CN116015134A - 一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电机控制技术领域，具体涉及一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，包括以下步骤：通过扩张状态观测器观测系统的总扰动，并将观测的总扰动嵌入到设计的控制器中作为前馈项对未知扰动进行补偿；设计一种改进的积分滑模面，并以此设计固定时间滑模控制器使系统状态能够固定时间内收敛，积分项能够有效的抑制抖振，增强控制器的性能；根据李雅普诺夫理论证明系统闭环稳定性；仿真实验证明该方法能够对扰动迅速进行补偿，有效抑制抖振，提高系统的跟踪性能，有效增强永磁同步电机伺服系统的控制精度和抗扰动能力，同时保证系统鲁棒性。

Description

一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法

技术领域：

本发明属于永磁同步电机控制技术领域，具体涉及一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法。

背景技术：

随着科学技术向着更高标准不断推进，永磁同步电机在应用中所要实现的功能和效果逐渐变得复杂多样起来。为了实现有限的建立时间，提出了终端滑模控制(TSMC)，但其控制规律存在奇异的风险。为了避免奇异问题，提出了非奇异终端滑模控制(NTSMC)，用于设计永磁同步电机系统的速度控制器。

由于传统控制方法很难达到理想控制效果，因此根据生产环境的不同，在实现扰动补偿的同时保证系统状态能够固定时间收敛，尽可能提升PMSM(永磁同步马达)系统的响应速度和控制精度成为亟待解决的问题，并由此出现了多种控制方法和控制器设计。例如针对航天器六自由度跟踪系统中存在的姿态跟踪误差、相对位置、抖振现象等问题，采用固定时间自适应技术，提出了一种无质量、无惯性矩阵、无扰动信息的连续自适应非奇异固定时间快速终端滑模控制方法；针对非完整移动机器人系统中存在的负载变化、摩擦、外部扰动等不确定性等问题，设计了一种基于扰动观测器的多变量固定定时转矩控制器；针对提高机器人机械手的跟踪精度和优化收敛时间问题，提出了一种固定时间自适应神经网络控制器；针对不确定非严格反馈非线性系统，设计了一种固定时间的自适应模糊反步控制方案，以实现优异的跟踪性能，并使状态在运行过程中保持在预定义的时变紧凑区域。

现有技术还存在一些问题，如PMSM应用中存在的状态变量初始值难以获取、抖振现象以及收敛时间无法保证的问题。

发明内容：

本发明的目的是为了克服现有技术的上述缺点，提出一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，通过扩张状态观测器所选取的固定时间滑模面的积分项可以有效的抑制抖振，同时保证系统状态能够固定时间收敛，加快系统响应速度，提高系统的抗扰动能力。

为了实现上述目的，本发明提供一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，包括以下步骤：

S1、建立永磁同步电机的数学模型：

其中，i_d、i_q分别代表d轴和q轴的电流；u_d、u_q分别代表d轴和q轴的电压；R_s为定子绕组电阻；L_d、L_q分别为d轴和q轴的电感；ψ_f为永磁体产生的磁链；n_p为永磁同步电机的极对数；ω为电机机械转子角速度；T_L为负载转矩；J为转动惯量；B为摩擦阻尼系数；

为了便于设计扩张状态观测器，对公式(2)进行如下变换

其中，u＝bi_q ^*；u为虚拟控制输入，代表为系统总扰动。

S2、设计扩张状态观测器

由式(3)可以看出，d是由负载转矩、扰动惯量、摩擦阻尼所构成的集总扰动，通过观测器把扰动观测出来并将其补偿之后，那么系统可以被近似为一阶积分型的系统，简化模型，减小计算量，对系统的总扰动进行估计，具体过程如下：

S2.1建立扩张状态观测器动力学模型：

其中，p₁＝2p，p₂＝-p²，p为扩张状态观测器极点；为对电机速度的估计；为系统总扰动d的估计；

S2.2定义扩张状态观测器观测误差：

其中，η₁为速度的观测误差，η₂为扰动的观测误差；

对公式(5)求导，可得观测误差动态方程为

S3、基于扩张状态观测器设计固定时间积分滑模控制器

通过扩张状态观测器观测系统的总扰动，并将观测的总扰动嵌入到设计的控制器中作为前馈项对总进行补偿，以此消除扰动对系统的影响；具体过程如下：

S3.1建立速度误差状态方程：

速度跟踪误差e为：

其中，ω^*为期望速度，ω为电机机械转子实际输出角速度；

对公式(7)求导，可得速度误差状态方程为

其中，

S3.2建立固定时间积分滑模控制器模型：

选择固定时间积分滑模面如下

其中，k₁和k₂为正实数，0＜α＜1，β＞1；

对公式(9)求导，得到滑模面的导数为

为了使滑模状态保持在滑模面上，设计固定时间积分滑模控制律为

其中，k₀、k₃、k₄均为正实数，且有k₀＞0.5，α₂＞1；

将公式(11)代入公式(10)，得

其中，且|n|≤n^*，n^*为正实数；

S4、选择李雅普诺夫函数，证明系统稳定性

考虑由永磁同步电机伺服系统、固定时间积分滑模控制器、扩张状态观测器组成的闭环控制系统，所有信号稳定并且跟踪误差能够在固定时间内收敛到足够小的区域内，选取三个李雅普诺夫函数分别证明系统状态趋近到滑模面上、系统状态从滑模面向原点“滑动”、跟踪误差收敛到一个足够小的区域，区域越少，电机速度越靠近期望值，也代表控制性能越强；具体过程如下：

证明：选取第一个Lyapunov函数

对公式(13)求导得

根据Young’s不等式，得

将(15)和(16)代入(14)得

其中，L₁＝min{2k₀-1,2k₃,2k₄,-1}，L₁,L₂为有界常值，因为估计误差η₂也有界，系统有限时间稳定；

接下来进一步证明误差系统可以固定时间稳定到滑模面上：

选取第二个Lyapunov函数为

对公式(18)求导得

其中，v＝1/2n²，|n|≤n^*有界，根据固定时间引理2可知，误差系统将固定时间到达滑模面，其收敛时间为：T≤1/(αθ(1-p))+1/(βθ(q-1))，α＝k₃，β＝k₄，p＝(α₁+1)/2，q＝(α₂+1)/2，0＜θ＜1；

当跟踪误差e稳定到滑模面时，公式(9)可以写成

选取第三个Lyapunov函数为

对公式(21)求导得

计算可知根据固定时间引理3可知，跟踪误差e将在固定时间内收敛到零；

假设跟踪误差动态方程(8)满足总扰动有界且扰动的变化率有界，则在所提控制策略下，滑模流形在有限时间收敛到跟踪误差e固定时间收敛到

证明：由公式(19)可得

由固定时间引理3可知，系统状态能够固定时间内趋向于滑模面。为了保证系统的固定时间稳定特性，需要满足条件即因此，只要|s|＞Θ₁，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|≤Θ₁。

此外，公式(19)也可以写成

根据公式(23)相同的原理，只需要满足条件即因此，只要|s|＞Θ₂，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|＜Θ₂；

由公式(10)得

因为|s|≤Θ，所以公式(12)可以改为

将(26)代入(12)，可得

因此，只要|e|＞(Λ/k₁)^1α＝Φ₁，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₁；

公式(27)同样可以写成

因此，只要|e|＞(Λ/k₂)^1β＝Φ₂，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₂。

本发明与现有技术相比，针对永磁同步电机系统，利用滑模思想，结合扩张状态观测器和固定时间积分滑模面，设计出一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法；扩张状态观测器对系统的总扰动进行估计，并且嵌入滑膜控制器中对扰动进行补偿；固定时间积分滑模面含有的积分项能够有效的抑制抖振，增强控制器的性能；复合控制器确保系统状态能够准确且迅速的对参考信号进行跟踪，实现快速收敛；该方法能够对扰动迅速进行补偿，提高了系统的鲁棒性，有效抑制抖振，同时提高了系统的跟踪性能，保证了系统的控制精度。

附图说明：

图1为本发明涉及的基于扩张状态观测器的固定时间积分滑模方法的流程原理示意图。

图2为本发明涉及的正弦信号期望下永磁同步电机观测的仿真图象。

图3为本发明涉及的阶跃信号期望下永磁同步电机观测的仿真图象。

图4为本发明涉及的复合时变信号期望下永磁同步电机观测的仿真图象。

图5为本发明涉及的正弦信号期望下永磁同步电机的速度跟踪仿真图像。

图6为本发明涉及的正弦信号期望下永磁同步电机的速度跟踪误差仿真图像。

图7为本发明涉及的正弦信号期望下永磁同步电机的控制输入仿真图像。

图8为本发明涉及的永磁同步电机转速200r/min下电机启动转速波形实验图像。

图9为本发明涉及的永磁同步电机转速200r/min下电机加减载转速波形仿实验图像。

图10为本发明涉及的永磁同步电机转速600r/min下电机启动转速波形、加减载转速波形实验图像。

图11为本发明涉及的永磁同步电机转速600r/min下电机加减载转速波形实验图像。

图12为本发明涉及的永磁同步电机转速1000r/min下电机启动转速波形、加减载转速波形实验图像。

图13为本发明涉及的永磁同步电机转速1000r/min下电机加减载转速波形实验图像。

具体实施公式：

下面通过具体实施例并结合附图对本发明做进一步说明。

实施例1：

本实施例涉及的基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，包括以下步骤：

S1、建立永磁同步电机的数学模型：

其中，i_d、i_q分别代表d轴和q轴的电流；U_d、U_q分别代表d轴和q轴的电压；R_s为定子绕组电阻；L_d、L_q分别为d轴和q轴的电感；ψ_f为永磁体产生的磁链；n_p为永磁同步电机的极对数；ω为电机机械转子角速度；T_L为负载转矩；J为转动惯量；B为摩擦阻尼系数；

为了便于设计扩张状态观测器，对公式(2)进行如下变换

其中，u＝bi_q ^*；u为虚拟控制输入，代表为系统总扰动。

S2、设计扩张状态观测器

由式(3)可以看出d是由负载转矩、扰动惯量、摩擦阻尼所构成的集总扰动，通过观测器把扰动观测出来并将其补偿之后，那么系统可以被近似为一阶积分型的系统，简化模型，减小计算量，对系统的总扰动进行估计具体过程如下：

S2.1建立扩张状态观测器动力学模型：

其中，p₁＝2p，p₂＝-p²，p为扩张状态观测器极点；，为对电机速度的估计；为系统总扰动d的估计；

S2.2定义扩张状态观测器观测误差：

其中，η₁为速度的观测误差，η₂为扰动的观测误差；

对公式(5)求导，可得观测误差动态方程为

S3、基于扩张状态观测器设计固定时间积分滑模控制器

通过扩张状态观测器观测系统的总扰动，并将观测的总扰动嵌入到设计的控制器中作为前馈项对总进行补偿，以此消除扰动对系统的影响。具体过程如下：

S3.1建立速度误差状态方程：

速度跟踪误差为：

e＝ω^*-ω       (7)

其中，ω^*为期望速度，ω为实际输出速度。

对公式(7)求导，可得速度误差状态方程为

其中，

S3.2建立固定时间积分滑模控制器模型：

选择固定时间积分滑模面如下

其中，k₁和k₂为正实数，0＜α＜1，β＞1；

对公式(9)求导，得到滑模面的导数为

为了使滑模状态保持在滑模面上，设计固定时间积分滑模控制律为

其中，k₀、k₃、k₄为正实数，且k₀＞0.5，α₂＞1；

将(11)代入(10)得

其中，且|n|≤n^*，n^*为正实数；

S4、选择李雅普诺夫函数，证明系统稳定性

考虑由永磁同步电机伺服系统，固定时间积分滑模控制器，扩张状态观测器组成的闭环控制系统，所有信号稳定并且跟踪误差能够在固定时间内收敛到足够小的区域内，选取三个李雅普诺夫函数分别证明系统状态趋近到滑模面上、系统状态从滑模面向原点“滑动”、跟踪误差收敛到一个足够小的区域，区域越少，电机速度越靠近期望值，也代表控制性能越强；具体过程如下：

证明：选取第一个Lyapunov函数

对公式(13)求导得

根据Young’s不等式，得

将(15)和(16)代入(14)得

其中，L₁＝min{2k₀-1,2k₃,2k₄,-1}，L₁,L₂为有界常值，因为估计误差η₂也有界，系统有限时间稳定；

接下来进一步证明误差系统能够固定时间稳定到滑模面上，

选取第二个Lyapunov函数为

对公式(18)求导得

其中，v＝1/2n²，|n|≤n^*有界，根据固定时间引理2可知，误差系统将固定时间到达滑模面，其收敛时间为：T≤1/(αθ(1-p))+1/(βθ(q-1))，α＝k₃，β＝k₄，p＝(α₁+1)/2，q＝(α₂+1)/2，0＜θ＜1；

当跟踪误差e稳定到滑模面时，公式(9)可以写成

选取第三个Lyapunov函数为

对公式(21)求导得

计算可知根据固定时间引理3可知，跟踪误差e将在固定时间内收敛到零。

假设跟踪误差动态方(8)满足总扰动有界且扰动的变化率有界，则在所提控制策略下，滑模流形在有限时间收敛到跟踪误差e固定时间收敛到Λ＝-k₀Θ-k₃Θ^α1-k₄Θ^α2+n；

证明：由公式(19)可得

由固定时间引理3可知，系统状态能够固定时间内趋近于滑模面；为了保证系统的固定时间稳定特性，需要满足条件即因此，只要|s|＞Θ₁，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|≤Θ₁；

公式(19)可以改写为

根据(23)相同的原理，只需要满足条件即因此，只要|s|＞Θ₂，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|＜Θ₂；

由公式(10)得

因为|s|≤Θ，所以公式(12)可以改写为

将公式(26)代入公式(12)，可得

因此，只要|e|＞(Λ/k₁)^1/α＝Φ₁，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₁。

此外，公式(27)也可以写成

因此，只要|e|＞(Λ/k₂)^1/β＝Φ₂，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₂。

本实施例涉及的固定时间引理均为现有技术，分别为：

引理1：考虑如下系统

x＝f(x),f(0)＝0,x∈Rⁿ       (1)

其中，f(·):Rⁿ→Rⁿ是连续函数，如果系统(1)的平衡x＝0是李亚普诺夫稳定的和有限时间收敛的，那么它是有限时间稳定的平衡，即存在一个函数T(x₀)使得且对所有t≥T(x₀)有x(t,x₀)＝0，其中x(t,x₀)＝0是系统(1)从x(0)＝x₀开始的解，如果系统(1)的平衡x＝0是有限时间稳定平衡，并且先前的有限收敛时间T(x₀)与初始状态无关，即T(x₀)对于所有x₀∈Rⁿ是个常数；

引理2：对于系统(1)，如果存在连续的正定函数V(x)，使得x∈Rⁿ，其中，α＞0,β＞0,0＜p＜1,q＞1，则系统是实际固定时间稳定的，固定建立时间表示为其中0＜θ＜1；

引理3：对于系统(1)，如果存在连续的正定函数V(x)使得其中，α>0，β>0，0<p<1，q>1，则系统是全局固定时间稳定的，固定建立时间表示为其中0＜θ＜1。

实施例2：

为了验证实施例1所述方法的可行性，本实施例先在在计算机matlab上对该控制方法进行的仿真分析，再通过北京灵思创奇公司研制开发的半实物仿真平台：LINKS-RT系统来进行的实验验证，并以基于扩张状态观测器线性滑模控制器和PI控制器进行对比。具体过程如下：

(一)仿真分析：电机模型仿真参数如表1所示，仿真模拟三种控制器参数如下所示：

(1)采用实施例1所述基于扩张状态观测器的固定时间积分滑模控制方法的控制器(ESO+FTSMC)的参数为：k₀＝5,k₁＝6,k₂＝8，k₃＝0.9，k₄＝0.9，p＝500，α＝0.7，β＝1.3，α₁＝0.88，α₂＝1.55；

(2)基于扩张状态观测器线性滑模控制器(ESO+LSMC)的参数为：k₀＝10,k₁＝6,α＝1，p＝500；

(3)PI控制器参数为：k_p＝15，k_i＝800。

表1永磁同步电机系统仿真参数

系统参数	数值	单位
			转动惯量p	0.003	<![CDATA[kg·m<sup>2</sup>]]>
<![CDATA[磁极对数n<sub>p</sub>]]>	4	—
			定子电阻R	2.875	Ω
<![CDATA[定子电感L<sub>d</sub>]]>	0.0085	H
			<![CDATA[转子电感L<sub>q</sub>]]>	0.0085	H
阻尼系数B	0.008	—
			<![CDATA[转子磁链ψ<sub>f</sub>]]>	0.32	Wb

三种控制器的仿真性能对比结果，如表2所示

表2三种控制方法仿真性能对比

将上述电机模型仿真参数和仿真模拟三种控制器参数代入实施例1的控制律和滑模控制器仿真模型中，得到仿真结果为：永磁同步电机在正弦信号d＝0.2sin(t)、阶跃信号d＝2.5、复合时变信号(见式(29))期望下观测的仿真图像如图2-4所示；永磁同步电机在正弦信号期望下的速度跟踪、速度跟踪误差、和控制输入仿真图像如图5-7所示；

从图2-4可以看出，所设计的扩张状态观测器能够有效快速的观测跟踪。

从图5-7可以看出，所设计的控制方法无明显抖振，具有良好的鲁棒性、控制性能和抗扰动能力。

(二)实验验证：主要包括两部分：一是对比三种控制器在电机启动过程中的控制性能；二是对比电机抗干扰能力，即当电机受到外部负载干扰时三种控制器的控制性能；具体步骤如下：

实验控制器参数如下所示：

(1)采用基于扩张状态观测器的固定时间积分滑模的控制器(ESO+FTSMC)的参数为：k₀＝1.5,k₁＝1.2,k₂＝8，k₃＝0.9，k₄＝0.9，p＝1000，α＝0.9，β＝0.5，α₁＝0.001，α₂＝1.2；

(2)基于扩张状态观测器线性滑模控制器(ESO+LSMC)的参数为：k₀＝20,k₁＝60,α＝1，p＝1000；

(3)PI控制器参数为：k_p＝0.4，k_i＝0.05。

三种控制器的实验性能对比结果如表3所示。

表3三种控制器的实验性能对比结果

将上述实验控制器参数载入LINKS-RT系统来进行实验验证，永磁同步电机转速200r/min、600r/min、1000r/min下电机启动转速波形、加减载转速波形实验图像示意图如图8-13所示。

从图8-13可以看出，所设计的控制方法误差小，精度高，响应快，可有效抑制抖振，具有良好的跟踪性能和控制精度。

综上所述，基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法能够对扰动迅速进行补偿，有效抑制抖振，提高了系统的跟踪性能和控制精度，同时能够保证系统的鲁棒性。

Claims (2)

1.一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、建立永磁同步电机的数学模型：

其中，i_d、i_q分别代表d轴和q轴的电流；u_d、u_q分别代表d轴和q轴的电压；R_s为定子绕组电阻；L_d、L_q分别为d轴和q轴的电感；ψ_f为永磁体产生的磁链；n_p为永磁同步电机的极对数；ω为电机机械转子角速度；T_L为负载转矩；J为转动惯量；B为摩擦阻尼系数；

为了便于设计扩张状态观测器，对公式(2)进行如下变换

其中，

u＝bi_q ^*；u为虚拟控制输入，

代表为系统总扰动；

S2、设计扩张状态观测器

由式(3)可以看出，d是由负载转矩、扰动惯量、摩擦阻尼所构成的集总扰动，通过观测器把扰动观测出来并将其补偿之后，那么系统能够被近似为一阶积分型的系统，简化模型，减小计算量，对系统的总扰动进行估计，具体过程如下：

S2.1建立扩张状态观测器动力学模型：

其中，p₁＝2p，p₂＝-p²，p为扩张状态观测器极点；

为对电机速度的估计；

为系统总扰动d的估计；

S2.2定义扩张状态观测器观测误差：

其中，η₁为速度的观测误差，η₂为扰动的观测误差；

对公式(5)求导，可得观测误差动态方程为

S3、基于扩张状态观测器设计固定时间积分滑模控制器

通过扩张状态观测器观测系统的总扰动，并将观测的总扰动嵌入到设计的控制器中作为前馈项对总进行补偿，以此消除扰动对系统的影响；具体过程如下：

S3.1建立速度误差状态方程：

速度跟踪误差e为：

e＝ω^*-ω               (7)

其中，ω^*为期望速度，ω为电机机械转子实际输出角速度；

对公式(7)求导，可得速度误差状态方程为

其中，

S3.2建立固定时间积分滑模控制器模型：

选择固定时间积分滑模面如下

其中，k₁和k₂为正实数，0＜α＜1，β＞1；

对公式(9)求导，得到滑模面的导数为

为了使滑模状态保持在滑模面上，设计固定时间积分滑模控制律为

其中，k₀、k₃、k₄均为正实数，且有k₀＞0.5，α₂＞1；

将公式(11)代入公式(10)，得

其中，

且|n|≤n^*，n^*为正实数；

S4、选择李雅普诺夫函数，证明系统稳定性

考虑由永磁同步电机伺服系统、固定时间积分滑模控制器、扩张状态观测器组成的闭环控制系统，所有信号稳定并且跟踪误差能够在固定时间内收敛到足够小的区域内，选取三个李雅普诺夫函数分别证明系统状态趋近到滑模面上、系统状态从滑模面向原点“滑动”、跟踪误差收敛到一个足够小的区域，区域越少，电机速度越靠近期望值，也代表控制性能越强。

2.根据权利要求1所述的基于扩张状态观测器的永磁同步电机固定时间积分滑模控制方法，其特征在于，步骤S4的具体过程如下：

选取第一个Lyapunov函数

对公式(13)求导得

根据Young’s不等式，得

将(15)和(16)代入(14)得

其中，L₁＝min{2k₀-1,2k₃,2k₄,-1}，

L₁,L₂为有界常值，因为估计误差η₂也有界，系统有限时间稳定；

接下来进一步证明误差系统可以固定时间稳定到滑模面上：

选取第二个Lyapunov函数为

对公式(18)求导得

其中，v＝1/2n²，|n|≤n^*有界，根据固定时间引理可知，误差系统将固定时间到达滑模面，其收敛时间为：T≤1/(αθ(1-p))+1/(βθ(q-1))，α＝k₃，β＝k₄，p＝(α₁+1)/2，q＝(α₂+1)/2，0＜θ＜1；

当跟踪误差e稳定到滑模面时，公式(9)可以写成

选取第三个Lyapunov函数为

对公式(21)求导得

计算可知

根据固定时间引理可知，跟踪误差e将在固定时间内收敛到零；

假设跟踪误差动态方程(8)满足总扰动有界且扰动的变化率有界，则在所提控制策略下，滑模流形在有限时间收敛到

跟踪误差e固定时间收敛到|e|≤Φ＝min{(Λ/k₁)^1/α,(Λ/k₂)^1/β}，

证明：由公式(19)可得

由固定时间引理可知，系统状态能够固定时间内趋向于滑模面；为了保证系统的固定时间稳定特性，需要满足条件

即

因此，只要|s|＞Θ₁，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|≤Θ₁；

此外，公式(19)也可以写成

根据公式(23)相同的原理，只需要满足条件

即

因此，只要|s|＞Θ₂，则滑模变量s能够在固定时间内到达|s|＜Θ₂；

由公式(10)得

因为|s|≤Θ，所以公式(12)可以改为

将(26)代入(12)，可得

因此，只要|e|＞(Λ/k₁)^1/α＝Φ₁，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₁；

公式(27)同样可以写成

因此，只要|e|＞(Λ/k₂)^1/β＝Φ₂，则跟踪误差e能够在固定时间内收敛到|e|≤Φ₂。

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