CN115691714B - 平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，包括以下步骤：建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系，基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系，建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系，建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。

Description

平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法
技术领域
本发明涉及平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，属于推进剂粘弹性本构关系技术领域。
背景技术
推进剂属于典型的粘弹性材料，其泊松比、模量等力学参数与加载时间以及加载温度息息相关。一直以来，为了计算方便，将推进剂的泊松比处理成常数。仿真结果表明，泊松比的细微变化，将会严重影响固体火箭发动机结构完整性计算的结果。为此，推进剂的本构关系有必要考虑泊松比的粘弹性特性。
近年来，计算机仿真手段不断更新，已经有相关研究成果将推进剂的三维本构关系考虑粘弹性泊松比的效应，并且给出了详细的数值化方法。然而，对于二维平面应力问题，考虑粘弹性泊松比的推进剂本构关系尚未有具体的研究成果。
发明内容
为解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，能对推进剂的粘弹性泊松比效应进行准确描述。
为了实现上述目标，本发明采用如下的技术方案：
一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，包括以下步骤：
建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系平面应力状态下弹性材料的应力应变关系表达式为：
Figure SMS_1
式中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε12分别代表x，y，xy方向的应变，E、ν和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量；
基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系：
建立平面应力条件下本构关系的球偏分解关系：
Figure SMS_2
式中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量；
基于前述球偏分解关系中，推进剂本构关系表达式为：
Figure SMS_3
Figure SMS_4
Figure SMS_5
式中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比，t、θ以及ξ分别代表加载时间、考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数；
建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
进一步地，前述松弛模量的表达式为
Figure SMS_6
式中，En和
Figure SMS_7
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数，E0为初始松弛模量；
粘弹性泊松比表达式为：
Figure SMS_8
式中，v∞表示平衡泊松比，vn和
Figure SMS_9
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nv表示粘弹性泊松比Prony级数的项数。
进一步地，前述建立偏张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(5)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure SMS_10
式中，ΔSij()、
Figure SMS_11
以及/>
Figure SMS_12
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure SMS_13
Figure SMS_14
Figure SMS_15
Figure SMS_16
Figure SMS_17
对
Figure SMS_18
以及/>
Figure SMS_19
求解，带入公式(14)得
Figure SMS_20
Figure SMS_21
Figure SMS_22
式中，
Figure SMS_23
γv()、/>
Figure SMS_24
γE()、/>
Figure SMS_25
以及/>
Figure SMS_26
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量、偏应力张量辅助第四变量、偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。
进一步地，前述建立球张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(6)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure SMS_27
式中，Δσkk()、
Figure SMS_28
以及/>
Figure SMS_29
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure SMS_30
Figure SMS_31
Figure SMS_32
Figure SMS_33
Figure SMS_34
对
Figure SMS_35
以及/>
Figure SMS_36
求解，带入公式(31)得
Figure SMS_37
式中，
Figure SMS_38
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量，其对应表达式分别为：
Figure SMS_39
本发明所达到的有益效果：
本发明是针对现有的推进剂平面应力本构关系不能精确描述粘弹性泊松比效应的问题，在现有的弹性平面应力本构关系基础上，考虑粘弹性泊松比效应，建立平面应力条件下的推进剂精细本构关系。在现有的球偏分解状态下，弹性平面应力本构关系基础上构建的考虑粘弹性泊松比的推进剂平面应力本构关系，不仅可以真实地反映推进剂的粘弹性泊松比效应，还可以方便地开展本构关系的数值化计算。
具体实施方式
下面通过具体实施例对本发明技术方案做详细的说明，应当理解本申请实施例以及实施例中的具体特征是对本申请技术方案的详细的说明，而不是对本申请技术方案的限定，在不冲突的情况下，本申请实施例以及实施例中的技术特征可以相互组合。
本实施例公开了一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，实施步骤包括：
1)建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系；
2)基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系；
3)建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
4)建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
具体地，步骤1)中引入的描述平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系，如式(1)所示；
Figure SMS_40
其中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε33、ε12、ε23以及ε13分别代表x，y，z、xy、yz以及xz方向的应变。E、v和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量。
将上式整理成矩阵的形式，
Figure SMS_41
相应地，步骤2)，由以上式子整理可得弹性材料平面应力条件下本构关系的球偏分解关系
Figure SMS_42
其中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量。
进一步，步骤2)参考以上本构关系，可以得到平面应力下，考虑粘弹性泊松比的推进剂本构关系
Figure SMS_43
Figure SMS_44
Figure SMS_45
其中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比。t、θ以及ξ分别代表加载时间，考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数。
松弛模量的表达式为
Figure SMS_46
其中，En和
Figure SMS_47
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数。E0为初始松弛模量。
粘弹性泊松比的表达式为
Figure SMS_48
其中，v∞表示平衡泊松比，vn和
Figure SMS_49
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nv表示粘弹性泊松比Prony级数的项数，/>
Figure SMS_50
代表初始泊松比。
根据Stieltjes卷积定理，式(5)和式(6)可进一步表示成
Figure SMS_51
Figure SMS_52
步骤3)中本构方程偏张量部分表达式
基于式(9)，在tm时刻有如下形式
Figure SMS_53
基于式(9)，在tm+1时刻有
Figure SMS_54
上面两式相减可得推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系
Figure SMS_55
上述表达式在形式上比较复杂，为便于数值分析，将其改写成如下形式
Figure SMS_56
其中，ΔSij()、
Figure SMS_57
以及/>
Figure SMS_58
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量。
其中，
Figure SMS_59
Figure SMS_60
Figure SMS_61
Figure SMS_62
Figure SMS_63
整理可得
Figure SMS_64
Figure SMS_65
Figure SMS_66
Figure SMS_67
整理有
Figure SMS_68
即
Figure SMS_69
Figure SMS_70
其中，
Figure SMS_71
γv()、/>
Figure SMS_72
以及/>
Figure SMS_73
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量以及偏应力张量辅助第四变量。/>
Figure SMS_74
是与粘弹性泊松比相关的张量，n取值范围为1至Nv。γv()是与粘弹性泊松比相关的标量。/>
Figure SMS_75
是与粘弹性泊松比相关的标量，n取值范围为1至Nν。
Figure SMS_76
其中，
Figure SMS_77
以及/>
Figure SMS_78
分别表示偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。/>
Figure SMS_79
是与松弛模量相关的张量，n取值范围为1至NE。γE()是与松弛模量相关的标量。/>
Figure SMS_80
是与松弛模量相关的标量，n取值范围为1至NE。
相应地，步骤4)中本构方程球张量部分表达式
基于式(10)，在tm时刻有如下形式
Figure SMS_81
基于式(10)，在tm+1时刻有
Figure SMS_82
上面两式相减可得推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系
Figure SMS_83
上述表达式在形式上比较复杂，为便于数值分析，将其改写成如下形式
Figure SMS_84
其中，Δσkk()、
Figure SMS_85
以及/>
Figure SMS_86
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量。
其中，
Figure SMS_87
Figure SMS_88
Figure SMS_89
Figure SMS_90
Figure SMS_91
整理可得
Figure SMS_92
Figure SMS_93
Figure SMS_94
Figure SMS_95
Figure SMS_96
其中，
Figure SMS_97
其中，
Figure SMS_98
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立平面应力状态下一般弹性材料的应力应变关系，所述平面应力状态下弹性材料的应力应变关系表达式为：
Figure FDA0004164594450000011
式中，σ11、σ22以及σ12分别代表x、y以及xy方向的应力，ε11、ε22、ε12分别代表x，y，xy方向的应变，E、ν和G分别代表弹性材料的模量、泊松比和剪切模量；
基于应力应变关系，考虑粘弹性泊松比，建立球偏分解状态下的推进剂精细本构关系：
建立平面应力条件下本构关系的球偏分解关系：
Figure FDA0004164594450000012
式中，Sij和eij分别表示弹性材料的偏应力以及偏应变张量，σkk和εkk分别表示弹性材料的球应力以及球应变张量；
基于前述球偏分解关系，推进剂本构关系表达式为：
Figure FDA0004164594450000013
Figure FDA0004164594450000014
Figure FDA0004164594450000015
式中，δij表示本构关系，σij()、Sij()和σkk()分别表示推进剂的应力张量、偏应力张量以及球应力张量，eij()和εkk()分别表示推进剂的偏应变张量以及球应变张量，E()、ν()分别表示推进剂的松弛模量、粘弹性泊松比，t、θ以及ξ分别代表加载时间、考虑泊松比时温效应的缩减时间以及考虑松弛模量时温效应的缩减时间，τ、θ′以及ξ′分别代表t、θ以及ξ的被积数；
建立推进剂精细本构关系中偏张量部分的增量关系；
建立推进剂精细本构关系中球张量部分的增量关系。
2.根据权利要求1所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述松弛模量的表达式为
Figure FDA0004164594450000021
式中，En和
Figure FDA0004164594450000022
分别表示第n项松弛模量的两个参数，NE表示松弛模量Prony级数的项数，E0为初始松弛模量；
所述粘弹性泊松比表达式为：
Figure FDA0004164594450000023
式中，ν∞表示平衡泊松比，vn和
Figure FDA0004164594450000024
分别表示第n项粘弹性泊松比的两个参数，Nν表示粘弹性泊松比Prony级数的项数。
3.根据权利要求2所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述建立偏张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(5)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure FDA0004164594450000025
式中，ΔSij()、
Figure FDA0004164594450000026
以及/>
Figure FDA0004164594450000027
分别表示偏应力增量、偏应力增量第一分量、偏应力增量第二分量、偏应力增量第三分量、偏应力增量第四分量以及偏应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure FDA0004164594450000028
Figure FDA0004164594450000029
Figure FDA00041645944500000210
Figure FDA00041645944500000211
Figure FDA00041645944500000212
对
Figure FDA00041645944500000213
以及/>
Figure FDA00041645944500000214
求解，带入公式(14)得
Figure FDA00041645944500000215
Figure FDA0004164594450000031
Figure FDA0004164594450000032
式中，
Figure FDA0004164594450000033
γv()、/>
Figure FDA0004164594450000034
γE()、/>
Figure FDA0004164594450000035
以及/>
Figure FDA0004164594450000036
分别表示偏应力张量辅助第一变量、偏应力张量辅助第二变量、偏应力张量辅助第三变量、偏应力张量辅助第四变量、偏应力张量辅助第五变量、偏应力张量辅助第六变量、偏应力张量辅助第七变量以及偏应力张量辅助第八变量。
4.根据权利要求3所述的一种平面应力状态下推进剂精细本构关系及数值化方法，其特征在于，所述建立球张量部分的增量关系的步骤包括：
对公式(6)，求解tm+1时刻和tm时刻的增长量得
Figure FDA0004164594450000037
式中，Δσkk()、
Figure FDA0004164594450000038
以及/>
Figure FDA0004164594450000039
分别表示球应力增量、球应力增量第一分量、球应力增量第二分量、球应力增量第三分量、球应力增量第四分量以及球应力增量第五分量，其对应表达式分别为：
Figure FDA00041645944500000310
Figure FDA00041645944500000311
Figure FDA00041645944500000312
Figure FDA00041645944500000313
Figure FDA00041645944500000314
对
Figure FDA0004164594450000041
以及/>
Figure FDA0004164594450000042
求解，带入公式(31)得
Figure FDA0004164594450000043
式中，
Figure FDA0004164594450000044
分别表示球应力张量辅助第一变量、球应力张量辅助第二变量，其对应表达式分别为：
Figure FDA0004164594450000045
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