CN111413089A - 基于vmd熵值法和vpmcd相结合的齿轮故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，本发明将变分模态分解VMD和变量预测模型模式识别VPMCD相结合，提纯了齿轮振动信号，滤除了大部分无用的噪声干扰信号成分，突显了信号自身信息，对齿轮故障具有更高的故障识别准确性和更高的识别效率。

Description

基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法

技术领域

本发明涉及齿轮故障信号去噪技术领域，特别是一种基于VMD熵值法和 VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法。

背景技术

齿轮是旋转机械设备中的重要零部件，其健康状态将直接影响设备的运行 状态和生产效益。在齿轮的实际工况中，其工作环境十分恶劣，早期故障所产 生的故障特征比较微弱，受环境噪声和信号衰减等因素的影响较大，齿轮的故 障特征容易淹没在强背景噪声中。因此，对于齿轮的故障特征提取及诊断方法 的研究具有十分重要的意义。

当齿轮发生故障时，由于环境噪声、结构变形等因素的影响，其振动信号 往往表现出强耦合性、非线性和非平稳性的特点。针对该类信号，以小波变换 为代表的传统信号处理方法的分析效果不佳。经验模态分解(Empirical mode decomposition，EMD)方法是Huang等提出的一种自适应信号处理方法，它可 以将复杂信号分解成一系列频率由高到低的固有模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF)，非常适合处理非线性、非平稳性信号。但由于EMD自身算法 的限制，使其在分解信号过程中易产生模态混叠问题，这将严重影响分析结果 的准确性，并限制了基于EMD方法的故障诊断精度的提高。目前解决模态混叠 问题最为常用的方法是由Wu等所提出的集合经验模态分解(Ensemble Empirical ModeDecomposition,EEMD)方法。但实际计算中，受限于白噪声 的添加次数，EEMD分解中所添加的噪声难以完全消除，这在一定程度上影响了 模态混叠问题的处理效果以及信号特征提取的准确性。为解决此问题， Dragomiretskiy等提出了一种非递归式自适应信号处理新方法——变分模态分 解(Variational Mode Decomposition，VMD)。该方法可将复杂的信号分解成 若干个具有调幅调频特性的IMF分量，且IMF分量的分解个数可自适应地确定， 有效避免了分解过程中模态混叠问题的产生。

齿轮在故障状态下的振动信号同正常情况相比，携带了很多微弱故障信息， 为描述这些故障信息，研究人员引入了熵值的概念。熵是信息论中事件出现概 率不确定性的度量，它可有效反映事件中所包含的信息。对于机械故障诊断而 言，机械系统振动信号中包含丰富的特征信息，由于缺少相关定量指标，仅利 用单一熵值对机械故障进行诊断的效果并不理想。因此，有必要对振动信号进 行多尺度、多特征分析。

基于上述分析，为更加精确地提取齿轮故障特征，降低噪声干扰和背景信 号成分的影响，提供一种可有效滤除信号中的噪声干扰和迭代误差成分、实现 信号特征的精确提取的基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法是 可行的。

发明内容

本发明的目的是要解决上述技术问题，提供一种可有效滤除信号中的噪声 干扰和迭代误差成分、实现信号特征的精确提取的基于VMD熵值法和VPMCD相 结合的齿轮故障诊断方法。

为达到上述目的，本发明是按照以下技术方案实施的：

一种基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，包括以下步骤：

S1、分别获取不同工况下m组的齿轮振动信号作为试验数据；

S2、对每种工况下的齿轮振动信号进行变分模态分解VMD，得到若干阶IMF 分量；

S3、采用基于频域互相关系数-能量波动系数准则的虚假IMF判别算法获取 表征信号自身特征的主模态分量，将主模态分量用于重构信号，将重构后信号 作为后续故障识别数据源；

S4、分别计算重构信号的样本熵E_S、奇异值熵H、功率谱熵H_f和能量熵H_EN， 提取重构信号在时域、频域和时频域内的不同故障特征；

S5、构建高维状态特征向量：

T＝[E_s,H,H_f,H_EN]；

S6、在不同工况下分别提取n组样本的高维状态特征向量T作为训练样本， 进行变量预测模型的训练，最后将不同工况下的(m-n)组测试样本的高维状 态特征向量T带入VPMCD预测模型对齿轮的工作状态和故障类型进行识别。

与现有技术相比，本发明将变分模态分解VMD和变量预测模型模式识别 VPMCD相结合，提纯了齿轮振动信号，滤除了大部分无用的噪声干扰信号成分， 突显了信号自身信息，对齿轮故障具有更高的故障识别准确性和更高的识别效 率。

附图说明

图1为本发明的齿轮故障诊断方法流程图。

图2为本发明应用实施例中采集的不同状态下齿轮振动信号时域波形：(a) 为正常状态振动信号时域波形；(b)为齿轮点蚀故障振动信号时域波形；(c) 为断齿故障振动信号时域波形；(d)为磨损故障振动信号时域波形；。

图3为本发明应用实施例中断齿故障信号EEMD分解结果及其频谱。

图4为本发明应用实施例中断齿信号VMD分解结果及其频谱。

图5为本发明应用实施例中重构后齿轮断齿故障振动信号。

图6为本发明应用实施例中重构后齿轮磨损故障振动信号时域波形：(a) 为重构后正常状态振动信号时域波形；(b)为重构后齿轮点蚀故障振动信号时 域波形；(c)为重构后齿轮磨损故障振动信号时域波形。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对 本发明进行进一步的详细说明。此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明， 并不用于限定发明。

如图1所示，本实施例的一种基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障 诊断方法，包括以下步骤：

S1、在齿轮故障诊断试验台上分别获取不同工况下m组的齿轮振动信号作 为试验数据；

S2、对每种工况下的齿轮振动信号按照下式进行变分模态分解VMD，得到若 干阶IMF分量；

设x(t)为齿轮故障诊断试验台上所获取的一个齿轮振动信号，其经VMD分 解获得K个IMF分量，则得到变分约束问题：

式中，

为对函数求时间t的偏导数；δ(t)为单位脉冲函数。

为求解上述约束最优化问题，引入增广拉格朗日函数ζ：

式中，α为二次惩罚因子，保证在高斯噪声存在情况下信号的重构精度； λ(t)为拉格朗日乘子，用于保证约束条件的严格性；f(t)为实测信号；<>表 示向量内积。

利用交替方向乘子法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM) 求解上述拉格朗日函数的鞍点，即式(2)变分约束模型的最优解。求得的模态 分量u_k及中心频率ω_k分别为：

式中，

表示频域状态的模态函数；

表示频域状态的拉格朗日乘子。

VMD具体实现过程如下：

1)初始化

n，令其初始值都为0，将预设尺度参数K设定为某 个合适的正整数；

2)执行循环n＝n+1；

3)根据式(4)、式(5)更新u_k和ω_k；

4)更新

5)给定判定精度e>0，若满足迭代约束条件

则停 止迭代，输出结果；否则返回步骤2)。

S3、相关系数是用于描述两变量间相关关系强弱程度的统计指标。另外当 齿轮存在故障时，其振动信号的能量会发生改变，但噪声信号内其含有的信号 能量很少。因此，为有效消除噪声和背景信号等干扰成分对于故障特征提取准 确性的影响，采用基于频域互相关系数-能量波动系数准则的虚假IMF判别算法 获取表征信号自身特征的主模态分量，将主模态分量用于重构信号，将重构后 信号作为后续故障识别数据源；

对于信号x_i和y_i而言，其相关系数ρ_x,y定义为：

式中，ρ_x,y∈[-1,1]，当ρ_x,y>0时，表示两信号间有相关性；当ρ_x,y＝0 时，表示两信号间不相关；当∣ρ_x,y∣越大，说明两信号间相关程度越高。

将上述方法推广到频域，设G_x、G_y分别为信号x_i和y_i功率谱，f_a为分析频 率，则频域内信号x_i和y_i的互相关系数可表示为：

式中，∣ρ_f∣越大，表明两信号在频域上相关性越好；反之，∣ρ_f∣越小， 说明两信号在频域上相关性越差。

工程实际中，信号采样后变为离散形式，因此，各IMF分量同原信号间能 量波动系数计算公式为：

式中，

分别为各IMF分量和原信号的均值，为衡量随机信号的 统计参量。

S4、分别计算重构信号的样本熵E_S、奇异值熵H、功率谱熵H_f和能量熵H_EN， 提取重构信号在时域、频域和时频域内的不同故障特征；

(1)样本熵E_S的计算

样本熵是一种同近似熵相类似的信号复杂性度量方法，但相较于近似熵， 其具有抗干扰能力强、估计值稳定性好等特点。设经VMD重构后齿轮振动信号 为{x(t)}＝{x(1),x(2),…,x(t)}，其样本熵计算过程如下：

1)预设模式维数m，由原序列组成m维矢量：

x_i＝{x(i),x(i+1),···,x(i+m-1)} (8)

式中，i＝1,2,…,t-m+1。

2)定义x_i与x_j之间的距离：

3)设定相似容限阈值r，统计d(x_i,x_j)＜r的数目，并将其与t-m的比值记作

式中，i,j＝1,2,…,t-m+1,i≠j。

4)求t-m+1个C^m(r)的均值：

5)令m+1，重复步骤1)～4)，可得C^m+1(r)。

6)理论上，序列{x(n)}样本熵为：

实际情况中序列长度t不可能为∞，当t为有限值时，按上述步骤可得样 本熵的估计值为：

(2)奇异值熵H的计算

奇异值是矩阵的固有特征，具有比例不变性和旋转不变性，并以其良好的 数值稳性常被用于信号突变特征信息的检测。奇异值熵在机械信号信息刻画能 力、信息成分分析等方面具有其独特优势。因此，采用信号奇异值熵以定量描 述齿轮不同工况下的奇异值变化程度。

设齿轮振动信号经VMD去噪后，剩余m个主模态分量u_k，u_k+1,…,u_m，对m 个主模态分量进行奇异值分解得到奇异值σ_k，σ_k+1,…,σ_m，对各分量进行归 一化：p_i＝σ_i/P，其中P＝σ_k+σ_k+1+…+σ_m，由此可得

满足信息 熵初始归一化条件，则奇异值熵可定义为：

(3)功率谱熵H_f的计算

功率谱熵是表征信号复杂程度的非线性特征量，同时可表征信号的振动谱 型在频域的分布情况，设经VMD去噪后齿轮振动信号为x(t)，其离散傅里叶变 换为X(ω)，则其功率谱可表示为：

由于信号由时域向频域变化的过程中能量守恒，可得：

∑x²(t)Δt＝∑|Y(ω)|²Δω (16)

因此，S＝{S_k,S_k+1,···,S_m}可看做对信号x(t)的一种划分，根据信息熵定义，可得功率谱熵为：

式中，s_i＝S_i/S为第i个主模态分量功率谱占全部功率谱的比重。

(4)能量熵H_EN的计算

在信号分析过程中，随时间尺度分布的能量是信号的重要参数。由于存在 故障，齿轮振动信号的复杂性会发生变化，同正常情况相比，同频带内信号的 能量会出现较大差别，为有效刻画齿轮振动信号的能量随频率分布变化情况， 引入能量熵以揭示信号的内在特征。

设齿轮振动信号经VMD去噪后所得m个主模态分量的能量分别为E_k，E_k+1，…， E_m，由于VMD分解具有近似正交性，则E_k，E_k+1，…，E_m之和应就为重构信号的总 能量。而VMD分解出各模态分量频率各不相同，因此，E＝{E_k，E_k+1，…，E_m}代表 了齿轮信号在频域的能量分布，则能量熵可定义为：

式中：e_i＝E_i/E，为第i(i＝k，k+1，…，m)个主模态分量的能量占重构 信号能量的百分比，

S5、构建高维状态特征向量：

T＝[E_s,H,H_f,H_EN] (19)；

S6、在不同工况下分别提取n组样本的高维状态特征向量T作为训练样本， 进行变量预测模型的训练，最后将不同工况下的(m-n)组测试样本的高维状 态特征向量T带入VPMCD预测模型对齿轮的工作状态和故障类型进行识别。

选取二次交互模型(QI)对高维状态特征向量进行分析

式中，k,a,b≠i；X_i为变量；b₀,b_jj；b_jk为模型参数。

VPMCD对于齿轮的工作状态和故障类型进行识别共分为2个阶段，具体过程 为：

1)模型训练

a.假设存在q类状态，分别对其进行m次采样，每类状态下都有m个训练 样本，即m_k,k＝1,2,…,q。

b.对所有的训练样本提取4个特征值，即计算所得齿轮重构信号的高维状 态特征向量T＝[E_s,H,H_f,H_EN]。

c.对随机被预测变量E_s,H,H_f,H_EN，选取QI模型。

d.令k＝1，对于m_k个第k类的训练样本中的任一样本，分别对每个特征值 建立模型，最终得到m_k个方程并联立模型方程组，采用最小二乘法对其模型参 数进行估计，得到每个M_i的预测模型

e.令k值逐次累加，循环操作步骤d，直至k＝q结束。此时，对应所有 状态均建立了预测的

模型训练到此结束。

2)模型分类

a.选取预测样本并提取对应的高维状态特征向量T＝[E_s,H,H_f,H_EN]。

b.将测试样本的高维状态特征向量T输入训练模型

并进行回归，得 到对应的测试值i^k。

c.根据式(21)计算所有类别下的所有高维状态特征向量T的误差平方和 的值δ_k，并将测试样本归到第k类：

应用实施例

为验证上述实施例的方法的有效性，对实际采集到的齿轮振动信号进行分 析。所采用试验平台为PQZZ-II型机械故障模拟综合试验台,试验台提供有齿轮 标准故障组合套件，该组合套件中包含一对正常状态的直齿轮、一个具有断齿 故障的从动齿轮、一个具有点蚀故障的从动齿轮和一个具有磨损故障的驱动齿 轮。

试验过程中，电动机转频为50Hz，数据采集系统的搭建以ADA16-8/2(LPCI) 型高速多功能采集卡为基础，传感器采用KD1001L型压电式加速度传感器，并 安装在输出轴的负载侧。信号采集时，设置采样频率fs＝5120Hz，采样时长 10s，采样精度为16bt，分析时长1s。齿轮箱中各齿轮均为标准直齿轮，其中， 驱动齿轮和从动齿轮的齿数分别为55和75，齿轮材料为S45C，模数为2mm， 输入轴的平均转速为1470r/min。

使用相关数据采集系统分别对正常、点蚀故障、断齿故障和磨损故障4种 状态下的振动信号进行采集，4种状态下各采集40组振动信号用于后续分析。 图2为不同状态下所测得的1组齿轮振动信号。

由图2可知，由于在信号采集系统中并未有消噪室或相应噪声滤除装置， 导致采集到的信号中含有较多噪声成分，使信号的信噪比降低，若以此信号作 为后续故障诊断的源信号，这将影响故障识别的准确性，同时增加故障检测难 度。

分别采用EEMD和VMD方法对图2(c)齿轮断齿故障信号进行分析。EEMD分 解时，所添加白噪声的标准差ε0＝0.2，总体实验次数I＝100。EEMD分解共获 得12阶IMF分量，由于EEMD分解后的信号特征主要集中在前几阶模态分量， 因此仅列出前4阶模态分量的时域波形和频谱，如图3所示。VMD分解过程中， 模态个数K根据各IMF分量中心频率是否相近进行选取，分解得到的各模态分 量及其频谱如图4所示。对比图3和图4可知，由于向信号中所添加的白噪声 并未得到完全消除，EEMD分解所得各IMF分量间仍存在一定的模态混叠现象，这势必将影响后续信号特征提取的准确性。而VMD分解所得各IMF分量集中在 各自的中心频率附近，有效抑制了模态混叠问题，减少了各模态分量间的信息 泄露，从而可有效提高使用熵值作为故障特征的准确性。

计算图2(c)齿轮断齿故障信号经VMD分解后所得各IMF分量的频域互相关 系数ρ_f、能量波动系数η_i并将频域互相关系数与能量波动系数平均加权后形成 综合判别因子λ，并将其阈值设为0.08，结果如表1所示。

表1

由表1可知，IMF1～IMF3为表征信号自身特征的主模态分量，而IMF4为 噪声干扰成分，故取前3阶IMF分量组成重构信号，如图5所示。由图5可知， 重构信号内绝大多数无用的噪声干扰成分得到有效滤除，信号时域波形可有效 突显其自身信息。

按上述方法，对图2中正常状态、点蚀故障和磨损故障信号进行分析，所 得重构信号如图6所示。

对比图2和图6可知，本文所提方法有效提纯了齿轮振动信号，滤除了大 部分无用的噪声干扰信号成分，突显了信号自身信息，为后续信号特征提取的 准确性提供了保证。

采用VMD算法对4种类型齿轮振动信号的各40组数据进行分解，根据基于 频域互相关系数-能量波动系数准则的虚假IMF判别算法滤除信号中的环境噪声 和背景信号，并计算出各重构信号的4维多尺度复杂性度量特征向量(样本熵 值、奇异值熵值、功率谱熵值和能量熵值)，由此组成40×4的样本数据集。限 于篇幅，在此仅在表2中列出不同工况下部分样本数据经VMD消噪处理后计算 所得的特征向量。

表2

分析表2可以发现，表中所求熵值特征量从4个侧面有效地刻划了齿轮信 号在不同状态况下的特征。随机抽取20组特征向量作为训练样本，用以训练 VPMCD模型，剩余20组特征向量作为测试样本，以检验齿轮状态识别效果。

通过VPMCD方法对训练样本进行训练后，得到变量预测模型所需训练时间 为0.1383s，由训练样本得到变量预测模型对4种状态下测试样本进行识别， 结果如表3所示。

表3

分别采用人工神经网络和支持向量机(Support Vector Machine，SVM)方 法对上述训练样本和测试样本进行训练和状态识别。其中神经网络采用BP神经 网络进行分类；选取3个SVM，并设置SVM1(区分有无故障)和SVM2、SVM3(识 别故障类型)进行测试。各分类方法的识别结果和训练用时如表4所示。

表4

由表4可知，BP神经网络和SVM方法由于参数设置问题，其识别精度受到 一定影响，识别精度较VPMCD低。在训练用时方面，VPMCD因在预测模型建立时 采用参数估计法，避免了BP神经网络的迭代学习和SVM的寻找最优解的过程， 从而极大缩短了训练用的。由此表明，在小样本的情况下，VPMCD方法具有更高 的故障识别准确性和更高的识别效率。

通过上述实测齿轮故障信号的分析结果表明，所提方法能够有效应用于齿 轮的故障诊断。

综述，通过实测数据的实验结果表明，本发明的方法可有效滤除信号中的 噪声干扰和迭代误差成分，实现信号特征的精确提取。

本发明的技术方案不限于上述具体实施例的限制，凡是根据本发明的技术 方案做出的技术变形，均落入本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、分别获取不同工况下m组的齿轮振动信号作为试验数据；

S2、对每种工况下的齿轮振动信号进行变分模态分解VMD，得到若干阶IMF分量；

S3、采用基于频域互相关系数-能量波动系数准则的虚假IMF判别算法获取表征信号自身特征的主模态分量，将主模态分量用于重构信号，将重构后信号作为后续故障识别数据源；

S4、分别计算重构信号的样本熵E_S、奇异值熵H、功率谱熵H_f和能量熵H_EN，提取重构信号在时域、频域和时频域内的不同故障特征；

S5、构建高维状态特征向量：

T＝[E_s,H,H_f,H_EN]；

S6、在不同工况下分别提取n组样本的高维状态特征向量T作为训练样本，进行变量预测模型的训练，最后将不同工况下的(m-n)组测试样本的高维状态特征向量T带入VPMCD预测模型对齿轮的工作状态和故障类型进行识别。

2.根据权利要求1所述的基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，其特征在于，所述步骤S2具体步骤如下：

S201、设x(t)为齿轮故障诊断试验台上所获取的一个齿轮振动信号，其经VMD分解获得K个IMF分量，则得到变分约束问题：

式中，

为对函数求时间t的偏导数；δ(t)为单位脉冲函数；

S202、引入增广拉格朗日函数ζ：

式中，α为二次惩罚因子，保证在高斯噪声存在情况下信号的重构精度；λ(t)为拉格朗日乘子，用于保证约束条件的严格性；f(t)为实测信号；<>表示向量内积；

S203、利用交替方向乘子法求解上述拉格朗日函数的鞍点：

1)初始化

n，令其初始值都为0，将预设尺度参数K设定为某个合适的正整数；

2)执行循环n＝n+1；

3)根据式(4)、式(5)更新u_k和ω_k；

4)更新

5)给定判定精度e>0，若满足迭代约束条件

则停止迭代，输出结果即模态分量u_k及中心频率ω_k分别为：

式中，

表示频域状态的模态函数；

表示频域状态的拉格朗日乘子；

否则返回步骤2)。

3.根据权利要求2所述的基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，其特征在于，所述步骤S3具体步骤如下：

S301、对于信号x_i和y_i而言，其相关系数ρ_x,y定义为：

式中，ρ_x,y∈[-1,1]，当ρ_x,y>0时，表示两信号间有相关性；当ρ_x,y＝0时，表示两信号间不相关；当∣ρ_x,y∣越大，说明两信号间相关程度越高；

S302、将上述方法推广到频域，设G_x、G_y分别为信号x_i和y_i功率谱，f_a为分析频率，则频域内信号x_i和y_i的互相关系数表示为：

式中，∣ρ_f∣越大，表明两信号在频域上相关性越好；反之，∣ρ_f∣越小，说明两信号在频域上相关性越差；工程实际中，信号采样后变为离散形式，因此，各IMF分量同原信号间能量波动系数计算公式为：

式中，

分别为各IMF分量和原信号的均值，为衡量随机信号的统计参量。

4.根据权利要求3所述的基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，其特征在于，所述步骤S4的具体为：

(1)样本熵E_S的计算：

设经VMD重构后齿轮振动信号为{x(t)}＝{x(1),x(2),…,x(t)}，其样本熵计算过程如下：

1)预设模式维数m，由原序列组成m维矢量：

x_i＝{x(i),x(i+1),···,x(i+m-1)}， (8)

式中，i＝1,2,…,t-m+1；

2)定义x_i与x_j之间的距离：

3)设定相似容限阈值r，统计d(x_i,x_j)＜r的数目，并将其与t-m的比值记作

式中，i,j＝1,2,…,t-m+1,i≠j；

4)求t-m+1个C^m(r)的均值：

5)令m+1，重复步骤1)～4)，可得C^m+1(r)；

6)理论上，序列{x(n)}样本熵为：

实际情况中序列长度t不可能为∞，当t为有限值时，按上述步骤可得样本熵的估计值为：

(2)奇异值熵H的计算：

采用信号奇异值熵以定量描述齿轮不同工况下的奇异值变化程度，设齿轮振动信号经VMD去噪后，剩余m个主模态分量u_k，u_k+1,…,u_m，对m个主模态分量进行奇异值分解得到奇异值σ_k，σ_k+1,…,σ_m，对各分量进行归一化：p_i＝σ_i/P，其中P＝σ_k+σ_k+1+…+σ_m，由此可得

满足信息熵初始归一化条件，则奇异值熵可定义为：

(3)功率谱熵H_f的计算：

设经VMD去噪后齿轮振动信号为x(t)，其离散傅里叶变换为X(ω)，则其功率谱可表示为：

由于信号由时域向频域变化的过程中能量守恒，可得：

∑x²(t)Δt＝∑|Y(ω)|²Δω， (16)

因此，S＝{S_k,S_k+1,···,S_m}看作对信号x(t)的一种划分，根据信息熵定义，得功率谱熵为：

式中，s_i＝S_i/S为第i个主模态分量功率谱占全部功率谱的比重；

(4)能量熵H_EN的计算：

设齿轮振动信号经VMD去噪后所得m个主模态分量的能量分别为E_k，E_k+1，…，E_m，由于VMD分解具有近似正交性，则E_k，E_k+1，…，E_m之和应就为重构信号的总能量，而VMD分解出各模态分量频率各不相同，因此，E＝{E_k，E_k+1，…，E_m}代表了齿轮信号在频域的能量分布，则能量熵可定义为：

式中：e_i＝E_i/E，为第i(i＝k，k+1，…，m)个主模态分量的能量占重构信号能量的百分比，

5.根据权利要求1所述的基于VMD熵值法和VPMCD相结合的齿轮故障诊断方法，其特征在于，所述步骤S6的具体步骤如下：

选取二次交互模型(QI)对高维状态特征向量进行分析：

式中：k,a,b≠i；X_i为变量；b₀,b_jj；b_jk为模型参数；

VPMCD对于齿轮的工作状态和故障类型进行识别共分为2个阶段，具体过程为：

1)模型训练

a.假设存在q类状态，分别对其进行m次采样，每类状态下都有m个训练样本，即m_k,k＝1,2,…,q；

b.对所有的训练样本提取4个特征值，即计算所得齿轮重构信号的高维状态特征向量T＝[E_s,H,H_f,H_EN]；

c.对随机被预测变量E_s,H,H_f,H_EN，选取QI模型；

d.令k＝1，对于m_k个第k类的训练样本中的任一样本，分别对每个特征值建立模型，最终得到m_k个方程并联立模型方程组，采用最小二乘法对其模型参数进行估计，得到每个M_i的预测模型

e.令k值逐次累加，循环操作步骤d，直至k＝q结束，此时，对应所有状态均建立了预测的

模型训练到此结束；

2)模型分类

a.选取预测样本并提取对应的高维状态特征向量T＝[E_s,H,H_f,H_EN]；

b.将测试样本的高维状态特征向量T输入训练模型

并进行回归，得到对应的测试值i^k；

c.根据式(21)计算所有类别下的所有高维状态特征向量T的误差平方和的值δ_k，并将测试样本归到第k类：

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