CN116150834B - 一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法 - Google Patents

一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于结构优化设计领域，用于解决工程应用领域的动载荷拓扑优化问题。该方法利用三场密度方法实施多尺度协同优化，结合先离散‑再微分方法与伴随方法来避免灵敏度计算的一致性误差。由此提出双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法，包括：构建设计域并进行宏观尺度和微观尺度的单元划分，对宏观和微观模型设置初始变量场，形成初始化模型；以动柔度最小化为目标，体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型；通过HHT‑α方法求解动力学方程，利用先离散‑再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，推导目标函数与约束函数的灵敏度；使用MMA方法实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构。

Description

一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法
技术领域
本发明涉及一种工程结构优化设计领域的设计方法，更具体的是，本发明涉及一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法。
背景技术
多尺度结构的优化设计是在对结构宏观设计的同时，对微观结构也进行优化布局。在宏观和微观两个尺度进行优化设计，从而进一步发掘结构潜能。随着增材制造技术的发展，多尺度结构的优化设计方法已逐渐应用于高技术装备的研发中，配合并行拓扑优化方法同时从宏观与微观构型上调控工程结构的力学性能，因而吸引了众多研究人员探索新型跨尺度复合结构的设计方法。
目前，多尺度并行拓扑优化方法主要集中于静刚度，特征频率，模态阻尼比和热弹耦合等问题。在多尺度结构的频域响应方面，已经解决了周期性载荷作用下的结构稳态响应的设计优化问题，但对于实际的工程结构来说，往往承受非周期性瞬态载荷的作用，而复杂的灵敏度分析是其设计优化问题面临的最具挑战性的问题。
目前，弹性动力学的伴随灵敏度分析主要采用先微分-再离散和先离散-再微分方法。先微分-再离散方法以时间为连续变量的动力学优化模型上构建伴随方程实施灵敏度分析，随后通过离散时间变量获得结构的动响应；先离散-再微分方法则直接在时-空离散的动力学优化模型上建立伴随问题。尽管先微分-再离散方法易于实施，然而这种敏度分析策略将导致敏度计算值与精确值的一致性误差，从而引起优化结果的不准确。
发明内容
针对上述问题的缺点和不足，本发明通过结构宏观拓扑构型和材料微观分布协同优化，结合宏-微观均匀化方法(Energy-based Homogenization Method，EBHM)构造多尺度材料插值模型，并利用HHT-α方法求解多尺度结构的瞬态响应，为避免灵敏度计算的一致性误差，基于先离散-再微分方法构建伴随方程实施灵敏度分析，最后通过MMA方法实现宏微观结构的更新。
为达到上述目标，本发明提出了一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法，该方法包括以下步骤：
S1.构建设计域并进行宏观尺度和微观尺度的单元划分，单元密度作为设计变量，并对宏观和微观模型设置初始变量场，形成初始化模型。
S2.以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型。
S3.通过HHT-α方法求解动力学方程，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，采用伴随变量法，推导目标函数与约束函数的灵敏度。引入先微分-再离散的灵敏度分析，对两次不同的敏度分析进行了计算对比，验证采用先离散-再微分的灵敏度分析顺序所带来的计算精度的提高。
S4.使用移动渐近线法(MMA)方法实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构。
进一步的，步骤S1中，需要利用三场密度方法描述多尺度设计域的材料分布，假设宏观设计域离散单元个数为Nmac，微观设计域离散个数为Nmic，相应的宏观与微观单元的设计变量分别表示为ξi和ηj。
为了有效抑制棋盘格和网格依赖性等数值失稳问题，通过卷积算子构造如下滤波格式：
式中，Φi、Ψj分别为宏观和微观设计域内双尺度单元设计变量过滤的紧支单元集，分别为宏观和微观单元的体积。
双尺度单元的权重函数定义为：
式中,R、r代表宏观和微观单元的过滤半径，xi、yj代表宏观和微观单元的中心坐标。
卷积过滤会产生明显的灰度，无法提供清晰的物理解释。通过施加下式一个平滑的阶梯函数—双曲正切函数，将设计变量(密度拓扑函数)投影为0或1，降低优化结果的灰度。
式中，ξmin＝ηmin＝0.001为趋近于0的正数，用于阻止优化过程中刚度与质量矩阵的数值奇异性，ξth＝ηth＝0.5为投影函数—双曲正切函数的投影门槛值，βmac、βmic为投影函数光滑性的控制参数。
在宏观和微观尺度分别基于SIMP模型和RAMP模型，得到材料的线弹性本构矩阵插值模型为：
式中，DB是基材料的弹性矩阵，DH是多孔材料的等效弹性矩阵，p＝3是惩罚因子。
多项式插值函数用于抑制低密度区局部模态的影响。
进一步的，在步骤S2中，以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型。利用有限元法分析结构的时域瞬态响应，则外部时域激励作用下两尺度阻尼结构的运动方程为：
式中：M、C和K为结构质量、阻尼和刚度矩阵，ft为外载荷列阵，ut、和/>为结构的位移、速度和加速度列阵，时间步长/>tf为载荷持续时间。
K和M通过单元刚度矩阵装配形成，则有：
式中，N为形函数矩阵，B应变位移矩阵。
基于能量均匀化方法(Energy-based Homogenization Method，EBHM)，多孔材料的等效弹性矩阵和结构密度表示为：
式中，χj为微结构中的单元位移场，|Y|为微结构单胞的体积，I为单位矩阵，Vmic为微观单元的体积。
阻尼矩阵表示为质量与刚度矩阵的线性组合，则有：
C＝αrM+βrK
式中，αr、βr为瑞利阻尼参数。
为了有效抑制多尺度结构的振动，以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，其多尺度优化的数学模型为：
0≤ξi≤1,1≤i≤Nmac
0≤ηj≤1,1≤j≤Nmic
式中，θ为指定的宏观和微观结构的体积分数。
进一步的，在步骤S3中，利用HHT-α方法将优化模型中的半离散形式的有限元方程修改为：
通过Newmark-β有限差分关系，位移、速度场的更新格式为：
式中，β＝(1+α)2/4，γ＝(1+2α)/2为算法参数，合理选择参数α保证算法具有至少二阶精度和无条件稳定。
将上式联合，可以得到离散形式的控制方程的残差：
配合残差方程初始时刻表达式：
可以获得加速度回代可更新位移ut和速度/>
为了避免先微分-再离散方法引起敏度计算的一致性误差问题，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，结合伴随变量法推导目标函数与约束函数的灵敏度。根据链式求导法则，目标函数与约束函数对于设计变量的灵敏度表示为：
由投影函数式得和/>
由滤波函数式得和/>
假定载荷与初始条件独立于设计变量，不失一般性，以x替代宏观和微观设计变量ξi和ηj，因而目标函数对于设计变量的灵敏度亦可表示为：
通过伴随变量法消除项，由此，将位移、速度场的更新格式转变为残差形式，则有：
然后，引入伴随变量λt、μt、ζt，灵敏度亦可重新为：
对于Pt和Qt不显含x，则有初始条件与x无关，则有 消除/>和/>则有：
最终，目标函数对于设计变量的灵敏度可以化简为：
联合HHT-α残差方程、初始条件和Newmark-β有限差分关系式，可以获得伴随变量的解：
定义刚度插值函数和体积插值函数/>通过链式求导法则，目标函数对于宏观设计变量的灵敏度表示为：对于宏观设计变量的灵敏度表示为：
利用伴随变量法，目标函数对于Ei和Vi的灵敏度更新为：
由此，可确定目标函数对于宏观设计变量的灵敏度。
微观设计变量的灵敏度表示为：
利用伴随变量法，目标函数对于DH和ρH的灵敏度更新为：
由此，可确定目标函数对于微观设计变量的灵敏度。
为了明确先离散-再微分的灵敏度分析顺序相较于先微分-再离散的灵敏度分析顺序在相对误差和优化结果方面所带来的不同，我们在完成先离散-再微分的灵敏度分析后，再次按照先微分-再离散的方法进行了第二次灵敏度分析。完成两次灵敏度分析后，我们对两次不同的敏度分析进行了计算对比(利用差分方法获得)，同时将两次不同的敏度分析顺序得到的计算结果进行对比，从而体现我们采用先离散-再微分的灵敏度分析顺序相较于先微分-再离散的灵敏度分析顺序所带来的优势。
基于先微分-再离散灵敏度分析，是通过假设目标函数定义为的积分形式，引入伴随变量λ，构造如下伴随方程：
通过两次分部积分，得到：
为了消除响应导数项u'(tf)和则需满足λ(tf)＝0和/>则原伴随问题转变为终值问题。通过使用变量代换/>使伴随问题与原初值问题相似，引入复合函数Λ(s)＝λ(τ(s))，可以得到：
消去响应导数项，Λ(s)需满足如下关系：
Λ(0)＝0
进一步可以简化灵敏度得到：
根据矩形公式数值积分技术，目标函数可近似为：
可以得到目标函数的灵敏度：
通过目标函数结合动柔度最小化公式，再根据目标函数的灵敏度/>可获得先微分-后离散框架下目标函数对于宏观、微观设计变量的灵敏度。
进一步的，在S4中，选择移动渐近线法(MMA)方法，拥有更好的适应性，可以求解更广泛复杂的优化问题。移动渐近线法(MMA)是将隐式问题进行解析，变为多个显式凸近似子问题。从而方便实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构。
附图说明
图1为本发明实例所提供的双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法流程图。
图2是本发明所提供的悬臂梁设计域、载荷、边界条件示意图。
图3是本发明所提供的悬臂梁宏观单元先离散再微分(a)与先微分再离散(b)的敏度计算对比。
图4是本发明所提供的悬臂梁微观单元先离散再微分(a)与先微分再离散(b)的敏度计算对比。
图5是本发明所提供的悬臂梁半正弦动载荷示意图。
图6为本发明所提供的悬臂梁宏观单元(a)和微观单元(b)先微分-再离散拓扑优化结果。
图7为本发明所提供的悬臂梁宏观单元(a)和微观单元(b)先离散-再微分拓扑优化结果。
图8是本发明所提供的固支梁设计域、载荷、边界条件示意图。
图9是本发明所提供的固支梁宏观单元先离散再微分(a)与先微分再离散(b)的敏度计算对比。
图10是本发明所提供的固支梁微观单元先离散再微分(a)与先微分再离散(b)的敏度计算对比。
图11是本发明所提供的固支梁半余弦动载荷示意图。
图12为本发明所提供的固支梁宏观单元(a)和微观单元(b)先微分-再离散拓扑优化结果。
图13为本发明所提供的固支梁宏观单元(a)和微观单元(b)先离散-再微分拓扑优化结果。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
参照图2-13，本发明验证了悬臂梁和简支梁的两个模型，在受到过不同的动载荷输入状态下，优化算法的有效性。
本发明提出了一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法，该方法包括如下步骤：
S1.构建设计域并进行宏观尺度和微观尺度的单元划分，单元密度作为设计变量，并对宏观和微观模型设置初始变量场，形成初始化模型。
参照图2，悬臂梁选用长度L＝8m，宽度H＝4m，厚度h＝0.01m的尺寸参数。并采用钢质基材料，弹性模量EB＝200GPa，泊松比v＝0.3，质量密度ρB＝7800kg/m3。将宏观设计域和微观设计域分别离散为5000和2500个双线性矩形单元，选定两者体积分数为θ＝0.5。参照图8，固支梁选用长度L＝12m，宽度H＝2m，厚度h＝0.01m。并采用钢质基材料，弹性模量EB＝200GPa，泊松比v＝0.3，质量密度ρB＝7800kg/m3。将宏观设计域和微观设计域分别离散为5000和2500个双线性矩形单元，两者体积分数为/>θ＝0.5。
利用三场密度方法描述多尺度设计域的材料分布，为了有效抑制棋盘格和网格依赖性等数值失稳问题，通过卷积算子构造如下滤波格式：
式中，Nmac为宏观设计域离散单元个数，Nmic为微观设计域离散个数，相应的宏观与微观单元的设计变量分别表示为ξi和ηj。Φi、Ψj分别为宏观和微观设计域内双尺度单元设计变量过滤的紧支单元集，分别为宏观和微观单元的体积。
双尺度单元的权重函数定义为：
式中,R、r代表宏观和微观单元的过滤半径，xi、yj代表宏观和微观单元的中心坐标。
卷积过滤会产生明显的灰度，无法提供清晰的物理解释。通过施加下式一个平滑的阶梯函数—双曲正切函数，将设计变量(密度拓扑函数)投影为0或1，降低优化结果的灰度。
式中，ξmin＝ηmin＝0.001为趋近于0的正数，用于阻止优化过程中刚度与质量矩阵的数值奇异性，ξth＝ηth＝0.5为投影函数—双曲正切函数的投影门槛值，βmac、βmic为投影函数光滑性的控制参数。
在宏观和微观尺度分别基于SIMP模型和RAMP模型，得到材料的线弹性本构矩阵插值模型为：
式中，DB是基材料的弹性矩阵，DH是多孔材料的等效弹性矩阵，p＝3是惩罚因子。
多项式插值函数用于抑制低密度区局部模态的影响。
S2.以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型。
以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型。利用有限元法分析结构的时域瞬态响应，则外部时域激励作用下两尺度阻尼结构的运动方程为：
式中：M、C和K为结构质量、阻尼和刚度矩阵，ft为外载荷列阵，ut、和/>为结构的位移、速度和加速度列阵，时间步长/>tf为载荷持续时间。
K和M通过单元刚度矩阵装配形成，则有：
式中，N为形函数矩阵，B为形函数导数矩阵。
基于能量均匀化方法(Energy-based Homogenization Method，EBHM)，多孔材料的等效弹性矩阵和结构密度表示为：
式中，χj为微结构中的单元位移场，|Y|为微结构单胞的体积，I为单位矩阵，Vmic为微观单元的体积。
阻尼矩阵表示为质量与刚度矩阵的线性组合，则有：
C＝αrM+βrK
式中，αr、βr为瑞利阻尼参数。
为了有效抑制多尺度结构的振动，以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，其多尺度优化的数学模型为：
0≤ξi≤1,1≤i≤Nmac
0≤ηj≤1,1≤j≤Nmic
式中，θ为指定的宏观和微观结构的体积分数。
S3.通过HHT-α方法求解动力学方程，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，采用伴随变量法，推导目标函数与约束函数的灵敏度。引入先微分-再离散的灵敏度分析，对两次不同的敏度分析进行了计算对比，验证采用先离散-再微分的灵敏度分析顺序所带来的计算精度的提高。
利用HHT-α方法将优化模型中的半离散形式的有限元方程修改为：
通过Newmark-β有限差分关系，位移、速度场的更新格式为：
式中，β＝(1+α)2/4，γ＝(1+2α)/2为算法参数，合理选择参数α保证算法具有至少二阶精度和无条件稳定。
将上式联合，可以得到离散形式的控制方程的残差：
配合残差方程初始时刻表达式：
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为了避免先微分-再离散方法引起敏度计算的一致性误差问题，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，结合伴随变量法推导目标函数与约束函数的灵敏度。根据链式求导法则，目标函数与约束函数对于设计变量的灵敏度表示为：
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假定载荷与初始条件独立于设计变量，不失一般性，以x替代宏观和微观设计变量ξi和ηj，因而目标函数对于设计变量的灵敏度亦可表示为：
通过伴随变量法消除项，由此，将位移、速度场的更新格式转变为残差形式，则有：
然后，引入伴随变量λt、μt、ζt，灵敏度亦可重新为：
对于Pt和Qt不显含x，则有初始条件与x无关，则有 消除/>和/>则有：
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目标函数对于设计变量的灵敏度化简为：
联合HHT-α残差方程、初始条件和Newmark-β有限差分关系式，可以获得伴随变量的解：
定义刚度插值函数和体积插值函数/>通过链式求导法则，目标函数对于宏观设计变量的灵敏度表示为：对于宏观设计变量的灵敏度表示为：
利用伴随变量法，目标函数对于Ei和Vi的灵敏度更新为：
由此，可确定目标函数对于宏观设计变量的灵敏度。
微观设计变量的灵敏度表示为：
利用伴随变量法，目标函数对于DH和ρH的灵敏度更新为：
由此，可确定目标函数对于微观设计变量的灵敏度。
为了明确先离散-再微分相较于先微分-再离散在相对误差和优化结果方面所带来优化提升，我们同时进行了先微分-再离散的灵敏度分析：
基于先微分-再离散灵敏度分析，是通过假设目标函数定义为的积分形式，引入伴随变量λ，构造如下伴随方程：
通过两次分部积分，得到：
为了消除响应导数项u'(tf)和则需满足λ(tf)＝0和/>则原伴随问题转变为终值问题。通过使用变量代换/>使伴随问题与原初值问题相似，引入复合函数Λ(s)＝λ(τ(s))，可以得到：
消去响应导数项，Λ(s)需满足如下关系：
Λ(0)＝0
进一步可以简化灵敏度得到：
根据矩形公式数值积分技术，目标函数可近似为：
可以得到目标函数的灵敏度：
通过目标函数结合动柔度最小化公式，再根据目标函数的灵敏度/>可获得先微分-后离散框架下目标函数对于宏观、微观设计变量的灵敏度。
参照图3和图4悬臂梁宏观单元和微观单元先离散-再微分与先微分-再离散两种敏度分析方法的计算对比，先离散-再微分相对于敏度计算理论值(利用差分方法获得)的相对误差小于后者1个数量级，具有更高的目标函数梯度的计算精度。参照图8和图9固支梁宏观单元和微观单元先离散-再微分与先微分-再离散两种敏度分析方法的计算对比，我们得到类似的结果，先离散-再微分相对于敏度计算理论值(利用差分方法获得)的相对误差小于后者1个数量级，具有更高的目标函数梯度的计算精度。
S4.使用移动渐近线法(MMA)方法实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构。
选用移动渐近线法(MMA)方法，拥有更好的适应性，可以求解更广泛复杂的优化问题。移动渐近线法(MMA)是将隐式问题进行解析，变为多个显式凸近似子问题。从而方便实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构。
参照图6和图7悬臂梁宏观单元和微观单元先微分-再离散和先离散-再微分拓扑优化结果。先离散-再微分方法能够有效获得悬臂梁的动力学最优解，优化结构在微观上呈现了模量更高的弹性矩阵，在宏观上具有更低的动柔度，验证了敏度分析的一致性误差将显著影响拓扑优化结果。参照图12和图13固支梁宏观单元和微观单元先微分-再离散和先离散-再微分拓扑优化结果，可以得到同样的结论，先离散-再微分方法能够有效获得悬臂梁的动力学最优解，优化结构在微观上呈现了模量更高的弹性矩阵，在宏观上具有更低的动柔度，验证了敏度分析的一致性误差将显著影响拓扑优化结果。

Claims (1)

1.一种双尺度分级结构时域动刚度问题的并行拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
S1.构建设计域并进行宏观尺度和微观尺度的单元划分，单元密度作为设计变量，并对宏观和微观模型设置初始变量场，形成初始化模型；
S2.以结构的动柔度最小化为目标，以宏观和微观尺度的体积分数为约束，建立多尺度并行优化的数学模型；
S3.通过HHT-α方法求解动力学方程，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，采用伴随变量法，推导目标函数与约束函数的灵敏度；引入先微分-再离散的灵敏度分析，对两次不同的敏度分析进行了计算对比，验证采用先离散-再微分的灵敏度分析顺序所带来的计算精度的提高；
S4.使用移动渐近线法(MMA)方法实现宏观和微观结构的并行迭代更新，得到所需形状的多尺度优化的拓扑结构；
在步骤S1中，构建设计域并进行宏观尺度和微观尺度的单元划分，单元密度作为设计变量，并对宏观和微观模型设置初始变量场，形成初始化模型；
利用三场密度方法描述多尺度设计域的材料分布，假设宏观设计域离散单元个数为Nmac，微观设计域离散个数为Nmic，相应的宏观与微观单元的设计变量分别表示为ξi和ηj；为了有效抑制棋盘格和网格依赖性等数值失稳问题，利用卷积算子构造如下滤波格式：
式中，Φi、Ψj分别为宏观和微观设计域内双尺度单元设计变量过滤的紧支单元集，分别为宏观和微观单元的体积；
双尺度单元的权重函数定义为：
式中,R、r代表宏观和微观单元的过滤半径，xi、yj代表宏观和微观单元的中心坐标；
在步骤S2中，为了有效抑制多尺度结构的振动，以结构的动柔度最小化为目标，设计域中微观和宏观都进行了体积分数约束；其多尺度优化的数学模型为：
0≤ξi≤1,1≤i≤Nmac
0≤ηj≤1,1≤j≤Nmic
式中，M、C和K为结构质量、阻尼和刚度矩阵，ft为外载荷列阵，ut、和/>为结构的位移、速度和加速度列阵；/>θ为指定的宏观和微观结构的体积分数；
在步骤S3通过HHT-α方法求解动力学方程，利用先离散-再微分的敏度分析策略求解相应的伴随问题，采用伴随变量法，推导目标函数与约束函数的灵敏度；利用HHT-α方法得到优化模型中的半离散形式的有限元方程：
式中，β＝(1+α)2/4，γ＝(1+2α)/2为算法参数，合理选择参数α保证算法具有至少二阶精度和无条件稳定；
联合HHT-α残差方程、初始条件和Newmark-β有限差分关系式，可以获得伴随变量的解：
对于宏观设计变量的灵敏度表示为：
微观设计变量的灵敏度表示为：
为了明确先离散-再微分相较于先微分-再离散在相对误差和优化结果方面所带来优化提升，同时进行了先微分-再离散的灵敏度分析：
先微分-再离散灵敏度分析，是通过假设目标函数定义为的积分形式，引入伴随变量λ，构造伴随方程：
再使用分部积分、消除导数项、引入复合函数和简化方程等方法，得到目标函数和目标函数的灵敏度：
通过目标函数结合动柔度最小化公式，再根据目标函数的灵敏度/>可获得先微分-后离散框架下目标函数对于宏观、微观设计变量的灵敏度。
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