CN116239022A - 桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，解决了控制器设计对系统模型依赖的技术问题，属于桥式吊车定位防摆控制技术领域，具体技术方案为：一、利用桥式吊车系统的输入输出数据，通过驱动建模方法，建立桥式吊车系统的虚拟动态线性化数据模型；二、在虚拟动态线性化数据模型上，根据约束条件下的优化理论，设计无模型自适应控制律及伪雅可比矩阵估计算法，利用系统输入输出数据的估计算法来估计伪雅可比矩阵参数；三、通过Lipschitz条件和不等式理论分析证明闭环系统的稳定性及系统误差的收敛性，无模型自适应控制器具有良好的抗干扰性能。本发明所公开的方法明显优于PID控制方法，且具有重要的工程实际应用价值。

Description

桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法

技术领域

本发明属于桥式吊车定位防摆控制技术领域，具体涉及一种基于数据驱动的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法。

背景技术

在当前大型生产行业中，桥式吊车是一种使用最广泛的运输工具，主要完成货物的装载与运输。但是在工作过程中，由于系统状态之间的高强度耦合作用，外加不确定性干扰因素的影响，货物是否可以精准快速到达指定位置，以及在货物运输过程中，货物是否大幅度摆动，便是要解决的一个根本性问题。

为解决桥式吊车系统定位防摆控制问题，国内外学者做了深入研究。现阶段针对桥式吊车定位防摆控制方法主要是基于系统模型而设计的，如发展较为成熟的滑模控制、预测控制、自抗扰控制、鲁棒控制等控制方法。为减小吊绳长度和系统不确定性干扰对控制性能的干扰，有些公开文献设计了分层全局快速终端滑模控制，实现了负载的定位防摆控制；有些公开文献针对桥式吊车系统的瞬时摆动和残余摆动，采用粒子群优化算法确定输入输出约束条件下控制增量的最优序列，并结合多变量模型预测控制方法，在不同约束条件下实验验证了该方法的有效性；有些公开文献为提高桥式吊车的抗干扰性和防摆控制性能，设计了自抗扰控制器，通过salp算法改善控制器参数，实验结果表明该控制器对负载定位防摆以及抗干扰性都有明显的改善；有些公开文献采用近似线性化方法和迭代算法，建立桥式起重机系统的线性化等效模型，并采用控制器补偿建模误差，结果表明该方法对外部干扰和建模误差有较好的鲁棒性。

上述方法虽然可以实现桥式吊车系统定位防摆控制，但均是基于模型的控制方法，实际的桥式吊车系统是复杂的非线性系统，使用数学理论或系统辨识理论均不能给出系统精确的建模结果。数据驱动控制方法不依赖于系统本身模型，仅通过受控系统离线或实时在线输入输出数据进行控制器设计。目前，数据驱动控制方法经过不断的发展和完善，在国内外已经得到了标志性的认可。其中PID控制、迭代学习控制、迭代反馈整定、近似动态规划等方法均已得到了广泛的应用。

无模型自适应控制作为数据驱动控制的一种，该方法通过引入伪偏导、伪梯度、伪雅可比矩阵的概念，采用动态线性化技术，将原系统在整个运行过程中的非线性关系，等价转换成一种在每个工作点输入输出呈线性关系的系统，再通过最小化期望输出与实际输出的准则函数，根据约束条件下的优化理论来设计控制器。目前无模型自适应控制策略已成功应用于车辆交通工程、四旋翼无人机、同步电机等系统，但是尚未有针对桥式吊车系统设计无模型自适应控制策略。

发明内容

为解决现有技术存在的技术问题，本发明提供了一种基于数据驱动的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，利用桥式吊车系统的输入输出数据，通过数据驱动建模方法，得到桥式吊车系统的虚拟动态线性化数据模型；在此模型基础上，根据约束条件下的优化理论，设计无模型自适应控制律及伪雅可比矩阵估计算法；最后通过Lipschitz条件和不等式理论分析证明闭环系统的稳定性及系统误差的收敛性，并在桥式吊车模拟实验平台上验证该控制方法的有效性。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案为：桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，具体步骤如下：

一、利用桥式吊车系统的输入输出数据，通过驱动建模方法，建立桥式吊车系统的虚拟动态线性化数据模型；

二、在虚拟动态线性化数据模型上，根据约束条件下的优化理论，设计无模型自适应控制律及伪雅可比矩阵估计算法，利用系统输入输出数据的估计算法来估计伪雅可比矩阵参数；

三、通过Lipschitz条件和不等式理论分析证明闭环系统的稳定性及系统误差的收敛性。

在步骤一中，构建二维桥式吊车系统运动平衡方程，具体如下：

其中，q＝[x(t) θ(t)]^T为系统的输出，包括小车位移x(t)和负载摆角θ(t)，

B(q)为系统质量矩阵，/>

为系统阻力矩阵，G(q)为系统的重力矩向量，A为系统动力权重向量，u为系统控制输入的表达式如下所示：

G(q)＝[0 mglsinθ]^T

A＝[1 0]^T

u＝F_x

其中，M和m分别表示小车和负载质量，l表示吊绳长度，g＝9.80m/s²是重力加速度，x(t)是小车的水平位移，θ(t)是负载相对于竖直方向的摆动角度，F_x表示小车前进方向所受的牵引力，

表示小车运动过程中受到的摩擦力，μ是小车与水平导轨之间的摩擦系数；

定义系统误差

为：

e(t)＝q_d-q (2)

其中，q_d＝[x_d θ_d]^T为系统期望输出，x_d(t)为系统期望位移，θ_d(t)为系统期望摆角，q＝[x θ]^T为系统的实际输出；

引入系统误差的滤波误差信号

其中，α∈R^2×2为滤波误差增益矩阵；

滤波误差信号关于时间的一阶导数为：

其中，

为系统期望输出关于时间的一阶导数，/>

为系统期望输出关于时间的二阶导数，桥式吊车系统中期望输出为定常值，取/>

和/>

分别为实际输出的一阶导数和二阶导数；

在式(1)中有||B||≠0，在式(1)两边同时左乘||B||^-1如下所示：

将式(5)代入式(4)，可将桥式吊车系统模型变换为基于滤波误差信号的开环动态方程如下：

式(6)中，仅考虑控制力作用，则：

将式(7)带入式(6)，得：

采用前向欧拉离散法，得：

其中，T为采样时间，k为大于零的正整数；

对于离散系统而言，在某一时刻k，

都是一个确定的值，/>

也是一个确定的值；

令y(k)＝r(k)，则式(8)转换为如下形式：

将式(9)带入式(10)，则

假设1：系统(11)对y(k)和u(k)分别存在连续偏导数；

假设2：系统(11)满足广义Lipschitz条件，即对任意k₁≥0，k₂≥0，b>0，且k₁≠k₂,H(k₁)≠H(k₂)，则：

||y(k₁+1)-y(k₂+1)||≤b||H(k₁)-H(k₂)|| (12)

其中，H(k)＝[y(k) u(k)]^T，y(k)代表在k时刻滤波误差信号的输出，u(k)代表系统输入；

根据偏导定义，可知：

/>

因此，y(k+1)关于y(k)和u(k)的偏导连续，即式(11)满足假设1；

在任意相邻时刻k₁,k₂，忽略θ(k)较小的变化量，令B(k₁)＝B(k₂),C(k₁)＝C(k₂)，则有：

因为

则：

在任意k时刻，

存在，且在式(7)中||N(k₁)-N(k₂)||存在，因此，式(11)满足假设条件2；

桥式吊车系统为单输入双输出系统，若式(11)满足假设1和假设2，将式(11)转换成如下的桥式吊车动态线性化数据模型；

△y(k+1)＝Φ(k)△H(k)＝φ₁△y(k)+φ₂△u(k) (13)

其中，时变伪雅可比参数矩阵Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]，输出变化增益矩阵

且0<||φ₁(k)||≤b₁，输入变化增益向量/>

且0<||φ₂(k)||≤b₂，因此，/>

△H(k)＝[△y(k) △u(k)]^T，b,b₁,b₂都是有界的正数；

证明：由△y(k)＝y(k)-y(k-1)及式(11)可得：

令

其中

由偏导数的定义可知，式(11)关于y(k)和u(k)的偏导分别为：

则可将式(14)转换为：

对于固定时刻k，将Z(k)转化为如下形式：

Z(k)＝z(k)×△H(k) (17)

其中，

又对于任意k时刻，||△H(k)≠0||，可知式(17)至少存在一个非零解z^*(k)，使得

Z(k)＝z^*(k)×△H(k)

令

可将式(16)转换成如下形式：

故可得桥式吊车系统动态线性化数据模型为：

在步骤二中，为消除系统偏差，由式(13)可知，在不同时刻k，当前时刻输入变化量会影响下一时刻输出变化量，根据最优化理论，考虑约束条件下的准则函数：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-y(k+1)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (19)

其中，y_d(k+1)为在k+1时刻系统的期望输出，λ>0是一个惩罚因子，用来衡量控制输入对系统误差的影响能力；

将式(18)带入式(19)得：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (20)

对式(20)求J(u(k))关于u(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

||-φ₂(k)||*||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||+λ(u(k)-u(k-1))＝0 (21)

从而得到桥式吊车系统的无模型自适应控制律为：

其中，步长因子ρ₁＝ρ₂∈(0,1]是为了使该算法具有更强的灵活性和一般性，φ₁(k)，φ₂(k)为时变参数，可通过估计算法求得；

引入可比矩阵估计算法，使系统的模型输出与实际输出的误差平方达到最小，且考虑当前时刻的参数也会影响下一时刻的系统输出，采用如下准则函数求取伪雅可比矩阵时变参数：

其中，

为Φ(k)的估计值，/>

μ>0为权重因子；

对式(23)求J(Φ(k))关于Φ(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

将式(24)化简可得到桥式吊车系统无模型自适应控制律的伪雅可比矩阵估计算法为：

其中，η∈(0,1]是步长因子；

进一步，将式(25)简写为：

式中，

为φ₁(k)估计值，/>

为φ₂(k)估计值；

引入如下重置算法：

若

或/>

或/>

则令/>

其中，

是/>

的初值，a与c均为正数。

在步骤三中，对于满足假设1和假设2的式(11)，若采用式(22)和式(25)的无模型自适应控制律，则当系统期望输出是常值，即y_d(k+1)＝y_d(k)＝const,时，存在一个λ>λ_min>0使得系统期望输出和实际输出的误差逐渐趋于零，即

系统输出y(k)和输入u(k)是有界的。/>

在步骤三中，具体证明过程如下：

1)、由定义可知，不同时刻k，伪雅可比矩阵的估计值

是随时变化的，故伪雅可比矩阵的估计误差为：

伪雅可比矩阵估计算法式(25)两边同时减去φ(k)，可将式(25)转换成如下形式：

在式(29)两边同时取范数：

由于||d₁±d₂||≤||d₁||±||d₂||，d₁,d₂是任意实数；

式(13)式动态线性化数据模型，满足广义Lipschitz条件，有||Φ(k)||≤b，结合式(31)可以得到如下式：

在式(32)中

由于||△H(k-1)*(△H(k-1))^T||＝||△H(k-1)||²△H(k-1)*(△H(k-1))^T＝||△y(k-1)||²+||△u(k-1)||²，且由基本不等式

令||△y(k)||≤ε₁，||△H(k-1)||≤ε₂，其中ε₁和ε₁是非常小的正数；/>

综上，可得：

简化可以得到如下式子

令

通过递归方法可得：

由此可知，

是有界的；

2)、定义系统跟踪误差：

E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1) (34)

将式(13)代入式(34)且y_d(k+1)＝y_d(k)＝const，得：

由于ρ₁,ρ₂∈(0,1],0<||φ₁(k)||≤b₁,0<||φ₂(k)||≤b₂,λ>0,

在式(35)中必存在0<ψ<1，同时选取0<λ_mim≤λ使得：/>

则式(35)可以重写为：

对式(36)采用递归方法可得：

其中，E(1)＝y_d(1)-y(1)，y_d(1)＝[0 0]^T为系统滤波误差期望值输出；

所以E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1)是有界的，则y(k)也是有界的，且存在一个0<λ_min≤λ使得

令||E(k+1)||≤M₁，根据无模型自适应控制算法可知：

同理，对式(37)采用递归思想，则有

其中，u(1)＝0，所以系统输入u(k)是收敛的。

由以上分析可知，系统是稳定的以及系统误差是收敛的。

桥式吊车是非线性、多变量、强耦合系统，很难得到系统精确的数学模型。本发明在桥式吊车系统非线性模型基础上，引入一种滤波误差信号，将基于滤波误差信号得到的系统动态方程等价转换成基于输入输出数据的动态线性化数据模型；采用全格式动态线性化方法，建立桥式吊车的动态线性化数据模型；利用约束条件下的优化理论及无模型自适应控制理论进行控制器的设计，并通过Lipschitz条件和不等式理论分析证明了闭环系统的稳定性和系统误差的有界性；最后在桥式吊车模拟实验平台上进行控制算法的验证。

本发明与现有技术相比，具体有益效果体现在：

一、本发明提出桥式吊车系统的数据驱动建模方法，得到了系统的动态线性化数据模型。这种建模方法只需系统的输入输出数据，不需要系统的先验知识，能够克服工程实际应用中桥式吊车精确数学模型难以建立以及现有非线性数学模型存在未建模动态问题，提高系统的非线性建模精度，并为其它复杂非线性欠驱动系统的建模提供了一个新的思路。

二、本发明在虚拟动态线性化数据模型基础上，设计了基于数据驱动的桥式吊车无模型自适应定位防摆控制方法。这种方法不需要系统非线性动力学模型，仅根据采集到的系统输入输出信息设计控制器，解决已有控制方法对吊车数学模型以及模型参数的依赖问题，设计方法简单，易于在工程实际中得到应用。

三、本发明通过严格的理论分析证明了闭环系统的稳定性以及系统误差的收敛性。稳定性证明简单，且系统实现稳定运行容易得到保证。

附图说明

图1为二维桥式吊车系统结构图。

图2为桥式吊车模拟实验平台。

图3为第一组实验的小车位移实验结果图。

图4为第一组实验的负载摆角实验结果图。

图5为第二组实验中，基于无模型自适应控制算法的小车位移实验结果图。

图6为第二组实验中，基于无模型自适应控制算法的负载摆角实验结果图。。

图7为第二组实验中，基于PID控制算法的小车位移实验结果图。

图8为第二组实验中，基于PID控制算法的负载摆角实验结果图。

图9为第三组实验中，不同吊绳长度或负载质量的小车位移实验结果图。

图10为第三组实验中，不同吊绳长度或负载质量的负载摆角实验结果图。

具体实施方式

为了使本发明所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，桥式吊车系统数学模型，二维桥式吊车系统结构图如图1所示：

在图1中，M和m分别表示小车和负载质量，l表示吊绳长度，g＝9.80m/s²是重力加速度，x(t)是小车的水平位移，θ(t)是负载相对于竖直方向的摆动角度，F_x表示小车前进方向所受的牵引力，

表示小车运动过程中受到的摩擦力，μ是小车与水平导轨之间的摩擦系数。

二维桥式吊车系统运动平衡方程可表示为如下形式：

其中，q＝[x(t) θ(t)]^T为系统的输出，包括小车位移x(t)和负载摆角θ(t)，

系统质量矩阵B(q)，系统阻力矩阵/>

系统的重力矩向量G(q)，系统动力权重向量A，系统控制输入u的表达式如下所示：

/>

G(q)＝[0 mglsinθ]^T

A＝[1 0]^T

u＝F_x

桥式吊车系统动态线性化数据模型：

式(1)得到的桥式吊车物理模型并不参与控制器的设计，仅仅是为了提供桥式吊车系统的输入输出数据。由式(1)可知，桥式吊车是一个单输入双输出系统，在控制系统中在控制系统中设计控制器的目的是为了使系统的期望输出与实际输出的误差达到最小，故定义系统误差

为：

e(t)＝q_d-q (2)

其中，q_d＝[x_d θ_d]^T为系统期望输出，x_d(t)为系统期望位移，θ_d(t)为系统期望摆角，q＝[x θ]^T为系统的实际输出。

为方便桥式吊车动态线性化数据模型的转换，引入如下系统误差的滤波误差信号

其中，α∈R^2×2为滤波误差增益矩阵。

滤波误差信号关于时间的一阶导数为：

其中，

是系统期望输出关于时间的一阶导数，/>

是系统期望输出关于时间的二阶导数，桥式吊车系统中期望输出为定常值，故可取/>

和/>

分别为实际输出的一阶导数和二阶导数。

在式(1)中有||B||≠0，所以在式(1)两边同时左乘||B||^-1如下所示：

将式(5)代入式(4)，可将桥式吊车系统模型变换为基于滤波误差信号的开环动态方程如下：

式(6)中，若仅考虑控制力作用，令

将式(7)带入式(6)有

采用前向欧拉离散法，可得

其中，T为采样时间，k是大于零的正整数。

对于离散系统而言，在某一时刻k，

都是一个确定的值，所以/>

A也是一个确定的值。

令y(k)＝r(k)，则式(8)可转换为如下形式：

将式(9)带入式(10)，则有

假设1系统(11)对y(k)和u(k)分别存在连续偏导数。

假设2系统(11)满足广义Lipschitz条件，即对任意k₁≥0，k₂≥0，b>0，且k₁≠k₂,H(k₁)≠H(k₂)，得：

||y(k₁+1)-y(k₂+1)||≤b||H(k₁)-H(k₂)|| (12)

其中，H(k)＝[y(k) u(k)]^T，y(k)代表在k时刻滤波误差信号的输出，u(k)代表系统输入。

根据偏导定义，可知：

因此，y(k+1)关于y(k)和u(k)的偏导连续，即式(11)满足假设1。

在任意相邻时刻k₁,k₂，忽略θ(k)较小的变化量，令B(k₁)＝B(k₂),C(k₁)＝C(k₂)，则有：

因为

则

在任意k时刻，

存在，且在式(7)中||N(k₁)-N(k₂)||存在，因此，式(11)满足假设2。/>

定理1桥式吊车系统为单输入双输出系统，若式(11)满足假设1和假设2，可将式(11)转换成如下的桥式吊车动态线性化数据模型。

△y(k+1)＝Φ(k)△H(k)＝φ₁△y(k)+φ₂△u(k) (13)

其中，时变伪雅可比参数矩阵Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]，输出变化增益矩阵

且0<||φ₁(k)||≤b₁，输入变化增益向量/>

且0<||φ₂(k)||≤b₂。因此/>

△H(k)＝[△y(k) △u(k)]^T，b,b₁,b₂都是有界的正数。

证明：由△y(k)＝y(k)-y(k-1)及式(11)可得：

为方便控制器的设计，令

其中，

由偏导数的定义可知，式(11)关于y(k)和u(k)的偏导分别为：

则可将式(14)转换为：

对于固定时刻k，可将Z(k)转化为如下形式：

Z(k)＝z(k)×△H(k) (17)

其中

又对于任意k时刻，||△H(k)≠0||，可知式(17)至少存在一个非零解z^*(k)，使得

Z(k)＝z^*(k)×△H(k)

令

可将式(16)转换成如下形式：/>

故可得桥式吊车系统动态线性化数据模型为：

控制器设计：

无模型自适应控制律设计：

为消除系统偏差，并由式(13)可知，在不同时刻k，当前时刻输入变化量会影响下一时刻输出变化量。根据最优化理论，考虑约束条件下的准则函数：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-y(k+1)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (19)

其中，y_d(k+1)为在k+1时刻系统的期望输出，λ>0是一个惩罚因子，用来衡量控制输入对系统误差的影响能力。

将式(18)带入式(19)得：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (20)

对式(20)求J(u(k))关于u(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

||-φ₂(k)||*||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||+λ(u(k)-u(k-1))＝0 (21)

从而得到桥式吊车系统的无模型自适应控制律为：

其中，步长因子ρ₁＝ρ₂∈(0,1]是为了使该算法具有更强的灵活性和一般性。φ₁(k)，φ₂(k)为时变参数，可通过估计算法求得。

3.2伪雅可比矩阵估计算法

对于满足假设条件1和假设条件2的式(11)，可由带有时变伪雅可比矩阵参数φ₁(k)，φ₂(k)的动态线性化数据模型式(18)来表示，通过控制输入准则函数式(19)的极小化理论，可得到无模型自适应控制算法式(22)，为实现式(22)，则需要已知伪雅可比矩阵的确定值，又由于桥式吊车系统模型未知，伪雅可比矩阵又是时变参数，其精确值很难得到，故需要利用系统输入输出数据的估计算法来估计伪雅可比矩阵参数。

传统的参数估计准则函数是极小化系统模型输出与真实输出差值的平方，无模型自适应控制算法仅利用系统输入输出数据便可实现对系统的稳定控制，此算法对数据精度要求较高，其参数估计值对干扰等因素引起的的数据变化过于敏感，故设计如下的伪雅可比矩阵估计算法。使系统的模型输出与实际输出的误差平方达到最小，且考虑当前时刻的参数也会影响下一时刻的系统输出，采用如下准则函数求取伪雅可比矩阵时变参数：

/>

其中

为Φ(k)的估计值，/>

μ>0为权重因子，是为了限制参数估计变化太大或太小。

对式(23)求J(Φ(k))关于Φ(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

将式(24)化简可得到桥式吊车系统无模型自适应控制律的伪雅可比矩阵估计算法为：

其中，η∈(0,1]是步长因子，是为了使该算法具有更强的灵活性和一般性。

进一步，将式(25)简写为：

式中

是φ₁(k)估计值，/>

是φ₂(k)估计值。

由于

和/>

是实时变化的值，为了使伪雅可比矩阵估计算法更加合理，减小估计跟踪误差过大或过小对控制性能造成的影响，引入如下重置算法：

如果

或/>

或/>

则令/>

其中

是/>

的初值，a是非常大的正数，c是非常小的正数。

3.3稳定性分析

对于满足假设1和假设2的系统式(11)，若采用式(22)和式(25)的无模型自适应控制律，则当系统期望输出是常值，即y_d(k+1)＝y_d(k)＝const,时，存在一个λ>λ_min>0使得系统期望输出和实际输出的误差逐渐趋于零，即

且系统时BIBO稳定的，即系统输出y(k)和输入u(k)是有界的。

具体证明如下，第一步：

由定义可知，不同时刻k，伪雅可比矩阵的估计值

是随时变化的，故伪雅可比矩阵的估计误差为：

伪雅可比矩阵估计算法式(25)两边同时减去φ(k)，可将式(25)转换成如下形式：

为方便比较大小，在式(29)两边同时取范数。

/>

由于||d₁±d₂||≤||d₁||±||d₂||，d₁,d₂是任意实数。

式(13)式动态线性化数据模型，满足广义Lipschitz条件，有||Φ(k)||≤b，结合式(31)可以得到如下式子。

在式(32)中：

由于||△H(k-1)*(△H(k-1))^T||＝||△H(k-1)||²

△H(k-1)*(△H(k-1))^T＝||△y(k-1)||²+||△u(k-1)||²，且由基本不等式

令||△y(k)||≤ε₁，||△H(k-1)||≤ε₂，其中ε₁和ε₁是非常小的正数。

综上，可得：

简化可以得到如下式子：

令

通过递归方法可知有：/>

由此可知，

是有界的。

第二步：定义系统跟踪误差：

E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1)(34)

将式(13)代入式(34)且y_d(k+1)＝y_d(k)＝const，得：

由于ρ₁,ρ₂∈(0,1],0<||φ₁(k)||≤b₁,0<||φ₂(k)||≤b₂,λ>0,

在式(35)中必存在0<ψ<1，同时选取0<λ_mim≤λ使得：

则式(35)可以重写为：

对式(36)采用递归方法可得：

其中，E(1)＝y_d(1)-y(1)，y_d(1)＝[0 0]^T为系统滤波误差期望值输出。

所以E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1)是有界的，则y(k)也是有界的，且存在一个0<λ_min≤λ使得

令||E(k+1)||≤M₁,根据无模型自适应控制算法可知：

/>

同理，对式(37)采用递归思想，则得：

其中，u(1)＝0，所以系统输入u(k)是收敛的。

由以上分析可知，系统是稳定的以及系统误差是收敛的。

4实验验证

为验证MFAC算法的控制性能，在桥式吊车模拟实验平台进行实验验证分析，实验中桥式吊车模拟实验平台如图2所示。

模拟实验平台的小车质量M＝1.55kg，负载质量m＝0.22kg，吊绳长度l＝0.20m，摩擦系数μ＝0.04。实验中无模型自适应控制的初始参数选取为：

μ＝1,η＝1,

u(1)＝u(2)＝0,y(1)＝y(2)＝[0 0]^T

选择三组实验进行控制算法的验证。

第一组：为验证不同MFAC参数λ、ρ₁、ρ₂对控制性能的影响，选取以下三种情况来验证不同参数无模型自适应控制律的控制性能。

情况1 λ＝0.03,ρ₁＝ρ₂＝0.042；

情况2 λ＝0.3,ρ₁＝ρ₂＝0.042；

情况3 λ＝0.03,ρ₁＝ρ₂＝0.060

小车位移的实验结果如图3所示，负载摆角的实验结果如图4所示：

由图3和图4的实验结果可知，针对不同的MFAC参数，均可以实现桥式吊车定位防摆控制，即采用本发明方法是可行的。但是不同的参数对控制性能的影响也不同。当单独改变控制力的惩罚因子λ时，实验结果表明λ越大，负载会更加稳定的达到指定位置，但是达到指定位置的时间会变慢。当单独改变步长因子ρ₁和ρ₂时，步长因子ρ₁和ρ₂越大，负载会更加快速的达到指定位置，但是相应的负载会产生超调。通过比较实验结果发现，取λ＝0.03,ρ₁＝ρ₂＝0.042时，控制器可以达到最佳的控制性能。

第二组：为验证本发明方法对外界扰动的鲁棒性，将本发明方法与PID控制方法进行模拟实验比较，且在小车运行至4.9秒时，对两系统控制力引入持续时间0.1秒、幅值为4N的脉冲干扰信号。

基于无模型自适应控制算法的小车位移及负载摆角实验结果如图5所示，基于PID控制算法的小车位移及负载摆角实验结果如图6所示。

增量式PID方法的控制律为：

△U_pid＝k_xp(e(k)-e(k-1))+k_xie(k)+k_xd(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))+k_θp(e(k)-e(k-1))+k_θie(k)+k_θd(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

其中，k_xp＝1,k_xi＝0.01,k_xd＝6,k_θp＝-4,k_θi＝0.01,k_θd＝-2。

由图5-图8的实验结果可知，在控制力受到扰动时，PID方法与本发明设计的控制器均能使桥式吊车小车位移回到指定位置，且负载摆角也可达到稳定状态，说明无模型自适应控制器具有良好的抗干扰性能。但是在加入扰动信号后，相较于PID控制方法，本发明方法下小车位移时间更短，且负载的摆动幅度更小，从而验证了本发明所设计控制器定位防摆控制效果优于PID控制方法。

第三组：不同工作任务下，负载质量和吊绳长度不同，通过改变负载质量以及吊绳长度来验证MFAC对系统结构的鲁棒性。

小车位移及负载摆角的实验结果如图9-10所示如下：

由图9-10的实验结果可知，在不改变控控制器参数情况下，采用MFAC依然可以实现桥式吊车的定位防摆控制，且控制性能只是受到较小的影响，可知无模型自适应控制器对系统结构具有良好的鲁棒性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包在本发明范围内。

Claims (5)

1.桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，其特征在于，具体步骤如下：

一、利用桥式吊车系统的输入输出数据，通过驱动建模方法，建立桥式吊车系统的虚拟动态线性化数据模型；

二、在虚拟动态线性化数据模型上，根据约束条件下的优化理论，布置无模型自适应控制律及伪雅可比矩阵估计算法，利用系统输入输出数据的估计算法来估计伪雅可比矩阵参数；

三、通过Lipschitz条件和不等式理论分析证明闭环系统的稳定性及系统误差的收敛性。

2.根据权利要求1所述的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，其特征在于，在步骤一中，构建二维桥式吊车系统运动平衡方程，具体如下：

其中，q＝[x(t) θ(t)]^T为系统的输出，包括小车位移x(t)和负载摆角θ(t)，

B(q)为系统质量矩阵，/>

为系统阻力矩阵，G(q)为系统的重力矩向量，A为系统动力权重向量，u为系统控制输入的表达式如下所示：

G(q)＝[0 mglsinθ]^T

A＝[1 0]^T

u＝F_x

其中，M和m分别表示小车和负载质量，l表示吊绳长度，g＝9.80m/s²是重力加速度，x(t)是小车的水平位移，θ(t)是负载相对于竖直方向的摆动角度，F_x表示小车前进方向所受的牵引力，

表示小车运动过程中受到的摩擦力，μ是小车与水平导轨之间的摩擦系数；

定义系统误差

为：

e(t)＝q_d-q (2)

其中，q_d＝[x_d θ_d]^T为系统期望输出，x_d(t)为系统期望位移，θ_d(t)为系统期望摆角，q＝[x θ]^T为系统的实际输出；

引入系统误差的滤波误差信号

其中，α∈R^2×2为滤波误差增益矩阵，

滤波误差信号关于时间的一阶导数为：

其中，

为系统期望输出关于时间的一阶导数，/>

为系统期望输出关于时间的二阶导数，桥式吊车系统中期望输出为定常值，取/>

和/>

分别为实际输出的一阶导数和二阶导数；/>

在式(1)中有||B||≠0，在式(1)两边同时左乘||B||^-1如下所示：

将式(5)代入式(4)，可将桥式吊车系统模型变换为基于滤波误差信号的开环动态方程如下：

式(6)中，仅考虑控制力作用，则：

将式(7)带入式(6)，得：

采用前向欧拉离散法，得：

其中，T为采样时间，k为大于零的正整数；

对于离散系统而言，在某一时刻k，

都是一个确定的值，B(q),/>

G(q),A也是一个确定的值；

令y(k)＝r(k)，则式(8)转换为如下形式：

将式(9)带入式(10)，则

假设1：系统(11)对y(k)和u(k)分别存在连续偏导数；

假设2：系统(11)满足广义Lipschitz条件，即对任意k₁≥0，k₂≥0，b>0，且k₁≠k₂,H(k₁)≠H(k₂)，则：

||y(k₁+1)-y(k₂+1)||≤b||H(k₁)-H(k₂)|| (12)

其中，H(k)＝[y(k) u(k)]^T，y(k)代表在k时刻滤波误差信号的输出，u(k)代表系统输入；

根据偏导定义，可知：

/>

因此，y(k+1)关于y(k)和u(k)的偏导连续，即式(11)满足假设1；

在任意相邻时刻k₁,k₂，忽略θ(k)较小的变化量，令B(k₁)＝B(k₂),C(k₁)＝C(k₂)，则有：

因为

则：

在任意k时刻，

存在，且在式(7)中||N(k₁)-N(k₂)||存在，因此，式(11)满足假设条件2；

桥式吊车系统为单输入双输出系统，若式(11)满足假设1和假设2，将式(11)转换成如下的桥式吊车动态线性化数据模型；

△y(k+1)＝Φ(k)△H(k)＝φ₁△y(k)+φ₂△u(k) (13)

其中，时变伪雅可比参数矩阵Φ(k)＝[φ₁(k) φ₂(k)]，输出变化增益矩阵

且0<||φ₁(k)||≤b₁，输入变化增益向量/>

且0<||φ₂(k)||≤b₂，因此，/>

△H(k)＝[△y(k) △u(k)]^T，b,b₁,b₂都是有界的正数；

证明：由△y(k)＝y(k)-y(k-1)及式(11)可得：

令

其中/>

/>

由偏导数的定义可知，式(11)关于y(k)和u(k)的偏导分别为：

则可将式(14)转换为：

对于固定时刻k，将Z(k)转化为如下形式：

Z(k)＝z(k)×△H(k) (17)

其中，

又对于任意k时刻，||△H(k)≠0||，可知式(17)至少存在一个非零解z^*(k)，使得：

Z(k)＝z^*(k)×△H(k)

令

可将式(16)转换成如下形式：

故可得桥式吊车系统动态线性化数据模型为：

3.根据权利要求1所述的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，其特征在于，在步骤二中，为消除系统偏差，由式(13)可知，在不同时刻k，当前时刻输入变化量会影响下一时刻输出变化量，根据最优化理论，考虑约束条件下的准则函数：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-y(k+1)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (19)

其中，y_d(k+1)为在k+1时刻系统的期望输出，λ>0是一个惩罚因子，用来衡量控制输入对系统误差的影响能力；

将式(18)带入式(19)得：

J(u(k))＝||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||²+λ||u(k)-u(k-1)||² (20)

对式(20)求J(u(k))关于u(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

||-φ₂(k)||*||y_d(k+1)-φ₁(k)△y(k)-φ₂(k)△u(k)-y(k)||+λ(u(k)-u(k-1))＝0 (21)

从而得到桥式吊车系统的无模型自适应控制律为:

其中，步长因子ρ₁＝ρ₂∈(0,1]是为了使该算法具有更强的灵活性和一般性，φ₁(k)，φ₂(k)为时变参数，可通过估计算法求得；

引入可比矩阵估计算法，使系统的模型输出与实际输出的误差平方达到最小，且考虑当前时刻的参数也会影响下一时刻的系统输出，采用如下准则函数求取伪雅可比矩阵时变参数：

其中，

为Φ(k)的估计值，/>

μ>0为权重因子；

对式(23)求J(Φ(k))关于Φ(k)的偏导

并令其为零，如下所示：

将式(24)化简可得到桥式吊车系统无模型自适应控制律的伪雅可比矩阵估计算法为：

其中，η∈(0,1]是步长因子；

进一步，将式(25)简写为：

式中，

为φ₁(k)估计值，/>

为φ₂(k)估计值；

引入如下重置算法：

若

或/>

或/>

则令/>

其中，

是/>

的初值，a与c均为正数。

4.根据权利要求1所述的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，其特征在于，在步骤三中，对于满足假设1和假设2的式(11)，若采用式(22)和式(25)的无模型自适应控制律，则当系统期望输出是常值，即y_d(k+1)＝y_d(k)＝const,时，存在一个λ>λ_min>0使得系统期望输出和实际输出的误差逐渐趋于零，即

系统输出y(k)和输入u(k)是有界的。

5.根据权利要求4所述的桥式吊车定位防摆无模型自适应控制方法，其特征在于，在步骤三中，具体证明过程如下：

1)、由定义可知，不同时刻k，伪雅可比矩阵的估计值

是随时变化的，故伪雅可比矩阵的估计误差为：/>

伪雅可比矩阵估计算法式(25)两边同时减去φ(k)，可将式(25)转换成如下形式：

在式(29)两边同时取范数：

由于||d₁±d₂||≤||d₁||±||d₂||，d₁,d₂是任意实数；

式(13)式动态线性化数据模型，满足广义Lipschitz条件，有||Φ(k)||≤b，结合式(31)可以得到如下式：

在式(32)中

由于||△H(k-1)*(△H(k-1))^T||＝||△H(k-1)||²△H(k-1)*(△H(k-1))^T＝||△y(k-1)||²+||△u(k-1)||²，且由基本不等式

令||△y(k)||≤ε₁，||△H(k-1)||≤ε₂，其中ε₁和ε₁是非常小的正数；

综上，可得：

/>

简化可以得到如下式子

令

通过递归方法可得：

由此可知，

是有界的；

2)、定义系统跟踪误差：

E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1) (34)

将式(13)代入式(34)且y_d(k+1)＝y_d(k)＝const，得：

由于ρ₁,ρ₂∈(0,1],0<||φ₁(k)||≤b₁,0<||φ₂(k)||≤b₂,λ>0,

在式(35)中必存在0<ψ<1，同时选取0<λ_mim≤λ使得：

则式(35)可以重写为

对式(36)采用递归方法可得：

其中，E(1)＝y_d(1)-y(1)，y_d(1)＝[0 0]^T为系统滤波误差期望值输出；

所以E(k+1)＝y_d(k+1)-y(k+1)是有界的，则y(k)也是有界的，且存在一个0<λ_min≤λ使得

令||E(k+1)||≤M₁，根据无模型自适应控制算法可知：

同理，对式(37)采用递归思想，则有

其中，u(1)＝0，所以系统输入u(k)是收敛的；

由以上分析可知，系统是稳定的以及系统误差是收敛的。

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