CN115081246A - 基于滑模技术的分数阶导数估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于滑模技术的分数阶导数估计方法，运用分数阶微积分的性质，设计出任意有界连续信号或受污染信号的分数阶导数估计的策略，再搭建估计系统结构图，构成分数阶导数估计器，即典型的负反馈闭环系统+滤波器模型，然后在稳定性理论和统计线性化方法的助力下确定上述分数阶导数估计器的相关参数，并进一步考虑事先未知分数阶导数的上界的情况下添加自适应组件，让自适应增益随误差系统变化能够自动在线调节；同时应用计算机软件进行仿真测试，并调整优化结构图中各处的增益系数，改善估计效果，进而将所设计的方法应用到实际中对受污染信号进行分数阶导数估计，实现两个倒立摆的分数阶控制器设计。

Description

基于滑模技术的分数阶导数估计方法

技术领域

本发明涉及分数阶导数估计领域，具体涉及基于滑模技术的分数阶导数估计方法。

背景技术

分数阶微积是整数阶微积分的推广，近年来分数阶微积分已经成功地应用到自然科学与工程应用领域中的各个方面，用于处理各类收集到的信号数据。信号是信息的载体，信息的传输、交换是信号处理的具体内容，而信号的描述方式一般是数学表达式，此表达式大多数是时间的函数。例如，在航空航天领域中，飞行器的姿态、方位从当前位置调整到目标位置的速度和加速度须要预先通过对角位置信号的时间导数来估计和测量(Design andExperimental Results of an Adaptive Fractional-Order Controller for aQuadrotor，2022，6，204)；在船舶控制的分数阶PI^λD^μ设计时，需要依据误差的分数导数来综合控制器的输入信号(Fractional-order PI^λD^μ-controller using adaptive neuralfuzzy model for course control of underactuated ships，2022，12(11)，5604)，从而控制船舶的航速航向。因此，在信息科学与控制工程领域里许多情况下需要确定或估计给定信号的时间整阶导数或分数阶导数。

然而，由于分数阶微积分定义中的弱奇异性，使得大多数给定信号函数的分数阶导数，并不能像整数阶导数一样给出具体的解析表达式，尤其当控制器的输入信号被污染时，想要确定或估计给定信号的分数阶导数，来实现对具体目标对象(如飞行器、船舶等)的控制依然困难重重(Applications of Fractional Operators in Robotics:A Review，2022，104，63)。虽然有部分学者在此方面做了深入的研究并已取得了一些进展，例如A.Oustaloup教授在频域内用一组折线去逼近分数阶算子的幅频特性，使得信号的分数阶响应曲线接近真值；D.Liu教授在时域内用调制函数法、代数参数法、核函数方法等手段去辨识未知信号的分数阶导数，使其近似值接近真值。但在实际工程运用中，频域内的方法实现起来比较困难，而时域内的算法又较为复杂，使得应用于目标对象上的控制效果不好，出现目标动作(例如姿态、方位以及航速航向等)延迟或达不到控制目的等问题，不利于工程实现。

因此，急需一种方便简单、快速有效、稳定可靠的分数阶导数估计策略和方法，尤其是当信号被污染时依然能够正常工作，并保持良好的鲁棒性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于：如何解决现有的信息科学与控制工程领域中需要确定或估计给定信号函数的时间分数阶导数问题，提供了基于滑模技术的分数阶导数估计方法，该方法同样适用于受污染信号的分数阶导数估计。

本发明的估计方法与现今已有的分数阶导数估计方法和思路不同，主要组成部分有三大模块：非线性模块、继电器模块和滤波器模块。对任意给定的有界连续信号或受污染信号，能够快速、有效和准确地得出其分数阶导数的估计信号，并通过选取和调节参数实现良好的估计效果；

本发明首先运用分数阶微积分的性质，设计出分数阶导数估计的策略(或方案)，再搭建估计系统结构图，构成分数阶导数估计器(即，典型的负反馈闭环系统+滤波器模型)，然后在稳定性理论和统计线性化方法的助力下确定上述分数阶导数估计器的相关参数。由于在实施中需要知道分数阶导数的上界，这将为设计带来诸多限制；为此进一步优化设计，即考虑事先未知分数阶导数的上界的情况下添加自适应组件，让自适应增益随误差系统变化能够自动在线调节；最后结合计算机软件(MATLAB)进行仿真测试，并调整优化结构图中各处的增益系数，改善估计效果，进而将所设计的方法应用到实际中对受污染信号进行分数阶导数估计，实现两个倒立摆的分数阶控制器设计。

本发明是通过以下技术方案解决上述技术问题的，本发明包括：

(1)在进入分数阶导数估计器设计之前，先利用分数阶微积分的性质对被估计对象进行等价转换，得到分数阶误差系统的方程模型，为给出分数阶导数估计策略或方案提供清晰的思路，分数阶误差系统的方程表达式为：

其中

表示Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数，r(t)、e(t)和u(t)分别表示待估计信号的输入、误差信号和待设计的控制器。

(2)设计任意有界连续信号或受污染信号的分数阶导数估计策略或方案，给出估计系统结构图的各个组成部分，具体包括：待估输入信号、控制器、分数阶积分器和滤波器。其中主要组成部分：控制器和滤波器，分别设计如下：

①控制器第一部分：构造非线性模块u₀＝k₀g(e)，其中参数k₀是非线性增益系数，g(·)满足：

(η可为0)；

例如：g(e)＝e^q/p(p＞q且q,p是奇数)，或g(e)＝sinh(e)，或g(e)＝e-ηsat(e/η)(sat(·)是饱和函数)。

②控制器第二部分：构造继电模块u₁＝k₁ sgn(e)，其中参数k₁是继电增益系数，sgn(·)满足：

③选取适当矩阵A、B和C，构建滤波器模块：G_F＝C(sI-A)^-1B。例如：当A＝-1/J₁，B＝1/J₁和C＝1，则G_F＝1/(J₁s+1)为一阶低通滤波器模块；当

和C＝[1 0]，则G_F为二阶低通滤波器模块G_F＝1/(J₁s+1)(J₂s+1)，(其中J₁和J₂为滤波器系数)，依次类推同样可以给出三阶低通滤波器。另外当滤波器系数都为零时，此模块为常数1。

(3)基于步骤(2)，先将非线性模块和继电器模块并联后与分数阶滤波器模块串联起来，并在分数阶滤波器模块之前引出负反馈信号至输入函数之后，形成闭环回路，进而得出估计系统结构图。

(4)基于步骤(2)中①和②，再结合估计系统结构图，通过统计线性化方法确定控制器模块的参数k₀和k₁。具体原理如下：首先根据结构图得到闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝ks^α/(s^α+k)，其中k是等效传递函数系数；然后依据统计线性化的方法，给出等效传递函数系数表达式为：

其中σ_e是误差信号e的标准差，g(e)＝e^q/p(p＞q且q,p是奇数)。显然k与误差信号的标准差σ_e、参数k₀、k₁、q、p的选择密切相关，并且有

和

如果恰当的选择参数k₀、k₁、q、p使得整体1/k非常小，那么在低频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝s^α/(k^-1s^α+1)≈s^α相当于一个分数阶微分器；相反，在高频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝k/(1+ks^-α)≈k，即遭受噪声污染的信号经过此处时不进分数阶微分运算。因而参数k的选取非常关键，考虑到k₁是切换增益，k₁越大抖振越厉害，即k₁不能取的过大，只能将k₀取的大些，从而保证所设计的分数阶导数估计装置在信号遭受随机噪声(或不确定扰动)污染时依然能正常工作。

(5)基于步骤(2)中③，再结合估计系统结构图，通过稳定性理论确定滤波器系数J₁和J₂。具体原理如下：根据所得到的任意有界连续信号分数阶导数估计可能含有“有害”的噪声，需要设置低通滤波器模块滤除“有害”信号，并且所得到的估计值与精确值可能还存在误差。误差表达式为：

其中||exp(A(t-T_r))||≤mexp(-λ(t-T_r))，λ是A的负实部最小特征值，ο(t)是高阶无穷小。

①当G_F为一阶低通滤波器时，其解为：

y(t)＝(1-exp(-(t-T_s)/J₁))x(t)

误差表达式为：|e_c(t)|≤2k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小。

②当G_F为二阶低通滤波器时，其解为：

y(t)＝(1-((J₂exp(-(t-T_s)(1/J₂-1/J₁))-J₁)exp(-(t-T_s)/J₁))/(J₂-J₁)x(t)

误差表达式为：|e_c(t)|≤k₁max{1/J₁,1/J₂}+k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小。因此，基于上述解的表达式和误差表达式对参数J₁和J₂的选择应尽可能的小，但又不能过小，以防止线性滤波器失真，给优化估计性能带来不利影响。另外，通过将分数阶误差系统等价转换为连续频率分布状态权重模型，再构建能量函数，用Lyapunov稳定性理论来给出误差信号e在有限时间T_s内能否达到预定的指标范围|e|≤η，有限时间T_s满足关系式：

依据上式，可以确定参数q和p，从而为提高估计效率提供支持。

(6)为进一步优化设计，考虑事先未知分数阶导数的上界的情况下添加自适应组件(方程)：

其中δ是正常数，

是自适应增益，k₁(t)的自适应速率由

调节，让自适应增益随误差系统变化能够自动在线调节。

(7)在以上步骤的基础上，运用软件进行仿真测试，并细调优化结构图中各处的增益系数，改善估计效果，同时可进一步根据实际信号和外界噪声(或干扰)信号进行参数的微调，使得任意有界连续信号经过此装置后能很好地得到其分数阶导数信号，应用于两个倒立摆的分数阶控制器设计中。

本发明相比现有技术具有以下优点：该基于滑模技术的分数阶导数估计方法，回避了分数阶微积分定义中的弱奇异性，运用连续频率分布状态权重模型降低了分数阶微积分理论分析难度，通过提出了一种基于控制理论框架下的信号函数分数阶导数估计方法，解决了信号函数分数阶导数估计(或求解)的难题，尤其是当信号被污染时依然能正常工作，并保持良好的鲁棒性，即，在实际应用中，通过本申请的分数阶导数估计方法，可以使控制器对目标控制对象的控制效果更好。本发明提出的方法和结果能广泛地应用于信号系统的辨识、控制及信号处理等诸多领域，拓展了分数阶微积分在工程技术领域中的范围，让该系统更加值得推广使用。

附图说明

图1是本发明方法的工作原理图。

图2是本发明运用的闭环控制结构图。

图3是本发明的工作流程图。

图4是本发明实施例中，有界连续信号未遭受噪声污染时R-L分数阶导数的估计值与精确值的演变图。

图5是本发明实施例中，有界连续信号未遭受噪声污染且修改参数k_{1_exp}和k_{1_sin}后R-L分数阶导数的估计值与精确值的演变图。

图6是本发明实施例中，有界连续信号遭受噪声污染时R-L分数阶导数的估计值与精确值，以及估计值与精确值之间的误差演变图。

图7是本发明实施例中，有界连续信号遭受噪声污染且修改参数k_{0_sin}，k_{1_sin}，J₁和J₂后R-L分数阶导数的估计值与精确值，以及估计值与精确值之间的误差演变图。

图8是本发明实施例中，有界连续信号函数r＝exp(-0.5t)在修改参数k₁为自适应方程

时R-L分数阶导数的估计值与精确值，以及自适应参数k₁的演变图。

图9是本发明实施例中，有界连续信号函数r＝5sin(3t-6)受Gaussian白噪声污染后且自适应方程为

时R-L分数阶导数的估计值与精确值，以及自适应参数k₁的演变图。

图10是本发明实施例中，小车上两个倒立摆的数学模型。

图11是本发明实施例中，小车上倒立双摆的控制器设计结构图。

图12是本发明实施例中，摆的角度θ_i(i＝1,2)在控制器u^#作用下的演变图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

本实施例提供一种技术方案：基于滑模技术的分数阶导数估计方法，如图1和图2所示，且图2是图1的具体化过程，其中r(t)和e(t)分别表示待估计的输入信号和误差信号，y(t)是输出信号，1/s^α是R-L分数阶积分器，控制器为u(t)＝k₀g(e(t))+k₁sgn(e(t))，滤波器为

若将信号r(t)当作输入，输出x(t)被看作是待估计的R-L分数阶导数

信号，则分数阶误差系统方程为：

或

其中α∈(0,1)，

和

分别表示R-L分数阶积分和导数，r(t)、e(t)和u(t)分别表示待估计信号的输入、误差信号和待设计的控制器。需要说明是，上述关系式子有

成立，因为

相当于初始时刻，此时控制器还没有起作用，那么这时

与

应该是相等的。

现在的目标是设计出分数阶导数估计策略，构建控制器u^*(t)使得误差系统先在有限时间内到达滑模面

然后再将误差信号e(t)控制到预定的指标范围|e|≤η内。因此，所设计的控制器u^*(t)为：

其中k₀是非线性增益系数，k₁是继电增益系数，而k₂是控制器的切换系数；g(·)满足：

(η可以取为0)；

sgn(·)满足：

当误差系统到达滑模面时，此刻S(t)＝0，那么

通过构造Lyapunov函数L(t)＝(1/2)S²(t)，可计算到达滑模面的有限时间为：

其中γ≠1。可由上式知，

则T_r＝0。所以，在设计控制器时将误差系统置于滑模面上，即此时不存在切换控制，误差系统从滑模面开始，通过控制器u(t)控制误差信号e(t)到预定的指标范围|e|≤η内。

下面将分析控制器u(t)的性能，特别是当信号中含有随机噪声和不确定扰动时此估计方法依然能正常工作的原因。具体如下：

如果输入信号r(t)遭受噪声ξ(t)污染(这里假设为Gaussian白噪声)，由于Gaussian白噪声是一种均值为0、谱密度函数为非零的平稳随机过程或是由一系列不相关随机变量组成的一种理想化随机过程，因而在本发明中或许可以将输入信号r(t)写为有用信号ζ(t)和噪声信号ξ(t)的和，即r(t)＝ζ(t)+ξ(t)。

假设存在某一

使得谱密度满足关系

和

其中

和

分别为有用信号和噪声信号的谱密度。这是在

处区分有用信号和噪声信号所用到的常见假设。

再设

是误差信号e的方差，μ_e为误差信号e的期望；那么μ_e＝μ_ζ+μ_ξ＝μ_ζ其中μ_ζ和μ_ξ分别为有用信号部分和噪声信号部分的期望。类似于前面，同样或许也可以将误差信号e分为有用信号部分和噪声信号部分，即e＝e_ζ+e_ξ，那么由μ_ζ＝e_ζ可得

式中W(·)为输入到误差间的传递函数(即图1中的AB段)。下面将给出这个传函，首先将图2中双点画线部分(即图1中的U(s))进行统计线性化处理。因为信号e由有用信号和噪声信号两部分组成，其中噪声信号是一个均值为零的高斯随机信号，那么e的概率密度函数为

现设ke是u的线性逼近，依据最小均方误差准则，那么其最小均方误差为

要想J最小，可根据

和

得：

继而，我们有

式中的g(e)＝e^q/p(p＞q且q,p是奇数)。

因此，根据工作原理图1(或控制结构图2)可得AB段和AC段的传递函数分别为

和

式中

那么可以得到

和

并且有

令

代入W(σ_e,s)得

则其对数幅频特性为：

因此选取适当的参数k使得当

时有

当

时有

由前文中的假设，我们有

从上述近似分析可以看出

说明参数k与σ_e相关，也即是与σ_ξ相关。如果恰当的选择参数k₀、k₁、q、p使得整体1/k非常小，那么在低频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝s^α/(k^-1s^α+1)≈s^α相当于一个分数阶微分器；相反，在高频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝k/(1+ks^-α)≈k，即遭受噪声污染的信号经过此处时不进分数阶微分运算。因而参数k的选取非常关键，考虑到k₁是切换增益，k₁越大抖振越厉害，即k₁不能取的过大，只能将k₀取的大些，从而保证所设计的分数阶导数估计装置在信号遭受随机噪声(或不确定扰动)污染时依然能正常工作。

接下来，分析误差信号e(t)在控制器u(t)的作用下能否达到预定的指标范围|e|≤η内。首先将分数阶误差系统方程转化为连续频率分布状态权重模型

其中κ(w)＝ω^-αsin(απ)/π，

u(t)＝k₀g(e(t))+k₁sgn(e(t))。设

W₁＝{t:|e(t)≤η|}和W₂＝{t:|e(t)＞η|}，若取Lyapunov函数(或能量函数)

当e(t)∈W₂且

时，则有

如果g(e)＝e^q/p(p＞q且q,p是奇数)，那么

进而有

其中T_s是误差信号从W₂＝{t:|e(t)＞η|}进入W₁＝{t:|e(t)≤η|}的时间。当误差信号e(t)到达后W₁将不会离开，因此所设计的控制器u(t)能很好的估计信号r(t)的分数阶导数

但是此时输出的信号可能还含有“有害”的噪声，为此在CD段设置低通滤波器模块G_F＝C(sI-A)^-1B，转化为方程形式：

或

其解为：

误差表达式为：

其中||exp(A(t-T_r))||≤mexp(-λ(t-T_r))，λ是A的负实部最小特征值，ο(t)是高阶无穷小。

①当G_F为一阶低通滤波器时，其解为：

y(t)＝(1-exp(-(t-T_s)/J₁))x(t)。

误差表达式为：|e_c(t)|≤2k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小。

②当G_F为二阶低通滤波器时，其解为：

y(t)＝(1-((J₂exp(-(t-T_s)(1/J₂-1/J₁))-J₁)exp(-(t-T_s)/J₁))/(J₂-J₁)x(t)。

误差表达式为：|e_c(t)|≤k₁max{1/J₁,1/J₂}+k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小。因此，基于上述的误差表达式对参数J₁和J₂的选择应尽可能的小，但又不能过小，以防止线性滤波器失真，给优化估计性能带来不利影响。

从以上的分析可以看出本发明的实施需要提前获知参数k₁，而

的上界一般是不易知道的。因此，将参数k₁改为自适应方程：

其中

是自适应增益，k₁(t)的自适应速率由

调节。此刻参数k₁将随误差系统变化自动在线调节，并且取Lyapunov函数(或能量函数)为：

其中未知参数

是

的上界。当e(t)∈W₂时，有

如果g(e)＝e^q/p(p＞q且q,p是奇数)，那么

继而有

当误差信号e(t)到达后W₁将不会离开，因此所设计的控制器u(t)依然能很好的估计信号r(t)的分数阶导数

另外也可以将自适应方程修改为：

(其中δ是正常数)，以防止出现Windup效应，改善增益系数随误差系统变化的自适应在线调节能力。

下面通过实施例来验证本发明的方法：若取分数阶α＝0.9，再分别取有界连续信号函数r＝exp(-0.5t)和r＝5sin(3t-6)，此时r＝exp(-0.5t)的R-L分数阶导数能精确的给出为t^-αE_1,1-α(-0.5t)，而r＝(n5is 3t-6)的R-L分数阶导数由Oldham教授和Spanier教授在其专著(The Fractional Calculus：Theory and Applications of Differentiation andIntegration to Arbitrary Order.Dover Publications，2006)中有相似的给出。当初始时间t₀＝0.01时，得出

和

并且随着时间t→+∞有

和

另外由

和u(t)＝k₀g(e(t))+k₁sgn(e(t))，可以推出

因此，结合流程图3并在MATLAB仿真时将信号误差的初始值设为e_{0_exp}＝3和e_{0_sin}＝2.5；当输入信号未遭受噪声污染时，取参数k_{0_exp}＝12，k_{0_sin}＝20，k_{1_exp}＝2，k_{1_sin}＝2，p＝7，q＝5，J₁＝0.001和J₂＝0.002，仿真结果如图4所示。从图4中可以看出有界连续信号函数r＝exp(-0.5t)和r＝5sin(3t-6)在分数阶α＝0.9时R-L分数阶导数的估计值能够跟踪精确值，但是有抖振现象。

现将参数k_{1_exp}＝0.01，k_{1_sin}＝0.02，其它参数与图4一样；则当输入信号未遭受噪声污染时有界连续信号函数r＝exp(-0.5t)和r＝5sin(3t-6)在分数阶α＝0.9时R-L分数阶导数的估计值依然能够跟踪精确值并且抖振消失，如图5所示。

当输入信号遭受噪声污染时，例如有界连续信号函数r＝5sin(3t-6)受到标准差为0.01的Gaussian白噪声污染后，取参数k_{0_sin}＝15，k_{1_sin}＝2，p＝7，q＝5，J₁＝0，J₂＝0，以及初始值e_{0_sin}＝2.5，则在分数阶α＝0.9时R-L分数阶导数的估计值跟踪精确值，以及估计值与精确值之间的误差，如图6所示。显然从图中可以看出有明显的高频振动，从而使得估计性能下降。若改参数k_{0_sin}＝20，k_{1_sin}＝0.02，J₁＝0.001和J₂＝0.002，其它参数不变，则可以发现高频振动消失，估计性能得到提高，如图7所示。

现考虑事先未知分数阶导数上界的情况下，在估计器中添加自适应组件(方程)：

其中δ是正常数，

是自适应增益，k₁(t)的自适应速率由

调节，让增益系数随误差系统变化能够自动在线调节。

当取参数k_{0_exp}＝12，

δ＝0，p＝7，q＝5，J₁＝0.001，J₂＝0.002，初始值e_{0_exp}＝3和k₁(0)＝1时。有界连续信号函数r＝exp(-0.5t)在分数阶α＝0.9时的R-L分数阶导数的估计值跟踪精确值，以及自适应参数k₁随时间的演变情况，如图8所示。

当取参数k_{0_sin}＝20，k₁＝0.2，δ＝5，p＝7，q＝5，J₁＝0.001，J₂＝0.002，初始值e_{0_sin}＝2.5和k₁(0)＝1时。有界连续信号函数r＝5sin(3t-6)受到标准差为0.01的Gaussian白噪声污染后在分数阶α＝0.9时的R-L分数阶导数的估计值跟踪精确值，以及自适应参数k₁随时间的演变情况，如图9所示。

从以上的图4-图9可以看出，对于不同的连续有界待估信号，运用本发明所提供的估计方法能简单有效的给出其分数阶导数信号，并可依据误差精度的实际需要和外界噪声(或干扰)信号进行参数的微调，进而优化结构图中各处的增益系数，改善了估计效果。现在，进一步将其用于两个倒立摆的分数阶滑模控制器设计中，其中两个倒立摆由安装在两个小车上的移动弹簧连接，如图10所示。

小车上倒立双摆的动力学方程可以描述为：

其中c₀＝m₀/(M+m₀)，β₁＝m₀sinθ₁/M，β₂＝m₀sinθ₂/M，y₁＝sin(ω₁t)，y₂＝L+sin(ω₂t)。记θ₁＝χ₁₁，θ₂＝χ₁₂，

χ₁＝[χ₁₁ χ₁₂]^T，χ₂＝[χ₂₁ χ₂₂]^T，χ＝[χ₁ ^T χ₂ ^T]^T，则上式可以简化为：

其中

现设计控制器u^#使质量为m₀的每个摆的角度θ_i(i＝1,2)在有限时间内收敛到零。首先定义变量χ₁＝ψ，并设

其中(i)ρ(t,χ₁)＝-λ₁ψ/|ψ||，(ψ≠0)；(ii)ρ(t,χ₁)＝0，(ψ＝0)，那么

λ₁是正常数。若取控制器

且

其中

而

d、λ₂和h₁是正常数。由分数阶微积分的性质，可得：

现设计标称信号

满足：

则

当

和

可测可微时，设

是分数阶导数估计器的输出，因而可以得到

其中ε(t)是分数阶导数估计器的误差，由发明内容中的步骤(5)可知其值非常小。若记

那么实现框图如图11所示，进而定义：

如果

满足不等式：

其中ι是未知的正常数，则质量为m₀的每个摆的角度θ_i(i＝1,2)在有限时间内收敛到零。具体过程为：先通过构造候选Lyapunov函数：

其中

得

即

在有限时间(V₁(t₀)Γ(1+α)/λ₂)^1/α内到达零。再构造候选Lyapunov函数：V₂＝||ψ(t)||，则可以得到

即ψ(t)在有限时间V₂(t₀)/λ₁内到零。也即是，质量为m₀的每个摆的角度θ_i(i＝1,2)在有限时间内收敛到零，如图12所示，其中取倒立双摆参数M＝m₀＝50Kg，c＝1N/m，g₀＝0.98m/s²，l＝1m，a(t)＝0.5sin(20t)，ω₁＝2，ω₂＝3，L＝2；取被控对象的设计参数λ₁＝2，λ₂＝3，d＝25，h₁＝1，k₀＝15，

β₃(χ)＝0.25·||χ₁||·||χ₂||+0.2·||χ₁||·||χ₂||²+0.3，δ＝5，p＝7，q＝5，α＝0.9，J₁＝0.001，J₂＝0.002；初值取为[2 -1 1.5 -2]^T。从图12可以看出，本发明的分数阶导数的估计器完全可以实现两个倒立摆的控制，另外本发明也可以用于分数阶信号系统辨识、控制和信号处理等诸多领域。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括至少一个该特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是至少两个，例如两个，三个等，除非另有明确具体的限定。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必须针对的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。此外，在不相互矛盾的情况下，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例或示例以及不同实施例或示例的特征进行结合和组合。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (6)

1.基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)在进入分数阶导数估计器设计之前，先利用分数阶微积分的性质对被估计对象进行等价转换，得到分数阶误差系统模型，其数学表达式为：

其中

表示Riemann-Liouville(R-L)分数阶导数，r(t)、e(t)和u(t)分别表示待估计信号的输入、误差信号和待设计的控制器；

(2)设计任意有界连续信号或受污染信号的分数阶导数估计策略或方案，给出估计系统结构图的各个组成部分，具体包括：待估输入信号、控制器、分数阶积分器和滤波器；

(3)基于步骤(2)，先将非线性模块和继电器模块并联后与分数阶滤波器模块串联起来，并在分数阶滤波器模块之前引出负反馈信号至输入函数之后，形成闭环回路，进而得出估计系统结构图；

(4)基于步骤(2)，通过统计线性化方法确定控制器模块的参数k₀和k₁；

(5)基于步骤(2)，通过稳定性理论确定滤波器系数J₁和J₂；

(6)为进一步优化设计，考虑事先未知分数阶导数的上界的情况下添加自适应组件(方程)：

其中δ是正常数，

是自适应增益，k₁(t)的自适应速率由

调节，让增益系数随误差系统变化能够自动在线调节；

(7)在以上步骤的基础上，结合计算机软件进行仿真测试，同时细调优化分数阶导数估计器中各处的增益系数，并进一步根据实际信号和外界噪声(或干扰)信号进行参数的微调，使得任意有界连续信号经过此装置后能得到其分数阶导数信号，可应用于两个倒立摆的分数阶控制器设计中。

2.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于：所述的步骤(2)中的主要组成部分：控制器和滤波器，分别设计如下：

①控制器第一部分：构造非线性模块u₀＝k₀g(e)，其中k₀是非线性增益系数，g(·)满足：

η可为0；

②控制器第二部分：构造继电模块u₁＝k₁sgn(e)，其中参数k₁是继电增益系数，sgn(·)满足：

③选取适当矩阵A、B和C，构建滤波器模块：G_F＝C(sI-A)-¹B；当A＝-1/J₁，B＝1/J₁和C＝1时，则可以得到G_F＝1/(J₁s+1)为一阶低通滤波器模块；当

和C＝[1 0]时，则G_F为二阶低通滤波器模块G_F＝1/(J₁s+1)(J₂s+1)，其中J₁和J₂为滤波器系数，依次类推同样可以给出三阶低通滤波器，另外当滤波器系数都为零时，此模块为常数1。

3.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于：所述步骤(2)中①和②，并结合估计系统结构图，通过统计线性化方法确定控制器模块的参数k₀和k₁。

4.根据权利要求2所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于：所述确定控制器模块的参数k₀和k₁的具体原理如下：首先根据结构图得到闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝ks^α/(s^α+k)，其中k是等效传递函数系数；然后依据统计线性化的方法，给出等效传递函数系数表达式为：

其中σ_e是误差信号e的标准差，g(e)＝e^q/p，p＞q且q,p是奇数，显然k与误差信号的标准差σ_e、参数k₀、k₁、q、p的选择密切相关，并且有

和

选择恰当的参数k₀、k₁、q、p使得整体1/k小，那么在低频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝s^α/(k^-1s^α+1)≈s^α相当于一个分数阶微分器；相反，在高频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ(σ_e,s)＝k/(1+ks^-α)≈k，即遭受噪声污染的信号经过此处时不进分数阶微分运算，因而参数k的选取非常关键，考虑到k₁是切换增益，k₁越大抖振越厉害，即k₁不能取的大，仅能将k₀取的大，从而保证所设计的分数阶导数估计装置在信号遭受随机噪声或不确定扰动污染时依然能正常工作。

5.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于：所述步骤(2)中③，再结合估计系统结构图，通过稳定性理论确定滤波器系数，滤波器系数包括J₁和J₂。

6.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法，其特征在于：所述确定滤波器系数J₁和J₂的具体原理如下：根据所得到的任意有界连续信号分数阶导数估计可能含有“有害”的噪声，需要设置低通滤波器模块滤除“有害”信号，并且所得到的估计值与精确值可能还存在误差，误差表达式为：

其中||exp(A(t-T_r))||≤mexp(-λ(t-T_r))，λ是A的负实部最小特征值，ο(t)是高阶无穷小；

①当G_F＝1/(J₁s+1)为一阶低通滤波器时，其解为：y(t)＝(1-exp(-(t-T_s)/J₁))x(t)；

误差表达式为：|e_c(t)|≤2k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小；

②当G_F＝1/(J₁s+1)(J₂s+1)为二阶低通滤波器时，其解为：

y(t)＝(1-((J₂exp(-(t-T_s)(1/J₂-1/J₁))-J₁)exp(-(t-T_s)/J₁))/(J₂-J₁)x(t)；

误差表达式为：|e_c(t)|≤k₁max{1/J₁,1/J₂}+k₁+ο(t)，其中ο(t)是高阶无穷小；

因此，基于上述的解的表达式参数J₁和J₂应选择的小，但再依据上述误差表达式参数J₁和J₂的选择又不能过小，以防止线性滤波器失真，另外，通过将分数阶误差系统等价转换为连续频率分布状态权重模型，再构建能量函数，用Lyapunov稳定性理论来给出误差信号e在有限时间T_s内能否达到预定的指标范围|e|≤η，有限时间T_s满足关系式：

依据上式，可以确定参数q和p。

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