CN116526913B - 六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法 - Google Patents

Abstract

六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，将x向的位移给定信号和位移实时信号送入x向位移自抗扰控制器，得到x向磁悬浮力信号，将y向的位移给定信号和位移实时信号送入y向位移自抗扰控制器，得到y向磁悬浮力信号，对六相实时电流信号进行六相空间矢量坐标变换，得到转矩平面的d轴实时电流信号i_1d、q轴实时电流信号i_1q，以及悬浮平面的d轴实时电流信号i_2d、q轴实时电流信号i_2q，然后计算得到悬浮平面的d轴给定电压信号u_2d ^*、悬浮平面的q轴给定电压信号u_2q ^*、转矩平面的d轴给定电压信号u_1d ^*、转矩平面的q轴给定电压信号u_1q ^*，通过六相空间矢量坐标反变换得到六相实时电压信号，送入六相PWM逆变器得到驱动电机运行的六相定子绕组电压。

Description

六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法

技术领域

本发明涉及六相无轴承永磁同步电机的控制方法领域，尤其涉及六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法。

背景技术

无轴承电机在先进制造、飞轮储能、航空航天和生物与生命科学等领域应用前景广阔，现有技术中一般采用双绕组无轴承电机，由于其功率密度低，因此发展单绕组结构是必然趋势。多相永磁同步电机具有工作效率高、调速性能好、运行可靠等优点，还可利用多相电机的多自由度特点控制转子的径向悬浮，从而构成多相式单绕组结构无轴承永磁同步电机（BL-PMSM），多相无轴承永磁同步电机是非线性、多变量、强耦合对象，且悬浮系统会受到诸多扰动作用，目前采用PID径向位移调节器对径向位移进行控制，现有采用的PID径向位移调节器具有结构简单、便于工业应用等优点，但对电机本体及系统参数变化的适应性差、抗干扰能力有限。

发明内容

本发明为提高六相无轴承永磁同步电机的径向位移调节控制的适应性、抗径向力负载扰动能力，提出了六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法。

本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是：六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，所述的六相无轴承永磁同步电机包括转子和定子，转子为1对表贴式永磁体，定子具有12个绕组线槽，通过跨距为3的定子线圈构成分布式六相对称绕组结构，该方法包括以下步骤：

将六相无轴承永磁同步电机的径向位移分为相互垂直的x向位移和y向位移，将x向的位移给定信号x^*和位移实时信号x送入x向位移自抗扰控制器，得到x向磁悬浮力信号F_x ^*，将y向的位移给定信号y^*和位移实时信号y送入y向位移自抗扰控制器，得到y向磁悬浮力信号F_y ^*；

对六相无轴承永磁同步电机的六相实时电流信号i_a ^*、i_b ^*、i_c ^*、i_d ^*、i_e ^*、i_f ^*进行六相空间矢量坐标变换，得到转矩平面的d轴实时电流信号i_1d、转矩平面的q轴实时电流信号i_1q、悬浮平面的d轴实时电流信号i_2d、悬浮平面的q轴实时电流信号i_2q；

根据F_x ^*、F_y ^*、i_1d和i_1q得到悬浮平面的d轴给定电流信号i_2d ^*、悬浮平面的q轴给定电流信号i_2q ^*，公式为：

（1）；

L₁=3πμ₀lrN₁ ²/g₀，L₂=3πμ₀lrN₂ ²/g₀（2）；

式（1）、（2）中，i_rf为永磁体等效电流；g₀为平均气隙长度；μ₀为真空磁导率；l为定子铁心长度；r为气隙半径；N₁为转矩绕组的等效匝数，N₂为悬浮绕组的等效匝数；

对i_2d ^*和i_2d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的d轴给定电压信号u_2d ^*；

对i_2q ^*和i_2q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的q轴给定电压信号u_2q ^*；

将六相无轴承永磁同步电机的零值励磁电流信号作为转矩平面的d轴给定电流信号i_1d ^*，对i_1d ^*和i_1d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的d轴给定电压信号u_1d ^*；

对转矩平面的给定转速信号ω*和实时转速信号ω行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电流信号i_1q ^*，对i_1q ^*和i_1q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电压信号u_1q ^*；

对u_1d ^*、u_1q ^*、u_2d ^*、u_2q ^*进行六相空间矢量坐标反变换，得到六相无轴承永磁同步电机的六相实时电压信号u_a ^*、u_b ^*、u_c ^*、u_d ^*、u_e ^*、u_f ^*，将实时电压信号送入六相PWM逆变器得到六相定子绕组电压，根据所得的六相定子绕组电压驱动六相无轴承永磁同步电机运行，即实现了六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制。

优选的，所述PI调节器的算法公式为：

（3）；

式（3）中，K_P1为比例系数，K_I1为积分系数，e₁(t)为给定信号与实时信号的对比运算结果，u^*(t)为输出量；

当e₁(t)=i_2d ^*−i_2d时，u^*(t)=u_2d ^*；

当e₁(t)=i_2q ^*−i_2q时，u^*(t)=u_2q ^*；

当e₁(t)=ω*−ω时，u^*(t)= i_1q ^*；

当e₁(t)=i_1d ^*−i_1d时，u^*(t)=u_1d ^*；

当e₁(t)=i_1q ^*−i_1q时，u^*(t)=u_1q ^*。

优选的，所述的x向位移自抗扰控制器和y向位移自抗扰控制器为相同的径向位移自抗扰控制器ADRC，包括二阶跟踪微分器TD、三阶扩张状态观测器ESO和二阶非线性状态误差反馈控制律NLSEF；

二阶跟踪微分器TD的输入量为径向位移给定信号s^*，输出量为状态变量s₁和s₂，其表达式为：

（4）；

式（4）中，fhan为设定最速综合函数，其表达式为：

（5）；

式（4）、（5）中，h为采样周期；r₀、h₀为函数控制参量；j为控制量增益，式（5）中取值为j=j₀；x₁和x₂为fhan函数的输入量，x₁为状态跟踪误差，x₁＝s₁(k)-s(k)，x₂为状态变量变化率，x₂＝s₂(k)；

三阶扩张状态观测器ESO的输入量为径向位移实时信号s和径向磁悬浮力信号F_s ^*，输出量为状态变量观测值s₁₁、状态变量观测值s₁₂和总扰动观测值s₁₃，其表达式为：

（6）；

式（6）中，非线性函数fal(e，a，δ)的表达式为：

（7）；

式（6）、（7）中，β₀₁、β₀₂、β₀₃为可调参数；δ为滤波因子；a为可调参数，a对s₁₂的取值为1/2，a对s₁₃的取值为1/4；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量；

二阶非线性状态误差反馈控制律NLSEF的输入量为状态变量s₁与状态变量观测值s₁₁的差值e₁、以及状态变量s₂与状态变量观测值s₁₂的差值e₂，输出量为初始可控磁悬浮力信号F_s0，其表达式为：

（8）；

径向位移自抗扰控制器ADRC最后根据总扰动观测值s₁₃对初始可控磁悬浮力信号F_s0进行系统总扰动补偿，得到径向磁悬浮力信号F_s ^*，扰动补偿算法表达式为：

F_s ^*=F_s0−s₁₃/b （9）；

式（8）、（9）中，β₁、β₂为控制器参数；c₁和c₂为非线性因子，0<c₁<1<c₂；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量。

优选的，所述六相空间矢量坐标变换为，首先采用矢量空间解耦方法，将变量由自然坐标系转换到静止坐标系：

（10）；

式（10）中的变换矩阵C _αβ 为：

（11）；

变换矩阵C _αβ 中包含两个相互正交的α ₁-β ₁和α ₂-β ₂子空间，分别对应变换矩阵C _αβ 的第一和第二行、第三和第四行；相邻角度差为π/6的电流映射到α ₁-β ₁平面，相邻角度差为2π/6的电流映射到α ₂-β ₂平面；变换矩阵C _αβ 的最后两行对应零序子空间，表示各相电流之和为0；

然后采用Park变换方法，将变量由静止坐标系转换到旋转坐标系：

（12）；

式（12）中的变换矩阵C _dq 为：

（13）；

θ为转子磁链与A相绕组轴线的夹角；

将式（10）、（11）、（12）、（13）合并，从而将变量从自然坐标系转换到旋转坐标系：

（14）；

式（14）中的变换矩阵C即为六相空间矢量坐标变换的变换矩阵：

。

根据上述技术方案，本发明的有益效果是：

通过本发明提供的径向位移闭环自抗扰控制方法，能够实现六相无轴承永磁同步电机的稳定磁悬浮运行控制，同时可以明显抑制转子径向位移超调量，提升了转子径向位移的相对稳定性，使得六相无轴承永磁同步电机面对突加径向扰动力时具有更强的适应能力，可以有效抑制转矩系统的耦合影响、显著增强磁悬浮系统的抗干扰能力。

附图说明

图1为本发明的六相无轴承永磁同步电机ADRC系统结构图；

图2为径向位移自抗扰控制器ADRC的运算流程示意图。

具体实施方式

本发明提供了六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，六相无轴承永磁同步电机包括转子和定子，转子为1对表贴式永磁体，定子具有12个绕组线槽，通过跨距为3的定子线圈构成分布式六相对称绕组结构。

该方法如图1所示，其原理依据为，当给六相对称定子绕组通入时间相位差为60度的六相对称转矩电流时，产生的2极转矩磁场与2极永磁转子磁场相互作用，可产生驱动转子旋转的稳定电磁转矩；当给六相绕组依次注入时间相位差120度的悬浮电流，可产生四极悬浮磁场，从而打破电机内部气隙磁场平衡，可产生作用于转子的径向可控磁悬浮力、实现对六相“BL-PMSM”的稳定磁悬浮运行控制；PID控制器对系统参数变化的适应性差、抗干扰能力有限；现代控制理论如H∞、逆系统解耦等先进控制方法对电机数学模型精度要求较高；非线性自抗扰控制（ADRC）技术能在有效处理系统不确定性问题的基础上提高系统的抗扰动能力，适合于无轴承电机这种复杂的多变量非线性对象。

该方法具体为，将六相无轴承永磁同步电机的径向位移分为相互垂直的x向位移和y向位移，将x向的位移给定信号x^*和位移实时信号x送入x向位移自抗扰控制器，得到x向磁悬浮力信号F_x ^*，将y向的位移给定信号y^*和位移实时信号y送入y向位移自抗扰控制器，得到y向磁悬浮力信号F_y ^*。

对六相无轴承永磁同步电机的六相实时电流信号i_a ^*、i_b ^*、i_c ^*、i_d ^*、i_e ^*、i_f ^*进行六相空间矢量坐标变换，得到转矩平面的d轴实时电流信号i_1d、转矩平面的q轴实时电流信号i_1q、悬浮平面的d轴实时电流信号i_2d、悬浮平面的q轴实时电流信号i_2q。

根据F_x ^*、F_y ^*、i_1d和i_1q得到悬浮平面的d轴给定电流信号i_2d ^*、悬浮平面的q轴给定电流信号i_2q ^*，公式为：

（1）；

L₁=3πμ₀lrN₁ ²/g₀，L₂=3πμ₀lrN₂ ²/g₀（2）。

式（1）、（2）中，i_rf为永磁体等效电流；g₀为平均气隙长度；μ₀为真空磁导率；l为定子铁心长度；r为气隙半径；N₁为转矩绕组的等效匝数，N₂为悬浮绕组的等效匝数。

对i_2d ^*和i_2d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的d轴给定电压信号u_2d ^*。

对i_2q ^*和i_2q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的q轴给定电压信号u_2q ^*。

将六相无轴承永磁同步电机的零值励磁电流信号作为转矩平面的d轴给定电流信号i_1d ^*，对i_1d ^*和i_1d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的d轴给定电压信号u_1d ^*。

对转矩平面的给定转速信号ω*和实时转速信号ω行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电流信号i_1q ^*，对i_1q ^*和i_1q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电压信号u_1q ^*。

对u_1d ^*、u_1q ^*、u_2d ^*、u_2q ^*进行六相空间矢量坐标反变换，得到六相无轴承永磁同步电机的六相实时电压信号u_a ^*、u_b ^*、u_c ^*、u_d ^*、u_e ^*、u_f ^*，将实时电压信号送入六相PWM逆变器得到六相定子绕组电压，根据所得的六相定子绕组电压驱动六相无轴承永磁同步电机运行，即实现了六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制。

PI调节器的算法公式为：

（3）；

式（3）中，K_P1为比例系数，K_I1为积分系数，e₁(t)为给定信号与实时信号的对比运算结果，u^*(t)为输出量；

当e₁(t)=i_2d ^*−i_2d时，u^*(t)=u_2d ^*；

当e₁(t)=i_2q ^*−i_2q时，u^*(t)=u_2q ^*；

当e₁(t)=ω*−ω时，u^*(t)= i_1q ^*；

当e₁(t)=i_1d ^*−i_1d时，u^*(t)=u_1d ^*；

当e₁(t)=i_1q ^*−i_1q时，u^*(t)=u_1q ^*。

x向位移自抗扰控制器和y向位移自抗扰控制器如图2所示，为相同的径向位移自抗扰控制器（ADRC），包括二阶跟踪微分器（TD）、三阶扩张状态观测器（ESO）和二阶非线性状态误差反馈控制律（NLSEF）。

二阶跟踪微分器（TD）的输入量为径向位移给定信号s^*，输出量为状态变量s₁和s₂，其表达式为：

（4）。

式（4）中，fhan为设定最速综合函数，其表达式为：

（5）。

式（4）、（5）中，h为采样周期；r₀、h₀为函数控制参量；j为控制量增益，式（5）中取值为j=j₀；x₁和x₂为fhan函数的输入量，x₁为状态跟踪误差，x₁＝s₁(k)-s(k)，x₂为状态变量变化率，x₂＝s₂(k)。

三阶扩张状态观测器（ESO）的输入量为径向位移实时信号s和径向磁悬浮力信号F_s ^*，输出量为状态变量观测值s₁₁、状态变量观测值s₁₂和总扰动观测值s₁₃，其表达式为：

（6）。

式（6）中，非线性函数fal(e，a，δ)的表达式为：

（7）。

式（6）、（7）中，β₀₁、β₀₂、β₀₃为可调参数；δ为滤波因子；a为可调参数，a对s₁₂的取值为1/2，a对s₁₃的取值为1/4；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量。

二阶非线性状态误差反馈控制律（NLSEF）的输入量为状态变量s₁与状态变量观测值s₁₁的差值e₁、以及状态变量s₂与状态变量观测值s₁₂的差值e₂，输出量为初始可控磁悬浮力信号F_s0，其表达式为：

（8）。

径向位移自抗扰控制器（ADRC）最后根据总扰动观测值s₁₃对初始可控磁悬浮力信号F_s0进行系统总扰动补偿，得到径向磁悬浮力信号F_s ^*，扰动补偿算法表达式为：

F_s ^*=F_s0−s₁₃/b （9）。

式（8）、（9）中，β₁、β₂为控制器参数；c₁和c₂为非线性因子，0<c₁<1<c₂；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量。

在进行六相空间矢量坐标变换时，首先采用矢量空间解耦方法，将变量由自然坐标系转换到静止坐标系：

（10）。

式（10）中的变换矩阵C _αβ 为：

（11）；

变换矩阵C _αβ 中包含两个相互正交的α ₁-β ₁和α ₂-β ₂子空间，分别对应变换矩阵C _αβ 的第一和第二行、第三和第四行；相邻角度差为π/6的电流映射到α ₁-β ₁平面，相邻角度差为2π/6的电流映射到α ₂-β ₂平面；变换矩阵C _αβ 的最后两行对应零序子空间，表示各相电流之和为0。

然后采用Park变换方法，将变量由静止坐标系转换到旋转坐标系：

（12）。

式（12）中的变换矩阵C _dq 为：

（13）；

θ为转子磁链与A相绕组轴线的夹角。

将式（10）、（11）、（12）、（13）合并，从而将变量从自然坐标系转换到旋转坐标系：

（14）。

式（14）中的变换矩阵C即为六相空间矢量坐标变换的变换矩阵：

。

六相空间矢量坐标反变换过程与上述的六相空间矢量坐标变换过程相似，通过反变换矩阵C ^-1就能够将u_1d ^*、u_1q ^*、u_2d ^*、u_2q ^*变换得到六相实时电压信号u_a ^*、u_b ^*、u_c ^*、u_d ^*、u_e ^*、u_f ^*，然后通过六相PWM逆变器得到六相定子绕组电压，驱动六相无轴承永磁同步电机运行，实现六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制。

Claims (4)

1.六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，所述的六相无轴承永磁同步电机包括转子和定子，转子为1对表贴式永磁体，定子具有12个绕组线槽，通过跨距为3的定子线圈构成分布式六相对称绕组结构，其特征在于，该方法包括以下步骤：

将六相无轴承永磁同步电机的径向位移分为相互垂直的x向位移和y向位移，将x向的位移给定信号x^*和位移实时信号x送入x向位移自抗扰控制器，得到x向磁悬浮力信号F_x ^*，将y向的位移给定信号y^*和位移实时信号y送入y向位移自抗扰控制器，得到y向磁悬浮力信号F_y ^*；

对六相无轴承永磁同步电机的六相实时电流信号i_a ^*、i_b ^*、i_c ^*、i_d ^*、i_e ^*、i_f ^*进行六相空间矢量坐标变换，得到转矩平面的d轴实时电流信号i_1d、转矩平面的q轴实时电流信号i_1q、悬浮平面的d轴实时电流信号i_2d、悬浮平面的q轴实时电流信号i_2q；

根据F_x ^*、F_y ^*、i_1d和i_1q得到悬浮平面的d轴给定电流信号i_2d ^*、悬浮平面的q轴给定电流信号i_2q ^*，公式为：

（1）；

L₁=3πμ₀lrN₁ ²/g₀，L₂=3πμ₀lrN₂ ²/g₀ （2）；

式（1）、（2）中，i_rf为永磁体等效电流；g₀为平均气隙长度；μ₀为真空磁导率；l为定子铁心长度；r为气隙半径；N₁为转矩绕组的等效匝数，N₂为悬浮绕组的等效匝数；

对i_2d ^*和i_2d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的d轴给定电压信号u_2d ^*；

对i_2q ^*和i_2q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到悬浮平面的q轴给定电压信号u_2q ^*；

将六相无轴承永磁同步电机的零值励磁电流信号作为转矩平面的d轴给定电流信号i_1d ^*，对i_1d ^*和i_1d进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的d轴给定电压信号u_1d ^*；

对转矩平面的给定转速信号ω*和实时转速信号ω行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电流信号i_1q ^*，对i_1q ^*和i_1q进行对比运算，然后送入PI调节器，得到转矩平面的q轴给定电压信号u_1q ^*；

对u_1d ^*、u_1q ^*、u_2d ^*、u_2q ^*进行六相空间矢量坐标反变换，得到六相无轴承永磁同步电机的六相实时电压信号u_a ^*、u_b ^*、u_c ^*、u_d ^*、u_e ^*、u_f ^*，将实时电压信号送入六相PWM逆变器得到六相定子绕组电压，根据所得的六相定子绕组电压驱动六相无轴承永磁同步电机运行，即实现了六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制。

2.根据权利要求1所述的六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，其特征在于，所述PI调节器的算法公式为：

（3）；

式（3）中，K_P1为比例系数，K_I1为积分系数，e₁(t)为给定信号与实时信号的对比运算结果，u^*(t)为输出量；

当e₁(t)=i_2d ^*−i_2d时，u^*(t)=u_2d ^*；

当e₁(t)=i_2q ^*−i_2q时，u^*(t)=u_2q ^*；

当e₁(t)=ω*−ω时，u^*(t)= i_1q ^*；

当e₁(t)=i_1d ^*−i_1d时，u^*(t)=u_1d ^*；

当e₁(t)=i_1q ^*−i_1q时，u^*(t)=u_1q ^*。

3.根据权利要求1所述的六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，其特征在于：所述的x向位移自抗扰控制器和y向位移自抗扰控制器为相同的径向位移自抗扰控制器ADRC，包括二阶跟踪微分器TD、三阶扩张状态观测器ESO和二阶非线性状态误差反馈控制律NLSEF；

二阶跟踪微分器TD的输入量为径向位移给定信号s^*，输出量为状态变量s₁和s₂，其表达式为：

（4）；

式（4）中，fhan为设定最速综合函数，其表达式为：

（5）；

式（4）、（5）中，h为采样周期；r₀、h₀为函数控制参量；j为控制量增益，式（5）中取值为j=j₀；x₁和x₂为fhan函数的输入量，x₁为状态跟踪误差，x₁＝s₁(k)-s(k)，x₂为状态变量变化率，x₂＝s₂(k)；

三阶扩张状态观测器ESO的输入量为径向位移实时信号s和径向磁悬浮力信号F_s ^*，输出量为状态变量观测值s₁₁、状态变量观测值s₁₂和总扰动观测值s₁₃，其表达式为：

（6）；

式（6）中，非线性函数fal(e，a，δ)的表达式为：

（7）；

式（6）、（7）中，β₀₁、β₀₂、β₀₃为可调参数；δ为滤波因子；a为可调参数，a对s₁₂的取值为1/2，a对s₁₃的取值为1/4；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量；

二阶非线性状态误差反馈控制律NLSEF的输入量为状态变量s₁与状态变量观测值s₁₁的差值e₁、以及状态变量s₂与状态变量观测值s₁₂的差值e₂，输出量为初始可控磁悬浮力信号F_s0，其表达式为：

（8）；

径向位移自抗扰控制器ADRC最后根据总扰动观测值s₁₃对初始可控磁悬浮力信号F_s0进行系统总扰动补偿，得到径向磁悬浮力信号F_s ^*，扰动补偿算法表达式为：

F_s ^*=F_s0−s₁₃/b （9）；

式（8）、（9）中，β₁、β₂为控制器参数；c₁和c₂为非线性因子，0<c₁<1<c₂；b为系统扰动补偿因子，b=1/m，m为转子质量。

4.根据权利要求1所述的六相无轴承永磁同步电机的径向位移闭环自抗扰控制方法，其特征在于：所述六相空间矢量坐标变换为，首先采用矢量空间解耦方法，将变量由自然坐标系转换到静止坐标系：

（10）；

式（10）中的变换矩阵C _αβ 为：

（11）；

变换矩阵C _αβ 中包含两个相互正交的α ₁-β ₁和α ₂-β ₂子空间，分别对应变换矩阵C _αβ 的第一和第二行、第三和第四行；相邻角度差为π/6的电流映射到α ₁-β ₁平面，相邻角度差为2π/6的电流映射到α ₂-β ₂平面；变换矩阵C _αβ 的最后两行对应零序子空间，表示各相电流之和为0；

然后采用Park变换方法，将变量由静止坐标系转换到旋转坐标系：

（12）；

式（12）中的变换矩阵C _dq 为：

（13）；

θ为转子磁链与A相绕组轴线的夹角；

将式（10）、（11）、（12）、（13）合并，从而将变量从自然坐标系转换到旋转坐标系：

（14）；

式（14）中的变换矩阵C即为六相空间矢量坐标变换的变换矩阵：

。