的微弱故障特征难以准确提取的问题，本发明提出Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，可自适应提取淹没在强背景噪声中的故障周期性瞬态脉冲，实现有用故障周期性瞬态脉冲与无用的外界干扰分量的剥离，实现故障特征频率的准确提取，以及准确评估旋转机械装备关键件的健康状态。
本发明具体采用了以下技术方案：
Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，包括以下步骤：
步骤S100：利用加速度传感器拾取旋转机械设备关键件退化运行的振动加速度数据；
步骤S200：对振动加速度数据进行预处理，剔除数据序列中的异常点与突变点；
步骤S300：在Coiflet离散小波框架下，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；
步骤S400：利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；
步骤S500：利用时频谱分析方法对周期性稀疏瞬时脉冲分量中的故障特征频率进行提取，完成故障诊断。
作为本发明优选实施例技术方案的进一步限定，所述步骤300包括：
步骤S301：利用加速度传感器采集含故障设备的振动信号可表达为：
（1）
式中，为含噪声的观测信号，观测信号为传感器采集信号，/>为待估计稀疏脉冲分量，/>为外界干扰噪声，信号Y，X以及噪声NOISE均可看作一维低秩矩阵；
步骤S302：为了提取隐藏在噪声背景中的稀疏脉冲分量X，本发明预先求待估计的小波变换系数，因此，构建新的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型为，
式（2）中，W为Coiflet离散小波变换，w为Coiflet离散小波变换系数，为待估计的Coiflet离散小波变换系数，一维低秩矩阵Y的小波变换系数为w=WY；λ>0与ξ>0为正则化参数，/>为平滑奇异值分解（SVD）罚函数，/>为处处可微的非对称罚函数；/>为差分矩阵，D 1 为一阶差分矩阵，即/>，D 2 为二阶差分矩阵，即/>；
为一维低秩矩阵X的Frobenius范数；
p为罚函数尺度因子，通常p=1或p=2；
系数a 1,j 与a 2,j 决定罚函数的波形尺度，ɛ为平滑值小数（如ɛ=10-6）；
步骤S303：利用分段函数思想，非对称罚函数构造为：
（3）
式中，ɛ为平滑值小数（如ɛ=10-6），k为不对称参数，一般取整数，如k=3；
步骤S304：根据待估计的Coiflet离散小波变换系数，则待估计的稀疏脉冲分量可表达为/>，其中，W T 为小波反变换，满足帕斯瓦尔定理/>。
作为本发明优选实施例技术方案的进一步限定，所述步骤400包括：
步骤S401：本发明以罚函数尺度因子p=1为例，则构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型退化为：
步骤S402：根据交替方向乘子法思想，将公式（4）改写为，
（5）
其中，函数g 1（U）为, 函数g 2（V）为/>；
步骤S403：根据上述步骤分析，则增广拉格朗日函数可表达为，
（6）
进一步，利用交替方向乘子法求解上述增广拉格朗日函数，有，
子问题1： （7a）
子问题2： （7b）
子问题3： （7c）
其中，拉格朗日参数μ>0，一般拉格朗日参数的初始值为μ=WY；
对于子问题1，通过合并二次项可得到：
（8）。
进一步，利用平滑快速软阈值收缩方法计算得到待估计的小波变换系数，
（9）
其中，平滑快速软阈值收缩方法（SFSS）的表达式为：
（10）
对于子问题2，，即为广义核范数最小化问题，将U-D进行奇异值分解，则子问题2可计算得到：
（11）
最后，待估计的稀疏脉冲分量可表达为，其中，W T 为Coiflet离散小波反变换，满足帕斯瓦尔定理/>。
由上述技术方案可知，本发明的Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，与现有技术相比，具有以下优点：
第一，本发明提出的方法可以准确提取强背景噪声淹没的早期微弱周期性瞬态脉冲；
第二，相比经典稀疏正则化方法，本发明提出的方法在滤除噪声与干扰分量的同时，保留了有用的周期性瞬态脉冲信息与信号能量，具有良好的去噪效果，有效解决了信号能量衰减问题；
第三，相比经典稀疏正则化方法，本发明使用的非对称罚函数在零点可导，模型收敛快，可有效解决梯度消失问题，且该方法计算复杂度低，响应速度快，可操作性强，具有良好的工业应用价值。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例。
图1为本发明实施例1Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法的实现流程图；
图2为本发明实施例1Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法的流程框图；
图3为本发明实施例1的某轴承振动加速度信号时域波形；
图4为本发明实施例1的构建的非对称罚函数；
图5为本发明实施例1的基于本发明方法提取的微弱周期性瞬态脉冲信号；
图6为本发明实施例1的微弱周期性瞬态脉冲信号的包络谱；
图7为本发明实施例2提供的一种计算机设备的结构框图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
在本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的描述的一些流程中，包含了按照特定顺序出现的多个操作，但是应该清楚了解，这些操作可以不按照其在本文中出现的顺序来执行或并行执行，操作的序号如100、200等，仅仅是用于区分开各个不同的操作，序号本身不代表任何的执行顺序。
下面将结合本发明示例性实施例中的附图，对本发明示例性实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的示例性实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
以下结合附图，详细说明本申请各实施例提供的技术方案。
实施例1
如图1所示，本实施例所述的Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，该脉冲提取方法包括以下步骤：
步骤S100：利用加速度传感器拾取旋转机械设备关键件退化运行的振动加速度数据；所述关键件可以是滚动轴承与齿轮，本例使用数据来源于澳大利亚Curtin大学SpectrQuest公开数据集（http://spectraquest.com/）。
具体的，在该步骤S100中，采用MB ER-16K轴承的振动加速度信号作为研究对象，滚珠数为9，球直径为7.9375mm，轴承节径为38.50mm，实验使用传感器的采样频率为51200kHz，电机转速基频为29Hz，轴承外圈故障频率为103.588Hz。
图3为轴承振动加速度信号的时域波形，可发现微弱周期性瞬态脉冲完全淹没在外界背景噪声中；另外，该信号幅值整体较为平整，没有突变点或野点，不进行信号预处理。
所述的脉冲提取方法还包括以下步骤：
步骤S200：对振动加速度数据进行预处理，剔除数据序列中的异常点与突变点；
步骤S300：在Coiflet离散小波框架下，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；
步骤S301：利用加速度传感器采集含故障设备的振动信号可表达为，
（1）
式中，为含噪声的观测信号，观测信号为传感器采集信号，/>为待估计稀疏脉冲分量，/>为外界干扰噪声，信号Y，X以及噪声NOISE均可看作一维低秩矩阵。
步骤S302：为了提取隐藏在噪声背景中的稀疏脉冲分量X，本发明预先求待估计的小波变换系数，因此，构建新的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型为：
式（2）中，W为Coiflet离散小波变换，w为Coiflet离散小波变换系数，为待估计的Coiflet离散小波变换系数，一维低秩矩阵Y的小波变换系数为w=WY；
λ>0与ξ>0为正则化参数，为平滑奇异值分解（SVD）罚函数，为处处可微的非对称罚函数；/>为差分矩阵，D 1 为一阶差分矩阵，即，D 2 为二阶差分矩阵，即/>；/>为一维低秩矩阵X的Frobenius范数；
p为罚函数尺度因子，通常p=1或p=2；
系数a 1,j 与a 2,j 决定罚函数的波形尺度，ɛ为平滑值小数（如ɛ=10-6）。
步骤S303：利用分段函数思想，非对称罚函数构造为：
（3）
式中，ɛ为平滑值小数（如ɛ=10-6），k为不对称参数，一般取整数，如k=3。
步骤S304：根据待估计的Coiflet离散小波变换系数，则待估计的稀疏脉冲分量可表达为/>，其中，W T 为小波反变换，满足帕斯瓦尔定理/>，相关定理见文献（[1]Y.Ding and I. W. Selesnick, Artifact-free wavelet denoising: non-convex sparseregularization, convex optimization, IEEE Signal Proc. Lett., vol. 22, no. 9,pp. 1364-1368, 2015）。
步骤S400：利用交替方向乘子法（Alternating direction method ofmultipliers, ADMM）{见文献：[2]S. Boyd, N. Parikh, E. Chu, B. Peleato, and J.Eckstein, Distributed optimization and statistical learning via thealternatingdirection method of multipliers, Found. Trends Machine Learn.,Vol. 3, no. 1, 1-122, 2011. [3]A. Parekh and I.W. Selesnick, Convex denoisingusing non-convex tight frame regularization, IEEE Signal Proc. Lett., Vol.22, no. 10, pp.1786-1790, 2015. [4]J. Eckstein and D.P. Bertsekas, On thedouglas-rachfordsplitting method and the proximal point algorithm for maximalmonotone operators, Math. Program., Vol. 55, no. 3, 293-318, 1992.}求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；
步骤S500：利用时频谱分析方法对周期性稀疏瞬时脉冲分量中的故障特征频率进行提取，完成故障诊断。
作为优选，在本发明实施例中，构建的非对称罚函数如图4所示，可知该非对称罚函数在零点可导。
进一步，在本发明实施例中，使用构建的非对称罚稀疏正则化的脉冲提取方法提取轴承振动加速度信号中的微弱周期性瞬态脉冲，模型参数设置如下：拉格朗日参数μ=1.1，正则化参数λ 1为0.5，ξ 1为0.1，非对称参数k=3，小波基函数选择Coiflet离散小波，小波消失矩为2，小波尺度为4，ε为10-6，迭代次数为200。
进一步的，图5为基于本发明方法提取的微弱周期性瞬态脉冲信号，图6为微弱周期性瞬态脉冲信号的包络谱。
由图5，可看出本发明提出的方法可准确地提取隐藏在外界背景噪声中的微弱周期性瞬态脉冲；图6中包络谱解调得到的频率包括：28.125Hz（近似为电机转速基频29Hz），故障频率103.125Hz（近似为轴承外圈故障频率103.588Hz）及其倍频（二倍频206.25Hz、三倍频309.375Hz、四倍频412.5Hz），验证了本发明方法提取的准确性。同时，算法运行时间为0.0597s（算法运行的计算机配置为：Thinkpad-LAPTOP-ORQ6EV9R，处理器11th Gen Intel（R） Core（TM） i7-11800H @ 2.30GHz 2.30GHz，机带RAM为32.0GB，64位操作系统），可知该方法计算速度快，具有良好的在线工业应用价值。
作为优选，在本发明实施例中，所述步骤S400具体包括：
步骤S401：本发明以罚函数尺度因子p=1为例，则构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型退化为，
步骤S402：根据交替方向乘子法思想，将公式（4）改写为，
（5）
其中，函数g 1（U）为；
函数g 2（V）为。
步骤S403：根据上述步骤分析，则增广拉格朗日函数可表达为：
（6）
进一步，利用交替方向乘子法求解上述增广拉格朗日函数，有，
子问题1： （7a）
子问题2： （7b）
子问题3： （7c）
其中，拉格朗日参数μ>0，一般拉格朗日参数的初始值为μ=WY。
对于子问题1，通过合并二次项可得到，
（8）
进一步，利用平滑快速软阈值收缩方法 （Smoothing fast-soft shrinkage,SFSS）（见文献：[5]Q. Li, New approach for bearing fault diagnosis based onfractional spatio-temporalsparse low rank matrix under multichannel time-varying speed condition, IEEE T. Instrum. Meas., Vol. 71, pp. 1-12, 2022.）计算得到待估计的小波变换系数，
（9）
其中，平滑快速软阈值收缩方法（SFSS）的表达式为，
（10）
对于子问题2，，即/>为广义核范数最小化问题，将U-D进行奇异值分解/>，则子问题2可计算得到，
（11）
最后，待估计的稀疏脉冲分量可表达为，其中，W T 为Coiflet离散小波反变换，满足帕斯瓦尔定理/>。
综上所述，本发明实施例提供的脉冲提取方法可准确提取强背景噪声淹没的微弱周期性瞬态脉冲；相比经典稀疏正则化方法，本发明提出的方法在滤除噪声与干扰分量的同时，保留了有用的周期性瞬态脉冲信息与信号能量，实现良好的去噪效果，有效解决了信号能量衰减问题；同时，相比经典稀疏正则化方法，本发明使用的非对称罚函数在零点可导，模型收敛快，可有效解决梯度消失问题，且该方法计算复杂度低，响应速度快，可操作性强，具有良好的工业应用价值。
实施例2
如图7所示，在本发明实施例2中，提供了一种计算机设备，在硬件层面，该终端包括处理器，可选地还包括内部总线、网络接口、存储器。
其中，存储器可能包含内存，例如高速随机存取存储器，也可能还包括非易失性存储器，例如至少1个磁盘存储器等。当然，该计算机设备还可能包括其他业务所需要的硬件。
处理器、网络接口和存储器可以通过内部总线相互连接，该内部总线可以是ISA总线、PCI总线或EISA总线等。
所述总线可以分为地址总线、数据总线、控制总线等。
为便于表示，图7中仅用一个双向箭头表示，但并不表示仅有一根总线或一种类型的总线。
存储器，用于存放程序。具体地，程序可以包括程序代码，所述程序代码包括计算机操作指令。存储器可以包括内存和非易失性存储器，并向处理器提供指令和数据。
处理器从非易失性存储器中读取对应的计算机程序到内存中然后运行，在逻辑层面上形成交通灯颜色识别装置。
处理器，执行存储器所存放的程序，并具体用于执行以下操作：
步骤S100：利用加速度传感器拾取旋转机械设备关键件退化运行的振动加速度数据；
步骤S200：对振动加速度数据进行预处理，剔除数据序列中的异常点与突变点；
步骤S300：在Coiflet离散小波框架下，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；
步骤S400：利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；
步骤S500：利用时频谱分析方法对周期性稀疏瞬时脉冲分量中的故障特征频率进行提取，完成故障诊断。
上述如本申请图1所示实施例揭示的脉冲提取方法可以应用于处理器中，或者由处理器实现。
处理器可能是一种集成电路芯片，具有信号的处理能力。在实现过程中，上述方法的各步骤可以通过处理器中的硬件的集成逻辑电路或者软件形式的指令完成。
上述的处理器可以是通用处理器，包括中央处理器、网络处理器等；还可以是数字信号处理器、专用集成电路、现场可编程门阵列或者其他可编程逻辑器件、分立门或者晶体管逻辑器件、分立硬件组件。可以实现或者执行本申请实施例中的公开的各方法、步骤及逻辑框图。通用处理器可以是微处理器或者该处理器也可以是任何常规的处理器等。
结合本申请实施例所公开的方法的步骤可以直接体现为硬件译码处理器执行完成，或者用译码处理器中的硬件及软件模块组合执行完成。
软件模块可以位于随机存储器，闪存、只读存储器，可编程只读存储器或者电可擦写可编程存储器、寄存器等本领域成熟的存储介质中。该存储介质位于存储器，处理器读取存储器中的信息，结合其硬件完成上述方法的步骤。
本申请实施例还提出了一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质存储一个或多个程序，该一个或多个程序包括指令，该指令当被包括多个应用程序的电子设备执行时，能够使该电子设备执行图1所示实施例中脉冲提取方法，并具体用于执行：
步骤S100：利用加速度传感器拾取旋转机械设备关键件退化运行的振动加速度数据；
步骤S200：对振动加速度数据进行预处理，剔除数据序列中的异常点与突变点；
步骤S300：在Coiflet离散小波框架下，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；
步骤S400：利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；
步骤S500：利用时频谱分析方法对周期性稀疏瞬时脉冲分量中的故障特征频率进行提取，完成故障诊断。
本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、系统或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例，或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质上实施的计算机程序产品的形式。
还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、商品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、商品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、商品或者设备中还存在另外的相同要素。
本领域技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质上实施的计算机程序产品的形式。
以上所述仅为本申请的实施例而已，并不用于限制本申请。对于本领域技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原理之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的权利要求范围之内。

Claims (3)

1.Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤S100：利用加速度传感器拾取旋转机械设备关键件退化运行的振动加速度数据；
步骤S200：对振动加速度数据进行预处理，剔除数据序列中的异常点与突变点；
步骤S300：在Coiflet离散小波框架下，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型；
步骤S400：利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量；
步骤S500：利用时频谱分析方法对周期性稀疏瞬时脉冲分量中的故障特征频率进行提取，完成故障诊断。
2.根据权利要求1所述的Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，其特征在于：所述步骤S300中在Coiflet离散小波框架下构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型的具体步骤如下：
步骤S301：利用加速度传感器采集含故障设备的振动信号可表达为：
（1）
式（1）中，为含噪声的观测信号，/>为待估计稀疏脉冲分量，/>为外界干扰噪声，信号Y，X以及噪声NOISE均可看作一维低秩矩阵；
步骤S302：构建新的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型为：
式（2）中，W为Coiflet离散小波变换，w为Coiflet离散小波变换系数，/>为待估计的Coiflet离散小波变换系数，一维低秩矩阵Y的小波变换系数为w=WY；λ>0与ξ>0为正则化参数，/>为平滑奇异值分解罚函数，/>为处处可微的非对称罚函数；
为差分矩阵，D 1 为一阶差分矩阵，即/>；
D 2 为二阶差分矩阵，即；
为一维低秩矩阵X的Frobenius范数；p为罚函数尺度因子；
系数a 1,j 与a 2,j 决定罚函数的波形尺度，ɛ为平滑值小数；
步骤S303：利用分段函数思想，非对称罚函数构造为：
（3）
式（3）中，ɛ为平滑值小数，k为不对称参数；
步骤S304：根据待估计的Coiflet离散小波变换系数，则待估计的稀疏脉冲分量可表达为/>，其中，W T 为Coiflet离散小波反变换，满足帕斯瓦尔定理/>。
3.根据权利要求2所述的Coiflet离散小波下非对称罚稀疏正则化脉冲提取方法，其特征在于：所述步骤S400中所述的利用交替方向乘子法求解构建的非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型，得到隐藏在背景噪声中的周期性稀疏瞬时脉冲分量的具体步骤为：
步骤S401：以罚函数尺度因子p=1为例，构建非对称罚稀疏正则化目标成本函数模型退化为：
步骤S402：根据交替方向乘子法思想，将公式（4）改写为：
（5）
其中，函数g 1（U）为；
函数g 2（V）为；
步骤S403：增广拉格朗日函数可表达为：
（6）
利用交替方向乘子法求解上述增广拉格朗日函数：
子问题1： （7a）
子问题2： （7b）
子问题3： （7c）
其中，拉格朗日参数μ>0，拉格朗日参数的初始值为μ=WY；
对于子问题1，通过合并二次项可得到：
（8）
利用平滑快速软阈值收缩方法计算得到待估计的小波变换系数：
（9）
其中，平滑快速软阈值收缩方法的表达式为：
（10）
对于子问题2：；
即为广义核范数最小化问题，将U-D进行奇异值分解/>，则子问题2可计算得到：
（11）
最后，待估计的稀疏脉冲分量可表达为，其中，W T 为小波反变换，满足帕斯瓦尔定理。
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