CN115619983B - 一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法 - Google Patents

一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法 Download PDF

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CN115619983B CN202211535891.1A CN202211535891A CN115619983B CN 115619983 B CN115619983 B CN 115619983B CN 202211535891 A CN202211535891 A CN 202211535891A CN 115619983 B CN115619983 B CN 115619983B
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Abstract

本发明实施例中提供了一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，属于图像生成技术领域，具体包括：步骤1，对于三维空间中一组点集，根据每个点处相应的单位法向量和平均曲率建立隐函数的约束条件；步骤2，将径向基函数推广得到其二阶导形式，并将其作为步骤1中的隐函数；步骤3，使用高次幂径向基核函数并根据隐函数需要满足的约束条件建立求解方程组；步骤4，将求解方程组组装为求解矩阵，并求解得到待定系数，将隐函数的零水平集可视化，得到隐式曲面；步骤5，修改相应控制点处的平均曲率，重复步骤3和步骤4获得更新后的隐式曲面。通过本发明的方案，提高了隐式曲面生成的可控性和准确性，降低了生成过程中对控制点的依赖性。

Description

一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法
技术领域
本发明实施例涉及图像生成技术领域，尤其涉及一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法。
背景技术
目前，径向基函数插值法是许多隐式曲面生成问题中采用的方法，该方法通常会选择一个合适的核函数，利用离散点位置信息与法向量信息约束隐函数以重建曲面，然而对于稀疏点云数据，由于缺少控制点，生成的隐式曲面与实际情况存在较大误差；且使用法向量信息约束对于隐式曲面表达的控制能力有限，对于点云稀疏区域，重建的曲面往往不能正确表达。
可见，亟需一种提高隐式曲面生成的可控性和准确性，降低曲面生成过程中对控制点的依赖性的基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法。
发明内容
有鉴于此，本发明实施例提供一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，至少部分解决现有技术中存在隐式曲面生成的可控性和准确性较差的问题。
本发明实施例提供了一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，包括：
步骤1，对于三维空间中一组点集
Figure 998226DEST_PATH_IMAGE001
，根据每个点处相应的单位法向量
Figure 180946DEST_PATH_IMAGE002
和平均曲率
Figure 491842DEST_PATH_IMAGE003
建立隐函数
Figure 418209DEST_PATH_IMAGE004
的约束条件；
步骤2，将径向基函数推广得到其二阶导形式，并将其作为步骤1中的隐函数
Figure 763740DEST_PATH_IMAGE005
；
步骤3，使用高次幂径向基核函数并根据隐函数
Figure 851782DEST_PATH_IMAGE006
的约束条件建立求解方程组；
步骤4，将求解方程组组装为求解矩阵，并求解得到待定系数
Figure 649973DEST_PATH_IMAGE007
，
Figure 380032DEST_PATH_IMAGE008
，
Figure 580069DEST_PATH_IMAGE009
，使用Marching cubes算法将隐函数
Figure 107521DEST_PATH_IMAGE010
的零水平集可视化，得到隐式曲面；
步骤5，修改相应控制点处的平均曲率
Figure 393009DEST_PATH_IMAGE011
，重复步骤3和步骤4获得更新后的隐式曲面。
根据本发明实施例的一种具体实现方式，所述隐函数
Figure 395600DEST_PATH_IMAGE012
满足
Figure 450144DEST_PATH_IMAGE013
其中，
Figure 145567DEST_PATH_IMAGE014
表示梯度运算，
Figure 918351DEST_PATH_IMAGE015
表示计算
Figure 724633DEST_PATH_IMAGE016
处的平均曲率，其具有以下形式：
Figure 633683DEST_PATH_IMAGE017
其中
Figure 500008DEST_PATH_IMAGE018
表示
Figure 494509DEST_PATH_IMAGE019
范数，
Figure 838903DEST_PATH_IMAGE020
表示Laplace算子，
Figure 868039DEST_PATH_IMAGE021
表示 Hessian算子，规定
Figure 905265DEST_PATH_IMAGE022
，则
Figure 387062DEST_PATH_IMAGE023
Figure 535146DEST_PATH_IMAGE024
。
根据本发明实施例的一种具体实现方式，所述隐函数
Figure 153209DEST_PATH_IMAGE025
的表达式为
Figure 626916DEST_PATH_IMAGE026
其中
Figure 330430DEST_PATH_IMAGE027
表示仅与两点距离值相关的核函数，
Figure 16626DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 20354DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure 399383DEST_PATH_IMAGE030
为待定系数。
根据本发明实施例的一种具体实现方式，所述步骤3中高次幂径向基核函数的表达式为
Figure 870421DEST_PATH_IMAGE031
。
根据本发明实施例的一种具体实现方式，所述步骤3中建立的求解方程组的表达式
Figure 360308DEST_PATH_IMAGE032
其中，
Figure 952963DEST_PATH_IMAGE033
，
Figure 502893DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 446578DEST_PATH_IMAGE035
，
Figure 271315DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 718477DEST_PATH_IMAGE037
，
其中，
Figure 704887DEST_PATH_IMAGE038
为高次幂径向基核函数
Figure 135869DEST_PATH_IMAGE039
中第一个变量
Figure 967558DEST_PATH_IMAGE040
所对应的单位法向量；
Figure 800385DEST_PATH_IMAGE041
为高次幂径向基核函数
Figure 426539DEST_PATH_IMAGE039
中第二个变量
Figure 344816DEST_PATH_IMAGE016
所对应的单位法向量。
根据本发明实施例的一种具体实现方式，所述步骤4具体包括：
对于点集
Figure 980197DEST_PATH_IMAGE042
，若每一个点都有相应的单位法向量
Figure 401951DEST_PATH_IMAGE043
以及相应的平均曲率
Figure 464585DEST_PATH_IMAGE044
，则将求解方程组组装为求解矩阵：
Figure 339000DEST_PATH_IMAGE045
其中，矩阵
Figure 43651DEST_PATH_IMAGE046
大小为
Figure 319911DEST_PATH_IMAGE047
，具有以下形式：
Figure 553446DEST_PATH_IMAGE048
其中，
Figure 183667DEST_PATH_IMAGE049
Figure 160850DEST_PATH_IMAGE050
其中，矩阵
Figure 557196DEST_PATH_IMAGE051
大小为
Figure 961633DEST_PATH_IMAGE047
，
Figure 76219DEST_PATH_IMAGE052
大小为
Figure 591514DEST_PATH_IMAGE053
，具有以下形式：
Figure 842367DEST_PATH_IMAGE054
其中，
Figure 683284DEST_PATH_IMAGE055
Figure 832637DEST_PATH_IMAGE056
矩阵
Figure 50823DEST_PATH_IMAGE057
大小为
Figure 687341DEST_PATH_IMAGE058
，具有以下形式：
Figure 967668DEST_PATH_IMAGE059
矩阵
Figure 791267DEST_PATH_IMAGE060
和
Figure 913944DEST_PATH_IMAGE061
都为大小为
Figure 139389DEST_PATH_IMAGE062
的列向量，具有以下形式：
Figure 56530DEST_PATH_IMAGE063
其中
Figure 633004DEST_PATH_IMAGE064
，
Figure 293793DEST_PATH_IMAGE065
为已知法向量和平均曲率数据列向量，
Figure 373744DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 727365DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 525557DEST_PATH_IMAGE068
为待求系数列向量；
建立求解矩阵后，将矩阵
Figure 990036DEST_PATH_IMAGE069
作为插值矩阵，当不存在相同控制点时，插值矩阵为非奇异矩阵，则插值矩阵可逆，则有：
Figure 658915DEST_PATH_IMAGE070
通过可逆的插值矩阵求得待求系数
Figure 449017DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 468925DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 471516DEST_PATH_IMAGE068
，从而求解出隐函数
Figure 526060DEST_PATH_IMAGE025
，使用Marching cubes算法将隐函数
Figure 221484DEST_PATH_IMAGE025
的零水平集可视化，得到隐式曲面。
本发明实施例中的基于径向基函数的隐式曲面生成方案，包括：步骤1，对于三维空间中一组点集
Figure 728688DEST_PATH_IMAGE071
，根据每个点处相应的单位法向量
Figure 534970DEST_PATH_IMAGE072
和平均曲率
Figure 444020DEST_PATH_IMAGE073
建立隐函数
Figure 310345DEST_PATH_IMAGE074
的约束条件；步骤2将径向基函数推广得到其二阶导形式，并将其作为步骤1中的隐函数
Figure 304846DEST_PATH_IMAGE025
；步骤3，使用高次幂径向基核函数并根据隐函数
Figure 917749DEST_PATH_IMAGE074
的约束条件建立求解方程组；步骤4，将求解方程组组装为求解矩阵，并求解得到待定系数
Figure 946885DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 984111DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure 465908DEST_PATH_IMAGE030
，使用Marchingcubes算法将隐函数
Figure 879571DEST_PATH_IMAGE025
的零水平集可视化，得到隐式曲面；步骤5，修改相应控制点处的平均曲率
Figure 497635DEST_PATH_IMAGE011
，重复步骤3和步骤4获得更新后的隐式曲面。
本发明实施例的有益效果为：通过本发明的方案，利用控制点的法线信息和平均曲率信息，以及推广得到的径向基函数的二阶导形式，对隐函数附加额外曲率信息的约束，并使用一种高次幂径向基核函数，从而实现控制生成的隐式曲面在指定控制点处曲面形态的表达，提高隐式曲面生成的可控性和准确性，降低曲面生成过程中对控制点的依赖性。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。
图1为本发明实施例提供的一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法的流程示意图；
图2为本发明实施例提供的一种同一平面上不同平均曲率的点对应的法向量以及附近区域曲率示意图；
图3为本发明实施例提供的一种同一球面上不同平均曲率对应的曲面生成结果示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明实施例进行详细描述。
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需说明的是，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
需要说明的是，下文描述在所附权利要求书的范围内的实施例的各种方面。应显而易见，本文中所描述的方面可体现于广泛多种形式中，且本文中所描述的任何特定结构及/或功能仅为说明性的。基于本发明，所属领域的技术人员应了解，本文中所描述的一个方面可与任何其它方面独立地实施，且可以各种方式组合这些方面中的两者或两者以上。举例来说，可使用本文中所阐述的任何数目个方面来实施设备及/或实践方法。另外，可使用除了本文中所阐述的方面中的一或多者之外的其它结构及/或功能性实施此设备及/或实践此方法。
还需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，图式中仅显示与本发明中有关的组件而非按照实际实施时的组件数目、形状及尺寸绘制，其实际实施时各组件的型态、数量及比例可为一种随意的改变，且其组件布局型态也可能更为复杂。
另外，在以下描述中，提供具体细节是为了便于透彻理解实例。然而，所属领域的技术人员将理解，可在没有这些特定细节的情况下实践所述方面。
本发明实施例提供一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，所述方法可以应用于计算机图形生成过程中。
参见图1，为本发明实施例提供的一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法的流程示意图。如图1所示，所述方法主要包括以下步骤：
步骤1，对于三维空间中一组点集
Figure 971341DEST_PATH_IMAGE071
，根据每个点处相应的单位法向量
Figure 674855DEST_PATH_IMAGE072
和平均曲率
Figure 361051DEST_PATH_IMAGE073
建立隐函数
Figure 364779DEST_PATH_IMAGE074
的约束条件；
具体实施时，在三维空间中，可以对于给定的一组点集
Figure 478229DEST_PATH_IMAGE071
，设由该点集生成的隐式曲面为函数
Figure 934618DEST_PATH_IMAGE075
的零水平集：
Figure 424505DEST_PATH_IMAGE076
其中
Figure 79477DEST_PATH_IMAGE077
，
Figure 629408DEST_PATH_IMAGE078
。
已知与这组点集相对应的单位法向量
Figure 307514DEST_PATH_IMAGE079
，若存在某些点
Figure 601092DEST_PATH_IMAGE080
单位法向量未知，此时
Figure 48253DEST_PATH_IMAGE081
；同时已知与这组点集相对应的平均曲率
Figure 769085DEST_PATH_IMAGE082
，若存在某些点
Figure 200066DEST_PATH_IMAGE083
平均曲率未知，此时
Figure 311984DEST_PATH_IMAGE084
；且存在关系
Figure 613652DEST_PATH_IMAGE085
，即法向量未知的点，其平均曲率也未知。则函数
Figure 505385DEST_PATH_IMAGE086
满足以下条件：
Figure 423662DEST_PATH_IMAGE087
其中
Figure 793463DEST_PATH_IMAGE088
表示梯度运算，
Figure 215218DEST_PATH_IMAGE089
表示计算
Figure 543431DEST_PATH_IMAGE090
处的平均曲率。
步骤2，将径向基函数推广得到其二阶导形式，并将其作为步骤1中的隐函数
Figure 417846DEST_PATH_IMAGE086
；
可选的，进一步的，所述隐函数
Figure 122497DEST_PATH_IMAGE086
满足
Figure 398757DEST_PATH_IMAGE091
其中，
Figure 897872DEST_PATH_IMAGE088
表示梯度运算，
Figure 259583DEST_PATH_IMAGE089
表示计算
Figure 971187DEST_PATH_IMAGE090
处的平均曲率，其具有以下形式：
Figure 633112DEST_PATH_IMAGE092
其中
Figure 37549DEST_PATH_IMAGE093
表示
Figure 152135DEST_PATH_IMAGE094
范数，
Figure 667430DEST_PATH_IMAGE095
表示Laplace算子，
Figure 918283DEST_PATH_IMAGE096
表示 Hessian算子，规定
Figure 493621DEST_PATH_IMAGE097
，则
Figure 95504DEST_PATH_IMAGE098
Figure 414490DEST_PATH_IMAGE099
。
进一步的，所述隐函数
Figure 785428DEST_PATH_IMAGE086
的表达式为
Figure 531667DEST_PATH_IMAGE026
其中
Figure 358196DEST_PATH_IMAGE027
表示仅与两点距离值相关的核函数，
Figure 480873DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 971897DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure 154617DEST_PATH_IMAGE030
为待定系数。
具体实施时，可以首先引入径向基函数一阶导形式Hermite型径向基函数：
Figure 465513DEST_PATH_IMAGE100
其中
Figure 657459DEST_PATH_IMAGE027
表示仅与两点距离值相关的核函数，
Figure 737411DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 91032DEST_PATH_IMAGE029
为待定系数。
为实现对曲面平均曲率的控制，本发明根据（3）式构造一个额外的求和项加入（4）式中，于是推广得到径向基函数的二阶导形式：
Figure 889224DEST_PATH_IMAGE102
其中
Figure 88124DEST_PATH_IMAGE030
为待定系数，
Figure 288161DEST_PATH_IMAGE103
为点
Figure 812683DEST_PATH_IMAGE104
处的单位法向量，（5）式即为本发明所用的插值函数。
步骤3，使用高次幂径向基核函数并根据隐函数
Figure 832592DEST_PATH_IMAGE105
需要满足的约束条件建立求解方程组；
可选的，所述高次幂径向基核函数的表达式为
Figure 100762DEST_PATH_IMAGE106
。
进一步的，所述求解方程组的表达式为
Figure 155306DEST_PATH_IMAGE107
其中，
Figure 585150DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure 357934DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 164216DEST_PATH_IMAGE109
，
Figure 807687DEST_PATH_IMAGE110
，
Figure 942521DEST_PATH_IMAGE037
，
其中，
Figure 671442DEST_PATH_IMAGE038
为高次幂径向基核函数
Figure 281415DEST_PATH_IMAGE039
中第一个变量
Figure 310551DEST_PATH_IMAGE040
所对应的单位法向量；
Figure 82198DEST_PATH_IMAGE041
为高次幂径向基核函数
Figure 563995DEST_PATH_IMAGE039
中第二个变量
Figure 977659DEST_PATH_IMAGE016
所对应的单位法向量。
具体实施时，可以将（5）式作为隐函数，则其零水平集即为待求曲面。规定隐函数梯度为单位向量，根据（2）式可以得到（5）式中系数的求解方程组：
其中，
Figure 595722DEST_PATH_IMAGE111
Figure 803849DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure 507363DEST_PATH_IMAGE034
，
Figure 459139DEST_PATH_IMAGE109
，
Figure 197287DEST_PATH_IMAGE110
，
Figure 576316DEST_PATH_IMAGE113
，
这里需要注意的是法向量
Figure 32705DEST_PATH_IMAGE038
和
Figure 522593DEST_PATH_IMAGE041
：
Figure 115248DEST_PATH_IMAGE038
为核函数
Figure 930757DEST_PATH_IMAGE039
中第一个变量
Figure 343284DEST_PATH_IMAGE040
所对应的单位法向量；
Figure 902441DEST_PATH_IMAGE041
为核函数
Figure 349603DEST_PATH_IMAGE039
中第二个变量
Figure 70434DEST_PATH_IMAGE016
所对应的单位法向量。
由于（6）式中涉及四阶偏导，本发明中提出使用核函数：
Figure 235837DEST_PATH_IMAGE114
步骤4，将求解方程组组装为求解矩阵，并求解得到待定系数
Figure 333106DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 634774DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure 795015DEST_PATH_IMAGE030
，使用Marching cubes算法将新的隐函数
Figure 182134DEST_PATH_IMAGE025
的零水平集可视化，得到隐式曲面；
在上述实施例的基础上，所述步骤4具体包括：
对于点集
Figure 83094DEST_PATH_IMAGE042
，若每一个点都有相应的单位法向量
Figure 504848DEST_PATH_IMAGE043
以及相应的平均曲率
Figure 567482DEST_PATH_IMAGE044
，则将求解方程组组装为求解矩阵：
Figure 707477DEST_PATH_IMAGE045
其中，矩阵
Figure 880969DEST_PATH_IMAGE046
大小为
Figure 157230DEST_PATH_IMAGE047
，具有以下形式：
Figure 656344DEST_PATH_IMAGE115
其中，
Figure 18055DEST_PATH_IMAGE049
Figure 260818DEST_PATH_IMAGE050
其中，矩阵
Figure 657164DEST_PATH_IMAGE051
大小为
Figure 61601DEST_PATH_IMAGE047
，
Figure 910608DEST_PATH_IMAGE052
大小为
Figure 691482DEST_PATH_IMAGE053
，具有以下形式：
Figure 207914DEST_PATH_IMAGE116
其中，
Figure 783252DEST_PATH_IMAGE118
Figure 853976DEST_PATH_IMAGE119
矩阵
Figure 438541DEST_PATH_IMAGE057
大小为
Figure 543900DEST_PATH_IMAGE058
，具有以下形式：
Figure 290140DEST_PATH_IMAGE120
矩阵
Figure 379318DEST_PATH_IMAGE121
和
Figure 236416DEST_PATH_IMAGE122
都为大小为
Figure 718651DEST_PATH_IMAGE062
的列向量，具有以下形式：
Figure 635791DEST_PATH_IMAGE123
其中
Figure 946687DEST_PATH_IMAGE064
，
Figure 607476DEST_PATH_IMAGE065
为已知法向量和平均曲率数据列向量，
Figure 687427DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 41048DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 573660DEST_PATH_IMAGE068
为待求系数列向量；
建立求解矩阵后，将矩阵
Figure 303719DEST_PATH_IMAGE069
作为插值矩阵，当不存在相同控制点时，插值矩阵为非奇异矩阵，则插值矩阵可逆，则有：
Figure 238177DEST_PATH_IMAGE070
通过可逆的插值矩阵求得待求系数
Figure 762699DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 782608DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 50778DEST_PATH_IMAGE068
，从而求解出隐函数
Figure 105322DEST_PATH_IMAGE025
，使用Marching cubes算法将隐函数
Figure 535166DEST_PATH_IMAGE025
的零水平集可视化，得到隐式曲面。
具体实施时，将（6）式组装为求解矩阵。对于点集
Figure 42371DEST_PATH_IMAGE071
，若每一个点都有相应的单位法向量
Figure 114232DEST_PATH_IMAGE072
以及相应的平均曲率
Figure 757703DEST_PATH_IMAGE073
，可组装线性方程组：
Figure 889607DEST_PATH_IMAGE124
(7)式中矩阵
Figure 618529DEST_PATH_IMAGE046
大小为
Figure 228502DEST_PATH_IMAGE047
，具有以下形式：
Figure 992058DEST_PATH_IMAGE048
其中，
Figure 29284DEST_PATH_IMAGE049
Figure 245502DEST_PATH_IMAGE050
(7)式中矩阵
Figure 662096DEST_PATH_IMAGE051
大小为
Figure 280159DEST_PATH_IMAGE047
，
Figure 753865DEST_PATH_IMAGE052
大小为
Figure 457379DEST_PATH_IMAGE053
，具有以下形式：
Figure 674734DEST_PATH_IMAGE125
其中，
Figure 147304DEST_PATH_IMAGE117
Figure 526332DEST_PATH_IMAGE127
(7)式中矩阵
Figure 717142DEST_PATH_IMAGE057
大小为
Figure 472609DEST_PATH_IMAGE058
，具有以下形式：
Figure 65264DEST_PATH_IMAGE120
(7)式中矩阵
Figure 615194DEST_PATH_IMAGE121
和
Figure 293300DEST_PATH_IMAGE122
都为大小为
Figure 586878DEST_PATH_IMAGE062
的列向量，具有以下形式：
Figure DEST_PATH_IMAGE128
其中
Figure 565198DEST_PATH_IMAGE064
，
Figure 551609DEST_PATH_IMAGE065
为已知法向量和平均曲率数据列向量，
Figure 451432DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 345438DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 912686DEST_PATH_IMAGE068
为待求系数。
建立求解线性方程组后，称（7）式中矩阵
Figure 804419DEST_PATH_IMAGE069
为插值矩阵，当不存在相同控制点时，插值矩阵为非奇异矩阵，则插值矩阵可逆，于是有：
Figure 191538DEST_PATH_IMAGE129
通过（9）式即可求得待求系数
Figure 95427DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 517181DEST_PATH_IMAGE067
，
Figure 845394DEST_PATH_IMAGE068
，从而求解出隐函数
Figure 719810DEST_PATH_IMAGE025
，然后可以使用Marching cubes算法将隐函数
Figure 893302DEST_PATH_IMAGE025
的零水平集可视化，得到隐式曲面。
步骤5，修改相应控制点处的平均曲率
Figure 435142DEST_PATH_IMAGE065
，重复步骤3和步骤4获得更新后的隐式曲面。
具体实施时，从隐函数
Figure 668677DEST_PATH_IMAGE025
的公式可知，生成的隐式曲面的形状与控制点的平均曲率关联，则若需要更新控制点平均曲率信息，仅需修改（8）式中曲率列向量
Figure 295967DEST_PATH_IMAGE065
即可，然后重复步骤3和步骤4即可获得更新后的隐式曲面。具体的，如图2所示，在一个平面上，设置P1点与P2点平均曲率分别为-1和1，图中显示了它们的法向量以及附近区域曲率表达。
图3均匀采样了半径为1的球面上42个点，其法向量方向均垂直于原始球面向外，并对其设置了不同的平均曲率，其中：
(a)每个点平均曲率设置为-1，生成光滑球面，验证了平均曲率表达的准确性。
(b)将P1点平均曲率设置为-7，P2点平均曲率设置为7。
(c)将所有点平均曲率设置为-7。
(d)将所有点平均曲率设置为7。
本实施例提供的基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，通过利用控制点的法线信息和平均曲率信息，以及推广得到的径向基函数的二阶导形式，对隐函数附加额外曲率信息的约束，并使用一种高次幂径向基核函数，从而实现控制生成的隐式曲面在指定控制点处曲面形态的表达，提高隐式曲面生成的可控性和准确性，降低曲面生成过程中对控制点的依赖性。
描述于本发明实施例中所涉及到的单元可以通过软件的方式实现，也可以通过硬件的方式来实现。
应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (6)

1.一种基于径向基函数的平均曲率可控隐式曲面生成方法，其特征在于，包括：
步骤1，对于三维空间中一组点集
Figure QLYQS_1
，根据每个点处相应的单位法向量
Figure QLYQS_2
和平均曲率
Figure QLYQS_3
建立隐函数
Figure QLYQS_4
的约束条件；
步骤2，将径向基函数推广得到其二阶导形式，并将其作为步骤1中的隐函数
Figure QLYQS_5
；
步骤3，使用高次幂径向基核函数并根据隐函数
Figure QLYQS_6
的约束条件建立求解方程组；
步骤4，将求解方程组组装为求解矩阵，并求解得到隐函数
Figure QLYQS_7
中的待定系数，使用Marching cubes算法将隐函数
Figure QLYQS_8
的零水平集可视化，得到隐式曲面；
步骤5，修改相应控制点处的平均曲率
Figure QLYQS_9
，重复步骤3和步骤4获得更新后的隐式曲面。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于,所述隐函数
Figure QLYQS_10
满足
Figure QLYQS_11
其中，
Figure QLYQS_12
表示梯度运算，
Figure QLYQS_13
表示计算
Figure QLYQS_14
处的平均曲率，其具有以下形式：
Figure QLYQS_15
其中
Figure QLYQS_16
表示
Figure QLYQS_17
范数，
Figure QLYQS_18
表示Laplace算子，
Figure QLYQS_19
表示 Hessian算子，规定
Figure QLYQS_20
，则
Figure QLYQS_21
Figure QLYQS_22
。
3.根据权利要求 2所述的方法，其特征在于,所述隐函数
Figure QLYQS_23
的表达式为
Figure QLYQS_24
其中
Figure QLYQS_25
，
Figure QLYQS_26
表示仅与两点距离值相关的核函数，
Figure QLYQS_27
，
Figure QLYQS_28
，
Figure QLYQS_29
为待定系数。
4.根据权利要求 3所述的方法，其特征在于,所述步骤3中高次幂径向基核函数的表达式为
Figure QLYQS_30
。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于,所述步骤3中建立的求解方程组的表达式为
Figure QLYQS_31
其中，
Figure QLYQS_32
，
Figure QLYQS_33
，
Figure QLYQS_34
，
Figure QLYQS_35
，
Figure QLYQS_36
，
其中，
Figure QLYQS_37
为高次幂径向基核函数
Figure QLYQS_38
中第一个变量
Figure QLYQS_39
所对应的单位法向量；
Figure QLYQS_40
为高次幂径向基核函数
Figure QLYQS_41
中第二个变量
Figure QLYQS_42
所对应的单位法向量。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于,所述步骤4具体包括：
对于点集
Figure QLYQS_43
，若每一个点都有相应的单位法向量
Figure QLYQS_44
以及相应的平均曲率
Figure QLYQS_45
，则将求解方程组组装为求解矩阵：
Figure QLYQS_46
其中，矩阵
Figure QLYQS_47
大小为
Figure QLYQS_48
，具有以下形式：
Figure QLYQS_49
其中，
Figure QLYQS_50
Figure QLYQS_51
其中，矩阵
Figure QLYQS_52
大小为
Figure QLYQS_53
，
Figure QLYQS_54
大小为
Figure QLYQS_55
，具有以下形式：
Figure QLYQS_56
其中，
Figure QLYQS_57
Figure QLYQS_58
矩阵
Figure QLYQS_59
大小为
Figure QLYQS_60
，具有以下形式：
Figure QLYQS_61
矩阵
Figure QLYQS_62
和
Figure QLYQS_63
都为大小为
Figure QLYQS_64
的列向量，具有以下形式：
Figure QLYQS_65
其中
Figure QLYQS_66
，
Figure QLYQS_67
为已知法向量和平均曲率数据列向量，
Figure QLYQS_68
，
Figure QLYQS_69
，
Figure QLYQS_70
为待求系数列向量；
建立求解矩阵后，将矩阵
Figure QLYQS_71
作为插值矩阵，当不存在相同控制点时，插值矩阵为非奇异矩阵，则插值矩阵可逆，则有：
Figure QLYQS_72
通过可逆的插值矩阵求得待求系数
Figure QLYQS_73
，
Figure QLYQS_74
，
Figure QLYQS_75
，从而求解出隐函数
Figure QLYQS_76
，使用Marching cubes算法将隐函数
Figure QLYQS_77
的零水平集可视化，得到隐式曲面。
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