CN115691714A - 平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法 - Google Patents

平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法 Download PDF

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CN115691714A CN202211328609.2A CN202211328609A CN115691714A CN 115691714 A CN115691714 A CN 115691714A CN 202211328609 A CN202211328609 A CN 202211328609A CN 115691714 A CN115691714 A CN 115691714A
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Abstract

本发明公开了一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，包括以下步骤：建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系，基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系，建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系，建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。

Description

平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法
技术领域
本发明涉及平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，属于推进剂粘弹性本构关系技术领域。
背景技术
推进剂属于典型的粘弹性材料，其泊松比、模量等力学参数与加载时间以及加载温度息息相关。一直以来，为了计算方便，将推进剂的泊松比处理成常数。仿真结果表明，泊松比的细微变化，将会严重影响固体火箭发动机结构完整性计算的结果。为此，推进剂的本构关系有必要考虑泊松比的粘弹性特性。
近年来，计算机仿真手段不断更新，已经有相关研究成果将推进剂的三维本构关系考虑粘弹性泊松比的效应，并且给出了详细的数值化方法。然而，对于二维平面应力问题，考虑粘弹性泊松比的推进剂本构关系尚未有具体的研究成果。
发明内容
为解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，能对推进剂的粘弹性泊松比效应进行准确描述。
为了实现上述目标，本发明采用如下的技术方案：
一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，包括以下步骤：
建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系；
基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系；
建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
进一步地，前述平面应力状态下弹性材料的应力应变关系表达式为：
Figure BDA0003909969780000011
式中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε12分别代表x，y， xy方向的应变，E、ν和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量。
进一步地，前述建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系，包括以下步骤：
建立平面应力条件下本构关系的球偏分解关系：
Figure BDA0003909969780000021
Figure BDA0003909969780000022
式中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量；
在球偏分解关系中，考虑粘弹性泊松比，得到含粘弹性泊松比的推进剂本构关系：
Figure BDA0003909969780000023
Figure BDA0003909969780000024
Figure BDA0003909969780000025
式中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比，t、θ以及ξ分别代表加载时间、考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数。
进一步地，前述松弛模量的表达式为
Figure BDA0003909969780000026
式中，En和
Figure BDA0003909969780000027
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数， E0为初始松弛模量；
粘弹性泊松比表达式为：
Figure BDA0003909969780000028
式中，ν∞表示平衡泊松比，νn和
Figure BDA0003909969780000029
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nν表示粘弹性泊松比Prony级数的项数。
进一步地，前述建立偏张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(1)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure BDA00039099697800000210
式中，ΔSij()、
Figure BDA00039099697800000211
以及
Figure BDA00039099697800000212
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure BDA0003909969780000031
Figure BDA0003909969780000032
Figure BDA0003909969780000033
Figure BDA0003909969780000034
Figure BDA0003909969780000035
对
Figure BDA0003909969780000036
以及
Figure BDA0003909969780000037
求解，带入公式(3)得
Figure BDA0003909969780000038
Figure BDA0003909969780000039
Figure BDA00039099697800000310
Figure BDA00039099697800000311
Figure BDA00039099697800000312
Figure BDA00039099697800000313
Figure BDA00039099697800000314
Figure BDA00039099697800000315
Figure BDA00039099697800000316
式中，
Figure BDA00039099697800000317
γν()、
Figure BDA00039099697800000318
γE()、
Figure BDA00039099697800000319
以及
Figure BDA00039099697800000320
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量、偏应力张量辅助第四变量、偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。
进一步地，前述建立球张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(2)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure BDA0003909969780000041
式中，Δσkk()、
Figure BDA0003909969780000042
以及
Figure BDA0003909969780000043
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure BDA0003909969780000044
Figure BDA0003909969780000045
Figure BDA0003909969780000046
Figure BDA0003909969780000047
Figure BDA0003909969780000048
对
Figure BDA0003909969780000049
以及
Figure BDA00039099697800000410
求解，带入公式(4)得
Figure BDA00039099697800000411
式中，
Figure BDA00039099697800000412
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量，其对应表达式分别为：
Figure BDA00039099697800000413
本发明所达到的有益效果：
本发明是针对现有的推进剂平面应力本构关系不能精确描述粘弹性泊松比效应的问题，在现有的弹性平面应力本构关系基础上，考虑粘弹性泊松比效应，建立平面应力条件下的推进剂精细本构关系。在现有的球偏分解状态下，弹性平面应力本构关系基础上构建的考虑粘弹性泊松比的推进剂平面应力本构关系，不仅可以真实地反映推进剂的粘弹性泊松比效应，还可以方便地开展本构关系的数值化计算。
具体实施方式
下面通过具体实施例对本发明技术方案做详细的说明，应当理解本申请实施例以及实施例中的具体特征是对本申请技术方案的详细的说明，而不是对本申请技术方案的限定，在不冲突的情况下，本申请实施例以及实施例中的技术特征可以相互组合。
本实施例公开了一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，实施步骤包括：
1)建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系；
2)基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系；
3)建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
4)建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
具体地，步骤1)中引入的描述平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系，如式(1) 所示；
Figure BDA0003909969780000051
其中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε33、ε12、ε23以及ε13分别代表x，y，z、xy、yz以及xz方向的应变。E、ν和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量。
将上式整理成矩阵的形式，
Figure BDA0003909969780000052
相应地，步骤2)，由以上式子整理可得弹性材料平面应力条件下本构关系的球偏分解关系
Figure BDA0003909969780000053
其中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量。
进一步，步骤2)参考以上本构关系，可以得到平面应力下，考虑粘弹性泊松比的推进剂本构关系
Figure BDA0003909969780000054
Figure BDA0003909969780000061
Figure BDA0003909969780000062
其中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比。t、θ以及ξ分别代表加载时间，考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数。
松弛模量的表达式为
Figure BDA0003909969780000063
其中，En和
Figure BDA0003909969780000064
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数。 E0为初始松弛模量。
粘弹性泊松比的表达式为
Figure BDA0003909969780000065
其中，ν∞表示平衡泊松比，νn和
Figure BDA0003909969780000066
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nν表示粘弹性泊松比Prony级数的项数，
Figure BDA0003909969780000067
代表初始泊松比。
根据Stieltjes卷积定理，式(4)和式(5)可进一步表示成
Figure BDA0003909969780000068
Figure BDA0003909969780000069
步骤3)中本构方程偏张量部分表达式
基于式(8)，在tm时刻有如下形式
Figure BDA00039099697800000610
基于式(8)，在tm+1时刻有
Figure BDA00039099697800000611
上面两式相减可得推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系
Figure BDA0003909969780000071
上述表达式在形式上比较复杂，为便于数值分析，将其改写成如下形式
Figure BDA0003909969780000072
其中，ΔSij()、
Figure BDA0003909969780000073
以及
Figure BDA0003909969780000074
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量。
其中，
Figure BDA0003909969780000075
Figure BDA0003909969780000076
Figure BDA0003909969780000077
Figure BDA0003909969780000078
Figure BDA0003909969780000079
整理可得
Figure BDA00039099697800000710
Figure BDA00039099697800000711
Figure BDA00039099697800000712
Figure BDA00039099697800000713
整理有
Figure BDA00039099697800000714
即
Figure BDA0003909969780000081
Figure BDA0003909969780000082
其中，
Figure BDA0003909969780000083
γν()、
Figure BDA0003909969780000084
以及
Figure BDA0003909969780000085
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量以及偏应力张量辅助第四变量。
Figure BDA0003909969780000086
是与粘弹性泊松比相关的张量，n取值范围为1至Nν。γν()是与粘弹性泊松比相关的标量。
Figure BDA0003909969780000087
是与粘弹性泊松比相关的标量，n取值范围为1至Nν。
Figure BDA0003909969780000088
其中，
Figure BDA0003909969780000089
γE()、
Figure BDA00039099697800000810
以及
Figure BDA00039099697800000811
分别表示偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。
Figure BDA00039099697800000812
是与松弛模量相关的张量， n取值范围为1至NE。γE()是与松弛模量相关的标量。
Figure BDA00039099697800000813
是与松弛模量相关的标量，n取值范围为1至NE。
相应地，步骤4)中本构方程球张量部分表达式
基于式(9)，在tm时刻有如下形式
Figure BDA00039099697800000814
基于式(9)，在tm+1时刻有
Figure BDA0003909969780000091
上面两式相减可得推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系
Figure BDA0003909969780000092
上述表达式在形式上比较复杂，为便于数值分析，将其改写成如下形式
Figure BDA0003909969780000093
其中，Δσkk()、
Figure BDA0003909969780000094
以及
Figure BDA0003909969780000095
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量。
其中，
Figure BDA0003909969780000096
Figure BDA0003909969780000097
Figure BDA0003909969780000098
Figure BDA0003909969780000099
Figure BDA00039099697800000910
整理可得
Figure BDA00039099697800000911
Figure BDA00039099697800000912
Figure BDA00039099697800000913
Figure BDA00039099697800000914
Figure BDA00039099697800000915
其中，
Figure BDA0003909969780000101
其中，
Figure BDA0003909969780000102
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系；
基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系；
建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
2.根据权利要求1所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述平面应力状态下弹性材料的应力应变关系表达式为：
Figure FDA0003909969770000011
式中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε12分别代表x，y，xy方向的应变，E、ν和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量。
3.根据权利要求2所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系，包括以下步骤：
建立平面应力条件下本构关系的球偏分解关系：
Figure FDA0003909969770000012
Figure FDA0003909969770000013
式中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量；
在球偏分解关系中，考虑粘弹性泊松比，得到含粘弹性泊松比的推进剂本构关系：
Figure FDA0003909969770000014
Figure FDA0003909969770000015
Figure FDA0003909969770000016
式中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比，t、θ以及ξ分别代表加载时间、考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数。
4.根据权利要求3所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述松弛模量的表达式为
Figure FDA0003909969770000021
式中，En和
Figure FDA0003909969770000022
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数，E0为初始松弛模量；
所述粘弹性泊松比表达式为：
Figure FDA0003909969770000023
式中，ν∞表示平衡泊松比，νn和
Figure FDA0003909969770000024
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nν表示粘弹性泊松比Prony级数的项数。
5.根据权利要求4所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述建立偏张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(1)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure FDA0003909969770000025
式中，ΔSij()、
Figure FDA0003909969770000026
以及
Figure FDA0003909969770000027
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure FDA0003909969770000028
Figure FDA0003909969770000029
Figure FDA00039099697700000210
Figure FDA00039099697700000211
Figure FDA00039099697700000212
对
Figure FDA00039099697700000213
以及
Figure FDA00039099697700000214
求解，带入公式(3)得
Figure FDA0003909969770000031
Figure FDA0003909969770000032
Figure FDA0003909969770000033
Figure FDA0003909969770000034
Figure FDA0003909969770000035
Figure FDA0003909969770000036
Figure FDA0003909969770000037
Figure FDA0003909969770000038
Figure FDA0003909969770000039
式中，
Figure FDA00039099697700000310
γν()、
Figure FDA00039099697700000311
γE()、
Figure FDA00039099697700000312
以及
Figure FDA00039099697700000313
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量、偏应力张量辅助第四变量、偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。
6.根据权利要求5所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述建立球张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(2)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure FDA00039099697700000314
式中，Δσkk()、
Figure FDA00039099697700000315
以及
Figure FDA00039099697700000316
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure FDA00039099697700000317
Figure FDA00039099697700000318
Figure FDA00039099697700000319
Figure FDA0003909969770000041
Figure FDA0003909969770000042
对
Figure FDA0003909969770000043
以及
Figure FDA0003909969770000044
求解，带入公式(4)得
Figure FDA0003909969770000045
式中，
Figure FDA0003909969770000046
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量，其对应表达式分别为：
Figure FDA0003909969770000047
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