CN115146366A - 基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法 - Google Patents

基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法 Download PDF

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CN115146366A CN202210915687.6A CN202210915687A CN115146366A CN 115146366 A CN115146366 A CN 115146366A CN 202210915687 A CN202210915687 A CN 202210915687A CN 115146366 A CN115146366 A CN 115146366A
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Abstract

本发明公开了一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法。首先，基于Direct优化算法，设置优化目标，对样本进行粗抽样，然后分别在安全域和不安全域，基于欧几里得距离的自适应选点规则和优化算法，不断采用自适应策略选取少量样本点更新样本集，并使用支持向量回归拟合近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构可靠性分析。本发明在结构可靠性分析中有很好的通用性，能适应各类非线性问题，扩展了Direct优化算法、支持向量机机器学习方法在结构可靠性分析领域的适用范围，有重要的理论和工程意义。

Description

基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法
技术领域
本发明涉及结构可靠性分析技术领域，尤其是涉及采用响应面方法结合蒙特卡罗仿真进行结构可靠性分析方面，具体涉及一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法。
背景技术
土木工程、机械工程和航空航天等领域结构或产品可靠性分析合理考虑了工程中存在的不确定性参数，为广大工程技术人员广泛接受，是工程结构或产品设计理论发展的一个重要手段。随机结构或产品可靠性主要分析源于荷载、材料性质以及结构或产品制造过程的客观因素的影响，对工程实践的安全评定，结构或产品的安全运营以及改进其中重要的影响因素提高安全储备具有重要意义。
对实际工程领域中的结构进行可靠性分析时，往往存在多种不确定性变量。传统的结构可靠性理论是以概率论为基础，用随机变量描述参数的不确定性，而构造参数的精确概率分布需要获得大量的不确定信息。但在实际工程应用中，由于测量技术或者实际条件所限，往往难以获取足够数据来精确定义结构的分布参数，而且较小的参数误差可能会使计算结果出现较大波动有一些不确定性变量，存在亦此亦彼的现象，宜采用区间变量来描述。因此，研究随机-区间混合可靠性分析方法具有非常重要的现实意义。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有技术中的缺陷，提供一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，将Direct优化算法和支持向量机回归结合，应用到结构随机区间混合可靠性分析中。首先，基于Direct优化算法，设置优化目标，对样本进行粗抽样，然后分别在安全域和不安全域，基于欧几里得距离的自适应选点规则和优化算法，不断采用自适应策略选取少量样本点更新样本集，并使用支持向量回归拟合近似功能函数并使用支持向量回归拟合近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构可靠性分析，改善支持向量机回归的响应面法计算随机-区间混合可靠指标的精度，是现有结构可靠性方法的扩展。
本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，所述可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域的产品结构、待分析领域中反映结构或产品正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x,y)、区间变量y＝(y1,y2,…,ym)，随机变量x＝(x1,x2,…,xn)及其特征参数，其中，n为随机变量x中元素的个数，m为区间变量y中元素的个数，x1,x2,…,xn是随机变量x向量的各分量，y1,y2,…,ym是区间变量y向量的各分量，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)，其中，z1,z2,…,zn是标准正态变量z的各分量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、通过Direct优化算法产生2n+1个随机变量的样本点Z1，将区间变量y各分量均粗略划分为t等分，若m＝1，t取10，m＝2或3，t取5，m≥4，t取3；
S5、在区间变量等分点基础上进行中心复合设计，得到tm个区间变量的样本点Z2，依次对Z1中的每一个随机变量样本zi，i＝1,2,...,2n+1，分别代入Z2中所有的区间变量样本点，计算真实功能函数对应的结构响应，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000031
取最小值作为样本点Z1中zi的结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000032
取最大值作为样本点Z1中zi的结构响应，建立样本集
Figure BDA0003775310270000033
训练得到功能函数g(x,y)在标准正态空间下的支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000034
S6、以f(z)为优化目标函数，通过Direct优化算法再次迭代，产生新的候选样本点，选择f(z)值较小的k个样本追加到先前样本Z1中，计算样本对应的真实结构响应，建立新的包含2n+1+k个样本的训练集，其中若k＜10，k＝n+m，否则k＝10，更新支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000035
S7、令iter＝iter+1，按伪随机方法产生N组随机变量候选样本点，经过自适应选点策略分别从安全域与不安全域筛选出回归模型
Figure BDA0003775310270000036
最小的两个点(z1,y1)和(z2,y2)，其中z1＝(z11,…,z1n)，z11,…,z1n为z1的n个分量，y1＝(y11,…,y1m)，y11,…,y1m为y1的m个分量，z2＝(z21,),z2n)，z21,…,z2n为z2的n个分量，y2＝(y21,…,y2m)，y21,…,y2m为y2的m个分量，(z1,y1)＝(z11,…,z1n,y11,…,y1m)，(z2,y2)＝(z21,…,z2n,y21,…,y2m)；
S8、分别将以y1和y2为中心的相邻两个区间划分成t1个等分点，t1>t，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000037
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA0003775310270000038
最小值点
Figure BDA0003775310270000039
和
Figure BDA00037753102700000310
若计算最小失效概率
Figure BDA00037753102700000311
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA00037753102700000312
最大值点
Figure BDA00037753102700000313
和
Figure BDA00037753102700000314
计算这两点对应的真实结构响应添加到样本集
Figure BDA00037753102700000315
中，再次更新支持向量机回归模型
Figure BDA00037753102700000316
S9、对标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)进行蒙特卡洛仿真，
Figure BDA0003775310270000041
和
Figure BDA0003775310270000042
分别代入回归模型
Figure BDA0003775310270000043
若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000044
取回归模型值
Figure BDA0003775310270000045
和
Figure BDA0003775310270000046
较小的作为结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000047
取回归模型值
Figure BDA0003775310270000048
和
Figure BDA0003775310270000049
较大的作为结构响应，计算结构失效概率Pf，
Figure BDA00037753102700000410
或
Figure BDA00037753102700000411
S10、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标β＝Φ-1(Pf)，其中Φ-1(·)为标准正态分布函数反函数，否则令iter＝iter+1，返回步骤S7继续执行。
进一步地，所述步骤S2中，假定向量x的联合累积分布函数为Fx(x)，Rosenblatt变换按下面表达式计算
Figure BDA00037753102700000412
其中，Φ(·)及Φ-1(·)分别为标准正态概率分布函数及其反函数；Rosenblat变换可参考“张明.结构可靠度分析：方法与程序.科学出版社,2009.”专著。
进一步地，所述支持向量机回归模型
Figure BDA00037753102700000413
具有如下形式：
Figure BDA00037753102700000414
l为样本支持向量个数，j为下标或上标变量，(z,y)(j)表示自样本产生的第j个随机变量z和区间变量y的组合(z,y)对应的支持向量，当选择高斯核函数，K((z,y),(z,y)(j))＝exp(-γ||(z,y)-(z,y)(j)||)2，γ为支持向量机回归模型的核参数，αj、
Figure BDA00037753102700000415
分别为支持向量机回归模型的第一、第二拉格朗日乘子，b为支持向量机回归模型的超平面参数。这些参数通过支持向量机机器学习方法中的最优化算法求解得到。
进一步地，所述步骤S6中，优化目标函数f(z)定义为：
Figure BDA0003775310270000051
其中，
Figure BDA0003775310270000052
为拟合构造的响应面函数，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000053
Figure BDA0003775310270000054
若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000055
p(z)为联合概率密度函数，p(z)的表达式为
Figure BDA0003775310270000056
w表示标准随机变量z第w个分量，
Figure BDA0003775310270000057
为标准随机变量z第w个标准随机变量的密度函数，即
Figure BDA0003775310270000058
进一步地，所述步骤S7中自适应选点策略过程如下：
S71、随机产生标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)的N个随机变量样本点Z4，对于Z4中的每一个样本点zs，s＝1,2,...,2n+1，代入样本点Z2中的所有点，计算回归模型
Figure BDA0003775310270000059
值，若计算最大失效概率
Figure BDA00037753102700000510
取最小值
Figure BDA00037753102700000511
作为样本点Z4中zs的结构响应
Figure BDA00037753102700000512
计算最小失效概率
Figure BDA00037753102700000513
取最大值
Figure BDA00037753102700000514
作为样本Z4中zs的结构响应
Figure BDA00037753102700000515
根据
Figure BDA00037753102700000516
的值，当
Figure BDA00037753102700000517
时，将Z4划分为安全域的N1个样本点，当
Figure BDA00037753102700000518
时，将Z4划分为不安全域的N2个样本点；
S72、假设N3为N1和N2较小的数，且定义
Figure BDA00037753102700000519
的绝对值作为选取样本点的条件，令N3＝min(N1,N2)，且N3＞0，从Z4的安全域和不安全域分别取N3/2个
Figure BDA00037753102700000520
绝对值
Figure BDA00037753102700000521
较小的候选样本点，构成候选样本集
Figure BDA00037753102700000522
和
Figure BDA00037753102700000523
若N3＝0，令N3＝n+m，取N3个
Figure BDA00037753102700000524
绝对值
Figure BDA00037753102700000525
较小的候选样本点，构成候选样本集
Figure BDA00037753102700000526
S73、若N3＞0，分别计算候选样本集
Figure BDA00037753102700000527
和
Figure BDA00037753102700000528
中N3/2个候选样本点的欧几里得距离，选取欧几里得距离最小值最大的样本点z1和z2，即：
Figure BDA0003775310270000061
其中，min表示求最小值，max表示求最大值，
Figure BDA0003775310270000062
表示对变量z先求函数的最小值再求最大值，||·||为欧几里得距离，z0为点集Z1中的任意点，
Figure BDA0003775310270000063
或
Figure BDA0003775310270000064
S74、若N3＝0，计算候选样本集
Figure BDA0003775310270000065
中N3个候选样本点的欧几里得距离，选取欧几里得距离最小值最大的样本点z1，即：
Figure BDA0003775310270000066
进一步地，所述步骤S9中，若建立的支持向量个数为q，支持向量机建立功能函数替代函数
Figure BDA0003775310270000067
或
Figure BDA0003775310270000068
具有如下形式：
Figure BDA0003775310270000069
若选择高斯核函数，则K(z,ynew)＝exp(-γ2||(z,ynew)-(z,ynew)(p)||)2，(z,ynew)(p)表示自样本产生的第p个随机变量z和区间变量ynew的组合(z,ynew)对应的支持向量，p为下标或上标变量，γ2为核参数，αp、
Figure BDA00037753102700000610
分别为支持向量机模型的第一、第二拉格朗日乘子，a为支持向量机模型的超平面参数。这些参数通过支持向量机机器学习方法中的最优化算法求解得到。
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
(1)为了利用失效边界附近对失效概率贡献更大的样本，用拟合响应面的结构响应接近于零的样本丰富初始样本集，且避免新增样本与训练样本集中已有样本过于靠近成为低效样本，引入基于欧几里得距离的自适应选点规则和优化算法，在安全域和不安全域不断采用自适应策略选取少量样本点，找到更为适合训练样本点，提高结构随机-区间混合结构可靠度分析计算的精度。
(2)采用离散型优化算法如离散型GA算法再次更新区间变量的极大值点和极小值点，使其保持不变，并与最终得到的随机变量的样本点组合追加到初始样本中，减少了构造响应面的样本点，提高了计算效率以及计算精度。
(3)采用Direct算法设置优化目标函数，对样本进行粗抽样，然后分别在安全域和不安全域选取少量样本，更新样本训练集后，再采用支持向量回归拟合近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构随机-区间混合结构可靠度分析，扩展了支持向量机方法在结构混合结构可靠性分析问题中的有效性和通用性，对可靠性分析领域有重要的意义。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1是本发明公开的一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法的流程图；
图2是本发明实施例2中公开的一种屋面桁架结构示意图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1
图1是本实施例公开的一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法流程图，如图1所示，该可靠性分析方法包括以下步骤：
本实施例1以一个包含2个随机变量和1个区间变量混合的应用实例对本发明进行进一步阐述。一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析结构，假设功能函数为g(x,y)＝sin(5x1/2)-(x1 2+4)(x2-1)/20+y1，其中x1、x2为随机变量且相互独立，都服从均值为0，标准差为1的正态分布，即x1～N(0,1)，x2～N(0,1)，y1为区间变量，y1∈[2.1,2.8]。
S2、将随机变量变换通过Rosenblatt等变换转化为标准正态变量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、通过Direct优化算法产生2n+1个随机变量的样本点Z1，将区间变量y各分量均粗略划分为t等分，若m＝1，t取10，m＝2或3，t取5，m≥4，t取3；
S5、在区间变量等分点基础上进行中心复合设计，得到tm个区间变量的样本点Z2，依次对Z1中的每一个随机变量样本zi，i＝1,2,...,2n+1，分别代入Z2中所有的区间变量样本点，计算真实功能函数对应的结构响应，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000081
取最小值作为样本点Z1中zi的结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000082
取最大值作为样本点Z1中zi的结构响应，建立样本集
Figure BDA0003775310270000085
训练得到功能函数g(x,y)在标准正态空间下的支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000083
S6、以f(z)为优化目标函数，通过Direct优化算法再次迭代，产生新的候选样本点，选择f(z)值较小的k个样本追加到先前样本Z1中，计算样本对应的真实结构响应，建立新的包含2n+1+k个样本的训练集，其中若k＜10，k＝n+m，否则k＝10，更新支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000084
S7、令iter＝iter+1，按伪随机方法产生N组随机变量候选样本点，经过自适应选点策略分别从安全域与不安全域筛选出回归模型
Figure BDA0003775310270000091
最小的两个点(z1,y1)和(z2,y2)，其中z1＝(z11,…,z1n)，z11,…,z1n为z1的n个分量，y1＝(y11,…,y1m)，y11,…,y1m为y1的m个分量，z2＝(z21,…,z2n)，z21,…,z2n为z2的n个分量，y2＝(y21,…,y2m)，y21,…,y2m为y2的m个分量，(z1,y1)＝(z11,…,z1n,y11,…,y1m)，(z2,y2)＝(z21,…,z2n,y21,…,y2m)；
S8、分别将以y1和y2为中心的相邻两个区间划分成t1个等分点，t1>t，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000092
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA0003775310270000093
最小值点
Figure BDA0003775310270000094
和
Figure BDA0003775310270000095
若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000096
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA0003775310270000097
最大值点
Figure BDA0003775310270000098
和
Figure BDA0003775310270000099
计算这两点对应的真实结构响应添加到样本集
Figure BDA00037753102700000910
中，再次更新支持向量机回归模型
Figure BDA00037753102700000911
S9、对标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)进行蒙特卡洛仿真，
Figure BDA00037753102700000912
和
Figure BDA00037753102700000913
分别代入回归模型
Figure BDA00037753102700000914
若计算最大失效概率
Figure BDA00037753102700000915
取回归模型值
Figure BDA00037753102700000916
和
Figure BDA00037753102700000917
较小的作为结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA00037753102700000918
取回归模型值
Figure BDA00037753102700000919
和
Figure BDA00037753102700000920
较大的作为结构响应，计算结构失效概率Pf，
Figure BDA00037753102700000921
或
Figure BDA00037753102700000922
S10、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标β＝Φ-1(Pf)，其中Φ-1(·)为标准正态分布函数反函数，否则令iter＝iter+1，返回步骤S7继续执行。
实施例1中公开的可靠性分析方法与其它各方法计算的失效概率及其相对误差对比见表1、表2，从表1和表2可以看出，MCS的结果作为参照精确失效概率，采用本发明的一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法计算得到的最大和最小失效概率相对误差小，有效增强结构的最小和最大可靠指标的计算精度，降低计算成本，满足工程实际需求。
表1.各种方法计算得到最大失效概率
Figure BDA0003775310270000101
计算结果及其相对误差对比表
方法 失效概率 失效概率相对误差 样本点数 迭代次数 可靠指标
MCS 2.1500×10<sup>-2</sup> - 10<sup>6</sup> - 2.0237
均匀设计 4.9943×10<sup>-3</sup> 76.7711 50 10 2.5762
Direct 7.0322×10<sup>-2</sup> 227.0773 8 1 1.4734
Direct 9.4525×10<sup>-4</sup> 95.6035 10 2 3.1069
Direct 5.5727×10<sup>-2</sup> 159.1959 12 3 1.5917
Direct 2.4856×10<sup>-2</sup> 15.6099 14 4 1.9624
Direct 1.8684×10<sup>-2</sup> 13.0981 16 5 2.0817
Direct 1.6097×10<sup>-2</sup> 25.1301 18 6 2.1420
Direct 1.2114×10<sup>-2</sup> 43.6581 20 7 2.2535
Direct 2.1693×10<sup>-2</sup> 0.8987 22 8 2.0200
Direct 2.1017×10<sup>-2</sup> 2.2480 24 9 2.0332
Direct 2.1036×10<sup>-2</sup> 2.1563 26 10 2.0328
表2.各种方法计算得到最小失效概率
Figure BDA0003775310270000102
计算结果及其相对误差对比表
方法 失效概率 失效概率相对误差 样本点数 迭代次数 可靠指标
MCS 3.3936×10<sup>-3</sup> - 10<sup>6</sup> - 2.7071
均匀设计 2.3953×10<sup>-3</sup> 30.5746 48 10 2.8208
Direct 1.0160×10<sup>-2</sup> 199.3887 8 1 2.3204
Direct 3.3627×10<sup>-3</sup> 0.9105 10 2 2.7101
Direct 2.5099×10<sup>-3</sup> 26.0398 12 3 2.8058
Direct 9.8145×10<sup>-3</sup> 189.2084 14 4 2.3334
Direct 3.7850×10<sup>-3</sup> 11.5325 16 5 2.6707
Direct 3.4769×10<sup>-3</sup> 2.4541 18 6 2.6991
Direct 3.4041×10<sup>-3</sup> 0.3088 20 7 2.7061
Direct 3.2993×10<sup>-3</sup> 2.7776 22 8 2.7164
Direct 3.4289×10<sup>-3</sup> 1.0397 24 9 2.7037
Direct 3.2331×10<sup>-3</sup> 4.7279 26 10 2.7231
实施例2
本实施例2以一个包含4个随机变量和2个区间变量混合的应用实例对本发明进行进一步阐述。一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析结构，某屋面桁架结构如图2所示，混凝土加固顶部的受压处，下部受拉处为钢制，为了简化计算，顶部桁架受到均匀分布荷载q转化为节点荷载P＝ql/4，考虑桁架结构的安全性和耐久性，将其约束条件定义为屋面顶部位移峰值不大于0.032m。则结构功能函数可以表示为g(x,y)＝0.032-ΔF，ΔF由力学分析给出的功能函数为：
Figure BDA0003775310270000111
混凝土加固区截面积和弹性模量分别为AC和EC，钢制区的截面积和弹性模量分别为AS和ES，跨度为l，其中，EC、ES、q和l为随机变量且相互独立，其统计参数列于表3，AC和AS为区间变量，单位都为m2，AC∈[10-4m2,11-4m2]，AS∈[0.04m2,0.045m2]。
表3.实施例2的随机变量的分布情况表
变量 分布形式 均值 标准差 单位
q 正态 2000 140 N/m
l 正态 12 0.012 m
E<sub>C</sub> 正态 2×10<sup>10</sup> 1.2×10<sup>9</sup> N/m<sup>2</sup>
E<sub>S</sub> 对数正态 1×10<sup>11</sup> 6×10<sup>8</sup> N/m<sup>2</sup>
S2、将随机变量变换通过Rosenblatt等变换转化为标准正态变量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、通过Direct优化算法产生2n+1个随机变量的样本点Z1，将区间变量y各分量均粗略划分为t等分，若m＝1，t取10，m＝2或3，t取5，m≥4，t取3；
S5、在区间变量等分点基础上进行中心复合设计，得到tm个区间变量的样本点Z2，依次对Z1中的每一个随机变量样本zi，i＝1,2,...,2n+1，分别代入Z2中所有的区间变量样本点，计算真实功能函数对应的结构响应，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000112
取最小值作为样本点Z1中zi的结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000113
取最大值作为样本点Z1中zi的结构响应，建立样本集
Figure BDA0003775310270000114
训练得到功能函数g(x,y)在标准正态空间下的支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000121
S6、以f(z)为优化目标函数，通过Direct优化算法再次迭代，产生新的候选样本点，选择f(z)值较小的k个样本追加到先前样本Z1中，计算样本对应的真实结构响应，建立新的包含2n+1+k个样本的训练集，其中若k＜10，k＝n+m，否则k＝10，更新支持向量机回归模型
Figure BDA0003775310270000122
S7、令iter＝iter+1，按伪随机方法产生N组随机变量候选样本点，经过自适应选点策略分别从安全域与不安全域筛选出回归模型
Figure BDA0003775310270000123
最小的两个点(z1,y1)和(z2,y2)，其中z1＝(z11,…,z1n)，z11,…,z1n为z1的n个分量，y1＝(y11,…,y1m)，y11,…,y1m为y1的m个分量，z2＝(z21,…,z2n)，z21,…,z2n为z2的n个分量，y2＝(y21,…,y2m)，y21,…,y2m为y2的m个分量，(z1,y1)＝(z11,…,z1n,y11,…,y1m)，(z2,y2)＝(z21,…,z2n,y21,…,y2m)；
S8、分别将以y1和y2为中心的相邻两个区间划分成t1个等分点，t1>t，若计算最大失效概率
Figure BDA0003775310270000124
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA0003775310270000125
最小值点
Figure BDA0003775310270000126
和
Figure BDA0003775310270000127
若计算最小失效概率
Figure BDA0003775310270000128
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure BDA0003775310270000129
最大值点
Figure BDA00037753102700001210
和
Figure BDA00037753102700001211
计算这两点对应的真实结构响应添加到样本集
Figure BDA00037753102700001212
中，再次更新支持向量机回归模型
Figure BDA00037753102700001213
S9、对标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)进行蒙特卡洛仿真，
Figure BDA00037753102700001214
和
Figure BDA00037753102700001215
分别代入回归模型
Figure BDA00037753102700001216
若计算最大失效概率
Figure BDA00037753102700001217
取回归模型值
Figure BDA00037753102700001218
和
Figure BDA00037753102700001219
较小的作为结构响应，若计算最小失效概率
Figure BDA00037753102700001220
取回归模型值
Figure BDA00037753102700001221
和
Figure BDA00037753102700001222
较大的作为结构响应，计算结构失效概率Pf，
Figure BDA00037753102700001223
或
Figure BDA00037753102700001224
S10、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标β＝Φ-1(Pf)，其中Φ-1(·)为标准正态分布函数反函数，否则令iter＝iter+1，返回步骤S7继续执行。
实施例2中公开的可靠性分析方法与其它各方法计算的失效概率及其相对误差对比见表4、表5，从表4和表5可以看出，MCS的结果作为参照精确失效概率，采用本发明的一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法计算得到的最大和最小失效概率相对误差小，有效增强结构的最小和最大可靠指标的计算精度，降低计算成本，满足工程实际需求。
表4.各种方法计算得到最大失效概率
Figure BDA0003775310270000131
计算结果及其相对误差对比表
方法 失效概率 失效概率相对误差 样本点数 迭代次数 可靠指标
MCS 5.1449×10<sup>-2</sup> - 10<sup>6</sup> - 1.6035
均匀设计 5.0043×10<sup>-2</sup> 2.8272 49 11 1.6444
Direct 4.6810×10<sup>-2</sup> 9.1051 14 1 1.6766
Direct 5.9101×10<sup>-2</sup> 14.7607 16 2 1.5624
Direct 6.0150×10<sup>-2</sup> 16.7992 18 3 1.5535
Direct 5.0890×10<sup>-2</sup> 1.1817 20 4 1.6363
Direct 5.3889×10<sup>-2</sup> 4.6416 22 5 1.6083
Direct 5.4054×10<sup>-2</sup> 4.9606 24 6 1.6068
Direct 5.3672×10<sup>-2</sup> 4.2202 26 7 1.6102
Direct 5.3817×10<sup>-2</sup> 4.5002 28 8 1.6089
Direct 5.2909×10<sup>-2</sup> 2.7375 30 9 1.6173
Direct 5.1238×10<sup>-2</sup> 0.5077 32 10 1.6330
Direct 5.3507×10<sup>-2</sup> 3.8997 33 11 1.6118
表5.各种方法计算得到最小失效概率
Figure BDA0003775310270000132
计算结果及其相对误差对比表
Figure BDA0003775310270000133
Figure BDA0003775310270000141
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，其特征在于，所述可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域的产品结构、待分析领域中反映结构或产品正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x,y)、区间变量y＝(y1,y2,…,ym)，随机变量x＝(x1,x2,…,xn)及其特征参数，其中，n为随机变量x中元素的个数，m为区间变量y中元素的个数，x1,x2,…,xn是随机变量x向量的各分量，y1,y2,…,ym是区间变量y向量的各分量，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)，其中，z1,z2,…,zn是标准正态变量z的各分量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、通过Direct优化算法产生2n+1个随机变量的样本点Z1，将区间变量y各分量均粗略划分为t等分，若m＝1，t取10，m＝2或3，t取5，m≥4，t取3；
S5、在区间变量等分点基础上进行中心复合设计，得到tm个区间变量的样本点Z2，依次对Z1中的每一个随机变量样本zi，i＝1,2,...,2n+1，分别代入Z2中所有的区间变量样本点，计算真实功能函数对应的结构响应，若计算最大失效概率
Figure FDA0003775310260000011
取最小值作为样本点Z1中zi的结构响应，若计算最小失效概率
Figure FDA0003775310260000012
取最大值作为样本点Z1中zi的结构响应，建立样本集
Figure FDA0003775310260000013
训练得到功能函数g(x,y)在标准正态空间下的支持向量机回归模型
Figure FDA0003775310260000014
S6、以f(z)为优化目标函数，通过Direct优化算法再次迭代，产生新的候选样本点，选择f(z)值较小的k个样本追加到先前样本Z1中，计算样本对应的真实结构响应，建立新的包含2n+1+k个样本的训练集，其中若k＜10，k＝n+m，否则k＝10，更新支持向量机回归模型
Figure FDA00037753102600000222
S7、令iter＝iter+1，按伪随机方法产生N组随机变量候选样本点，经过自适应选点策略分别从安全域与不安全域筛选出回归模型
Figure FDA00037753102600000223
最小的两个点(z1,y1)和(z2,y2)，其中z1＝(z11,…,z1n)，z11,…,z1n为z1的n个分量，y1＝(y11,…,y1m)，y11,…,y1m为y1的m个分量，z2＝(z21,…,z2n)，z21,…,z2n为z2的n个分量，y2＝(y21,…,y2m)，y21,…,y2m为y2的m个分量，(z1,y1)＝(z11,…,z1n,y11,…,y1m)，(z2,y2)＝(z21,…,z2n,y21,…,y2m)；
S8、分别将以y1和y2为中心的相邻两个区间划分成t1个等分点，t1>t，若计算最大失效概率
Figure FDA0003775310260000021
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure FDA0003775310260000022
最小值点
Figure FDA0003775310260000023
和
Figure FDA0003775310260000024
若计算最小失效概率
Figure FDA0003775310260000025
通过离散型优化算法得到更精确的z1和z2对应的回归模型
Figure FDA0003775310260000026
最大值点
Figure FDA0003775310260000027
和
Figure FDA0003775310260000028
计算这两点对应的真实结构响应添加到样本集
Figure FDA0003775310260000029
中，再次更新支持向量机回归模型
Figure FDA00037753102600000210
S9、对标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)进行蒙特卡洛仿真，
Figure FDA00037753102600000211
和
Figure FDA00037753102600000212
分别代入回归模型
Figure FDA00037753102600000213
若计算最大失效概率
Figure FDA00037753102600000214
取回归模型值
Figure FDA00037753102600000215
和
Figure FDA00037753102600000216
较小的作为结构响应，若计算最小失效概率
Figure FDA00037753102600000217
取回归模型值
Figure FDA00037753102600000218
和
Figure FDA00037753102600000219
较大的作为结构响应，计算结构失效概率Pf，
Figure FDA00037753102600000220
或
Figure FDA00037753102600000221
S10、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标β＝Φ-1(Pf)，其中Φ-1(·)为标准正态分布函数反函数，否则令iter＝iter+1，返回步骤S7继续执行。
2.根据权利要求1所述的基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，其特征在于，所述支持向量机回归模型
Figure FDA00037753102600000311
具有如下形式：
Figure FDA0003775310260000031
l为样本支持向量个数，j为下标或上标变量，(z,y)(j)表示自样本产生的第j个随机变量z和区间变量y的组合(z,y)对应的支持向量，当选择高斯核函数，K((z,y),(z,y)(j))＝exp(-γ||(z,y)-(z,y)(j)||)2，γ为支持向量机回归模型的核参数，αj、
Figure FDA0003775310260000032
分别为支持向量机回归模型的第一、第二拉格朗日乘子，b为支持向量机回归模型的超平面参数。
3.根据权利要求1所述的基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤S6中，优化目标函数f(z)定义为：
Figure FDA0003775310260000033
其中，
Figure FDA0003775310260000034
为拟合构造的响应面函数，若计算最大失效概率
Figure FDA0003775310260000035
Figure FDA0003775310260000036
若计算最大失效概率
Figure FDA0003775310260000037
Figure FDA0003775310260000038
p(z)为联合概率密度函数，p(z)的表达式为
Figure FDA0003775310260000039
w表示标准随机变量z第w个分量，
Figure FDA00037753102600000312
为标准随机变量z第w个标准随机变量的密度函数，即
Figure FDA00037753102600000310
4.根据权利要求1所述的基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤S7中自适应选点策略过程如下：
S71、随机产生标准正态变量z＝(z1,z2,…,zn)的N个随机变量样本点Z4，对于Z4中的每一个样本点zs，s＝1,2,...,2n+1，代入样本点Z2中的所有点，计算回归模型
Figure FDA0003775310260000041
值，若计算最大失效概率
Figure FDA0003775310260000042
取最小值
Figure FDA0003775310260000043
作为样本点Z4中zs的结构响应
Figure FDA0003775310260000044
计算最小失效概率
Figure FDA0003775310260000045
取最大值
Figure FDA0003775310260000046
作为样本Z4中zs的结构响应
Figure FDA0003775310260000047
根据
Figure FDA0003775310260000048
的值，当
Figure FDA0003775310260000049
时，将Z4划分为安全域的N1个样本点，当
Figure FDA00037753102600000410
时，将Z4划分为不安全域的N2个样本点；
S72、假设N3为N1和N2较小的数，且定义
Figure FDA00037753102600000411
的绝对值作为选取样本点的条件，令N3＝min(N1,N2)，且N3＞0，从Z4的安全域和不安全域分别取N3/2个
Figure FDA00037753102600000412
绝对值
Figure FDA00037753102600000413
较小的候选样本点，构成候选样本集
Figure FDA00037753102600000414
和
Figure FDA00037753102600000415
若N3＝0，令N3＝n+m，取N3个
Figure FDA00037753102600000416
绝对值
Figure FDA00037753102600000417
较小的候选样本点，构成候选样本集
Figure FDA00037753102600000418
S73、若N3＞0，分别计算候选样本集
Figure FDA00037753102600000419
和
Figure FDA00037753102600000420
中N3/2个候选样本点的欧几里得距离，选取欧几里得距离最小值最大的样本点z1和z2，即：
Figure FDA00037753102600000421
其中，min表示求最小值，max表示求最大值，
Figure FDA00037753102600000422
表示对变量z先求函数的最小值再求最大值，||·||为欧几里得距离，z0为点集Z1中的任意点，
Figure FDA00037753102600000423
或
Figure FDA00037753102600000424
S74、若N3＝0，计算候选样本集
Figure FDA00037753102600000425
中N3个候选样本点的欧几里得距离，选取欧几里得距离最小值最大的样本点z1，即：
Figure FDA00037753102600000426
5.根据权利要求1所述的基于Direct算法和少量样本更新的结构混合可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤S9中，若建立的支持向量个数为q，支持向量机建立功能函数替代函数
Figure FDA00037753102600000427
或
Figure FDA00037753102600000428
具有如下形式：
Figure FDA0003775310260000051
若选择高斯核函数，则K(z,ynew)＝exp(-γ2||(z,ynew)-(z,ynew)(p)||)2，(z,ynew)(p)表示自样本产生的第p个随机变量z和区间变量ynew的组合(z,ynew)对应的支持向量，p为下标或上标变量，γ2为核参数，αp、
Figure FDA0003775310260000052
分别为支持向量机模型的第一、第二拉格朗日乘子，a为支持向量机模型的超平面参数。
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CN102610055A (zh) * 2011-12-19 2012-07-25 大连海事大学 隧道自动监测多元信息无线智能报警系统
US20210264078A1 (en) * 2019-10-17 2021-08-26 Zhejiang University Robust optimization design method for mechanical arm based on hybrid interval and bounded probabilistic uncertainties
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Title
李刚;刘志强;: "基于支持向量机替代模型的可靠性分析", 计算力学学报, no. 05, 15 October 2011 (2011-10-15) *

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