CN115422709A - 一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法 - Google Patents

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CN115422709A CN202210883357.3A CN202210883357A CN115422709A CN 115422709 A CN115422709 A CN 115422709A CN 202210883357 A CN202210883357 A CN 202210883357A CN 115422709 A CN115422709 A CN 115422709A
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颜冰
蓝强
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Abstract

本发明公开了一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，具体包括以下步骤：第一步：利用三个三轴磁通门传感器组成磁传感器阵列，接收磁性目标在运动中产生的磁异常数据；第二步：将磁性目标等效为磁偶极子模型，利用磁传感器阵列接收到的磁异常数据构建非线性方程组；第三步：根据设定的输入初值，构造目标函数和残差向量；第四步：采用截断奇异值分解方法以及LM算法得到迭代解；第五步：将迭代解作为初值利用LM算法求得最终解。本发明公开的基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，能够有效地改善不准确初值带来的奇异问题，估计得到的目标参数与真实值非常接近，显示了良好的目标定位效果的技术效果。

Description

一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法
技术领域
本发明涉及目标定位技术领域，尤其涉及一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法。
背景技术
车辆、舰船等磁性运动目标在地磁场中会产生磁异常线性，利用这种磁异常可以实现对磁性目标的反演定位，在军事和民用领域有重要的应用价值。当目标离磁传感器的距离大于目标尺寸的2.5倍时，通常可以将该目标产生的磁异常用磁偶极子模型来描述，此时磁性目标定位问题就转化为磁偶极子模型参数估计问题。目前，该问题主要通过参数寻优的方法解决，主要包括启发式优化算法以及经典数值优化算法两类。
2008年，Sheinker等人基于种群增量学习算法实现磁性目标定位；2015年RogerAlimi等人采用模拟退火算法实现运动磁性目标定位。2018年张文等人将粒子群优化算法与Levenberg-Marquart(LM)算法进行结合，用于磁性目标进行定位，该方法能够克服传统LM算法在求解非线性寻优中的初值敏感性问题。
一般而言，启发式优化算法计算量较大，且对解的精细搜索能力不强，不利于实时定位场景；而数值优化算法运行速度较快，但在求解时对初值要求较高，若初值离真值较远，则优化算法在求解时会出现病态矩阵问题，从而无法实现磁性目标准确定位。
发明内容
本发明公开一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，旨在解决背景技术中提出的启发式优化算法计算量较大，且对解的精细搜索能力不强，不利于实时定位场景；而数值优化算法运行速度较快，但在求解时对初值要求较高，若初值离真值较远，则优化算法在求解时会出现病态矩阵问题，从而无法实现磁性目标准确定位的技术问题。
为了实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：
一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，具体包括以下步骤：
第一步：利用三个三轴磁通门传感器组成磁传感器阵列，接收磁性目标在运动中产生的磁异常数据；
第二步：将磁性目标等效为磁偶极子模型，利用磁传感器阵列接收到的磁异常数据构建非线性方程组；
第三步：根据设定的输入初值和构造目标函数和残差向量；
第四步：根据残差向量计算雅克比矩阵；
第五步：对进行奇异值分解，通过选取合适的截断门限，并根据截断奇异值就是保留大的奇异值重构；
第六步：将重构后的代入LM算法的迭代公式利用LM算法对磁偶极子目标参数进行迭代估计；
第七步：将迭代估计得到的目标参数作为初值输入常规LM算法再次进行迭代求解；
第八步：输出目标位置参数和磁矩参数估计结果。
在一个优选的方案中，在笛卡尔坐标系中，磁传感器坐标为B(x,y,z)，磁性目标的坐标为A(x0,y0,z0)，其磁矩矢量为
Figure BDA0003765078110000031
m为磁矩大小，θ表示磁偶极子的磁倾角，
Figure BDA0003765078110000032
表示磁偶极子的磁偏角，当磁性目标与磁传感器之间的距离大于自身尺寸的2.5倍时，B点处的磁传感器接收到的该磁性目标产生的磁感应强度B可由磁偶极子模型描述，其具体表述如下：
Figure BDA0003765078110000033
进一步将上式展开为矩阵表达式：
Figure BDA0003765078110000034
其中，Bx，By，Bz表示磁感应强度B在各坐标轴上的投影，μ0表示真空中的磁导率，其大小为4π×10-7H/m，r＝(x-x0,y-y0,z-z0)表示目标与传感器之间的相对方向矢量，
Figure BDA0003765078110000035
表示目标与传感器之间的距离。
在一个优选的方案中，上式的矩阵表达式是一个包含6个关于目标的未知参数的方程组，至少需要2个三轴磁传感器同时观测，才能实现目标定位与磁矩参数估计，实际传感器在测量中不可避免地受到噪声的影响，因此求解该高阶方程组时通常将其转化为最优化问题，其目标函数可表示为：
Figure BDA0003765078110000036
其中，
Figure BDA0003765078110000041
表示由待估计目标参数组成的向量，N表示磁传感器数量，
Figure BDA0003765078110000042
表示第i个传感器测量得到的j方向的磁感应强度，
Figure BDA0003765078110000043
表示根据模型计算得到的j方向的磁感应强度理论值。
在一个优选的方案中，对所述目标函数的公式改写为：
Figure BDA0003765078110000044
其中，
Figure BDA0003765078110000045
表示残差向量，r(x)T＝[r1(x),r2(x),…,rN(x)]；
LM算法的迭代公式可表示为：
xk+1＝xk-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)Tr(xk)；
其中，J(xk)是r(xk)的雅克比矩阵，μk≥0是迭代参数；
方程出现奇异问题时，采用截断奇异值处理，也就是将较小的奇异值剔除，只保留较大的奇异值来进行矩阵重构和方程组求解；
令L(k)＝J(xk)TJ(xk)，则L(k)是一个6×6的矩阵，对L(k)进行奇异值分解，有L(k)＝UDVT，其中U和V是正交矩阵，D＝diag(σ1,σ2,…σ6)，是由降序排列的非负奇异值(σ1,σ2,…σ6)元素构成的对角阵，大的奇异值表示L(k)中能量较大的分量，而小的奇异值则表示L(k)中能量较小的分量；当L(k)出现奇异时，σ1/σ6会非常大，影响解的稳定性。
在一个优选的方案中，截断奇异值就是保留大的奇异值，剔除小的奇异值来近似L(k)重构的方法，也就是：
Figure BDA0003765078110000051
其中，m表示截断门限，也就是保留的奇异值的个数；
若奇异值σi满足：
Figure BDA0003765078110000052
则选择截断门限为m，此时，可根据
Figure BDA0003765078110000053
式对L(k)进行重构，将重构的L(k)代入
xk+1＝xk-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)Tr(xk)式所示的LM算法迭代公式，即可缓解不准确的初值给求解方程组带来的奇异问题。
由上可知，一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，具体包括以下步骤：第一步：利用三个三轴磁通门传感器组成磁传感器阵列，接收磁性目标在运动中产生的磁异常数据；第二步：将磁性目标等效为磁偶极子模型，利用磁传感器阵列接收到的磁异常数据构建非线性方程组；第三步：根据设定的输入初值和构造目标函数和残差向量；第四步：根据残差向量计算雅克比矩阵；第五步：对进行奇异值分解，通过选取合适的截断门限，并根据截断奇异值就是保留大的奇异值重构；第六步：将重构后的代入LM算法的迭代公式利用LM算法对磁偶极子目标参数进行迭代估计；第七步：将迭代估计得到的目标参数作为初值输入常规LM算法再次进行迭代求解；第八步：输出目标位置参数和磁矩参数估计结果。本发明提供的基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法具有利用本文提出的基于截断奇异值方法，能够有效地改善奇异问题，估计得到的目标参数与真实值非常接近，显示了良好的目标定位效果的技术效果。
附图说明
图1为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的磁偶极子目标定位方法流程图。
图2为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的目标和磁传感器阵列相对位置俯视图示意图。
图3为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的不同方法目标参数估计结果图。
图4为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的不同方法目标参数估计结果图。
图5为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的不同噪声水平条件下目标参数估计结果图。
图6为本发明提出的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法的不同传感器间距条件下目标参数估计结果图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
如附图1所示，在笛卡尔坐标系中，磁传感器坐标为B(x,y,z)，磁性目标的坐标为A(x0,y0,z0)，其磁矩矢量为
Figure BDA0003765078110000061
m为磁矩大小，θ表示磁偶极子的磁倾角，
Figure BDA0003765078110000062
表示磁偶极子的磁偏角，当磁性目标与磁传感器之间的距离大于自身尺寸的2.5倍时，B点处的磁传感器接收到的该磁性目标产生的磁感应强度B可由磁偶极子模型描述，表述如下：
Figure BDA0003765078110000071
进一步将上式展开为矩阵表达式：
Figure BDA0003765078110000072
其中，Bx，By，Bz表示磁感应强度B在各坐标轴上的投影，μ0表示真空中的磁导率，其大小为4π×10-7H/m，r＝(x-x0,y-y0,z-z0)表示目标与传感器之间的相对方向矢量，
Figure BDA0003765078110000073
表示目标与传感器之间的距离。上式是一个包含6个关于目标的未知参数的方程组，因此，至少需要2个三轴磁传感器同时观测，才能实现目标定位与磁矩参数估计。实际传感器在测量中不可避免地受到噪声的影响，因此求解该高阶方程组时通常将其转化为最优化问题，其目标函数可表示为：
Figure BDA0003765078110000074
其中，
Figure BDA0003765078110000075
表示由待估计目标参数组成的向量，N表示磁传感器数量，
Figure BDA0003765078110000076
表示第i个传感器测量得到的j方向的磁感应强度，
Figure BDA0003765078110000077
表示根据模型计算得到的j方向的磁感应强度理论值。该目标函数是一个与目标参数有关的非线性函数，求解该式的优化算法主要包括两大类，一类是经典的数值优化算法，例如牛顿法、共轭梯度法、高斯牛顿法、LM算法等；另一类是启发式智能优化算法，例如遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。LM算法是结合共轭梯度法与高斯牛顿法的一种优化算法，对于非线性优化问题有较好的求解性能，本文采用该算法作为磁偶极子目标定位的基本算法。首先将目标函数(3)式改写为：
Figure BDA0003765078110000081
其中，
Figure BDA0003765078110000082
表示残差向量，r(x)T＝[r1(x),r2(x),…,rN(x)]。
LM算法的迭代公式可表示为：
xk+1＝xk-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)Tr(xk) (5)
其中，J(xk)是r(xk)的雅克比矩阵，μk≥0是迭代参数，其目的是为了保证J(xk)TJ(xk)项在求逆时不会出现奇异现象，并且避免了迭代步长过大从而提高解的搜索精度。LM算法兼顾了高斯牛顿法和梯度下降法的优点，是求解非线性优化问题的重要方法，但是该方法对迭代初值较为敏感。为了提高优化问题解的稳定性，需要有一个合适的初值。在实际的磁偶极子目标定位问题中，若迭代初值选取不合适，离真值较远时，根据磁偶极子模型可知，传感器获取的目标磁感应强度较小，或信噪比较低时，采用LM算法尽管能够缓解非线性方程的奇异性，但解的精度和稳定性仍然不高。
事实上，方程出现奇异问题时，对矩阵J(xk)TJ(xk)作奇异值分解得到的奇异值中有非常小的分量，导致矩阵求逆不稳定。一种可行的方法是采用截断奇异值处理，也就是将较小的奇异值剔除，只保留较大的奇异值来进行矩阵重构和方程组求解。令L(k)＝J(xk)TJ(xk)，则L(k)是一个6×6的矩阵。对L(k)进行奇异值分解，有L(k)＝UDVT，其中，U和V是正交矩阵，D＝diag(σ1,σ2,…σ6)，是由降序排列的非负奇异值(σ1,σ2,…σ6)元素构成的对角阵。大的奇异值表示L(k)中能量较大的分量，而小的奇异值则表示L(k)中能量较小的分量。当L(k)出现奇异时，σ1/σ6会非常大，影响解的稳定性。截断奇异值就是保留大的奇异值，剔除小的奇异值来近似重构L(k)的方法，也就是：
Figure BDA0003765078110000091
其中，m表示截断门限，也就是保留的奇异值的个数。
一种可行的门限选择方法为：若奇异值σi满足：
Figure BDA0003765078110000092
则选择截断门限为m。此时，可根据(6)式对L(k)进行重构。将重构的L(k)代入(5)式所示的LM算法迭代公式，即可在一定程度上缓解不准确的初值给求解方程组带来的奇异问题。
由于(3)式求解是非线性方程组，尽管采用截断奇异值方法能够在一定程度上降低方程组的奇异性，但是求解的结果还不够精确。一种改进的思路是将采用截断奇异值分解后的解作为初值，再次采用LM算法进行迭代求解。此时，LM算法初值的精度已靠近真值，因此通过迭代优化能迅速找到方程组的全局最优解，从而提高磁偶极子目标定位的稳健性和准确性。整个基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法流程如图1所示。
第一步：利用三个三轴磁通门传感器组成磁传感器阵列，接收磁性目标在运动中产生的磁异常数据；
第二步：将磁性目标等效为磁偶极子模型，利用磁传感器阵列接收到的磁异常数据构建(3)式所示的非线性方程组；
第三步：根据设定的输入初值和(4)式构造目标函数和残差向量；
第四步：根据残差向量计算雅克比矩阵J(xk)；
第五步：对J(xk)TJ(xk)进行奇异值分解，通过(7)式选取合适的截断门限，并根据(6)式重构J(xk)TJ(xk)；
第六步：将重构后的J(xk)TJ(xk)代入(5)式利用LM算法对磁偶极子目标参数进行迭代估计；
第七步：将迭代估计得到的目标参数作为初值输入常规LM算法再次进行迭代求解；
第八步：输出目标位置参数和磁矩参数估计结果。
如附图2所示：仿真分析
假设目标的磁矩为，位置为。三个三轴磁通门传感器的位置分别为、和，且磁传感器的方向与目标-传感器坐标系方向相同，目标和磁传感器阵列之间的空间位置关系俯视图如图2所示。磁传感器测量过程中不可避免地受到测量噪声的影响，假设在各轴上的测量噪声均值为0，标准差为0.1nT。分别采用本文提出的基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法和基于LM优化算法的磁偶极子定位方法对磁传感器阵列测量数据进行处理，当初值选取为(-10,1,-0.5,1000,0.2,0.2)，得到该目标的估计结果如图3所示。
若将初值选取为(-5,5,-0.8,600,0.7,0.7)，则两种方法的估计结果如图4所示；
从图3和图4的结果可以看出，如果对于目标参数有粗略的先验知识，也就是定位算法选取的初值接近于真实参数时，两种方法是等价的，此时由于方程组不存在奇异性，因此两种方法都能获得很好的定位效果。但是，在大多数情况下，目标参数的先验信息并不清楚，定位算法的初值选取可能会远远偏离目标的真实值，此时方程组出现奇异问题，传统的LM算法无法找到全局最优，得到的目标参数偏离目标真实参数较大，无法实现定位。而利用本文提出的基于截断奇异值方法，能够有效地改善奇异问题，估计得到的目标参数与真实值非常接近，显示了良好的目标定位效果。
下面讨论不同的传感器测量噪声水平和不同传感器间距对目标定位效果的影响。设传感器的测量噪声水平分别为0.01nT和1nT，应用本文方法的目标定位结果如图5所示，从图5的结果可以看出，当磁传感器的测量噪声较小(0.01nT)时，目标参数估计结果与真值非常接近；若测量噪声较大(1nT)，尽管本文所提方法仍能能收敛，但是目标参数估计误差增大，特别是目标的磁矩参数，估计误差较大。因此，为了提高目标定位效果，需要尽可能降低传感器的测量噪声；
接下来保持传感器的测量噪声水平为0.1nT，改变三个传感器之间的间距，测试不同传感器间距条件下本文所提方法的有效性。设第一个传感器的位置保持不变，传感器的间距分别变为0.5m(简称为间距一)以及2m(简称为间距二)，利用本文所提方法所得的目标参数估计结果如图6所示；
从图6的结果可以看出，传感器间距一条件下的目标定位效果要略差于传感器间距二，也就是说，增大传感器间距有利于提高目标定位效果，但提高不明显。
综上所述，本文针对初值未知条件下的磁偶极子目标定位中的方程组奇异问题，首先采用截断奇异值分解剔除不稳健的奇异值来降低小奇异值的影响，得到目标参数的粗略值，然后将其作为LM算法的初值进行迭代寻优，实现目标定位。该方法克服了LM算法对初值的高要求，提高了磁偶极子目标定位的稳健性和精度.
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，具体包括以下步骤：
第一步：利用三个三轴磁通门传感器组成磁传感器阵列，接收磁性目标在运动中产生的磁异常数据；
第二步：将磁性目标等效为磁偶极子模型，利用磁传感器阵列接收到的磁异常数据构建非线性方程组；
第三步：根据设定的输入初值和构造目标函数和残差向量；
第四步：根据残差向量计算雅克比矩阵J(xk)；
第五步：对J(xk)TJ(xk)进行奇异值分解，通过选取合适的截断门限，并根据截断奇异值分解重构J(xk)TJ(xk)；
第六步：将重构后的J(xk)TJ(xk)代入LM算法的迭代公式，利用LM算法对磁偶极子目标参数进行迭代估计；
第七步：将迭代估计得到的目标参数作为初值输入常规LM算法再次进行迭代求解；
第八步：输出目标位置参数和磁矩参数估计结果。
2.根据权利要求1所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，在笛卡尔坐标系中，磁传感器坐标为B(x,y,z)，磁性目标的坐标为A(x0,y0,z0)，其磁矩矢量为
Figure FDA0003765078100000011
m为磁矩大小，θ表示磁偶极子的磁倾角，
Figure FDA0003765078100000012
表示磁偶极子的磁偏角，当磁性目标与磁传感器之间的距离大于自身尺寸的2.5倍时，B点处的磁传感器接收到的该磁性目标产生的磁感应强度B可由磁偶极子模型描述，其具体表述如下：
Figure FDA0003765078100000021
3.根据权利要求2所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，进一步将上式展开为矩阵表达式：
Figure FDA0003765078100000022
其中，Bx，By，Bz表示磁感应强度B在各坐标轴上的投影，μ0表示真空中的磁导率，其大小为4π×10-7H/m，r＝(x-x0,y-y0,z-z0)表示目标与传感器之间的相对方向矢量，
Figure FDA0003765078100000023
表示目标与传感器之间的距离。
4.根据权利要求3所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，上式的矩阵表达式是一个包含6个关于目标的未知参数的方程组，至少需要2个三轴磁传感器同时观测，才能实现目标定位与磁矩参数估计，实际传感器在测量中不可避免地受到噪声的影响，因此求解该高阶方程组时通常将其转化为最优化问题，其目标函数可表示为：
Figure FDA0003765078100000024
其中，
Figure FDA0003765078100000025
表示由待估计目标参数组成的向量，N表示磁传感器数量，
Figure FDA0003765078100000026
表示第i个传感器测量得到的j方向的磁感应强度，
Figure FDA0003765078100000031
表示根据模型计算得到的j方向的磁感应强度理论值。
5.根据权利要求4所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，对所述目标函数的公式改写为：
Figure FDA0003765078100000032
其中，
Figure FDA0003765078100000033
表示残差向量，r(x)T＝[r1(x),r2(x),…,rN(x)]；
LM算法的迭代公式可表示为：
xk+1＝xk-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)Tr(xk)；
其中，J(xk)是r(xk)的雅克比矩阵，μk≥0是迭代参数。
6.根据权利要求5所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，方程出现奇异问题时，采用截断奇异值处理，也就是将较小的奇异值剔除，只保留较大的奇异值来进行矩阵重构和方程组求解；
令L(k)＝J(xk)TJ(xk)，则L(k)是一个6×6的矩阵，对L(k)进行奇异值分解，有L(k)＝UDVT，其中U和V是正交矩阵，D＝diag(σ1,σ2,…σ6)，是由降序排列的非负奇异值(σ1,σ2,…σ6)元素构成的对角阵，大的奇异值表示L(k)中能量较大的分量，而小的奇异值则表示L(k)中能量较小的分量；当L(k)出现奇异时，σ1/σ6会非常大，影响解的稳定性。
7.根据权利要求6所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，截断奇异值就是保留大的奇异值，剔除小的奇异值来近似重构L(k)的方法，也就是：
Figure FDA0003765078100000041
其中，m表示截断门限，也就是保留的奇异值的个数。
8.根据权利要求7所述的一种基于截断奇异值分解的磁偶极子目标定位方法，其特征在于，若奇异值σi满足：
Figure FDA0003765078100000042
则选择截断门限为m，此时，可根据
Figure FDA0003765078100000043
式对L(k)进行重构，将重构的L(k)代入xk+1＝xk-(J(xk)TJ(xk)+μkI)-1J(xk)Tr(xk)式所示的LM算法迭代公式，即可缓解不准确的初值给求解方程组带来的奇异问题。
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