CN115034106A - 一种结合vfife和fem的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法 - Google Patents

一种结合vfife和fem的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法 Download PDF

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CN115034106A CN202210604081.0A CN202210604081A CN115034106A CN 115034106 A CN115034106 A CN 115034106A CN 202210604081 A CN202210604081 A CN 202210604081A CN 115034106 A CN115034106 A CN 115034106A
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陈骥
李毅
蒋雨骎
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Abstract

本发明涉及一种结合VFIFE和FEM的索‑梁‑塔耦合振动数值模拟方法。适用于振动仿真领域。本发明所采用的技术方案是：提供了一种结合VFIFE和FEM的索‑梁‑塔耦合振动数值模拟方法，步骤1、根据索‑梁‑塔体系中构件的结构刚度，将所述构件划分为VFIFE分析构件和FEM分析构件，并确定所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件的连接点Ji位置，建立混合数值模型；步骤2、对混合数值模型中的所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件分别进行前处理操作；步骤3、定义积分时程与步长，在每一个积分步长内对索‑梁‑塔结构体系进行位移和内力的迭代求解；步骤4、判断积分终止条件是否满足，若所述积分终止条件满足，则执行步骤5，否则重复步骤3；步骤5、输出数值模拟数据。

Description

一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法
技术领域
本发明涉及振动仿真领域，更确切地说，它涉及一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法。
背景技术
由于大跨度索承桥梁的刚度较柔，在其施工建设和后期运维中容易发生索-梁-塔耦合振动，该类振动属于非线性动力问题，当振动幅度较大时，容易导致拉索疲劳、断裂等现象，损害整体结构安全性，在桥梁设计过程中应进行结构振动仿真，以优化设计方案并拟定减振措施。采用理论解析法求解此类耦合振动问题，变量多，公式繁琐，不易于工程应用；采用缩尺模型进行仿真试验，干扰因素多，过程复杂，得到的振动特性与实际结构存在差异。
传统有限元方法(FEM，Finite Element Method)适用于结构的整体力学性能分析，但索-梁-塔体系中各构件的刚度和阻尼系数相差较大，采用FEM进行振动模拟时，各构件的振动结果容易失真；向量式有限元(VFIFE，Vector Form Intrinsic Finite ElementMethod)适用于求解结构大变形、碰撞等不连续或非线性力学行为问题，对拉索这类柔性构件的振动仿真结果更为精确，然而对主梁和索塔这类刚度较大构件的分析效率低。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供了一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法；
第一方面，提供了一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，包括：
步骤1、根据索-梁-塔体系中构件的结构刚度，将所述构件划分为VFIFE分析构件和FEM分析构件，并确定所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件的连接点Ji位置，建立混合数值模型；
步骤2、对混合数值模型中的所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件分别进行前处理操作；
步骤3、定义积分时程与步长，在每一个积分步长内对索-梁-塔结构体系进行位移和内力的迭代求解；
步骤4、判断积分终止条件是否满足，若所述积分终止条件满足，则执行步骤5，否则重复步骤3；
步骤5、输出数值模拟数据。
作为优选，步骤1中，所述VFIFE分析构件包括拉索；所述FEM分析构件包括主梁和索塔。
作为优选，步骤2中，对所述VFIFE分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.1、将VFIFE分析构件离散为用无质量单元连接的质点群，表示为：
x＝{x1,n；x2,n；...；xN,n}＝{(x1,y1,z1)；(x2,y2,z2)；...；(xN,yN,zN)}
步骤2.2、获取所述VFIFE分析构件的材料特性，所述材料特性包括弹性模量、截面积、材料密度和阻尼系数；选用无质量单元的类型，定义系统阻尼系数、各质点在初始时刻t0的空间位置xN,0、初始速度
Figure BDA0003670642480000021
初始加速度
Figure BDA0003670642480000022
质点力fN,0和外力PN,0；
步骤2.3、获取连接点Ji位置和荷载信息。
作为优选，步骤2中，对所述FEM分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.4、对FEM分析构件进行单元划分，获取FEM分析构件的材料特性，组集整体刚度矩阵[K]、整体质量矩阵[M]和整体阻尼矩阵[C]；
步骤2.5、定义步骤2.4中FEM分析构件划分得到的各单元在初始时刻t0的动位移矩阵{δ(t0)}、速度矩阵
Figure BDA0003670642480000033
加速度矩阵
Figure BDA0003670642480000034
和整体外荷载矩阵F(t0)]；
步骤2.6、获取连接点Ji位置和荷载信息。
作为优选，步骤3中，所述迭代求解包括：
步骤3.1、对连接点Ji进行固结约束，即在前后相连的两个时刻tn和tn+1中，假定连接点Ji的空间位置固定，表示为：
xJib,n+1＝xJia,n
其中，xJib,n+1为连接点Ji在tn+1时刻的假定空间位置，xJia,n为连接点Ji在时刻tn的真实空间位置；采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN,n、质点力fN,n和外力PN,n求解时刻tn+1的质点空间位置xN,n+1；
步骤3.2、由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN,n+1；
步骤3.3、释放连接点Ji的固结约束，将VFIFE分析过程中求得的连接点Ji的质点力fJi,n+1及对应的外力PJi,n+1组集到FEM分析构件的整体外荷载矩阵F(tn+1)]中；
步骤3.4、选用逐步积分法作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，所述动力响应包括时刻tn+1的动位移矩阵{δ(tn+1)}，速度矩阵
Figure BDA0003670642480000031
和加速度矩阵
Figure BDA0003670642480000032
步骤3.5、提取连接点Ji的动位移δJi,n+1，得到连接点Ji在时刻tn+1的真实空间位置，表示为：
xJia,n+1＝xJia,n+δJi,n+1
并将所述真实空间位置作为边界信息反馈至下一时刻的VFIFE分析过程中。
作为优选，步骤3.1中，所述采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN,n、质点力fN,n和外力PN,n求解时刻tn+1的质点空间位置xN,n+1，表示为：
Figure BDA0003670642480000041
其中，mN为质点N的质量；h为积分步长；xN,n-1为时刻tn-1的质点空间位置；
Figure BDA0003670642480000042
Figure BDA0003670642480000043
C为VFIFE分析构件的阻尼系数矩阵。
作为优选，步骤3.2中，所述由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN,n+1，表示为：
Figure BDA0003670642480000044
Figure BDA0003670642480000045
其中，i和j分别表示无质量单元两端所连接的两个质点的编号；num表示连接质点N的无质量单元总个数；Ec为拉索的弹性模量，Ac为拉索的截面积，fe为无质量单元产生的内力。
作为优选，步骤3.4中，选用逐步积分法作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，表示为：
Figure BDA0003670642480000046
第二方面，提供了一种计算机存储介质，所述计算机存储介质内存储有计算机程序；所述计算机程序在计算机上运行时，使得计算机执行第一方面任一所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法。
第三方面，提供了一种计算机程序产品，当所述计算机程序产品在计算机上运行时，使得计算机执行如第一方面任一所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法。
本发明的有益效果是：
(1)本发明针对索-梁-塔此类各构件刚度差异较大的结构体系，通过融合FEM和VFIFE各自优势，提升该类振动问题求解效率，提高数值模拟求解精度。
(2)本发明为基于FEM和/或VFIFE数值模拟方法的混合试验提供求解程序接口，丰富索-梁-塔耦合振动问题的分析方法。
(3)本发明简化了非线性振动求解过程，为桥梁设计、施工、运维中的监测及减振搭建分析平台。
附图说明
图1为本申请提供的一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法的流程示意图；
图2为本申请提供的单斜拉索-单梁-单塔结构体系的结构示意图；
图3为本申请提供的VFIFE分析构件求解的示意图；
图4为本申请提供的FEM分析构件求解的示意图；
图5为本申请提供的主梁中点振动时程图；
图6为本申请提供的拉索中点振动时程图；
图7为本申请提供的主梁和拉索连接点振动时程图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。
实施例1：
在进行索-梁-塔此类各构件刚度差异较大的结构体系耦合振动模拟分析时，为了提高求解效率和精度，本申请提供了一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，通过结合FEM和VFIFE两种有限元方法，对模型中主梁和索塔单元采用FEM进行分析，对拉索单元采用VFIFE模拟，可以充分利用两种有限元方法的优势，如图1所示，包括：
步骤1、根据索-梁-塔体系中构件的结构刚度，将构件划分为VFIFE分析构件和FEM分析构件，并确定VFIFE分析构件和FEM分析构件的连接点Ji位置，建立混合数值模型；
示例地，如图2所示，单斜拉索-单梁-单塔结构体系中，斜拉索长Lc＝76.916m，倾角θ＝60°，索轴向刚度EcAc＝3.06×109N，单位长度质量ρc＝133kg/m，初始索力Tc0＝7.08×106N；主梁长度Lb＝30m，梁面内刚度EbIb＝6.752×109N·m2，单位长度质量ρb＝993kg/m；索塔长度Lt＝70m，塔面内刚度EtIt＝1×1013N·m2，单位长度质量ρt＝2000kg/m。假设拉索的第一阶粘性阻尼比为0.5％，VFIFE中通过阻尼系数定义，主梁和主塔的第一阶粘性阻尼比为2％，FEM分析构件中采用瑞利阻尼定义。在梁中点施加一个1s的突加集中荷载，Ft＝100kN，观察拉索和主梁在突加荷载作用后的自由振动过程。
步骤2、对混合数值模型中的VFIFE分析构件和FEM分析构件分别进行前处理操作；
步骤3、定义积分时程与步长，在每一个积分步长内对索-梁-塔结构体系进行位移和内力的迭代求解；
步骤4、判断积分终止条件是否满足，若积分终止条件满足，则执行步骤5，否则重复步骤3；示例地，该积分终止条件为t＝tend，其中，tend为设定的积分终止时程。
步骤5、输出数值模拟数据，并进行保存，根据项目分析需要可以进行后续的其他处理操作。
步骤1中，VFIFE分析构件包括刚度较小的柔性构件，如拉索，FEM分析构件包括刚度相对较大的构件，如主梁和索塔。如图2所示，VFIFE分析构件离散成11个质点并用无质量的杆单元连接，拉索质量由每个质点均摊，将初始索力作为初始无质量单元内力，得到初始质点力fN,0，设置各质点的初始速度和加速度为0；主梁和索塔均划分为10个梁单元，组集整体刚度矩阵[K]、整体质量矩阵[K]，设定各单元初始动位移、速度和加速度均为0，并设置[F(t0)]J＝100kN。
步骤2中，对VFIFE分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.1、将VFIFE分析构件离散为用无质量单元连接的质点群，表示为：
x＝{x1,n；x2,n；...；xN,n}＝{(x1,y1,z1)；(x2,y2,z2)；...；(xN,yN,zN)}
步骤2.2、获取VFIFE分析构件的材料特性，材料特性包括弹性模量、截面积、材料密度和阻尼系数；选用无质量单元的类型，定义系统阻尼系数、各质点在初始时刻t0的空间位置xN,0、初始速度
Figure BDA0003670642480000071
初始加速度
Figure BDA0003670642480000072
质点力fN,0和外力PN,0；
步骤2.3、获取连接点Ji位置和荷载信息。
步骤2中，对FEM分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.4、对FEM分析构件进行单元划分，获取FEM分析构件的材料特性，组集整体刚度矩阵[K]、整体质量矩阵[M]和整体阻尼矩阵[C]；
步骤2.5、定义步骤2.4中FEM分析构件划分得到的各单元在初始时刻t0的动位移矩阵{δ(t0)}、速度矩阵
Figure BDA0003670642480000081
加速度矩阵
Figure BDA0003670642480000082
和整体外荷载矩阵F(t0)]；
步骤2.6、获取连接点Ji位置和荷载信息。
需要说明的是，本申请不对步骤2.1至步骤2.3和步骤2.4至步骤2.6之间的时间顺序进行限定，示例地，可以先完成对VFIFE分析构件进行前处理操作，再对FEM分析构件进行前处理操作；也可以先完成对FEM分析构件进行前处理操作，再对VFIFE分析构件进行前处理操作；当然，两者也可以同时进行。
在结束步骤2后，示例地，可以确定主梁和拉索的连接点J1初始坐标
Figure BDA0003670642480000083
Figure BDA0003670642480000084
索塔和拉索的连接点J2初始坐标
Figure BDA0003670642480000085
无外荷载。
步骤3中，迭代求解包括：
步骤3.1、对连接点Ji进行固结约束，即在前后相连的两个时刻tn和tn+1中，假定连接点Ji的空间位置固定，表示为：
xJib,n+1＝xJia,n
其中，xJib,n+1为连接点Ji在tn+1时刻的假定空间位置，xJia,n为连接点Ji在时刻tn的真实空间位置；采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN,n、质点力fN,n和外力PN,n求解时刻tn+1的质点空间位置xN,n+1；
步骤3.2、由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN,n+1；
步骤3.3、释放连接点Ji的固结约束，将VFIFE分析过程中求得的连接点Ji的质点力fJi,n+1及对应的外力PJi,n+1组集到FEM分析构件的整体外荷载矩阵F(tn+1)]中；
步骤3.4、选用逐步积分法(如Wilson-θ法、Newmark-β法等)作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，动力响应包括时刻tn+1的动位移矩阵{δ(tn+1)}，速度矩阵
Figure BDA0003670642480000091
和加速度矩阵
Figure BDA0003670642480000092
步骤3.5、提取连接点Ji的动位移δJi,n+1，得到连接点Ji在时刻tn+1的真实空间位置，表示为：
xJia,n+1＝xJia,n+δJi,n+1
并将真实空间位置作为边界信息反馈至下一时刻的VFIFE分析过程中。
示例地，在完成混合数值模型建立后，可以设置积分步长h为1×10-4s，积分时长为100s，采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，Wilson-θ法作为FEM分析过程中的积分方法。
步骤3.1中，采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN,n、质点力fN,n和外力PN,n求解时刻tn+1的质点空间位置xN,n+1，表示为：
Figure BDA0003670642480000094
其中，xN,n-1为时刻tn-1的质点空间位置；
Figure BDA0003670642480000093
C为VFIFE分析构件的阻尼系数矩阵。
步骤3.2中，由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN,n+1，表示为：
Figure BDA0003670642480000101
Figure BDA0003670642480000102
其中，i和j分别表示无质量单元两端所连接的两个质点的编号；num表示连接质点N的无质量单元总个数；Ec为拉索的弹性模量，Ac为拉索的截面积，fe为无质量单元产生的内力。
具体地，如图3所示，以While或者For循环为基础程序架构，先进入VFIFE求解模块，设定连接点xJi,n+1＝xJi,n进行约束，拉索的两端为约束连接点，求解VFIFE分析构件在下一时刻的质点位移，并根据虚拟的逆向运动求解下一时刻质点力，读取连接点质点力后，进入FEM求解模块。
步骤3.4中，选用逐步积分法作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，表示为：
Figure BDA0003670642480000103
如图4所示，释放连接点约束，将VFIFE求解得到的质点力及对应外力组集到FEM分析构件的下一时刻整体外荷载矩阵[F(tn+1)]中，求解下一时刻各单元的动位移{δ(tn+1)}、速度
Figure BDA0003670642480000104
和加速度
Figure BDA0003670642480000105
得到连接点的真实空间位置xJi,n+1，后作为边界信息反馈至下一时刻的VFIFE分析过程。本实施例中，对主梁中点施加竖直向下大小为1kN的力，持续1s后撤除，即[F(t0)]J＝0。
VFIFE和FEM求解模块循环到达积分时程时，跳出循环求解步骤，对需要查看的结构节点动力响应进行储存。
示例地，图5为主梁在突加荷载作用后，其中点位置的竖向自由振动时程图；图6为结构在受到主梁突加荷载作用后，拉索中点位置的竖向自由振动时程图；图7为结构在受到主梁突加荷载作用后，主梁和拉索连接点的竖向自由振动时程图。由图5至图7可以看出撤去集中荷载后，主梁由于其阻尼较大，振动逐渐衰减至平稳，而拉索阻尼较小，受到主梁振动激发后，振动衰减较为缓慢，实施例模拟结果与实际情况相符，验证了本发明对索-梁-塔耦合振动数值模拟的准确性。本实施例基于本发明提出的一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，积分时长100s的求解用时为27s，基于相同的运行平台，采用VFIFE方法求解用时为100s，验证了本发明可以有效提升此类振动问题的求解速度。
综上所述，本申请通过结合FEM和VFIFE两种有限元方法，对模型中主梁和索塔单元采用FEM进行分析，对拉索单元采用VFIFE模拟，充分利用两种方法的优势，为提高索-梁-塔耦合振动问题的数值模拟效率和结果精度提供巨大可能性。

Claims (10)

1.一种结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，包括：
步骤1、根据索-梁-塔体系中构件的结构刚度，将所述构件划分为VFIFE分析构件和FEM分析构件，并确定所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件的连接点Ji位置，建立混合数值模型；
步骤2、对混合数值模型中的所述VFIFE分析构件和所述FEM分析构件分别进行前处理操作；
步骤3、定义积分时程与步长，在每一个积分步长内对索-梁-塔结构体系进行位移和内力的迭代求解；
步骤4、判断积分终止条件是否满足，若所述积分终止条件满足，则执行步骤5，否则重复步骤3；
步骤5、输出数值模拟数据。
2.根据权利要求1所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤1中，所述VFIFE分析构件包括拉索；所述FEM分析构件包括主梁和索塔。
3.根据权利要求1或2所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤2中，对所述VFIFE分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.1、将VFIFE分析构件离散为用无质量单元连接的质点群，表示为：
x＝{x1，n；x2，n；...；xN，n}＝{(x1，y1，z1)；(x2，y2，z2)；...；(xN，yN，zN)}
步骤2.2、获取所述VFIFE分析构件的材料特性，所述材料特性包括弹性模量、截面积、材料密度和阻尼系数；选用无质量单元的类型，所述无质量单元的类型包括梁单元和杆单元；定义系统阻尼系数、各质点在初始时刻t0的空间位置xN，0、初始速度
Figure FDA0003670642470000021
初始加速度
Figure FDA0003670642470000022
质点力fN，0和外力PN，0；
步骤2.3、获取连接点Ji位置和荷载信息。
4.根据权利要求3所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤2中，对所述FEM分析构件进行前处理操作，包括：
步骤2.4、对FEM分析构件进行单元划分，获取FEM分析构件的材料特性，组集整体刚度矩阵[K]、整体质量矩阵[M]和整体阻尼矩阵[C]；
步骤2.5、定义步骤2.4中FEM分析构件划分得到的各单元在初始时刻t0的动位移矩阵{δ(t0)}、速度矩阵
Figure FDA0003670642470000023
加速度矩阵
Figure FDA0003670642470000024
和整体外荷载矩阵[F(t0)]；
步骤2.6、获取连接点Ji位置和荷载信息。
5.根据权利要求4所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤3中，所述迭代求解包括：
步骤3.1、对连接点Ji进行固结约束，即在前后相连的两个时刻tn和tn+1中，假定连接点Ji的空间位置固定，表示为：
xJib，n+1＝xJia，n
其中，xJib，n+1为连接点Ji在tn+1时刻的假定空间位置，xJia，n为连接点Ji在时刻tn的真实空间位置；采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN，n、质点力fN，n和外力PN，n求解时刻tn+1的质点空间位置xN，n+1；
步骤3.2、由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN，n+1；
步骤3.3、释放连接点Ji的固结约束，将VFIFE分析过程中求得的连接点Ji的质点力fJi，n+1及对应的外力PJi，n+1组集到FEM分析构件的整体外荷载矩阵[F(tn+1)]中；
步骤3.4、选用逐步积分法作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，所述动力响应包括时刻tn+1的动位移矩阵{δ(tn+1)}，速度矩阵
Figure FDA0003670642470000031
和加速度矩阵
Figure FDA0003670642470000032
步骤3.5、提取连接点Ji的动位移δJi，n+1，得到连接点Ji在时刻tn+1的真实空间位置，表示为：
xJia，n+1＝xJia，n+δJi，n+1
并将所述真实空间位置作为边界信息反馈至下一时刻的VFIFE分析过程中。
6.根据权利要求5所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤3.1中，所述采用中心差分法作为VFIFE分析过程中的积分方法，根据时刻tn的质点空间位置xN，n、质点力fN，n和外力PN，n求解时刻tn+1的质点空间位置xN，n+1，表示为：
Figure FDA0003670642470000033
其中，mN为质点N的质量；h为积分步长；xN，n-1为时刻tn-1的质点空间位置；
Figure FDA0003670642470000034
Figure FDA0003670642470000035
C为VFIFE分析构件的阻尼系数矩阵。
7.根据权利要求5所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤3.2中，所述由虚拟的逆向运动和虚功原理求解各质点在时刻tn+1的质点力fN，n+1，表示为：
Figure FDA0003670642470000036
Figure FDA0003670642470000037
其中，i和j分别表示无质量单元两端所连接的两个质点的编号；num表示连接质点N的无质量单元总个数；Ec为拉索的弹性模量，Ac为拉索的截面积，fe为无质量单元产生的内力。
8.根据权利要求5所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法，其特征在于，步骤3.4中，选用逐步积分法作为FEM分析过程中的积分方法，求解时刻tn+1的FEM分析构件划分得到的各单元的动力响应，表示为：
Figure FDA0003670642470000041
9.一种计算机存储介质，其特征在于，所述计算机存储介质内存储有计算机程序；所述计算机程序在计算机上运行时，使得计算机执行权利要求1至8任一所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法。
10.一种计算机程序产品，其特征在于，当所述计算机程序产品在计算机上运行时，使得计算机执行如权利要求1至8任一所述的结合VFIFE和FEM的索-梁-塔耦合振动数值模拟方法。
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