CN114742720B - 一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质 - Google Patents

一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质 Download PDF

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CN114742720B CN202210256712.4A CN202210256712A CN114742720B CN 114742720 B CN114742720 B CN 114742720B CN 202210256712 A CN202210256712 A CN 202210256712A CN 114742720 B CN114742720 B CN 114742720B
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Abstract

本实施例提供一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质，属于图像处理技术领域。该方法包括：通过获取原始张量数据和待观测的张量数据，并根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数。对原始张量数据进行小波紧框架变换，更新第一目标函数，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数。采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。本申请采用基于小波紧框架的非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，以得到完整的张量图像。

Description

一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质
技术领域
本申请涉及图像处理技术领域，尤其涉及一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质。
背景技术
张量建模问题在计算机视觉数据处理、地震数据处理、医学图像恢复等问题上有广泛的应用。当数据是二维数据时，由于矩阵秩最小化具有全局约束能力，可以很好地表示二维数据的稀疏性，因此通常使用矩阵低秩模型对一些二维数据进行图像的补全或恢复。而当数据的维度是三维或更高维度时，采用张量的表示方法能够保存数据中更多必要的结构信息，则采用基于数据集的低秩性质构建的低秩张量逼近模型可以恢复出原始且干净的张量，但是这种方式容易出现部分元素丢失或损坏的情况。因此，如何提高低秩张量逼近模型的效果是当前重要的研究问题。
发明内容
本申请实施例的主要目的在于提出一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，以得到完整的张量图像。
为实现上述目的，本申请实施例的第一方面提出了一种张量补全的方法，包括：
获取原始张量数据和待观测的张量数据；
根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数；
对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，更新所述第一目标函数；
将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数；
采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
在一些实施例中，所述根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数，包括：
获取所述原始张量数据和所述待观测的张量数据，其中，所述原始张量数据记为
Figure BDA0003548870240000011
所述待观测的张量数据记为
Figure BDA0003548870240000012
n1表示待观测的张量数据的高度，n2表示待观测的张量数据的宽度，n3表示待观测的张量数据的维度；
利用下述公式根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数：
Figure BDA0003548870240000013
Figure BDA0003548870240000014
其中，||·||*用于计算张量的核范数，s.t.表示所述第一目标函数需要满足的约束条件，Ω表示能观测到的元素项的下标的集合，
Figure BDA0003548870240000021
表示一个映射函数。
在一些实施例中，所述对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，更新所述第一目标函数，包括：
对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，得到小波张量数据
Figure BDA0003548870240000022
其中， W表示小波变换矩阵，所述小波变换矩阵的矩阵大小为wn*n，wn表示所述小波变换矩阵的行数，n表示所述小波变换矩阵的列数；
利用下述公式根据所述小波张量数据
Figure BDA0003548870240000023
更新所述第一目标函数：
Figure BDA0003548870240000024
Figure BDA0003548870240000025
在一些实施例中，所述将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数，包括：
利用下述公式将更新后所述第一目标函数结合非凸惩罚函数，得到第二目标函数：
Figure BDA0003548870240000026
其中，
Figure BDA0003548870240000027
表示所述小波张量数据
Figure BDA0003548870240000028
的第j个正面切片，
Figure BDA0003548870240000029
表示所述小波张量数据
Figure BDA00035488702400000210
的所述第j个正面切片的第i个奇异值，θ表示非负参数，Ψ(·)表示所述非凸惩罚函数。
在一些实施例中，所述非凸惩罚函数包括拉普拉斯函数，Geman函数、加权Schatten函数中的任一种，所述将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数中，所述第二目标函数表示为以下任一种：
当所述非凸惩罚函数为所述拉普拉斯函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure BDA00035488702400000211
Figure BDA00035488702400000212
当所述非凸惩罚函数为所述Geman函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure BDA00035488702400000213
Figure BDA00035488702400000214
当所述非凸惩罚函数为所述加权Schatten函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure BDA00035488702400000215
Figure BDA0003548870240000031
其中，ωi表示非负权重标量。
在一些实施例中，所述采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像，包括：
采用交替方向乘子法求解所述第二目标函数的最优解；
根据所述第二目标函数的最优解得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
本申请实施例的第二方面提出了一种张量补全的装置，包括：
数据获取模块，用于获取原始张量数据和待观测的张量数据；
第一函数建立模块，用于根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数；
函数更新模块，用于对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，更新所述第一目标函数；
第二函数建立模块，用于将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数；
函数求解模块，用于采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
在一些实施例中，所述函数求解模块，用于采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像，包括：
最优解求解模块，用于采用交替方向乘子法求解所述第二目标函数的最优解；
张量图像输出模块，用于根据所述第二目标函数的最优解得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
本申请实施例的第三方面提出了一种计算机设备，所述一种计算机设备包括存储器和处理器，其中，所述存储器中存储有计算机程序，所述计算机程序被所述处理器执行时所述处理器用于执行如本申请第一方面实施例任一项所述的一种张量补全的方法。
本申请实施例的第四方面提出了一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储有计算机程序，在所述计算机程序被计算机执行时，所述计算机用于执行如本申请第一方面实施例任一项所述的一种张量补全的方法。
本申请实施例提出的一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质，通过获取原始张量数据和待观测的张量数据，并根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数。为了恢复出原始且干净的张量数据，进而得到完整的张量图像，对原始张量数据进行小波紧框架变换，更新第一目标函数，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数。为了得到目标函数的最优化参数，采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。本申请采用基于小波紧框架的非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，以得到完整的张量图像。
附图说明
图1是本申请实施例提供的一种张量补全的方法的流程图；
图2是图1中步骤S150的具体流程图；
图3是本申请实施例提供的计算机设备的硬件结构示意图。
具体实施方式
为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。
需要说明的是，虽然在装置示意图中进行了功能模块划分，在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于装置中的模块划分，或流程图中的顺序执行所示出或描述的步骤。说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。
除非另有定义，本文所使用的所有的技术和科学术语与属于本申请的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本文中所使用的术语只是为了描述本申请实施例的目的，不是旨在限制本申请。
首先，对本申请中涉及的若干名词进行解析：
人工智能(Artificial Intelligence，AI)：是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学；人工智能是计算机科学的一个分支，人工智能企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式作出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。人工智能可以对人的意识、思维的信息过程的模拟。人工智能还是利用数字计算机或者数字计算机控制的机器模拟、延伸和扩展人的智能，感知环境、获取知识并使用知识获得最佳结果的理论、方法、技术及应用系统。
张量奇异值分解(Tensor Singular Value Decomposition，t-SVD)：是基于管纤维(tube fiber)卷积产生的，不仅能比其他张量分解方式更能充分表达在空间结构上的相关性，而且可通过傅里叶变换进行快速计算，提高计算效率。
小波紧框架：小波紧框架是正交小波基的一般化，即将小波系统中引入冗余性，小波紧框架有很多良好的性质，例如小波紧框架的框架变换是平移不变的，而且在冗余的变换中更容易进行模式识别。目前，小波紧框架的构造方法大体上可以分为时域和频域两种。
交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)，是一种求解具有可分离的凸优化问题的计算框架,由于其处理速度快，收敛性能好，ADMM适用于求解分布式凸优化问题。
DC算法(Dual Contouring)：相当于一种三维重建算法，通过利用体素的Hermite数据(即交点的空间坐标和法向量)，计算一个最小二次误差函数QEF来在每个体素的内部生成一个位于等值面上的顶点，计算出所有体素内的唯一顶点后，由于每一条与等值面相交的边由4个体素所共享，这4个体素必然相邻且与等值面相交，也就是内部存在位于等值面上的唯一点，通过这相邻4个体素的内部顶点互相连接等值三角面片来逼近等值面。
本申请实施例可以基于人工智能技术对相关的数据进行获取和处理。其中，人工智能(Artificial Intelligence，AI)是利用数字计算机或者数字计算机控制的机器模拟、延伸和扩展人的智能，感知环境、获取知识并使用知识获得最佳结果的理论、方法、技术及应用系统。
本申请实施例提供的一种张量补全的方法可以应用于人工智能之中，人工智能基础技术一般包括如传感器、专用人工智能芯片、云计算、分布式存储、大数据处理技术、操作/交互系统、机电一体化等技术。人工智能软件技术主要包括计算机视觉技术、机器人技术、生物识别技术、语音处理技术、自然语言处理技术以及机器学习/深度学习等几大方向。
张量建模问题在计算机视觉数据处理、地震数据处理、医学图像恢复等问题上有广泛的应用。当数据是二维数据时，由于矩阵秩最小化具有全局约束能力，可以很好地表示二维数据的稀疏性，因此通常使用矩阵低秩模型对一些二维数据进行图像的补全或恢复。而当数据的维度是三维或更高维度时，采用张量的表示方法能够保存数据中更多必要的结构信息，则采用基于数据集的低秩性质构建的低秩张量逼近模型可以恢复出原始且干净的张量，但是这种方式容易出现部分元素丢失或损坏的情况。因此，如何提高低秩张量逼近模型的效果是当前重要的研究问题。
基于此，本申请实施例的主要目的在于提出一种张量补全的方法、张量补全的装置、设备及存储介质，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，以得到完整的张量图像。
本申请实施例提供的一种张量补全的方法可应用于终端中，也可应用于服务器端中，还可以是运行于终端或服务器端中的软件。在一些实施例中，终端可以是智能手机、平板电脑、笔记本电脑、台式计算机或者智能手表等；服务器端可以配置成独立的物理服务器，也可以配置成多个物理服务器构成的服务器集群或者分布式系统，还可以配置成提供云服务、云数据库、云计算、云函数、云存储、网络服务、云通信、中间件服务、域名服务、安全服务、CDN以及大数据和人工智能平台等基础云计算服务的云服务器；软件可以是实现上述方法的应用等，但并不局限于以上形式。
本申请实施例可用于众多通用或专用的计算机系统环境或配置中。例如：个人计算机、服务器计算机、手持设备或便携式设备、平板型设备、多处理器系统、基于微处理器的系统、置顶盒、可编程的消费计算机设备、网络PC、小型计算机、大型计算机、包括以上任何系统或设备的分布式计算环境等等。本申请可以在由计算机执行的计算机可执行指令的一般上下文中描述，例如程序模块。一般地，程序模块包括执行特定任务或实现特定抽象数据类型的例程、程序、对象、组件、数据结构等等。也可以在分布式计算环境中实践本申请，在这些分布式计算环境中，由通过通信网络而被连接的远程处理设备来执行任务。在分布式计算环境中，程序模块可以位于包括存储设备在内的本地和远程计算机存储介质中。
请参照图1，根据本申请实施例第一方面实施例的一种张量补全的方法，该方法用于训练恢复出完整张量数据的模型，则一种张量补全的方法包括但不限于步骤S110至步骤S150。
步骤S110，获取原始张量数据和待观测的张量数据；
步骤S120，根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数；
步骤S130，对原始张量数据进行小波紧框架变换，更新第一目标函数；
步骤S140，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数；
步骤S150，采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
在步骤S110中，获取原始张量数据和待观测的张量数据，本申请将待观测的张量数据作为处理对象，原始张量数据用于表示原始的张量图像，待观测的张量数据用于表示不完整的观测图像，则一种张量补全的方法用于提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，将待观测的张量数据的缺失部分进行补充完整，通过输入待观测的张量数据，以得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。需要说明的是，本申请实施例中的待观测的张量数据可以选择高维的张量数据，例如，三维的张量数据，可以选择彩色图像数据或核磁共振图像(Magnetic Resonance Imaging,MRI)数据等。本申请采用基于小波紧框架的非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，更好地保存图像数据的局部细节信息，以得到完整的张量图像。
在步骤S120至步骤S150中，为了更好地训练一种能够回复出干净张量数据的低秩张量逼近模型，本申请采用基于小波紧框架的非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，首先，根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数，对原始张量数据进行小波紧框架变换，以更新第一目标函数，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数。为了得到目标函数的最优化参数，采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
在一些实施例中，步骤S120具体包括但不限于步骤S121和步骤S122。
步骤S121，获取原始张量数据和待观测的张量数据，其中，原始张量数据记为
Figure BDA0003548870240000061
待观测的张量数据记为
Figure BDA0003548870240000062
n1表示待观测的张量数据的高度， n2表示待观测的张量数据的宽度，n3表示待观测的张量数据的维度；
步骤S122，利用下述公式(1)根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数：
Figure BDA0003548870240000063
其中，||·||*用于计算张量的核范数，s.t.表示第一目标函数需要满足的约束条件，Ω表示能观测到的元素项的下标的集合，
Figure BDA0003548870240000071
表示一个映射函数。
在步骤S121中，获取原始张量数据和待观测的张量数据，其中，原始张量数据记为
Figure BDA0003548870240000072
待观测的张量数据记为
Figure BDA0003548870240000073
n1表示待观测的张量数据的高度，n2表示待观测的张量数据的宽度，n3表示待观测的张量数据的维度，当处理的待观测的张量数据为高维数据时，n3为大于或等于3的整数，则沿着n3所在的维度对该待观测的张量数据进行切片处理，可以得到n3个矩阵为n1*n2的二维切片，并将其记为正面切片。
在步骤S122中，对于不完整的图像，为了降低待观测的张量数据的秩，采用张量的核范数的方法以恢复原始图像，如公式(1)所示，
Figure BDA0003548870240000074
表示一个映射函数，能够让集合Ω中的元素相等，而非集合Ω中的元素为0。为了减少图像中噪声和异常值的影响，如公式(2)所示，原始张量数据
Figure BDA0003548870240000075
经过张量奇异值分解后，被定义为
Figure BDA0003548870240000076
和
Figure BDA0003548870240000077
三个矩阵张量的乘积形式，
Figure BDA0003548870240000078
表示第一正交张量，
Figure 1
表示第二正交张量，
Figure BDA00035488702400000710
表示对第二正交张量的转置，
Figure BDA00035488702400000711
表示由张量特征值构成的对角张量矩阵，之后，通过对原始张量数据
Figure BDA00035488702400000712
进行张量的核范数求解，得到原始张量数据
Figure BDA00035488702400000713
的矩阵核范数
Figure BDA00035488702400000714
Figure BDA00035488702400000715
在一些实施例中，步骤S130具体包括但不限于步骤S131和步骤S132。
步骤S131，对原始张量数据进行小波紧框架变换，得到小波张量数据
Figure BDA00035488702400000716
其中，W表示小波变换矩阵，小波变换矩阵的矩阵大小为wn*n，wn表示小波变换矩阵的行数，n表示小波变换矩阵的列数；
步骤S132，利用下述公式(3)根据小波张量数据
Figure BDA00035488702400000717
更新第一目标函数：
Figure BDA00035488702400000718
在一些实施例中，步骤S140具体包括：利用下述公式(4)将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数，得到第二目标函数：
Figure BDA00035488702400000719
其中，
Figure BDA00035488702400000720
表示小波张量数据
Figure BDA00035488702400000721
的第j个正面切片，
Figure BDA00035488702400000722
表示小波张量数据
Figure BDA00035488702400000723
的第j个正面切片的第i个奇异值，θ表示非负参数，Ψ(·)表示非凸惩罚函数。
需要说明的是，本申请实施例中的小波紧框架变换可以表示为，用一个矩阵大小为wn*n，即由n个过滤器通过叠加l层构建的小波变换矩阵W表示，其中，wn是w*n的简写，且w＝(n-l)l+1。本申请实施例通过对原始张量数据进行小波紧框架变换，得到小波张量数据
Figure BDA00035488702400000724
其中，W表示小波变换矩阵，小波变换矩阵的矩阵大小为wn*n，wn表示小波变换矩阵的行数，n表示小波变换矩阵的列数。为了实现对不完整的张量数据进行补全，本申请实施例利用公式(4) 将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数，得到第二目标函数。其中，
Figure BDA0003548870240000081
表示小波张量数据
Figure BDA0003548870240000082
的第j个正面切片的第i个奇异值，而该奇异值是将小波张量数据
Figure BDA0003548870240000083
进行张量奇异值分解之后，所得到的对角张量矩阵上
Figure BDA0003548870240000084
的非零元素。
在一些实施例中，为了有效地验证非凸惩罚函数对不完整的张量数据进行补全的效果，非凸惩罚函数包括拉普拉斯函数，Geman函数、加权Schatten函数中的任一种，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数中，则第二目标函数表示为以下任一种。
当非凸惩罚函数为拉普拉斯函数，利用下述公式(5)表示第二目标函数。
Figure BDA0003548870240000085
当非凸惩罚函数为Geman函数，利用下述公式(6)表示第二目标函数。
Figure BDA0003548870240000086
当非凸惩罚函数为加权Schatten函数，利用下述公式(7)表示第二目标函数。
Figure BDA0003548870240000087
其中，ωi表示非负权重标量。
需要说明的是，本申请实施例并不限于使用上述三种非凸惩罚函数，在具体的情况下，采用具有等同效果的非凸惩罚函数也是可以的，在此不作具体限定。
在一些实施例中，请参照图2，为了求解第二目标函数的优化参数，步骤 S150包括但不限于步骤S210和步骤S220。
步骤S210，采用交替方向乘子法求解第二目标函数的最优解；
步骤S220，根据第二目标函数的最优解得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
具体地，在一些实施例中，采用交替方向乘子法求解第二目标函数的最优解，首先，将第二目标函数进行重写，得到如公式(8)所示的第三目标函数。
Figure BDA0003548870240000088
其中，其中，
Figure BDA0003548870240000091
表示小波张量数据
Figure BDA0003548870240000092
的第j个正面切片，且此时的第三目标函数有ωn3个正面切片，将ωn3个正面切片分别结合非凸惩罚函数并进行求和计算。之后，本申请实施例通过引入如公式(9)所示的指示函数和辅助变量
Figure BDA0003548870240000093
以将第三目标函数等价转换为如公式(10)所示的约束优化目标函数。
Figure BDA0003548870240000094
在公式(9)中，
Figure BDA0003548870240000095
用于表示当观测到的元素项的下标属于集合Ω时，则当前待观测的张量数据
Figure BDA0003548870240000096
中的元素和原始张量数据
Figure BDA0003548870240000097
的值在映射函数
Figure BDA0003548870240000098
下相等，且将
Figure BDA0003548870240000099
中对应位置的值全部设置为0，而其他位置的值全部设置为无穷值。
Figure BDA00035488702400000910
在公式(10)中，s.t.表示辅助变量
Figure BDA00035488702400000911
需要满足的约束条件，即本申请实施例采用辅助变量
Figure BDA00035488702400000912
代替进行求解，并通过固定其他变量而迭代更新其中的每个变量，从而优化对小波张量数据
Figure BDA00035488702400000913
的求解过程，再通过求解辅助变量
Figure BDA00035488702400000914
得到约束优化目标函数的最优化参数，进而根据最优化参数输出得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
具体地，采用交替方向乘子法求解第二目标函数的最优解，可以相当于求解公式(10)对应的约束优化目标函数的最优解，则具体过程包括但不限于如下步骤S221至步骤S224所示。
步骤S221，在公式(10)的基础上采用增广拉格朗日方法将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，即构建增广拉格朗日函数
Figure BDA00035488702400000915
如公式 (11)所示。
Figure BDA00035488702400000916
其中，Λ表示一个拉格朗日乘子，且该拉格朗日乘子的维度大小为 n1*n2*wn3，μ表示一个非负的惩罚参数，
Figure BDA00035488702400000917
表示对
Figure BDA00035488702400000918
和Λ进行内积求解，
Figure BDA00035488702400000919
表示求解得到各项元素的绝对值的平方和。
步骤S222，固定公式(11)中的变量
Figure BDA00035488702400000920
和Λ，以更新辅助变量
Figure BDA00035488702400000921
求解关于辅助变量
Figure BDA00035488702400000922
的优化子问题，则对辅助变量
Figure BDA00035488702400000923
的第t+1次迭代的优化问题可化为如公式(12)所示，其中，t表示迭代次数。
Figure BDA00035488702400000924
需要说明的是，在一些实施例中，由于具有非凸特性，可以采用DC算法优化公式(12)，以得到如下公式(13)所示。
Figure BDA0003548870240000101
在公式(13)中，s＝min{n1,n2}，用于n1和n1表示中的最小值，当采用
Figure BDA0003548870240000102
表示
Figure BDA0003548870240000103
采用
Figure BDA0003548870240000104
表示
Figure BDA0003548870240000105
则根据张量奇异值的性质和的降序性质，则可以表示为
Figure BDA0003548870240000106
Ψ(·)表示一个非凸函数，已知
Figure BDA0003548870240000107
其中，
Figure BDA0003548870240000108
表示在
Figure BDA0003548870240000109
在
Figure BDA00035488702400001010
处的梯度，则公式(13)可以转换为公式(14)所示。
Figure BDA00035488702400001011
需要说明的是，对于公式(14)对应的第个子问题，可以采用加权奇异值阈值法(WSVT)求解公式(14)对应的全局优化解，如公式(15)和公式(16) 所示，该公式用于表示对
Figure BDA00035488702400001012
做张量奇异值分解。
Figure BDA00035488702400001013
Figure BDA00035488702400001014
步骤S223，固定公式(11)中的变量
Figure BDA00035488702400001015
和Λ，以更新变量
Figure BDA00035488702400001016
求解关于变量
Figure BDA00035488702400001017
的优化子问题，则对变量
Figure BDA00035488702400001018
的第t+1次迭代的优化问题可化为如公式(12) 所示，其中，t表示迭代次数。
Figure BDA00035488702400001019
需要说明的是，公式(17)对应的矩阵形式如公式(18)所示。
Figure BDA00035488702400001020
其中，
Figure BDA00035488702400001021
表示用unfold3算子沿着模态3对张量进行展开，模态3表示该张量对应的三个模态，例如，一个三阶张量
Figure BDA00035488702400001022
(由n1行、 n2列、n3个维度构成)有相应有三个模态，在每个模态展开这个张量，都会得到一个如公式(19)所示的矩阵。
Figure BDA00035488702400001023
因此，根据公式(17)和公式(18)可知，关于
Figure BDA00035488702400001024
的第t+1次迭代的优化问题也可以表示为公式(20)所示。
Figure BDA0003548870240000111
其中，ΩC表示集合Ω的补集，
Figure BDA0003548870240000112
表示用fold3算子沿着模态3折叠成一个张量，该张量的大小n1*n2*n3。
步骤S224，固定公式(11)中的变量Λ和μ，以求解关于变量Λ和μ的优化子问题，则对变量Λ的第t+1次迭代的优化问题可化为如公式(21)所示，对变量μ的第t+1次迭代的优化问题的可化为如公式(22)所示，其中，t表示迭代次数。
Figure BDA0003548870240000113
μt+1＝min{β*μt,μmax} (22)
其中，β表示一个用于加速收敛的固定参数，μmax表示惩罚参数μ的最大值。
需要说明的是，本申请实施例采用的增广拉格朗日方法会重复步骤S222至步骤S223，直至训练的参数达到设定的参数优化阈值，本申请采用基于小波紧框架的非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，能够提供一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，以得到完整的张量图像。
需要说明的是，在一具体的实施例中，一种张量补全的方法流程，具体包括：获取原始张量数据和待观测的张量数据，根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数，对原始张量数据进行小波紧框架变换，更新第一目标函数，将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数。具体地，为了恢复出原始且干净的张量数据，进而得到完整的张量图像，即本申请采用小波紧框架和非凸低秩张量逼近的张量补全的方法，提供了一种恢复效果更好且能够保留更多结构信息的低秩张量逼近模型，且采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
本申请实施例还提出了一种张量补全的装置，用于执行上述任一实施例的一种张量补全的方法，该装置包括数据获取模块、第一函数建立模块、函数更新模块、第二函数建立模块和函数求解模块。
数据获取模块用于获取原始张量数据和待观测的张量数据；第一函数建立模块用于根据原始张量数据和待观测的张量数据建立第一目标函数；函数更新模块用于对原始张量数据进行小波紧框架变换，更新第一目标函数；第二函数建立模块用于将更新后的第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数；函数求解模块用于采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。本申请实施例的一种张量补全的装置用于执行上述实施例中的一种张量补全的方法，其具体处理过程与上述实施例中的一种张量补全的方法相同，此处不再一一赘述。
在一些实施例中，函数求解模块用于采用交替方向乘子法对第二目标函数进行求解，得到待观测的张量数据对应的完整张量图像，包括最优解求解模块和张量图像输出模块。
最优解求解模块用于采用交替方向乘子法求解第二目标函数的最优解；张量图像输出模块用于根据第二目标函数的最优解得到待观测的张量数据对应的完整张量图像。
需要说明的是，本申请上述实施例的一种张量补全的装置用于执行上述实施例中的一种张量补全的方法，其具体处理过程与上述实施例中的一种张量补全的方法相同，此处不再一一赘述。
本申请实施例还提供了一种计算机设备，包括存储器和处理器，其中，存储器中存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时处理器用于执行如本申请第一方面实施例中任一项的一种多视图子空间聚类方法。
下面结合图3对计算机设备的硬件结构进行详细说明。该计算机设备包括：处理器301、存储器302、输入/输出接口303、通信接口304和总线305。
处理器301，可以采用通用的CPU(Central Processin Unit，中央处理器)、微处理器、应用专用集成电路(Application Specific Integrated Circuit， ASIC)、或者一个或多个集成电路等方式实现，用于执行相关程序，以实现本申请实施例所提供的技术方案；
存储器302，可以采用ROM(Read Only Memory，只读存储器)、静态存储设备、动态存储设备或者RAM(Random Access Memory，随机存取存储器)等形式实现。存储器302可以存储操作系统和其他应用程序，在通过软件或者固件来实现本说明书实施例所提供的技术方案时，相关的程序代码保存在存储器302 中，并由处理器301来调用执行本申请实施例的一种张量补全的方法；
输入/输出接口303，用于实现信息输入及输出；
通信接口304，用于实现本设备与其他设备的通信交互，可以通过有线方式 (例如USB、网线等)实现通信，也可以通过无线方式(例如移动网络、WIFI、蓝牙等)实现通信；和总线305，在设备的各个组件(例如处理器301、存储器 302、输入/输出接口303和通信接口304)之间传输信息；
其中处理器301、存储器302、输入/输出接口303和通信接口304通过总线305实现彼此之间在设备内部的通信连接。
本申请实施例还提供一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质存储有计算机程序，在计算机程序被计算机执行时，计算机用于执行如本申请第一方面实施例中任一项的一种张量补全的方法。
存储器作为一种非暂态计算机可读存储介质，可用于存储非暂态软件程序以及非暂态性计算机可执行程序。此外，存储器可以包括高速随机存取存储器，还可以包括非暂态存储器，例如至少一个磁盘存储器件、闪存器件、或其他非暂态固态存储器件。在一些实施方式中，存储器可选包括相对于处理器远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至该处理器。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
本申请实施例描述的实施例是为了更加清楚的说明本申请实施例的技术方案，并不构成对于本申请实施例提供的技术方案的限定，本领域技术人员可知，随着技术的演变和新应用场景的出现，本申请实施例提供的技术方案对于类似的技术问题，同样适用。
本领域技术人员可以理解的是，图1至图2中示出的技术方案并不构成对本申请实施例的限定，可以包括比图示更多或更少的步骤，或者组合某些步骤，或者不同的步骤。
以上所描述的装置实施例仅仅是示意性的，其中作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部模块来实现本实施例方案的目的。
本领域普通技术人员可以理解，上文中所公开方法中的全部或某些步骤、系统、设备中的功能模块/单元可以被实施为软件、固件、硬件及其适当的组合。
本申请的说明书及上述附图中的术语“第一”、“第二”、“第三”、“第四”等(如果存在)是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本申请的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。
应当理解，在本申请中，“至少一个(项)”是指一个或者多个，“多个”是指两个或两个以上。“和/或”，用于描述关联对象的关联关系，表示可以存在三种关系，例如，“A和/或B”可以表示：只存在A，只存在B以及同时存在 A和B三种情况，其中A，B可以是单数或者复数。字符“/”一般表示前后关联对象是一种“或”的关系。“以下至少一项(个)”或其类似表达，是指这些项中的任意组合，包括单项(个)或复数项(个)的任意组合。例如，a，b或 c中的至少一项(个)，可以表示：a，b，c，“a和b”，“a和c”，“b和c”，或“a和b和c”，其中a，b，c可以是单个，也可以是多个。
在本申请所提供的几个实施例中，应该理解到，所揭露的装置和方法，可以通过其它的方式实现。例如，以上所描述的装置实施例仅仅是示意性的，例如，所述单元的划分，仅仅为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，例如多个单元或组件可以结合或者可以集成到另一个系统，或一些特征可以忽略，或不执行。另一点，所显示或讨论的相互之间的耦合或直接耦合或通信连接可以是通过一些接口，装置或单元的间接耦合或通信连接，可以是电性，机械或其它的形式。
所述作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部单元来实现本实施例方案的目的。
另外，在本申请各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理单元中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个单元中。上述集成的单元既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能单元的形式实现。
所述集成的单元如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本申请的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的全部或部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括多指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本申请各个实施例所述方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、移动硬盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称RAM)、磁碟或者光盘等各种可以存储程序的介质。
以上参照附图说明了本申请实施例的优选实施例，并非因此局限本申请实施例的权利范围。本领域技术人员不脱离本申请实施例的范围和实质内所作的任何修改、等同替换和改进，均应在本申请实施例的权利范围之内。

Claims (6)

1.一种张量补全的方法，其特征在于，所述方法包括：
获取原始张量数据和待观测的张量数据；
获取所述原始张量数据和所述待观测的张量数据，将所述原始张量数据记为
Figure QLYQS_1
，所述待观测的张量数据记为
Figure QLYQS_2
，
Figure QLYQS_3
表示待观测的张量数据的高度，
Figure QLYQS_4
表示待观测的张量数据的宽度，
Figure QLYQS_5
表示待观测的张量数据的维度，
Figure QLYQS_6
表示实数域；并利用下述公式根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数：
Figure QLYQS_7
；
Figure QLYQS_8
；
其中，
Figure QLYQS_9
用于计算张量的核范数，
Figure QLYQS_10
表示所述第一目标函数需要满足的约束条件，
Figure QLYQS_11
表示能观测到的元素项的下标的集合，
Figure QLYQS_12
表示一个映射函数；
对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，得到小波张量数据
Figure QLYQS_13
；其中，
Figure QLYQS_14
表示小波变换矩阵，所述小波变换矩阵的矩阵大小为
Figure QLYQS_15
，
Figure QLYQS_16
表示所述小波变换矩阵的行数，
Figure QLYQS_17
表示所述小波变换矩阵的列数；并利用下述公式根据所述小波张量数据
Figure QLYQS_18
更新所述第一目标函数：
Figure QLYQS_19
；
Figure QLYQS_20
；
将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数，并利用下述公式得到第二目标函数：
Figure QLYQS_21
；
其中，
Figure QLYQS_24
表示所述小波张量数据
Figure QLYQS_27
的第
Figure QLYQS_29
个正面切片，
Figure QLYQS_22
表示所述小波张量数据
Figure QLYQS_25
的所述第
Figure QLYQS_28
个正面切片的第
Figure QLYQS_30
个奇异值，
Figure QLYQS_23
表示非负参数，
Figure QLYQS_26
表示所述非凸惩罚函数；
所述非凸惩罚函数包括拉普拉斯函数、Geman函数、加权Schatten函数中的任一种，则所述第二目标函数表示为以下任一种：
当所述非凸惩罚函数为所述拉普拉斯函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_31
；
Figure QLYQS_32
；
当所述非凸惩罚函数为所述Geman函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_33
；
Figure QLYQS_34
；
当所述非凸惩罚函数为所述加权Schatten函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_35
；
Figure QLYQS_36
；
其中，
Figure QLYQS_37
表示非负权重标量，
Figure QLYQS_41
表示在获取到所述小波张量数据
Figure QLYQS_43
的所述第
Figure QLYQS_38
个正面切片的第
Figure QLYQS_40
个奇异值
Figure QLYQS_42
后，对
Figure QLYQS_44
求解
Figure QLYQS_39
次方后得到的数值；
采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
2.根据权利要求1所述的一种张量补全的方法，其特征在于，所述采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像，包括：
采用交替方向乘子法求解所述第二目标函数的最优解；
根据所述第二目标函数的最优解得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
3.一种张量补全的装置，其特征在于，包括：
数据获取模块，用于获取原始张量数据和待观测的张量数据；
第一函数建立模块，用于获取所述原始张量数据和所述待观测的张量数据，将所述原始张量数据记为
Figure QLYQS_45
，所述待观测的张量数据记为
Figure QLYQS_46
，
Figure QLYQS_47
表示待观测的张量数据的高度，
Figure QLYQS_48
表示待观测的张量数据的宽度，
Figure QLYQS_49
表示待观测的张量数据的维度，
Figure QLYQS_50
表示实数域；并利用下述公式根据所述原始张量数据和所述待观测的张量数据建立第一目标函数：
Figure QLYQS_51
；
Figure QLYQS_52
；
其中，
Figure QLYQS_53
用于计算张量的核范数，
Figure QLYQS_54
表示所述第一目标函数需要满足的约束条件，
Figure QLYQS_55
表示能观测到的元素项的下标的集合，
Figure QLYQS_56
表示一个映射函数；
函数更新模块，用于对所述原始张量数据进行小波紧框架变换，得到小波张量数据
Figure QLYQS_57
；其中，
Figure QLYQS_58
表示小波变换矩阵，所述小波变换矩阵的矩阵大小为
Figure QLYQS_59
，
Figure QLYQS_60
表示所述小波变换矩阵的行数，
Figure QLYQS_61
表示所述小波变换矩阵的列数；并利用下述公式根据所述小波张量数据
Figure QLYQS_62
更新所述第一目标函数：
Figure QLYQS_63
；
Figure QLYQS_64
；
第二函数建立模块，用于将更新后的所述第一目标函数结合非凸惩罚函数得到第二目标函数，并利用下述公式得到第二目标函数：
Figure QLYQS_65
；
其中，
Figure QLYQS_68
表示所述小波张量数据
Figure QLYQS_69
的第
Figure QLYQS_72
个正面切片，
Figure QLYQS_66
表示所述小波张量数据
Figure QLYQS_70
的所述第
Figure QLYQS_73
个正面切片的第
Figure QLYQS_74
个奇异值，
Figure QLYQS_67
表示非负参数，
Figure QLYQS_71
表示所述非凸惩罚函数；
所述非凸惩罚函数包括拉普拉斯函数、Geman函数、加权Schatten函数中的任一种，则所述第二目标函数表示为以下任一种：
当所述非凸惩罚函数为所述拉普拉斯函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_75
；
Figure QLYQS_76
；
当所述非凸惩罚函数为所述Geman函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_77
；
Figure QLYQS_78
；
当所述非凸惩罚函数为所述加权Schatten函数，利用下述公式表示所述第二目标函数：
Figure QLYQS_79
；
Figure QLYQS_80
；
其中，
Figure QLYQS_83
表示非负权重标量，
Figure QLYQS_84
表示在获取到所述小波张量数据
Figure QLYQS_86
的所述第
Figure QLYQS_82
个正面切片的第
Figure QLYQS_85
个奇异值
Figure QLYQS_87
后，对
Figure QLYQS_88
求解
Figure QLYQS_81
次方后得到的数值；
函数求解模块，用于采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
4.根据权利要求3所述的一种张量补全的装置，其特征在于，所述函数求解模块，用于采用交替方向乘子法对所述第二目标函数进行求解，得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像，包括：
最优解求解模块，用于采用交替方向乘子法求解所述第二目标函数的最优解；
张量图像输出模块，用于根据所述第二目标函数的最优解得到所述待观测的张量数据对应的完整张量图像。
5.一种计算机设备，其特征在于，所述一种计算机设备包括存储器和处理器，其中，所述存储器中存储有计算机程序，所述计算机程序被所述处理器执行时所述处理器用于执行如权利要求1或2所述的一种张量补全的方法。
6.一种计算机可读存储介质，其特征在于，所述计算机可读存储介质存储有计算机程序，在所述计算机程序被计算机执行时，所述计算机用于执行如权利要求1或2所述的一种张量补全的方法。
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