CN113222834B - 一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，首先，获取存在缺失的整体数据，确定其中已知数据位置集合Ω，并构建对应的视觉数据张量模型；然后，以低秩张量补全模型为基本框架，引入全变分和紧小波框架进行平滑约束，并利用矩阵分解技术降低复杂度，构建基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全模型；最后，基于交替方向乘子法，引入多个辅助变量，得到视觉数据张量补全模型的增广拉格朗日函数形式，将原优化问题转化为多个子问题分别求解，多次迭代后输出收敛的结果，即已补全未知数据的完整视觉张量。本发明能够在采集的数据存在大规模随机缺失情况下，实现更为高效且精准的视觉数据恢复。
Description
技术领域
本发明属于信号处理和利用技术领域，具体涉及一种基于平滑约束和矩阵分 解的视觉数据张量补全方法。
背景技术
随着现代社会通信技术的飞速发展，数字视觉数据由于其相比于文本内容， 能够携带更多信息且易于传输和存储，已经成为人们日常生活以及工业生产中最 重要的信息获取与传递方式之一。但在实际应用中，视觉数据往往会在生成、传 输、存储等过程中，受到各种因素的影响而丢失许多重要的信息，如在医学影像 中由于成像系统的固有特性，图像往往会受到多种噪声污染，降低视觉质量；在 数据压缩传送过程中，可能由于信号丢失使得视觉数据中的某些部分无法重现而 显示空洞等。视觉数据补全是利用观测到的信息加之某些先验，将不完整的视觉 数据的缺失区域填充像素，使之恢复或接近原来的真实视觉数据。
张量这一概念，被认为是向量(一阶)和矩阵(二阶)表示的高阶推广(高 阶指阶数大于等于三)，具有能够更好地表达高阶数据内部复杂结构本质的能力。 数据恢复方法中，相较于传统的矩阵填充，张量补全综合考虑原始数据的各个维 度关系，可实现对高维数据更好的补全效果。由于计算机技术的不断发展和信息 化时代的到来，人们对数据的处理和分析能力得到了不断的提升。但海量的数据 往往更容易面临部分数据的损坏、缺失和污染等问题。作为解决这些问题的一种 有效途径，张量补全被广泛应用于信号处理、彩色图像修复、无线通信和模式识 别和人工智能等领域。低秩张量补全是利用张量低秩的性质，将张量的秩最小化 问题转化成与之对应的核范数最小化问题。
由于视觉数据多为高维数据，如彩色图像和视频，使用传统的矩阵填充恢复 缺失数据效果不能综合考虑视觉数据的各个维度，可利用张量补全方法恢复数据， 可实现效果更好的视觉数据补全。目前传统的张量补全方法，如HaLRTC,MFTC等，均只考虑张量的低秩性，在数据缺失率较高时，补全精度不高；而引入平滑 约束的张量补全方法，如SPC,PDS等，虽能实现较高精度的高缺失率数据补全， 但计算复杂度较高，运行时间较长。如何采用有效方法直接对存在缺失的视觉数 据进行高效补全有待进一步的研究。
发明内容
发明目的：本发明提供一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方 法，能够在采集的数据存在大规模随机缺失情况下，实现更为高效且精准的视觉 数据恢复。
技术方案：本发明所述的一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全 方法，包括以下步骤：
(1)获取存在缺失的整体数据，确定其中已知数据位置集合Ω，并构建对 应的视觉数据张量模型；
(2)以低秩张量补全模型为基本框架，引入全变分和紧小波框架进行平滑 约束，并利用矩阵分解技术降低复杂度，构建基于平滑约束和矩阵分解的视觉数 据张量补全模型；
(3)基于交替方向乘子法，引入多个辅助变量，得到视觉数据张量补全模 型的增广拉格朗日函数形式，将原优化问题转化为多个子问题分别求解，多次迭 代后输出收敛的结果。
进一步地，步骤(1)所述已知数据位置集合Ω构建过程如下：
获取不完整视觉数据中的所有像素点的值，划分像素值不为零的像素点为已 知像素点，划分像素值为零的像素点为未知像素点，取所有已知像素点的位置组 成集合Ω。
进一步地，步骤(1)所述视觉数据张量模型构建过程如下：
彩色图像根据三通道RGB颜色分离，构造为三个图像尺寸大小矩阵堆叠而 成的张量；视频数据将每个独立的帧对应的矩阵堆叠形成高维张量。
进一步地，步骤(2)所述低秩张量补全模型为：
式中,N为张量的阶数，ωi为对应模式i展开矩阵的权重值,X(i)为模式i的 展开矩阵，表示输出的恢复张量，/>表示输入的不完整张量，Ω为观测指标 集。
进一步地，步骤(2)所述的视觉数据张量补全模型为：
其中，为全变分平滑约束，||DSX(3)||1,1为紧小波框架平滑约束项，W 表示紧小波框架变换矩阵，λ1和λ2是正则化系数，Ds表示全变分差异矩阵，l1,1范数是矩阵所有元素的绝对值之和，X(i)＝LiRi为矩阵分解技术，Li和Ri分别为 对应X(i)的矩阵分解左右矩阵，St(Ii,si)表示Stiefel流形，Ii为对应Li的列数，si为X(i)的给定秩上界。
进一步地，所述步骤(3)实现过程如下：
引入辅助变量矩阵M和N，将各个变量块分别求解；原最优化问题的增广 拉格朗日函数形式为：
其中，Ψ和Θ是拉格朗日乘子，β1,β2,β3是惩罚参数；基于交替方向乘 子法，将分解为如下规模更小的子问题：
第一个优化变量Li的子问题可表示为：
通过求解带有正交性约束的优化问题，由Q R分解得到变量Li的最优解为：
第二个优化变量Ri的子问题可写作：
当且仅当Ri满足如下条件，才能成为优化问题的最优解：
其中，是||·||*的次微分；考虑到/>的正交性/>可转换为：
显然凸优化问题的最优解Ri同样需要满足：
因此在算法迭代求解中的同样是凸优化问题的显式解：
其中，SVTτ(·)是奇异值阈值算子，定义为SVTτ(X)＝Udiag[max(σ-τ,0)]VT， X的奇异值分解为Q＝Udiag({σi}1≤i≤r)VT；
第三个优化变量M，有关紧小波框架的子问题可写作：
该问题有显式解：
其中Sμ(·)是软阈值算子：
第四个优化变量N，有关全变分的子问题可写作：
该问题有显式解：
最后一个优化的子问题可表示为：
变量的更新方法如下：
在对所有子问题求解完成后，根据交替方向乘子法，乘子Ψ和Θ按更新：
判断此次输出张量与上一次迭代输出张量/>的相对误差，若相对误差 低于所设阈值，认为算法迭代结果已经收敛，输出最新的恢复张量/>即补全 后的视觉数据；否则继续迭代求解各个变量，直至算法收敛输出张量补全的视觉 数据结果。
有益效果：与现有技术相比，本发明的有益效果：通过所提出的，基于平滑 约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，可以对部分数据缺失的彩色图像或视 频等视觉数据，得到更好的数据补全效果，同时减小平滑约束类张量补全方法涉 及的，需要进行奇异值分解的矩阵规模，提高视觉数据张量补全的效率。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为本发明所提方法在80％缺失率的合成数据下的补全结果图；
图3为本发明所提方法在不同缺失率的彩色图像数据下的补全结果图；
图4为本发明所提方法在不同缺失率的视频数据下的补全结果图；
图5为本发明所提方法在不同缺失率的视频数据下的张量补全性能对比图；
图6为本发明所提方法在不同缺失率的视频数据下的张量补全运行时间对 比图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细说明。
本发明提供一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，如图1 所示，具体包括如下步骤：
步骤1：获取存在缺失的整体数据，确定其中已知数据位置集合Ω，并构建 对应的视觉数据张量模型。
首先获取不完整视觉数据中的所有像素点的值，划分像素值不为零的像素点 为已知像素点，划分像素值为零的像素点为未知像素点，取所有已知像素点的位 置组成集合Ω，并将视觉数据构建为相应的张量模型，如彩色图像可根据三通道 RGB颜色分离，构造为三个图像尺寸大小矩阵堆叠而成的张量；视频数据可将 每个独立的帧对应的矩阵堆叠形成高维张量。
步骤2：以低秩张量补全模型为基本框架，引入全变分和紧小波框架进行平 滑约束，并利用矩阵分解技术降低复杂度，构建基于平滑约束和矩阵分解的视觉 数据张量补全模型。
本实施例中，||·||*和||·||1,1各代表核范数和l-1,1范数，是张量/>在模式i方 向上展开得到的矩阵。
低秩张量填充理论中，对于满足低秩条件的张量由于其本征维数较低， 即使存在数据丢失，一般也可以通过观测张量恢复出缺失的数据，实现低秩张量 填充。已知观测矩阵/>的情况下，重建原始张量的问题被转化为求解张量秩最 小化问题。由于最小化张量秩是NP难的问题，转化为求解张量核范数的最小化 问题：
式中,N为张量的阶数，ωi为对应模式i展开矩阵的权重值,X(i)为模式i的 展开矩阵，表示输出的恢复张量，/>表示输入的不完整张量，Ω为观测指标 集。
以低秩张量补全模型为框架，引入全变分和紧小波框架||DSX(3)||11这 两项平滑约束项后，并加入矩阵分解技术X(i)＝LiRi后，得到基于平滑约束和矩 阵分解的视觉数据张量补全模型：
其中，λ1和λ2是正则化系数，是目标张量，/>是不完整的观测张量，Ω 是观测指标集合，W表示紧小波框架变换矩阵，Ds表示全变分差异矩阵，l1,1范 数是矩阵所有元素的绝对值之和，Li和Ri分别为对应X(i)的矩阵分解左右矩阵， St(Ii,si)表示Stiefel流形，Ii为对应Li的列数，si为X(i)的给定秩上界。
基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全模型，主要包括两部分：引入 矩阵分解的核范数加权和，以及平滑约束。
给定一个Tucker秩为(r1,r2,…,rN)的低秩张量则对应的模式i 展开矩阵X(i)可以被分解为X(i)＝LiRi,i＝1,…,N，且矩阵分解前后的张量核范数具 有如下性质：||X(i)||*＝||LiRi||*＝||Ri||*,i＝1,…,N。利用引入的矩阵分解技术，张量 核范数最小化问题可以用较小规模的矩阵来重写，以降低计算复杂度。
平滑约束包含全变分和紧小波框架，通过引入平滑约束，可以在缺失率较高 的情况下，实现更好的张量补全效果。全变分项||DSX(3)||1,1用于约束张量模式3 的展开矩阵的分段平滑性，从而保证整个目标张量数据的第三维度平滑性，其中 Ds是差矩阵：
由于全变分会带来一定的阶梯效应，我们引入紧小波框架进一步进行平滑约束。紧小波框架保留了空间域中的细节，其中W表示满足小波框架变换矩 阵，满足WTW＝I。紧小波框架正则化可以进一步确保输出张量平滑，并由于其 冗余性可以很好地保留视觉数据中的细节。
步骤3：基于交替方向乘子法，引入多个辅助变量，得到视觉数据张量补全 模型的增广拉格朗日函数形式，将原优化问题转化为多个子问题分别求解，多次 迭代后输出收敛的结果，即已补全未知数据的完整视觉张量。
使用交替方向乘子法，对所提出的基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量 补全模型进行求解。通过引入辅助变量矩阵M和N，可将各个变量块分别求解， 原最优化问题的增广拉格朗日函数形式为：
其中，Ψ和Θ是拉格朗日乘子，β1,β2,β3是惩罚参数。基于交替方向乘 子法，可以将分解为如下规模更小的子问题，更易于求解。
第一个优化变量Li的子问题可表示为：
通过求解带有正交性约束的优化问题，由Q R分解得到变量Li的最优解为：
第二个优化变量Ri的子问题可写作：
当且仅当Ri满足如下条件，才能成为优化问题的最优解：
其中是||·||*的次微分。考虑到/>的正交性/>可转换为：
显然凸优化问题的最优解Ri同样需要满足：
因此在算法迭代求解中的同样是凸优化问题的显式解：
其中，SVTτ(·)是奇异值阈值算子，定义为SVTτ(X)＝Udiag[max(σ-τ,0)]VT， X的奇异值分解为Q＝Udiag({σi}1≤i≤r)VT。
第三个优化变量M，有关紧小波框架的子问题可写作：
该问题有显式解：
其中Sμ(·)是软阈值算子：
第四个优化变量N，有关全变分的子问题可写作：
该问题有显式解：
最后一个优化的子问题可表示为：
变量的更新方法如下：
在对所有子问题求解完成后，根据交替方向乘子法，乘子Ψ和Θ按更新：
判断此次输出张量与上一次迭代输出张量/>的相对误差，若相对误差 低于所设阈值，认为算法迭代结果已经收敛，输出最新的恢复张量/>即补全 后的视觉数据；否则继续迭代求解各个变量，直至算法收敛输出张量补全后的结 果。
下面利用MATLAB软件仿真对本发明的性能进行分析，使用合成数据、彩 色图像以及视频数据作为视觉数据输入，比较本算法补全前后的数据完整性，并 使用峰值信噪比(PSNR,Peak Signal-to-Noise Ratio)来评估张量补全算法的性能， 指标数值越高，代表补全后的结果与原始图像越相近。
图2展示了80％数据随机缺失的合成数据在传统矩阵分解张量补全方法 (MFTC,Matrix Factorization Tensor Completion)和本发明的基于平滑约束和矩阵 分解的视觉数据张量补全方法(LTC,Low-rank Tensor Completion Scheme)，两种 张量补全方法下的最终结果图对比。仿真结果表明综合考虑平滑约束和矩阵分解 的LTC方法，可以更好地恢复原本光滑的数据表面，实现性能更好的张量补全。
图3展示了彩色图像在数据缺失率为70％、80％、90％的情况下，利用MFTC 方法和LTC方法进行张量补全后得到的彩色图像恢复结果对比。由图3可知， 在数据高缺失率下，仅考虑数据低秩性的传统方法数据恢复效果较差，而加入平 滑约束和矩阵分解的LTC方法可以对缺失数据更好地进行恢复，所得结果更为 接近原始图像。
图4展示了视频数据在数据缺失率为70％，80％的情况下，利用MFTC方 法和LTC方法进行张量补全后得到的视频数据单帧恢复结果对比。由图4可知， 在数据高缺失率下，LTC方法可以实现更为清晰的视频数据恢复效果，补全结果 更为接近原始视频。
图5是视频数据在不同数据缺失率(Missing ratio)下不同张量补全算法的 PSNR对比。由图5可知，随着数据缺失率的上升，各种算法的PSNR均随之下 降，即张量补全效果均有所降低。值得注意的是LTC、PDS、SPC三种加入了平 滑约束的算法，相较于HaLRTC、MFTC仅考虑张量低秩性的算法，可以在数据 确实率较高的情况下，仍能保持较好的补全效果。
图6是视频数据在不同数据缺失率下不同张量补全算法的运行时间对比。由 图6可知，在三种考虑平滑约束的张量补全方法中，本发明所提LTC方法用时 最短，效率最高。本发明所引入的矩阵分解可以显著降低张量补全所需时间，且 提高了高视觉数据恢复的效率。
Claims (5)
1.一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)获取存在缺失的整体数据，确定其中已知数据位置集合Ω，并构建对应的视觉数据张量模型；
(2)以低秩张量补全模型为基本框架，引入全变分和紧小波框架进行平滑约束，并利用矩阵分解技术降低复杂度，构建基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全模型；
(3)基于交替方向乘子法，引入多个辅助变量，得到视觉数据张量补全模型的增广拉格朗日函数形式，将原优化问题转化为多个子问题分别求解，多次迭代后输出收敛的结果；
所述步骤(3)实现过程如下：
引入辅助变量矩阵M和N，将各个变量块分别求解；原最优化问题的增广拉格朗日函数形式为：
其中，Ψ和Θ是拉格朗日乘子，β1,β2,β3是惩罚参数；基于交替方向乘子法，将(3)分解为如下规模更小的子问题：
第一个优化变量Li的子问题表示为：
通过求解带有正交性约束的优化问题(4)，由Q R分解得到变量Li的最优解为：
第二个优化变量Ri的子问题写作：
当且仅当Ri满足如下条件，才能成为优化问题(6)的最优解：
其中，是||·||*的次微分；考虑到/>的正交性/>(7)转换为：
显然凸优化问题(9)的最优解Ri同样需要满足(8)：
因此在算法迭代求解中的同样是凸优化问题(9)的显式解：
其中，SVTτ(·)是奇异值阈值算子，定义为SVTτ(X)＝Udiag[max(σ-τ,0)]VT，X的奇异值分解为Q＝Udiag({σi}1≤i≤r)VT；
第三个优化变量M，有关紧小波框架的子问题写作：
该问题有显式解：
其中Sμ(·)是软阈值算子：
第四个优化变量N，有关全变分的子问题写作：
该问题有显式解：
最后一个优化X的子问题表示为：
变量X的更新方法如下：
在对所有子问题求解完成后，根据交替方向乘子法，乘子Ψ和Θ按(18)更新：
判断此次输出张量与上一次迭代输出张量/>的相对误差，若相对误差低于所设阈值，认为算法迭代结果已经收敛，输出最新的恢复张量/>即补全后的视觉数据；否则继续迭代求解各个变量，直至算法收敛输出张量补全的视觉数据结果。
2.如权利要求1所述的基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，其特征在于，步骤(1)所述已知数据位置集合Ω构建过程如下：
获取不完整视觉数据中的所有像素点的值，划分像素值不为零的像素点为已知像素点，划分像素值为零的像素点为未知像素点，取所有已知像素点的位置组成集合Ω。
3.如权利要求1所述的基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，其特征在于，步骤(1)所述视觉数据张量模型构建过程如下：
彩色图像根据三通道RGB颜色分离，构造为三个图像尺寸大小矩阵堆叠而成的张量；视频数据将每个独立的帧对应的矩阵堆叠形成高维张量。
4.如权利要求1所述的一种基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，其特征在于，步骤(2)所述低秩张量补全模型为：
式中,N为张量的阶数，ωi为对应模式i展开矩阵的权重值,X(i)为模式i的展开矩阵，表示输出的恢复张量，/>表示输入的不完整张量，Ω为观测指标集。
5.如权利要求1所述的基于平滑约束和矩阵分解的视觉数据张量补全方法，其特征在于，步骤(2)所述的视觉数据张量补全模型为：
其中，为全变分平滑约束，||DSX(3)||1,1为紧小波框架平滑约束项，W表示紧小波框架变换矩阵，λ1和λ2是正则化系数，Ds表示全变分差异矩阵，l1,1范数是矩阵所有元素的绝对值之和，X(i)＝LiRi为矩阵分解技术，Li和Ri分别为对应X(i)的矩阵分解左右矩阵，St(Ii,si)表示Stiefel流形，Ii为对应Li的列数，si为X(i)的给定秩上界。
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| CN111724318A (zh) * | 2020-06-15 | 2020-09-29 | 石家庄铁道大学 | 基于混合高阶偏微分方程模型的图像去噪方法 |
-
2021
- 2021-04-22 CN CN202110435191.4A patent/CN113222834B/zh active Active
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
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Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 低秩张量补全算法综述;刘慧梅;史加荣;;陕西理工学院学报(自然科学版);20160420(02);第86-92页 * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN113222834A (zh) | 2021-08-06 |
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