CN115983063A - 一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法 - Google Patents

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张学刚
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Abstract

本发明提供了一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，本方法首先需要建立具有规则齿面节点的齿轮副有限元模型，并对其求解，从而得齿面上任意节点处的接触压力值；利用所得齿面节点压力，通过数值积的分法来求解每一个参与啮合的齿面总压力，利用某一个齿面总压力除以所有参与啮合的齿面总压力，便可得到齿轮副的齿间载荷分配系数。本方法的优势是在对齿轮副进行力学分析的同时，就可以完成任意非标准齿轮副载荷分配系数的求解，从而达到减少复杂的理论计算的目的，同时，减小了使用传统的近似解法引起的求解误差。

Description

一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法
技术领域
本发明涉及齿轮强度设计技术领域，尤其是一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法。
背景技术
齿轮副在啮合过程中，轮齿的接触是交替进行的，有时为单齿接触，有时为双齿接触。在重合度较大的齿轮传动中，也可能是双齿接触和三齿接触交替出现。以单齿接触和双齿接触为例，分析齿轮某个特定轮齿在啮合周期内齿面上所受法向力Fn的演变规律；齿间载荷分配可为齿轮强度设计与弹流润滑分析奠定基础。
图1为齿轮啮合过程中的三个特殊啮合状态，图1(a)为齿轮刚进入啮合时的状态，1号和2号齿同时存在接触，2号齿的接触点位于齿根附近；随着啮合的进行，轮齿上的接触点变化到2号齿的中间位置，变为单齿接触状态，如图1(b)所示；在2号齿即将退出啮合时，接触点位于2号齿的齿顶位置，此时2号和3号齿处于双齿接触状态。对于2号齿，齿面上的接触点是从齿根到齿顶变化，在相同力矩T作用下接触点处的齿面曲率和载荷也随着啮合状态的改变而变化。齿轮在力矩T作用下，一个齿上所受的法向载荷Fn与整个齿轮上每个齿上所受法向载荷之和的比值称之为齿间载荷分配系数(LSF,load-sharing factor)。
在一个啮合周期中，2号齿的齿面接触印痕和相应的传动误差如图2所示，图2中，单齿接触只发生在轮齿的中间区域，双齿接触出现在进入啮合和退出啮合区域，图3中，在某一时刻，1号齿的接触位置为P1，2号齿的接触位置为P2，1号齿的传动误差大于2号齿的传动误差；随着啮合的进行，即将退出啮合的1号齿的传动误差增加，而进入啮合的2号齿传动误差减小，直到进入单齿啮合状态，这种传动误差的变化可以认为由齿面接触变形引起的。若2号齿进入啮合时的初始角度为θSTART，退出啮合时的终止角度为θEND，脱离双齿且进入单齿啮合时的角度为θLPSTC，脱离单齿且进入双齿啮合时的角度为θHPSTC，根据美国AGMA齿轮标准，2号齿的载荷分配系数可通过如下公式计算；
Figure BDA0003990475610000011
由于轮齿在啮合过程中既存在轮齿的弯曲变形，又存在齿面的接触变形，在齿轮加工安装过程中还存在误差，接触面上的载荷为非线性非均匀载荷；因此，通过传统的势能法和解析法求解齿间载荷分配比较复杂,且传统的齿间载荷分配理论只适合于标准齿轮副，对存在齿面修形和装配误差的齿轮副无效，所求得的载荷分配系数与实际情况存在较大误差。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，通过在对齿轮副进行力学分析的同时，就可以完成载荷分配的求解，以减小非标准齿轮载荷分配计算结果的误差。
一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，包括以下步骤：
S1、创建齿轮副有限元模型，要求创建的有限元模型齿面节点必须规则分布，即齿面节点数为Nl行，Np列；将齿轮的一个啮合周期(Q＝360/Z度，Z为齿数)分为m个接触瞬间，即，齿轮每旋转Q/m度，完成一次静力学分析，此时，便可以得到每一接触瞬间齿面的应力分布数据，直到完成m个接触瞬间的静力分析；
S2、齿轮副啮合，两配对齿面之间产生接触，使齿面产生接触压力和变形；若其中一个齿对另一个齿的法向载荷为Fn；在法向载荷Fn的作用下，齿面上任意一点的接触压力可用函数P(u,v)表示；在齿向方向建立坐标系中，将齿向上的接触压力分布P(v)表示在坐标系中，同理，齿廓方向上的压力分布通过P(u)表示，基于齿轮副有限元模型的求解结果(步骤S1)，便可得到齿面所有节点上的接触压力值P(u,v)；
S3、齿面的齿廓方向上接触压力分布函数P(u)计算公式如下：
Figure BDA0003990475610000021
式一中，u0为齿廓方向上的积分下限；uf为齿廓方向上的积分上限；
S4、有限元分析后所得节点的压力值为离散量，不能直接进行积分计算，通过数值积分方法中的梯形法来代替公式(一)，求解如下：
Figure BDA0003990475610000022
式二中，rn、rn+1为齿面上相邻两节点的位置向量；可在有限元模型中导出每个齿面上所有节点的位置向量数据；Pn、Pn+1为由齿轮有限元模型分析得到的与这些节点对应的接触压力值，n和n+1表示齿廓方向上相邻两结点的编号；
S5、第i(i＝1,2，···，m-1，m)个接触瞬时齿面上等效法向载荷Fni，通过对齿宽方向上的单位载荷积分来求解，公式如下：
Figure BDA0003990475610000023
S6、整个齿轮上所有参与啮合的轮齿总法向载荷求解如下：
Figure BDA0003990475610000024
S7、通过载荷分配系数的定义，某一个轮齿在第i个接触瞬时的载荷分配系数求解如下：
Figure BDA0003990475610000031
步骤S2中，所述变量u为齿向方向坐标值，变量v为齿廓方向的坐标值。
所述齿面上载荷单位为N/mm。
本发明的有益效果是：
1、本方法首先需要建立具有规则齿面节点的齿轮副有限元模型，并对其求解，从而得齿面上任意节点处的接触压力值；利用所得齿面节点压力，通过数值积的分法来求解每一个参与啮合的齿面总压力，利用某一个齿面总压力除以所有参与啮合的齿面总压力，便可得到齿轮副的齿间载荷分配系数。本方法的优势是在对齿轮副进行力学分析的同时，就可以完成任意非标准齿轮副载荷分配系数的求解，从而达到减少复杂的理论计算的目的，同时，减小了使用传统的近似解法引起的求解误差；在对齿轮副有限元分析的基础上求得齿面所有节点的接触压力值，从而对参与啮合的轮齿总法向载荷进行求解，可减少复杂的理论计算。
2、此方法，可实现任意非标准齿轮齿间载荷分配系数的计算，以减小利用美国AGMA标准公式近似求解带来的误差。
附图说明
图1为齿轮啮合过程时的结构图；
图2为齿轮啮合过程中齿面接触印痕的示意图；
图3为齿轮啮合过程中传动误差的示意图；
图4为齿面接触压力分布示意图；
图5为单齿有限元模型参数说明示意图；
图6为FEM和AGMA载荷分配系数对比示意图；
具体实施方式
实施例1
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
如图4所示，一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，包括以下步骤：
S1、创建齿轮副有限元模型，要求创建的有限元模型齿面节点必须规则分布，即齿面节点数为Nl行，Np列；将齿轮的一个啮合周期(Q＝360/Z度，Z为齿数)分为m个接触瞬间，即，齿轮每旋转Q/m度，完成一次静力学分析，此时，便可以得到每一接触瞬间齿面的应力分布数据，直到完成m个接触瞬间的静力分析；
S2、齿轮副啮合，两配对齿面之间产生接触，使齿面产生接触压力和变形；若其中一个齿对另一个齿的法向载荷为Fn；在法向载荷Fn的作用下，齿面上任意一点的接触压力可用函数P(u,v)表示；在齿向方向建立坐标系中，将齿向上的接触压力分布P(v)表示在坐标系中，同理，齿廓方向上的压力分布通过P(u)表示，基于齿轮副有限元模型的求解结果(步骤S1)，便可得到齿面所有节点上的接触压力值P(u,v)；
S3、齿面的齿廓方向上接触压力分布函数P(u)计算公式如下：
Figure BDA0003990475610000041
式一中，u0为齿廓方向上的积分下限；uf为齿廓方向上的积分上限；
S4、有限元分析后所得节点的压力值为离散量，不能直接进行积分计算，通过数值积分方法中的梯形法来代替公式(一)，求解如下：
Figure BDA0003990475610000042
式二中，rn、rn+1为齿面上相邻两节点的位置向量；可在有限元模型中导出每个齿面上所有节点的位置向量数据；Pn、Pn+1为由齿轮有限元模型分析得到的与这些节点对应的接触压力值，n和n+1表示齿廓方向上相邻两结点的编号；
S5、第i(i＝1,2，···，m-1，m)个接触瞬时齿面上等效法向载荷Fni，通过对齿宽方向上的单位载荷积分来求解，公式如下：
Figure BDA0003990475610000043
S6、整个齿轮上所有参与啮合的轮齿总法向载荷求解如下：
Figure BDA0003990475610000044
S7、通过载荷分配系数的定义，某一个轮齿在第i个接触瞬时的载荷分配系数求解如下：
Figure BDA0003990475610000045
步骤S2中，所述变量u为齿向方向坐标值，变量v为齿廓方向的坐标值。
所述齿面上载荷单位为N/mm。
本发明的有益效果是：
在对齿轮副有限元分析的基础上求得齿面所有节点的接触压力值，从而对参与啮合的轮齿总法向载荷进行求解，可减少复杂的理论计算。
此方法，可实现任意非标准齿轮齿间载荷分配系数的计算，以减小利用美国AGMA标准公式近似求解带来的误差。
齿间载荷分配计算例如下：
下面以某参数的曲线圆柱齿轮副作为分析对象，齿轮副参数为：大齿轮齿数为40，小齿轮齿数为31，模数为4mm，加工两齿轮的刀盘半径均为60mm，材料弹性模量为208000MPa，泊松比为0.298，摩擦系数为0.25，从动轮阻力矩为150N·m。分析时考查齿轮副一个完整啮合周期(保证一个轮齿从进入啮合到退出啮合)内的最齿间载荷分配，将一个完整的啮合周期均匀分割为21个接触位置，分别对每一个接触位置的载荷分配系数(LSFi,i＝1,2，…,21)进行计算。
此外，本算例中齿轮副的有限元模型采用三齿模型，图5为单齿模型的单元数量说明，齿面单元数量取Np×Nl＝50×40，齿厚方向的单元数Nc＝6，齿面表层附近网格密度适当增加，轮齿过渡曲面不存在接触行为单元个数为Nf＝6，齿圈上的单元数为Nr＝5。
计算本算例AGMA载荷分配系数的基本角度可通过TCA(轮齿接触分析)法求解，求解结果分别为：θSTART＝-9.64°，θEND＝9.95°，θLPSTC＝-1.66°，θHPSTC＝1.97°，讲这些角度参数代入式(a)中，便可求解AGMA载荷分配系数；有限元法所求解的齿面载荷分配系数可通过编程自动提取计算结果，两种方法所求结果如图6所示，从图6可以看出，两种求解方法所得的单齿啮合区相同，双齿啮合区的载荷分配系数存在一定的偏差；这主要是因为轮齿在力矩作用下，齿根出现弯曲变形，以及齿顶棱接触所致，而AGMA法并没有考虑载荷导致的轮齿变形问题，这和Spitas等人通过实验测得结果所引起的偏差规律基本一致。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，其特征在于；包括以下步骤：
S1、创建齿轮副有限元模型，要求创建的有限元模型齿面节点规则分布，即齿面节点数为Nl行，Np列；将齿轮的一个啮合周期(Q＝360/Z度，Z为齿数)分为m个接触瞬间，即，齿轮每旋转Q/m度，完成一次静力学分析，此时，得到每一接触瞬间齿面的应力分布数据，直到完成m个接触瞬间的静力分析；
S2、齿轮副啮合，两配对齿面之间产生接触，使齿面产生接触压力和变形；若其中一个齿对另一个齿的法向载荷为Fn；在法向载荷Fn的作用下，齿面上任意一点的接触压力用函数P(u,v)表示；在齿向方向建立坐标系中，将齿向上的接触压力分布P(v)表示在坐标系中，同理，齿廓方向上的压力分布通过P(u)表示，基于齿轮副有限元模型的求解结果(步骤S1)，便得到齿面所有节点上的接触压力值P(u,v)；
S3、齿面的齿廓方向上接触压力分布函数P(u)计算公式如下：
Figure FDA0003990475600000011
式一中，u0为齿廓方向上的积分下限；uf为齿廓方向上的积分上限；
S4、有限元分析后所得节点的压力值为离散量，不能直接进行积分计算，通过数值积分方法中的梯形法来代替公式(一)，求解如下：
Figure FDA0003990475600000012
式二中，rn、rn+1为齿面上相邻两节点的位置向量；在有限元模型中导出每个齿面上所有节点的位置向量数据；Pn、Pn+1为由齿轮有限元模型分析得到的与这些节点对应的接触压力值，n和n+1表示齿廓方向上相邻两结点的编号；
S5、第i(i＝1,2，···，m-1，m)个接触瞬时齿面上等效法向载荷Fni，通过对齿宽方向上的单位载荷积分来求解，公式如下：
Figure FDA0003990475600000013
S6、整个齿轮上所有参与啮合的轮齿总法向载荷求解如下：
Figure FDA0003990475600000014
S7、通过载荷分配系数的定义，某一个轮齿在第i个接触瞬时的载荷分配系数求解如下：
Figure FDA0003990475600000015
2.如权利要求1所述的一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，其特征在于：步骤S1中，所述变量u为齿向方向坐标值，变量v为齿廓方向的坐标值。
3.如权利要求1所述的一种基于有限元法的齿间载荷分配系数求解方法，其特征在于：所述齿面上载荷单位为N/mm。
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