CN116484509A - 一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，属于结构拓扑优化技术领域，具体包括：根据薄壁结构集合特征对其中面几何进行曲面分割与分片参数化，然后根据厚度分布生成实体网格，布置组件并形成曲面上的材料分布，根据材料分布设置有限元计算模型，调用自由度删除技术并构建窄带网格，提交计算并提取结构响应，基于结构响应进行灵敏度分析，提交优化求解器MMA并更新设计变量，进行收敛性判断后重构最终设计并进行指标校核。本发明采用上述步骤的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，基于计算共形映射技术，集成了曲面分割技术与多面片拼接技术，原则上可处理具有任意复杂几何的薄壁结构。
Description
技术领域
本发明涉及结构拓扑优化技术领域，尤其是涉及一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构新式优化设计方法。
背景技术
薄壁结构在工程应用中具有至关重要的作用，这种结构形式被广泛应用于重型设备的主要承载结构，如船舶、潜艇、飞机和航天器等。尽管薄而轻，薄壁结构能够跨越相对较大的区域并以高效的方式承载外部荷载。然而在实际应用中，薄壁结构常常遭受极端负载和复杂的使用环境。因此，对薄壁结构进行拓扑优化以增强机械性能，进一步抵抗变形、屈曲和振动，已被广泛研究。拓扑优化的目标是在各种约束条件下寻找所规定设计域中材料的最佳分布。借助这样一个强大的工具，工程师可以系统地找到启发式的结构构型，创造出具有竞争力的产品。
然而，与传统的拓扑优化问题不同，薄壁结构设计的主要困难和挑战如下。首先，所关注的薄壁结构的形状通常是灵活的，由于几何的复杂性，为形成具有清晰边界的结构可能涉及复杂的表面操作。其次，有限元网格必须划分地相对细致以逼近原始几何形状，这在隐式优化方法的框架下将大幅增加设计变量的数量。最后，过滤格式通常可以非常有效地抑制数值不稳定性(如孤岛效应、灰度单元和棋盘格现象等)，但该方法最初是在平直空间(2D或3D)中开发的，因此在应用于薄壁结构时会遇到一些挑战。
由于上述挑战，薄壁结构的结构设计领域近年来备受关注，但现有方法的主要缺点是它们主要基于隐式方法构建。现有的显式方法在设计薄壁结构方面存在两个主要缺点。一是在壳体框架下，沿厚度方向的位移通常被认为是线性变化的，这必然会降低响应解的精度。而在优化过程中精度损失是不可忽略的，因为误差的积累会导致完全不同的设计。二是上述研究并没有对薄壁结构进行一般化的描述，因此通常难以处理具有复杂几何形状的情况。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，基于计算共形映射技术，集成了曲面分割技术与多面片拼接技术，原则上可处理具有任意复杂几何的薄壁结构。
为实现上述目的，本发明提供了一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，步骤如下：
S1、提取待优化的薄壁结构的中面信息，根据薄壁结构几何特征，对其中面几何进行曲面分割与分片参数化的处理；
S2、根据薄壁结构厚度分布信息，以及其中面网格，进行实体网格的生成；
S3、基于曲面参数化结果，初始化设计变量向量，根据具体问题构造优化问题列式与框架；
S4、根据设计变量向量，在参数域中布置组件，进一步形成曲面上的初始材料分布；
S5、根据几何投影操作形成实体网格及其材料分布；
S6、根据材料分布设置有限元计算模型；基于嵌入式组件的材料二值分布的优点，调用自由度删除技术，构建窄带网格模型并进行计算，根据计算结果提取薄壁结构响应；
S7、基于结构响应进行灵敏度分析与优化问题的求解，并进一步提交优化问题求解器MMA更新设计变量；
S8、判断结构是否达到收敛条件，若已收敛则跳至步骤S9，若未收敛则跳至步骤S4；
S9、根据组件筛选条件重构最终设计，对最终设计进行进一步的指标校核。
优选的，S1具体包括：
如图2所示，令为一个单连通开曲面，D为定义在复平面/>中的单位圆盘，构造如下调和映射/>满足以下方程：
其中，为曲面/>上定义的Laplace-Beltrami算子，令/> 是从/>到平面参数域/>的第二个拟共形映射，用μh -1＝ρ+iτ表示h逆映射的Beltrami系数，映射g＝u+iv满足以下广义拉普拉斯方程：
其中，
最终所需的共形映射可写为两部分映射的复合，即为/>
优选的，S2具体包括：
如图3所示，设表示曲面/>的三角网格模型，/>从CAD模型生成或从3D扫描结果中获得，其中/>表示结点集合，/>是第l个结点的笛卡尔坐标，/>表示单元集，/> 表示第m个单元中的顶点索引，第m个单元/>的单位法向量/>由下式计算：
其中， 与/>代表由单元边定义的两个向量，基于以上向量构建实体网络/>
构建实体网络的第一步为结点生成，假设在厚度方向上生成的单元数量为2ne，而厚度尺寸为t，则曲面网格上的第l个结点，其相应的2ne层结点可通过偏移操作生成：
式中为第l个结点处的法向量。在经典微分几何中，假设/>是一个参数化的可微曲面，点/>处的单位法向量定义为/> 然而，在离散网格中，曲面的连续性被破坏。因此通过1-环邻域定义将连续的概念扩展到离散的情况中，令包含结点/>的单元集记为/>则该结点上的单位法向量定义为：
其中，和/>分别表示单元/>的法向量和面积；
第二步为通过偏移操作获得实体网格的单元，循环m＝1到nf，原始曲面网格的每个单元，可得沿正法向方向定义第j个(1≤j≤ne)层曲面单元为：
这表示每层中的结点都保留了原始曲面网格的拓扑连接关系；
定义第j个(1≤j≤ne)层实体单元为
所以，实体网格定义为其中/> 为结点集，/>为单元集，此时对于每个结点到网格表面/>的最近的结点是/>
优选的，S3具体包括：
在体积分数不超过体积V的约束下，以结构整体静柔度最小作为结构优化设计目标，假设β是考虑的薄壁结构所占据的区域，在MMC框架下，优化问题的列式具有以下形式：
FindD,u(x(7a)
式中u为属于约束集合Uu的原位移，v是属于约束集合Uad的虚位移，另外，Hα,ε(·)是用来归一化的Heaviside函数，而C是静柔度函数，符号F和t分别代表结构所受的体力密度与预施加的面力，代表在点x处的实体材料的四阶弹性矩阵，其由设计变量向量D显式控制。
优选的，S4中的在参数域中布置组件，具体包括：
为了解决传统隐式拓扑优化方法中孤岛效应、灰度元素、棋盘格现象等数值不稳定性问题，按照下式定义描述整体结构所占区域的拓扑描述函数TDF：
式中Ω代表设计域，Ωs表示设计结构所占据的区域，在MMC框架下，所设计的结构由一系列组件组成，其中的第i个组件，如图4所示，其相应的TDF定义如下：
其中
式中与/>是第i个组件的中心点坐标，θi是其关于全局坐标系的旋转角，在公式(8)-(10)中，/>以及Li分别代表了组件的三个半宽参数与一个半长参数，整体结构的TDF函数φs由各组件的TDF函数通过K-S函数凝聚而成，即为：
式中n代表了设计域中组件的总数，而参数ζ则是选取了一个较大的正数，比如ζ＝100。
第i个组件的设计变量向量定义为而整体结构的设计变量向量则组装为D＝(D1,D2,…,Dn)；
优选的，S4中的形成曲面上的初始材料分布，具体包括：
针对具有简单拓扑性质的曲面，如图5所示，令为一个单连通零亏格开曲面，其相应的参数域/>与共形映射f通过S1提出的计算共形映射技术构造，参数域/>中的拓扑描述函数/>首先通过二维MMC方法构建，基于映射f的双射性，对任意点/>均存在点/>与之对应且，反之亦然；
基于此，曲面上的拓扑描述函数被定义为
公式(12)形成了曲面上的材料分布。
当所考虑的曲面具有较为复杂的拓扑性质时，比如，多连通曲面、非零亏格等，计算共形映射技术无法直接利用来获得相应的共形映射与参数域。以图6中经典的环面为例，首先采用曲面切割操作生成中间曲面/>该中间曲面为单连通零亏格开曲面。
曲面上的TDF构造为/>式中/>为通过计算共形映射技术获得的共形映射。考虑到在映射过程中，曲面映射的双射性已经被破坏，并且/>在切割边界上两边会有不同的函数值，通过以下方程延拓原始曲面上拓扑描述函数的定义：
式中f*(x')和f*(x”)分别代表函数f*在x∈Γ'i和x∈Γ”i上的取值。
原则上来说，前述处理已经可以将现有算法推广至任意基于流形特性的曲面上。然而，这种框架下所构建全局参数化通常过于刚性，因此会导致TDF构建过程中的数值不稳定性。为解决上述的问题，本发明采用了多面片拼接方法。如图7所示，复杂曲面首先被分解为/>个面片，即为/>而不同面片的设计变量向量为对于独立的各个面片/>其形状并没有具体的限制，而其相应的拓扑描述函数/>可以通过前述公式(12)或公式(13)的方式构造。为了构建曲面/>的全局拓扑描述函数/>首先将各面片上的TDF进行延拓，即为：
此时两个面片间的相交区域通常非空，即这对于保证不同面片上组件的连接性至关重要。多面片拼接技术极大地降低了单片参数化的扭曲量，并进一步增强了组件描述的保真度，这对于具有较大局部曲率、高亏格以及非流形特性的曲面尤为重要。
优选的，S5具体包括：
假设为所考虑薄壁结构占据的区域，而/>为/>的中面，实体区域/>可以通过笛卡尔积的形式分解，即，/> 代表厚度坐标ω的变化范围，而参数t代表沿着曲面的厚度变化，并且有/>成立，通过该式将实体区域的复杂性转换到中面上，中面上的TDF由S4构建；
为了进一步构造嵌入式组件，通过投影操作定义实体区域中的材料分布，对于区域中的每个点x，其拓扑描述函数通过下式定义：
式中x⊥代表点x到曲面的投影点，通过求解下列最小化欧式距离的极值问题来获得：
点x的厚度坐标，即点x到点x⊥的距离，定义为ω(x)＝||x-x⊥||2；采用投影操作，区域的材料分布构建为/>式中H(·)代表用来归一化的Heaviside函数；
考虑薄壁结构设计中涉及不同的应用场景(即拓扑优化、结构增强设计以及三明治结构设计)，厚度坐标ω(x)被用来构造一个更加一般化的材料分布，如图8所示，即为：
式中与/>分布代表基底板壳两个预设的厚度，而ρ1与ρ2则代表了对应的预设密度。
优选的，如图9所示，引入自由度删除技术(DOF删除)提高计算效率，在每个迭代步骤中生成一个窄带网络，首先进行加载测试，确保外力和位移边界条件加载到具体的设计结构上，其次利用加载路径识别算法区分结构化组件和非结构化组件，其中结构化组件指对结构有贡献的组件，非结构化组件指不属于结构的组件；然后选择被结构化组件覆盖的单元和相应的节点，形成一个新的窄带网网格，该网格用于实际结构分析。
优选的，S7具体包括：
考虑一般的函数I，假设设计域的正则性与函数I所需的光滑性得到满足，其关于设计变量d的变分有以下形式：
式中r(u(x),v(x))表示真实位移场u(x)和伴随位移场v(x)的泛函，并且在所考虑的柔度最小问题中满足u(x)＝-v(x)，符号代表/> 关于设计变量d的变分；由于/>我们有由于中面由/>个面片组成，即/>可以得到：
且
由于通过TDF/>定义，有下式成立：
考虑到函数通过/>定义，即/>有下式成立：
因此，本发明采用上述步骤的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构新式优化设计方法，具有以下有益效果：
1、本发明基于移动可变形组件法(MMC，moving morphable component)，从根本上解决传统结构优化方法中的灰度单元、棋盘格等数值不稳定的问题；使得该方法具有迭代次数少、收敛快等优点。
2、得益于移动可变形组件法中材料分布的二值性，本发明引入自由度删除技术，极大地降低了有限元与敏度分析的计算成本。
3、本发明基于计算共形映射技术，集成了曲面分割技术与多面片拼接技术，使得本发明原则上可处理具有任意复杂几何的薄壁结构，并且所采用的多片拼接方案显著降低了映射过程引起的数值不稳定性。
4、本发明基于实体网格实现结构设计，因此应用场景不受壳体模型假设的限制。其次，本发明可以自然地处理沿厚度方向的边界条件和材料分布。此外，结构响应的精度可由实体网格保证，这对于结构优化的实际结果至关重要。
5、本发明中构建的嵌入式组件，可实现薄壁结构设计的一般描述，并自然满足几何约束。
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
附图说明
图1为本发明一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构新式优化设计方法的流程示意图；
图2为本发明的基于计算共形映射技术的曲面参数化示意图；
图3为本发明的单连通零亏格开曲面的拓扑描述函数定义示意图；
图4为本发明的基于偏移操作的实体网格生成示意图；
图5为本发明的经典二维结构组件示意图；
图6为本发明的非零亏格曲面的参数化与拓扑描述函数构造示意图，(a)为基于曲面切割操作的非零亏格曲面参数化，(b)为非零亏格曲面的拓扑描述函数定义；
图7为本发明的基于多面片拼接技术的复杂曲面拓扑描述函数构造示意图；
图8为本发明的嵌入式组件构造示意图；
图9为本发明的DOF删除技术示意图；
图10为本发明实施例的三通管道算例几何与边界条件示意图；
图11为本发明实施例的中间曲面分割示意图；
图12为本发明实施例的不同面片的参数化结果图；
图13为本发明实施例的三通管道薄壁结构组件初始布局和组装后的初始材料分布，(a)为各面片的初始组件布局；(b)为整体面片的装配；
图14为本发明实施例的结构收敛迭代历史；
图15为本发明实施例的结构最终设计。
具体实施方式
以下通过附图和实施例对本发明的技术方案作进一步说明。
实施例
本实施例使用三通管模型来展示所提出的算法在实际工程结构中的适用性。如图10(a)所示，曲面网格包含107784个单元和54103个节点。图10(b)中展示的实体网格由中间曲面生成，厚度和沿厚度方向的单元数量分别设置为2和8。外部载荷和位移边界条件如图10(b)所示。
这样的结构不仅拓扑复杂，而且每个管道分支的形状也不同。考虑到此曲面的复杂性，本发明采用了多面片拼接方案。如图11所示，原始曲面首先根据几何特征被分成了四块。如图12所示，第四块面片被缝合成一个拓扑柱面(u2)，而对于每个面片，此实施例利用曲面切割操作得到一个中间曲面，该中间曲面用于获取相应的参数域。图13展示了每个面片上的初始组件布局和组装后的初始材料分布。
图14展示了结构的迭代历史，可以观察到优化过程在160个迭代步骤后终止。实际上，由于MMC框架下设计变量较少的优势，在第40个步骤之后已经得到了主要的荷载传递路径。在图15中呈现的最终设计中，两个受力管道的组件布局非常类似于著名的二维短梁算例。此外可以发现，即使在当前问题中没有施加对称约束，最终设计仍然完美地保持了结构的对称性。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其进行限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而这些修改或者等同替换亦不能使修改后的技术方案脱离本发明技术方案的精神和范围。
Claims (9)
1.一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于，步骤如下：
S1、提取待优化的薄壁结构的中面信息，根据薄壁结构几何特征，对其中面几何进行曲面分割与分片参数化的处理；
S2、根据薄壁结构厚度分布信息，以及其中面网格，进行实体网格的生成；
S3、基于曲面参数化结果，初始化设计变量向量，根据具体问题构造优化问题列式与框架；
S4、根据设计变量向量，在参数域中布置组件，进一步形成曲面上的初始材料分布；
S5、根据几何投影操作形成实体网格及其材料分布；
S6、根据材料分布设置有限元计算模型；基于嵌入式组件的材料二值分布的优点，调用自由度删除技术，构建窄带网格模型并进行计算，根据计算结果提取薄壁结构响应；
S7、基于结构响应进行灵敏度分析与优化问题的求解，并进一步提交优化问题求解器MMA更新设计变量；
S8、判断结构是否达到收敛条件，若已收敛则跳至步骤S9，若未收敛则跳至步骤S4；
S9、根据组件筛选条件重构最终设计，对最终设计进行进一步的指标校核。
2.根据权利要求1所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S1具体包括：
令为一个单连通开曲面，/>为定义在复平面/>中的单位圆盘，构造如下调和映射并满足以下方程：
其中，为曲面/>上定义的Laplace-Beltrami算子，令/> 是从/>到平面参数域/>的第二个拟共形映射，用表示h逆映射的Beltrami系数，映射g＝u+iv满足以下广义拉普拉斯方程：
其中，
最终所需的共形映射可写为两部分映射的复合，即为/>
3.根据权利要求1所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S2具体包括：设表示曲面/>的三角网格模型，/>从CAD模型生成或从3D扫描结果中获得，其中/>表示结点集合，/>是第l个结点的笛卡尔坐标，/>表示单元集，/>表示第m个单元中的顶点索引，第m个单元/>的单位法向量/>由下式计算：
其中， 与/>代表由单元边定义的两个向量，基于以上向量构建实体网络/>
构建实体网络的第一步为结点生成，假设在厚度方向上生成的单元数量为2ne，而厚度尺寸为t，则曲面网格上的第l个结点，其相应的2ne层结点可通过偏移操作生成：
式中为第l个结点处的法向量，通过1-环邻域定义将连续的概念扩展到离散的情况中，令包含结点/>的单元集记为/>则该结点上的单位法向量定义为：
其中，和/>分别表示单元/>的法向量和面积；
第二步为通过偏移操作获得实体网格的单元，循环m＝1到nf，即原始曲面网格的每个单元，可得沿正法向方向定义的第j(1≤j≤ne)层曲面单元坐标为：
这表示每层中的结点都保留了原始曲面网格的拓扑连接关系；
定义第j(1≤j≤ne)层实体单元为
所以，实体网格定义为其中/> 为结点集，/>为单元集，此时对于每个结点/>到网格表面/>的最近的结点是/>
4.根据权利要求3所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S3具体包括：
在体积分数不超过体积V的约束下，以结构整体静柔度最小作为结构优化设计目标，假设是考虑的薄壁结构所占据的区域，在MMC框架下，优化问题的列式具有以下形式：
Find D,u(x) (7a)
s.t.
式中u为属于约束集合Uu的原位移，v是属于约束集合Uad的虚位移，另外，Hα,ε(·)是用来归一化的Heaviside函数，而C是静柔度函数，符号F和t分别代表结构所受的体力密度与预施加的面力，代表在点x处的实体材料的四阶弹性矩阵，其由设计变量向量D显式控制。
5.根据权利要求4所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S4中的在参数域中布置组件，具体包括：
按照下式定义描述整体结构所占区域的拓扑描述函数TDF：
式中Ω代表设计域，Ωs表示设计结构所占据的区域，在MMC框架下，所设计的结构由一系列组件组成，其中的第i个组件，其相应的TDF定义如下：
其中
式中与/>是第i个组件的中心点坐标，θi是其关于全局坐标系的旋转角，在公式(8)-(10)中，/>以及Li分别代表了组件的三个半宽参数与一个半长参数，整体结构的TDF函数φs由各组件的TDF函数通过K-S函数凝聚而成，即为：
式中n代表了设计域中组件的总数，而参数ζ＝100；
第i个组件的设计变量向量定义为而整体结构的设计变量向量则组装为D＝(D1,D2,…,Dn)。
6.根据权利要求5所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S4中的形成曲面上的初始材料分布，具体包括：
针对具有简单拓扑性质的曲面，令为一个单连通零亏格开曲面，其相应的参数域/>与共形映射f通过S1提出的计算共形映射技术构造，参数域/>中的拓扑描述函数首先通过二维MMC方法构建，基于映射f的双射性，对任意点/>均存在点与之对应，反之亦然；
基于此，曲面上的拓扑描述函数被定义为：
公式(13)形成了曲面上的材料分布；
针对具有复杂拓扑性质的曲面时，首先采用曲面切割操作生成中间曲面该中间曲面为单连通零亏格开曲面；曲面/>上的TDF构造为/> 式中为通过计算共形映射技术获得的共形映射，考虑到在映射过程中，曲面映射的双射性已经被破坏，并且/>在切割边界上两边会有不同的函数值，通过方程(14)延拓原始曲面上拓扑描述函数的定义：
式中f*(x')和f*(x”)分别代表函数f*在x∈Γi'和x∈Γi”上的取值；
对于部分曲面，采用上述方程下所构建框架的全局参数化过于刚性，导致TDF构建过程中的数值不稳定，采用多面片拼接方法处理曲面，具体包括：
复杂曲面首先被分解为/>个面片，即为/>而不同面片的设计变量向量为/>对于独立的各个面片/>其形状并没有具体的限制，其相应的拓扑描述函数/>用公式(13)或公式(14)构造，为了构建曲面/>的全局拓扑描述函数/>首先将各面片上的TDF进行延拓，即为：
式中const为负常数，代表相应区域无材料分布，而整体曲面的拓扑描述函数可通过下式计算：
两个面片间的相交区域通常非空，即
7.根据权利要求6所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S5具体包括：
假设为所考虑薄壁结构占据的区域，而/>为/>的中面，实体区域/>可以通过笛卡尔积的形式分解，即，/>其中/>代表厚度坐标ω的变化范围，而参数t代表沿着曲面的厚度变化，并且有/>成立，通过该式将实体区域的复杂性转换到中面上，中面上的TDF由S4构建；
为了进一步构造嵌入式组件，通过投影操作定义实体区域中的材料分布，对于区域中的每个点x，其拓扑描述函数通过下式定义：
式中x⊥代表点x到曲面的投影点，通过求解下列最小化欧式距离的极值问题来获得：
点x的厚度坐标，即点x到点x⊥的距离定义为ω(x)＝||x-x⊥||2；采用投影操作，区域的材料分布构建为/>式中H(·)代表用来归一化的Heaviside函数；
考虑薄壁结构设计中涉及不同的应用场景，厚度坐标ω(x)被用来构造一个更加一般化的材料分布即为：
式中与/>分布代表基底板壳两个预设的厚度，而ρ1与ρ2则代表了对应的预设密度。
8.根据权利要求7所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S6具体包括：
引入自由度删除技术提高计算效率，在每个迭代步骤中生成一个窄带网络，首先进行加载测试，确保外力和位移边界条件加载到具体的设计结构上，其次利用加载路径识别算法区分结构化组件和非结构化组件，其中结构化组件指对结构有贡献的组件，非结构化组件指不属于结构的组件；然后选择倍结构化组件覆盖的单元和相应的节点，形成一个新的窄带网网格，该网格用于实际结构分析。
9.根据权利要求8所述的一种基于嵌入式组件的复杂薄壁结构优化设计方法，其特征在于：S7具体包括：
考虑一般的函数I，假设设计域的正则性与函数I所需的光滑性得到满足，其关于设计变量d的变分有以下形式：
式中r(u(x),v(x))表示真实位移场u(x)和伴随位移场v(x)的泛函，并且在所考虑的柔度最小问题中满足u(x)＝-v(x)；符号代表/> 关于设计变量d的变分；由于/>可以得到/>由于中面由/>个面片组成，即/>可以得到：
且
由于通过TDF/>定义，有下式成立：
考虑到函数通过/>定义，即/>有下式成立：
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| CN114282372A (zh) * | 2021-12-27 | 2022-04-05 | 华中科技大学 | 一种等几何应力拓扑优化方法及其应用 |
| CN114741753A (zh) * | 2022-03-28 | 2022-07-12 | 大连理工大学 | 一种薄壁加筋结构优化方法、装置、计算机和存储介质 |
| CN115630542A (zh) * | 2022-09-28 | 2023-01-20 | 大连理工大学宁波研究院 | 一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法 |
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