CN115577780A - 一种求解约束优化问题的量子近似算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求解约束优化问题的量子近似算法，属于量子计算技术领域。本发明将二次无约束的二元优化方法和量子交替算符拟设方法融合在同一量子近似优化算法框架中，利用经典的贪心算法，对带约束的优化问题进行求解，得到的近似最优解作为一个约束条件，根据约束条件重新设计编码演化算符，使得表征解的量子态演化限制在可行解范围内，并且，将约束优化问题通过添加惩罚项转化为无约束优化问题，当有解违反约束时，在目标函数中添加惩罚项，使不满足约束条件的解的期望值比满足约束条件的解要差，通过本发明方法能高效的求解约束优化问题。

Description

一种求解约束优化问题的量子近似算法

技术领域

本发明涉及量子计算技术领域，具体涉及一种求解约束优化问题的量子近似算法。

背景技术

当传统计算模式趋近瓶颈时，下一代计算模式的重大变革也即将到来。“在不久的将来，量子计算可以改变世界”已经成为了共识。量子计算作为一种新兴的计算范式，有望解决在组合优化、量子化学、信息安全、人工智能领域中经典计算机难以解决的技术难题。目前量子计算硬件与软件都在持续高速发展，不过未来几年预计仍无法达到通用量子计算的标准。因此短期内如何利用量子硬件解决实际问题成为了当前量子计算领域的一个研究热点，探索近期量子硬件的应用对理解量子硬件的能力与推进量子计算的实用化进程有着重要意义。

目前的量子计算设备通常被称为含噪声的中型量子设备。它们运行在少量的量子位上，并且具有有限的纠错能力。要在这些设备上展示量子优势，需要开发可以使用适度量子电路深度运行的算法。在含噪声的中型量子技术的支持之下，具备50-100个量子比特的量子计算机也许能够执行超越当前经典数字计算机能力范围的任务。我们将有机会将其应用于探索更多现有经典计算机无法进行但更具开拓性的研究领域，也意味着人类即将进入一个量子技术发展的关键新时代，即含噪声的中型量子时代。在量子信息和量子计算领域正在发生的是，量子信息是一切自然界行为的通用语言这一点越来越清晰。MIT量子专家Seth Lloyd提出，量子计算更擅长机器学习，能够发现传统计算无法发现的数据模式，解决传统计算机无法解决的难题。随着量子计算的发展，密码破解、模拟量子物理系统、模拟材料学、化学和生物学、以及人工智能中的很多问题或许都可迎刃而解。

基于含噪声的中型量子设备,最常见的算法模型为混合量子-经典算法，旨在借助经典计算机的力量尽可能发挥含噪声的中型量子计算设备的能力去解决具体的问题。混合量子-经典算法的一部分任务由量子计算设备完成,然后通过经典计算调整量子计算部分的可调参数,反复迭代最后输出结果。由于采用的电路拟设可以由含噪声的中型量子设备高效实现,混合量子-经典算法被认为可以基于近期设备发挥量子优势。混合量子-经典算法在诸多领域有着广泛应用,其中最具有代表性的包括求解组合优化问题的量子近似优化算法与求解基态能量问题的变分量子本征求解器。

量子近似优化算法由MIT的物理学教授Farhi提出，最早针对图论中无约束的Max-Cut问题，尝试给出了超越经典近似算法的近似解。它的算法框架中包括量子和经典两大部分，其中量子部分实质是参数化的量子门线路对量子绝热演化的模拟，经典部分则用于寻找控制量子线路演化的最优参数。这种经典+量子的混合算法是当前在含噪声的中型量子设备上进行算法设计的一个主要思路。Max-Cut是无约束的优化问题，现实中众多的应用问题都是有约束的问题，如何在量子近似优化算法框架内高效的处理约束，是量子近似优化算法最终能否成功(部署在商用环境中)必须要解决的一个关键问题，为此，提出一种求解约束优化问题的量子近似算法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于：如何解决在经典的量子近似优化算法在处理带约束的优化问题时，在整个空间(包括可行解和不可行解)中搜索最优解，搜索所需的迭代步数较多，且准确性不高的问题，提供了一种求解约束优化问题的量子近似算法。

本发明是通过以下技术方案解决上述技术问题的，本发明包括以下步骤：

S1：对选取的带约束的优化问题进行贪心算法求解，获得近似最优解A；

S2：将近似最优解A作为一个新的约束条件重新设计编码可行解演化空间，缩小可行解演化空间，并将可行解演化空间制备成均匀叠加态|s＞，均匀叠加态|s＞为演化的初始量子态；

S3：在目标函数中添加惩罚项，使得不符合约束条件的解的期望值比符合约束条件的解的期望值要差，使得约束优化问题变为无约束优化问题；

S4：将初始量子态带入量子近似优化算法框架中进行演化，最终得到的哈密顿量

的基态，对其测量后，即得到期望值；通过判断若期望值比集合A的长度|A|差，则近似最优解A即是问题的最优解，若期望值比集合A的长度|A|好或者等于|A|，则再带入量子近似优化算法框架中进行演化，循环直到期望值比集合A的长度|A|差，即可得到问题的最优解。

更进一步地，在所述步骤S1和S2中，当选取的约束优化问题为求解最大优化问题时，则确定了汉明权重k＝|A|+1的所有可能状态，比特串长度＝|V|的所有可能组合中1的个数＝k的均匀叠加态。

更进一步地，在所述步骤S1和S2中，当选取的约束优化问题为求解最小优化问题时，则确定了汉明权重k＝|A|-1的所有可能状态，比特串长度＝|V|的所有可能组合中1的个数＝k的均匀叠加态。

更进一步地，在所述步骤S3中，在哈密顿量

中通过添加惩罚项将约束优化问题转化为无约束优化问题，即当有解违反约束时，在哈密顿量

中添加惩罚项，使不满足约束条件的解的期望值比满足约束条件的解要差。

更进一步地，在所述步骤S4中，在量子近似优化算法框架中进行演化时，初始时处于哈密顿量

的基态，经过演化后，处于哈密顿量

的基态，得到哈密顿量

的基态，通过测量得到期望值，再对期望值做出比较。

更进一步地，在所述步骤S4中，

为混合哈密尔顿量，对应绝热演化中的初始哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

为问题哈密尔顿量，对应绝热演化中的终止哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

经过p步迭代，调节每一步演化时β和γ的取值,最终收敛到问题哈密顿量

的某个基态，该基态对应问题的解，演化过程表示为如下的参数化酉变换：

其中，β_i,γ_i∈[-π,π]，

是待优化的参数，p是迭代次数。

更进一步地，利用优化器优化参数

通过对量子态

进行测量，得到

在

上的期望值：

其中，期望值

即是约束优化问题的最优解。

更进一步地，针对带约束的优化问题，若期望值

比|A|要差，即求解最大优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要小或求解最小优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要大，则求得的近似最优解A即为约束优化问题的最优解；若期望值

比|A|要好或者和|A|结果一样，即求解最大优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要大或者和近似最优解A的长度一样或求解最小优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要小或者和近似最优解A的长度一样，则在求解最大优化问题时，继续将汉明权重k加1得到新的可行解演化空间，求解最小优化问题时，继续在汉明权重k减1得到新的可行解演化空间，再带入到量子近似优化算法框架中进行演化，直到求出的期望值

优于近似最优解，即可得到问题的最优解。

本发明相比现有技术具有以下优点：

(1)、本发明将使用贪心算法确定可行解空间与添加惩罚项融合在量子近似优化算法框架中，并利用实例近似比来辅助求解问题；

(2)、本发明利用经典的贪心算法先对约束优化问题进行求解，得到的近似最优解作为新的约束条件，使得对于任何约束优化问题都能大大缩减量子近似优化算法的可行解演化空间，从而有效的减少迭代次数。

附图说明

图1是本发明实施例中求解约束优化问题的量子近似算法的流程示意图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本实施例提供一种求解约束优化问题的量子近似算法，具体步骤如下：

现有的在量子近似优化算法框架内处理约束通常有两种方法，第一种方法是将约束优化问题通过添加惩罚项转化为无约束优化问题，即表达为二次无约束二元优化方法。当有解违反约束时，在目标函数中添加惩罚项，使不满足约束条件的解的期望值比满足约束条件的解要差。另一种方法的主要思想是不添加惩罚项，而是重新设计编码了约束条件的演化算符，使得表征解的量子态演化限制在可行解范围内。

本发明所述的求解约束优化问题的量子近似算法，融合了这两种方法。对于绝大多数的组合优化问题，都可以利用经典的贪心算法找到一个近似最优解。这个解可能是原问题的最优解(当然也可能不是)，但至少知道如果某个算法得到的解比这个解差，那一定不是最优解。基于此，把这个解看做一个新的不等式约束条件，由此可以进一步缩减量子近似优化算法的可行解演化空间。同时在量子近似优化算法的算符中，添加惩罚项，保证不满足约束条件的解在QAOA中的表现比满足约束条件的解差。然后在新的可行解空间内，将不等式约束问题转化为等式约束问题，利用量子近似优化算法框架求解。

具体的，首先对带约束的优化问题用经典贪心算法求解，获得近似最优解A。如最小顶点覆盖问题，最小顶点覆盖问题是一个著名的NP-hard问题。最小顶点覆盖问题描述为：给定一个图G＝(V,E)，其中V是图的顶点集，E是边集。A为V的子集，若G中的每一条边都至少接触集合A中的一个顶点，则称A为覆盖集，包含顶点最少的A则称为最小顶点覆盖集。A中的顶点可用一个取值为0或1的变量x_i表示，x_i＝1表示图中对应的顶点i在覆盖集A中，x_i＝0表示顶点i不在A中。那么，A可以用向量x表示，x＝(x_i)∈{0,1}^|V|，并满足约束：任意的(i,j)∈E，x_i＝1或者x_j＝1。由此，该问题即是寻找x^*：

使用经典贪心算法求解近似最优解，是将图中所有顶点按度从大到小排序，选取度最大的加入到集合A中，同时删除度最大顶点和与之相连的所有边，再将图中所有顶点按度从大到小排序，选取度最大的加入到集合A中，同时删除度最大顶点和与之相连的所有边。一直重复直到图中不在有边为止。这样求出的集合A即是最小顶点覆盖问题的最小顶点覆盖集，集合A的长度|A|即是最小顶点覆盖问题的最小顶点覆盖集个数。

近似最优解A可看做一个新的不等式约束条件，对于求解最大优化问题，很显然最优解≥A，利用这一条件，在汉明权重k＝|A|+1的所有可能状态中利用量子近似优化算法框架寻找最优解。对于求解最小优化问题，很显然最优解≤A，利用这一条件，在汉明权重k＝|A|-1的所有可能状态中利用量子近似优化算法框架寻找最优解。

将A作为一个新的约束条件重新设计编码了可行解演化空间，使得表征解的量子态演化限制在可行解范围内。由于经典算法在整个空间(包括可行解和不可行解)中搜索最优解，搜索所需的迭代步数较多，因此这样做可以缩减量子近似优化算法的可行解演化空间。如最大独立集问题，最大独立集问题描述为：给定一个图G＝(V,E)，其中V是图的顶点集，E是边集。A为V的子集，若A中的任意两个顶点都没有边相连，则称A为独立集，包含顶点最多的A则称为最大独立集。A中的顶点可用一个取值为0或1的变量x_i表示，x_i＝1表示图中对应的顶点i在独立集A中，x_i＝0表示顶点i不在A中。那么，A可以用向量x表示，x＝(x_i)∈{0,1}^|V|，并满足约束：若(i,j)∈E，(x_i,x_j)≠(1,1)。由此，该问题即是寻找x^*：

先使用经典贪心算法求出一个近似最优解A，在用汉明权重为k＝|A|+1的可行解演化空间制备均匀叠加态|s>，使得哈密顿量

在该均匀叠加态上演化。

将约束优化问题通过添加惩罚项转化为无约束优化问题。即当有解违反约束时，在目标函数中添加惩罚项，使不满足约束条件的解的期望值比满足约束条件的解要差。如最大独立集问题，在制备目标函数时，用选择的所有顶点之和减去选择的顶点之间的存在的所有边数，使得不符合约束条件的解的期望值比符合约束条件的期望值小。惩罚项即为选择的顶点之间的存在的所有的边数。最小顶点覆盖问题在制备目标函数时，用选择的所有顶点之和加上未选择的顶点之间的存在的所有边数，使得不符合约束条件的解的期望值比符合约束条件的期望值大；惩罚项即为未选择的顶点之间的存在的所有边数。

然后，在量子近似优化算法框架中进行演化，均匀叠加态|s>为演化的初始量子态；初始时量子近似优化算法处于哈密顿量

的基态,经过足够长的演化时间,最终会处于哈密顿量

的基态。制备的基态易于辅助哈密顿量

将其基态作为初始量子态来近似演化,最终便能得到哈密顿量

的基态,也即组合优化问题的最优解。

为混合哈密尔顿量，对应绝热演化中的初始哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

称作问题哈密尔顿量，对应绝热演化中的终止哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

系统经过p步迭代，调节每一步演化时β和γ的取值,系统最终会以很大概率收敛到问题哈密顿量

的某个基态。该基态对应问题的解。这个演化过程可以表示为如下的参数化酉变换:

式(1)中，β_i,γ_i∈[-π,π]，

是可以优化的参数，p是迭代次数。

更进一步的，利用经典优化器优化参数

通过对量子态

进行测量，得到

在

上的期望值：

式(4)中得到的期望值

即是约束优化问题的最优解。

若期望值

比|A|(即集合A的长度)要差(即如果求解最大问题时，得到的期望值比近似最优解A的长度要小)，则求得的A即为约束优化问题的最优解。若期望值

比|A|要好，则在求解最大优化问题时，继续将汉明权重k加1得到新的可行解演化空间，求解最小优化问题时，继续在汉明权重k减1得到新的可行解演化空间。再带入到量子近似优化算法框架中进行演化，直到求出的期望值

优于近似最优解，即可得到问题的最优解。

综上所述，上述实施例的求解约束优化问题的量子近似算法，使用贪心算法确定可行解空间和添加惩罚项融合在同一量子近似优化算法框架中，利用贪心算法先对问题进行处理，并利用实例的近似比来辅助求解问题；在求解约束优化问题时，使用的可行解空间为符合该优化问题约束条件的集合，使得求解有些问题时，可行解空间还是会很大，求解的过程中的迭代次数还是很多，本发明利用经典的贪心算法先对约束优化问题进行求解，得到的近似最优解作为新的约束条件，使得对于任何约束优化问题都能大大缩减量子近似优化算法的可行解演化空间，从而有效的减少迭代次数，值得被推广使用。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (8)

1.一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：对选取的带约束的优化问题进行贪心算法求解，获得近似最优解A；

S2：将近似最优解A作为一个新的约束条件重新设计编码可行解演化空间，缩小可行解演化空间，并将可行解演化空间制备成均匀叠加态|s>，均匀叠加态|s>为演化的初始量子态；

S3：在目标函数中添加惩罚项，使得不符合约束条件的解的期望值比符合约束条件的解的期望值要差，使得约束优化问题变为无约束优化问题；

S4：将初始量子态带入量子近似优化算法框架中进行演化，最终得到的哈密顿量

的基态，对其测量后，即得到期望值；通过判断若期望值比集合A的长度|A|差，则近似最优解A即是问题的最优解，若期望值比集合A的长度|A|好或者等于|A|，则再带入量子近似优化算法框架中进行演化，循环直到期望值比集合A的长度|A|差，即可得到问题的最优解。

2.根据权利要求1所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：在所述步骤S1和S2中，当选取的约束优化问题为求解最大优化问题时，则确定了汉明权重k＝|A|+1的所有可能状态，比特串长度＝|V|的所有可能组合中1的个数＝k的均匀叠加态。

3.根据权利要求1所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：在所述步骤S1和S2中，当选取的约束优化问题为求解最小优化问题时，则确定了汉明权重k＝|A|-1的所有可能状态，比特串长度＝|V|的所有可能组合中1的个数＝k的均匀叠加态。

4.根据权利要求1所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：在所述步骤S3中，在哈密顿量

中通过添加惩罚项将约束优化问题转化为无约束优化问题，即当有解违反约束时，在哈密顿量

中添加惩罚项，使不满足约束条件的解的期望值比满足约束条件的解要差。

5.根据权利要求1所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：在所述步骤S4中，在量子近似优化算法框架中进行演化时，初始时处于哈密顿量

的基态，经过演化后，处于哈密顿量

的基态，得到哈密顿量

的基态，通过测量得到期望值，再对期望值做出比较。

6.根据权利要求5所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：在所述步骤S4中，

为混合哈密尔顿量，对应绝热演化中的初始哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

为问题哈密尔顿量，对应绝热演化中的终止哈密尔顿量，诱导出带参酉算子

经过p步迭代，调节每一步演化时β和γ的取值,最终收敛到问题哈密顿量

的某个基态，该基态对应问题的解，演化过程表示为如下的参数化酉变换：

其中，β_i,γ_i∈[-π,π]，

是待优化的参数，p是迭代次数。

7.根据权利要求6所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：利用优化器优化参数

通过对量子态

进行测量，得到

在

上的期望值：

其中，期望值

即是约束优化问题的最优解。

8.根据权利要求1或7所述的一种求解约束优化问题的量子近似算法，其特征在于：针对带约束的优化问题，若期望值

比|A|要差，即求解最大优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要小或求解最小优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要大，则求得的近似最优解A即为约束优化问题的最优解；若期望值

比|A|要好或者和|A|结果一样，即求解最大优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要大或者和近似最优解A的长度一样或求解最小优化问题时得到的期望值比近似最优解A的长度要小或者和近似最优解A的长度一样，则在求解最大优化问题时，继续将汉明权重k加1得到新的可行解演化空间，求解最小优化问题时，继续在汉明权重k减1得到新的可行解演化空间，再带入到量子近似优化算法框架中进行演化，直到求出的期望值

优于近似最优解，即可得到问题的最优解。

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