CN115484354B - 一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，该方法包括以下步骤：步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。与现有技术相比，本发明具有运行时间快、误差小等优点。

Description

一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法

技术领域

本发明涉及一种图像压缩方法，尤其是涉及一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法。

背景技术

图像压缩技术的研究始于1948年的数字电视信号。在过去的70年里，许多灰度图像压缩方法得到了发展。然而，由于彩色图像技术在互联网上的快速应用，研究人员将注意力转向了彩色图像压缩。与灰度图像相比，彩色图像可以大大提高信息的容量和保真度。它可以被分解成多个素色通道，因此彩色图像的压缩比单一的灰度图像压缩更具挑战性。

利用奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的压缩算法越来越受欢迎，但是传统的彩色图像处理方法(图像压缩)，往往需要将一个彩色图像转变为三幅R,G,B灰度图像，然后分别对这三幅灰色图像进行处理，进而构造原彩色图像处理问题；但是这种处理方法忽略了原彩色图像的整体性。

经过检索，中国专利公开号CN103150709A公开了一种基于伪牛顿法的四元数域彩色图像压缩感知恢复方法，具体公开了将彩色图像转化为四元数矩阵信号，采用四元数矩阵信号的欧拉表示形式，在压缩感知恢复算法中加入了四元数矩阵信号的幅度和相位作为新的约束项，使恢复的图像更为平滑；因此现有技术基于四元数矩阵的彩色图像处理技术，可以把一幅彩色图像看作一个纯虚四元数矩阵，保留了原彩色图像各个分量之间的关系；但是，直接利用四元数矩阵进行彩色图像处理，相当于把三维彩色图像问题转换为了四维四元数矩阵问题，增加了计算量。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种运行时间快、误差小的基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

根据本发明的第一方面，提供了一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，该方法包括以下步骤：

步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；

步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；

步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；

步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。

作为优选的技术方案，所述的步骤S1具体过程为：

步骤S101，在四元数模型下，彩色图像的每个像素被视为一个纯虚的四元数，表达式如下：

q(x,y)＝r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k, (1)

其中r(x,y),g(x,y)和b(x,y)分别代表图像中(x,y)点的红、绿和蓝的坐标，i,j,k为纯四元数q的三个虚部单位；

步骤S102，将一个具有m行和n列的彩色图像用一个纯虚四元矩阵表示，表达式如下：

A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n, (2)

其中R,G,B是实数矩阵，分别表示红、绿、蓝三种颜色，H^m×n是m×n维的四元数矩阵；

步骤S103，对于任何四元数矩阵A＝A₁+A₂i+A₃j+A₄k＝B₁+B₂j∈H^m×n，其中A₁,A₂,A₃,A₄∈R^m×n,B₁,B₂∈C^m×n，R^m×n和C^m×n分别是m×n维的实数矩阵和复数矩阵，A的复表示矩阵A^σ定义为：

其中C^2m×2n是2m×2n维的复数矩阵；

且复表示矩阵满足以下等式：

其中I_m是m×m维的单位矩阵，I_n是n×n维的单位矩阵，/>为复表示矩阵A^σ的前n列，/>为复表示矩阵A^σ的前m行，/>为Q_m的转置矩阵，Q_m为由I_m构成的矩阵，Q_n为由I_n构成的矩阵；

步骤S103，通过公式(3)和(4)，得到：

(M+N)^σ＝M^σ+N^σ,(MP)^σ＝M^σP^σ,(aM)^σ＝aM^σ (5)

(M^H)^σ＝(M^σ)^H, (8)

其中M,N为m×n维的四元数矩阵，P为n×p维的四元数矩阵，a为任意实数，M^σ为M的复表示矩阵，为复表示矩阵M^σ的前n列，/>为复表示矩阵M^σ的前m行，M^H为四元数矩阵M的共轭转置矩阵，N^σ为N的复表示矩阵，/>为复表示矩阵N^σ的前n列，/>为复表示矩阵N^σ的前m行，P^σ为P的复表示矩阵，/>为复表示矩阵P^σ的前p列,/>为复表示矩阵P^σ的前n行；

步骤S104，对于任何四元矩阵A∈H^m×n，令m≥n，则有：

(1)存在两个四元数酉矩阵U₁∈H^m×m,V₁∈H^n×n使得

其中D∈R^m×n，U₁为四元数酉矩阵，为U₁的共轭转置矩阵，/>为U₁的复表示矩阵，A^σ为A的复表示矩阵，V₁为四元数酉矩阵，/>为V₁的复表示矩阵，D为上双对角矩阵；

(2)存在两个四元数酉矩阵U∈H^m×m,V∈H^n×n使得

其中U＝U₁U₂,V＝V₁V₂,Σ_r＝diag(τ₁,τ₂,…,τ_r),r＝rank(A),

τ₁≥τ₂≥…≥τ_r＞0,τ₁,…,τ_r为四元数矩阵A的奇异值。

作为优选的技术方案，所述的步骤S2具体过程为：

A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n是一个彩色图像，其中R,G,B是实矩阵并分别代表红绿蓝三颜色，得到彩色图像的奇异值分解如下：

其中U＝(u₁,u₂,…,u_m)∈H^m×m,V＝(v₁,v₂,…,v_n)∈H^n×n,Σ_r＝diag(τ₁,...,τ_r),r＝rank(A),是四元数矩阵A的奇异值，u₁,...u_s,...u_m为左奇异向量(U的列)，v₁,...v_s,...v_n为右奇异向量(V的列)，/>为v_s的共轭表示，A_s为四元数矩阵，r为四元数矩阵A的秩。

作为优选的技术方案，所述的步骤S3最优的降维维度，通过使用从大到小奇异值范数排序图来确定。

作为优选的技术方案，所述的步骤S4具体为：

彩色图像压缩的模型定义为：找到一个使得

其中∈＞0是彩色图像压缩问题中给定的误差，且 是四元数矩阵A的奇异值，u_s为左奇异向量，v_s为右奇异向量。

作为优选的技术方案，该方法所有的转换矩阵都满足四元数矩阵的复表示矩阵的形式。

作为优选的技术方案，该方法只需要计算前m行或者前n列的转换矩阵。

根据本发明的第二方面，提供了一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器上存储有计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现所述的方法。

根据本发明的第三方面，提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述程序被处理器执行时实现所述的方法。

与现有技术相比，本发明不同于传统四元数矩阵的奇异值分解，而是借助其复表示矩阵，提出了基于四元数矩阵奇异值分解的一种新的图像压缩算法，即复保结构算法，具体具有以下优点：

1)本发明通过对实际问题的等价变换，将三维彩色图像压缩问题转化为一种纯虚四元数矩阵的奇异值分解问题。

2)本发明彩色图像压缩过程中，不再使用传统的图像处理算法，不需要将原始彩色图像分割成三幅灰度图像后分别进行处理，在一定程度上，保持了三原色通道之间的内在联系。

3)本发明与直接利用四元数矩阵处理彩色图像问题的不同之处在于，借助其复表示矩阵，只需计算复表示矩阵的前m行或前n列，极大地减少了计算量。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为具体实施例的奇异值分解CPU时间图；

图3为具体实施例的奇异值分解误差图；

图4为具体实施例的彩色样本图像示意图；

图5为具体实施例压缩后的彩色图像，其中(a)至(h)代表奇异值分别为10、20、30、40、50、60、70和80的结果图像；

图6为具体实施例的奇异值的大小示意图；

图7为具体实施例的压缩图像的误差分析示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都应属于本发明保护的范围。

本发明首先将彩色图像问题转换为四元数矩阵代数结构问题，保证彩色图像R,G,B分量间的内部联系，同时借助四元数矩阵的复表示矩阵，给出一个四元数矩阵复保结构算法，用来计算彩色图像压缩的问题，并且比目前直接四元数矩阵算法即QTFM中SVD算法CPU运行时间快，比实保结构算法的误差略小。

如图1所示，本发明基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，该方法包括以下步骤：

步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；

步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；

步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；

步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。

以下对各步骤进行详细说明：

彩色图像的四元数模型是由Pei在1996年首次提出的。彩色图像的每个像素都是三种基本颜色的组合，即红色(R)、绿色(G)和蓝色(B)。在四元数模型下，彩色图像的每个像素都可以被视为一个纯虚的四元数，形式如下：

q(x,y)＝r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k, (1)

其中r(x,y),g(x,y)和b(x,y)分别代表图像中(x,y)点的红、绿和蓝。i,j,k为纯四元数q的三个虚部单位。因此，一个具有m行和n列的彩色图像可以用一个纯虚四元矩阵表示，

A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n, (2)

其中R,G,B是实数矩阵，分别表示红、绿、蓝三种颜色，H^m×n是m×n维的四元数矩阵。对于任何四元数矩阵A＝A₁+A₂i+A₃j+A₄k＝B₁+B₂j∈H^m×n,A₁,A₂,A₃,A₄∈R^m×n,B₁,B₂∈C^m×n，R^m×n和C^m×n分别是m×n维的实数矩阵和复数矩阵，A的复表示矩阵A^σ定义为

而且复表示矩阵满足以下等式

其中I_m是m×m维的单位矩阵，I_n是n×n维的单位矩阵，/>为复表示矩阵A^σ的前n列，/>为复表示矩阵A^σ的前m行，/>为Q_m的转置矩阵，Q_m为由I_m构成的矩阵，Q_n为由I_n构成的矩阵。

通过(3)和(4)，可以得到

(M+N)^σ＝M^σ+N^σ,(MP)^σ＝M^σP^σ,(aM)^σ＝aM^σ, (5)

(M^H)^σ＝(M^σ)^H, (8)

其中M,N为m×n维的四元数矩阵，P为n×p维的四元数矩阵，a为任意实数，M^σ为M的复表示矩阵，为复表示矩阵M^σ的前n列，/>为复表示矩阵M^σ的前m行，M^H为四元数矩阵M的共轭转置矩阵，N^σ为N的复表示矩阵，/>为复表示矩阵N^σ的前n列，/>为复表示矩阵N^σ的前m行，P^σ为P的复表示矩阵，/>为复表示矩阵P^σ的前p列,/>为复表示矩阵P^σ的前n行。

定理1对于任何四元矩阵A∈H^m×n，不失一般性，在上下文中令m≥n。则

(1)存在两个四元数酉矩阵U₁∈H^m×m,V₁∈H^n×n使得

其中D∈R^m×n，U₁为四元数酉矩阵，为U₁的共轭转置矩阵，/>为U₁的复表示矩阵，A^σ为A的复表示矩阵，V₁为四元数酉矩阵，V₁ ^σ为V₁的复表示矩阵，D为上双对角矩阵；

(2)存在两个四元数酉矩阵U∈H^m×m,V∈H^n×n使得

其中U＝U₁U₂,V＝V₁V₂,Σ_r＝diag(τ₁,τ₂,…,τ_r),r＝rank(A),

τ₁≥τ₂≥…≥τ_r＞0,τ₁,…,τ_r为四元数矩阵A的奇异值。

矩阵奇异值分解经常被用于图像压缩中。通过减少维度，在尽可能不损失图像质量的情况下，可以有效减少图像存储所需的空间。四元矩阵的奇异值分解对于彩色图像压缩也是有效的。结合上述四元数矩阵奇异值分解理论我们给出一种新的彩色图像压缩算法。

假设A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n是一个彩色图像，其中R,G,B是实矩阵并分别代表红绿蓝三颜色。通过上述四元数的奇异值分解理论，我们可以得到彩色图像的奇异值分解如下：

其中U＝(u₁,u₂,…,u_m)∈H^m×m,V＝(v₁,v₂,…,v_n)∈H^n×n,Σ_r＝diag(τ₁,...,τ_r),r＝rank(A),是四元数矩阵A的奇异值，u₁,...u_s,...u_m为左奇异向量(U的列)，v₁,...v_s,...v_n为右奇异向量(V的列)，/>为v_s的共轭表示，A_s为四元数矩阵，r为四元数矩阵A的秩。

彩色图像压缩的模型可以定义为：找到一个使得

其中∈＞0是彩色图像压缩问题中给定的误差，且 是四元数矩阵A的奇异值，u_s为左奇异向量，v_s为右奇异向量。

对本发明所指出数学模型的证明具体如下：

对于上述模型的证明，显然只需证明定理1即可。对于任意的四元数矩阵A＝(a_ij)＝B₁+B₂j∈H^m×n,我们定义以下Givens旋转矩阵G_s并将四元数矩阵A中的a_st元素转换为实数

其中b₁＝cosα₁+icosα₂,b₂＝cosα₃+icosα₄,

cos²α₁+cos²α₂+cos²α₃+cos²α₄＝1,r_st＝|a_st|∈R,1≤s≤m,1≤t≤n.通过(2.1)，显然此过程对于四元数矩阵A的复表示矩阵也成立。

定义下列Householder矩阵H_l如下：

其中v＝(v₁,…,…v_m-l+1)^T∈R^m-l+1,β∈R并满足β(βv^Tv-2)＝0,1≤l≤n.对于四元数矩阵A＝(a_st)∈H^m×n，如果矩阵A的l列为实数列，则有以下等式

显然此过程对于四元数矩阵A的复表示矩阵也成立。

下面我们给出四元数矩阵A的SVD推导过程。令四元数矩阵A＝(a_ij)＝B₁+B₂j∈H^{m ×n},且

(1)将四元数矩阵A的第一列中的第1行到第m行转换为实数。构造一个Givens旋转矩阵其中/>可由上式求得，这个变换过程可由下列等式表示

其中

将四元数矩阵A的第一列的2到m行变换为0。构造一个Householder矩阵其中可由上述求得，这个变换过程可由下列等式表示

其中

(2)与第一列中的转换类似，我们对第一行执行相同的转换，如下所示

其中

(3)重复步骤(1)和(2)，继续依次变换l行和列,l＝1,...,m,/>并且最终得到下列等式

其中为实上双对角矩阵。

(4)对于上对角矩阵D，其中四元数矩阵A的奇异值都在D中。所以，我们对D进行SVD，存在两个酉矩阵U₂,V₂使得

综上，我们有

其中U＝U₁U₂,V＝V₁V₂,Σ_r＝diag(τ₁,τ₂,…,τ_r),r＝rank(A),τ₁≥τ₂≥…≥τ_r＞0,τ₁,…,τ_r是四元数矩阵A的奇异值。

在上面的推导中，我们观察到所有的转换矩阵都满足一个四元数矩阵的复表示矩阵，根据公式(3)-(8)，我们只需要计算前m行或者前n列的转换矩阵，而不需要每一步生成复表示矩阵。使用这种策略，我们只需要上述计算的一半。因此，该算法计算的矩阵维数小，运行时间效率高。

具体实施例

案例1：当l＝1:50,m＝20l,n＝20l,A₁＝rand(m,n),A₂＝rand(m,n),A₃＝rand(m,n),A₄＝rand(m,n).对于上述矩阵，我们分别用本专利提出的算法(complex structure-preserving algorithm)，和实保结构算法(real structure-preserving algorithm)、四元数工具箱(svd of QTFM),复表示矩阵直接算法(svd of the complex representation)进行奇异值分解，并对CPU运行时间和误差(∈＝‖AV-UΣ‖_F)进行了比较。

图2和图3给出了不同四元数矩阵大小的CPU运行时间和误差。从图2可以明显看出，在处理高维矩阵时，本发明提出的方法优于QTFM的SVD。而且复表示矩阵的直接算法运行时间最慢，本发明提出的方法的运行时间与实保结构算法几乎相同，但误差略小。

案例2：如图4所示，下面给出一个彩色样本图像，然后基于本发明的方法，进行图像压缩。分别取前10:10:80的奇异值进行彩色图像压缩。彩色图像压缩效果如图5所示。

使用复保结构算法和实保结构算法分别进行图像压缩。本发明给出从大到小的奇异值图，如图6所示。然后我们根据分析压缩图像的误差如图7所示。

另外本发明还提供一种电子设备和存储介质的实施例，用于实现本发明方法。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (7)

1.一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；

步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；

步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；

步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩；

所述的步骤S1具体过程为：

步骤S101，在四元数模型下，彩色图像的每个像素被视为一个纯虚的四元数，表达式如下：

q(x,y)＝r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k, (1)

其中r(x,y),g(x,y)和b(x,y)分别代表图像中(x,y)点的红、绿和蓝的坐标，i,j,k为纯四元数q的三个虚部单位；

步骤S102，将一个具有m行和n列的彩色图像用一个纯虚四元矩阵表示，表达式如下：

A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n, (2)

其中R,G,B是实数矩阵，分别表示红、绿、蓝三种颜色，H^m×n是m×n维的四元数矩阵；

步骤S103，对于任何四元数矩阵A＝A₁+A₂i+A₃j+A₄k＝B₁+B₂j∈H^m×n，其中A₁,A₂,A₃,A₄∈R^{m ×n},B₁,B₂∈C^m×n，R^m×n和C^m×n分别是m×n维的实数矩阵和复数矩阵，A的复表示矩阵A^σ定义为：

其中C^2m×2n是2m×2n维的复数矩阵；

且复表示矩阵满足以下等式：

其中I_m是m×m维的单位矩阵，I_n是n×n维的单位矩阵，/>为复表示矩阵A^σ的前n列，/>为复表示矩阵A^σ的前m行，/>为Q_m的转置矩阵，Q_m为由I_m构成的矩阵，Q_n为由I_n构成的矩阵；

步骤S103，通过公式(3)和(4)，得到：

(M+N)^σ＝M^σ+N^σ,(MP)^σ＝M^σP^σ,(aM)^σ＝aM^σ (5)

(M^H)^σ＝(M^σ)^H (8)

其中M,N为m×n维的四元数矩阵，P为n×p维的四元数矩阵，a为任意实数，M^σ为M的复表示矩阵，为复表示矩阵M^σ的前n列，/>为复表示矩阵M^σ的前m行，M^H为四元数矩阵M的共轭转置矩阵，N^σ为N的复表示矩阵，/>为复表示矩阵N^σ的前n列，/>为复表示矩阵N^σ的前m行，P^σ为P的复表示矩阵，/>为复表示矩阵P^σ的前p列,/>为复表示矩阵P^σ的前n行；

步骤S104，对于任何四元矩阵A∈H^m×n，令m≥n，则有：

(1)存在两个四元数酉矩阵U₁∈H^m×m,V₁∈H^n×n使得

其中D∈R^m×n，U₁为四元数酉矩阵，为U₁的共轭转置矩阵，/>为U₁的复表示矩阵，A^σ为A的复表示矩阵，V₁为四元数酉矩阵，V₁ ^σ为V₁的复表示矩阵，D为上双对角矩阵；

(2)存在两个四元数酉矩阵U∈H^m×m,V∈H^n×n使得

其中U＝U₁U₂,V＝V₁V₂,Σ_r＝diag(τ₁,τ₂,…,τ_r),r＝rank(A),

τ₁≥τ₂≥…≥τ_r＞0,τ₁,…,τ_r为四元数矩阵A的奇异值；

所述的步骤S4具体为：

彩色图像压缩的模型定义为：找到一个使得

其中∈＞0是彩色图像压缩问题中给定的误差，且 τ₁,τ₂,…,τ_s＞0,τ₁…τ_s是四元数矩阵A的奇异值，u_s为左奇异向量，v_s为右奇异向量。

2.根据权利要求1所述的一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，所述的步骤S2具体过程为：

A＝Ri+Gj+Bk∈H^m×n是一个彩色图像，其中R,G,B是实矩阵并分别代表红绿蓝三颜色，得到彩色图像的奇异值分解如下：

其中U＝(u₁,u₂,…,u_m)∈H^m×m,V＝(v₁,v₂,…,v_n)∈H^n×n,Σ_r＝diag(τ₁,...,τ_r),r＝rank(A),1≤s≤m,τ₁,τ₂,…,τ_r＞0,τ₁,…τ_s,…τ_r是四元数矩阵A的奇异值，u₁,...u_s,...u_m为左奇异向量(U的列)，v₁,...v_s,...v_n为右奇异向量(V的列)，/>为v_s的共轭表示，A_s为四元数矩阵，r为四元数矩阵A的秩。

3.根据权利要求1所述的一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，所述的步骤S3最优的降维维度，通过使用从大到小奇异值范数排序图来确定。

4.根据权利要求1所述的一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，该方法所有的转换矩阵都满足一个四元数矩阵的复表示矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，该方法只需要计算前m行或者前n列的转换矩阵。

6.一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器上存储有计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述程序时实现如权利要求1～5中任一项所述的方法。

7.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述程序被处理器执行时实现如权利要求1～5中任一项所述的方法。