CN114925565A - 纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，属于橡胶复合材料设计领域。步骤包括：一、通过将纤维层等效成纤维平面单元来构建有限元模型；二、采用改进的离散多材料优化方法建立纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化模型和有限元模型；三、通过非线性有限元分析得到节点位移；四、根据优化模型和节点位移采用伴随方法计算灵敏度信息；五、根据灵敏度信息采用优化算法进行优化迭代，得到最优结果。本发明可以分别考虑橡胶基体的超弹性与纤维层的几何非线性来解决纤维增强橡胶复合材料纤维角度的优化问题，同时在离散材料优化方法中添加了映射函数提高了纤维收敛的速度。为纤维增强橡胶复合材料设计提供一种有效且高效的优化方法。
Description
技术领域
本发明涉及橡胶复合材料设计领域，特别涉及一种纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法。
背景技术
由于纤维增强橡胶复合材料具有低密度和高强重比等优秀的力学性能，在航空航天、土木工程、汽车、软组织工程等工程领域的应用日益广泛，例如航空轮胎、空气弹簧、人工组织等。纤维增强橡胶复合材料通过按特定方向排列纤维，可以在纤维方向上获得更高的强度。因此，纤维增强橡胶复合材料结构的整体力学性能在很大程度上取决于纤维方向的设计。然而，纤维增强橡胶复合材料涉及非线性大变形问题，目前关于复合材料纤维角度优化的研究停留在线性材料层面，在纤维增强橡胶复合材料的优化设计中无法适用，橡胶复合材料设计只能通过试验得到可用的纤维角度，试验过程需要花费大量的时间和资源并且不容易得到较优的纤维角度设计方案。因此，急需一种可以提高橡胶复合材料的设计能力的复合材料的优化方法，同时具有重要的理论与应用价值。
发明内容
本发明的目的在于提供一种纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，解决了现有的纤维角度优化方法无法应用于纤维增强橡胶复合材料的问题。本发明为纤维增强橡胶复合材料设计提供一种有效且高效的优化方法。
本发明的上述目的通过以下技术方案实现：
纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，包括以下步骤：
步骤一、给定设计域和边界条件，通过将纤维层等效成纤维平面单元的纤维增强橡胶复合材料建模方法来构建有限元模型；
步骤二、采用改进的离散多材料优化方法构建纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化模型和有限元模型；
步骤三、通过非线性有限元分析得到节点位移；
步骤四、根据优化模型和节点位移采用伴随方法引入拉格朗日乘子得到伴随方程，进而得到每个设计变量的灵敏度信息；
步骤五、根据灵敏度信息采用优化算法对所构建的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化问题进行求解并判断收敛性，若满足收敛条件，得到最优结果。
步骤二所述的采用改进的离散多材料优化方法构建纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化模型和有限元模型，具体是：构造离散多材料优化方法的纤维平面单元材料矩阵的插值函数形式来实现将离散的角度优化问题转化为连续设计变量优化问题，即设计组件的每个待选角度的材料矩阵乘以权系数后叠加得到优化形式的材料矩阵；并添加设计变量映射函数提高纤维角度优化的收敛效率；得到纤维增强橡胶复合材料纤维角度优化的优化模型；目标函数为结构的柔度，约束条件为满足非线性有限元的平衡方程和设计变量的取值范围。
步骤四所述的根据优化模型和节点位移采用伴随方法引入拉格朗日乘子得到伴随方程，进而得到每个设计变量的灵敏度信息，具体是：由于橡胶基体和纤维平面单元分别涉及超弹性和几何非线性问题，因此，引入拉格朗日乘子将纤维平面单元刚度凝聚到橡胶基体后的非线性有限元平衡方程与目标函数联立，通过伴随法得到拉格朗日乘子；分别对橡胶基体和纤维平面单元两部分的残余力进行求导联立后得到灵敏度信息。
本发明的有益效果在于：通过将纤维层等效成纤维平面单元来构建橡胶复合材料有限元模型，使得该方法可以分别考虑橡胶基体的超弹性与纤维层的几何非线性来解决纤维增强橡胶复合材料纤维角度的优化问题，同时在离散材料优化方法中添加了映射函数提高了纤维收敛的速度。本发明为橡胶复合材料设计提供一种有效且高效的优化方法，解决了现有的纤维角度优化方法不能优化纤维增强橡胶复合材料的问题。实用性强。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发明的示意性实例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。
图1为本发明的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法的流程图；
图2为本发明的纤维增强橡胶复合材料等效建模的示意图；
图3为本发明实施例中模型几何尺寸与边界条件示意图；
图4为本发明的实施例的设计优化结果图。
具体实施方式
下面将结合附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
参见图1至图4所示，本发明的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，为纤维增强橡胶复合材料设计提供一种有效且高效的优化方法。包括如下步骤：
步骤一、给定设计域和边界条件，通过将纤维层等效成纤维平面单元的纤维增强橡胶复合材料建模方法来构建有限元模型；
步骤二、构建纤维角度优化模型和有限元模型：构造离散多材料优化方法的纤维平面单元材料矩阵的插值函数形式来实现将离散的角度优化问题转化为连续设计变量优化问题，即设计组件的每个待选角度的材料矩阵乘以权系数后叠加得到优化形式的材料矩阵。并添加设计变量映射函数提高纤维角度优化的收敛效率。得到纤维增强橡胶复合材料纤维角度优化的优化模型：目标函数为结构的柔度，约束条件为满足非线性有限元的平衡方程和设计变量的取值范围。
步骤三、进行非线性有限元分析得到节点位移：通过坐标转换矩阵将纤维平面单元的刚度叠加到橡胶基体上，来实现消除纤维平面单元的自由度。采用迭代求解方法对非线性有限元平衡方程进行线性化处理，得到纤维增强橡胶复合材料的线性化平衡方程。
步骤四、根据优化模型和节点位移采用伴随方法计算灵敏度信息：由于橡胶基体和纤维平面单元分别涉及超弹性和几何非线性问题，直接求解设计变量的灵敏度非常困难。因此，引入拉格朗日乘子将纤维平面单元刚度凝聚到橡胶基体后的非线性有限元平衡方程与目标函数联立，通过伴随法得到拉格朗日乘子。分别对橡胶基体和纤维平面单元两部分的残余力进行求导联立后得到灵敏度信息。
步骤五、根据灵敏度信息进行优化迭代和收敛性判断：根据步骤四得到的灵敏度信息采用优化算法进行纤维角度优化，通过更新设计变量来实现在待选角度中转换及调整，实现结构不断更新优化，在每次结构纤维角度更新后进行收敛性判断。若满足收敛条件，则优化过程结束，输出当前的设计结果作为最优的纤维角度；否则，返回步骤三，继续对结构进行优化。
实施例1：
参见图1所示，一种纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，包括以下步骤：
步骤一、构建有限元模型。给定设计域和边界条件，对设计域中的橡胶基体进行网格划分，在每个橡胶基体单元内创建纤维平面单元，采用纤维平面单元来等效纤维层构建纤维增强橡胶复合材料有限元模型，图2为纤维增强橡胶复合材料等效建模的示意图，图2中的(a)部分为纤维平面单元的几何模型，(b)部分为纤维平面单元的等效模型。
步骤二、构建纤维角度优化模型和有限元模型。采用改进的双值编码参数化方法(简称BCP法)构建散多材料优化方法的纤维平面单元材料矩阵的插值函数形式为：
其中，Di为第i个待确定纤维角度组件的材料矩阵，nc为待选角度的数量，β为设计变量映射函数惩罚因子，p为权系数惩罚因子，xik为优化的设计变量，为了消除初始结构对优化结果的影响，初始设计变量为0，Dj是纤维平面单元为第j个待选角度时的材料矩阵，nv为BCP法中设计变量的数量，定义为：
sjk为BCP法中的参数，具体表达式为：
通过在BCP方法中添加设计变量映射函数——tanh函数，并对惩罚因子β进行适当的控制来提高纤维角度优化方法的收敛效果与收敛效率。
得到纤维增强橡胶复合材料纤维角度优化的优化列式：
其中，C为结构的末端柔度，PT为结构所受的外力，U为节点位移，Ru为结构平衡方程，l(u)为外力项，
和
分别为基体和纤维的残余力。
步骤三、进行非线性有限元分析得到节点位移。通过坐标转换矩阵将纤维平面单元的刚度叠加到橡胶基体上，实现消除纤维平面单元的自由度。通过Newton-Raphson迭代方法进行线性化处理得到纤维增强橡胶复合材料的平衡方程表达式为：
[k]e{Δu}e＝R(U) (5)
其中，{Δu}e为橡胶单元的位移增量，[k]e为橡胶单元叠加纤维平面单元的切线刚度矩阵，由基体项[kM]e和纤维项[kR]e两部分组成。R(U)为橡胶单元叠加纤维平面单元的残余力向量，具体表达式如下：
其中，BN为橡胶单元应变与位移的关系矩阵，BL为纤维平面单元的线性应变与位移的关系矩阵，BNL为纤维平面单元的非线性应变与位移的关系矩阵，BG和G分别表示橡胶和基体确定非线性应变与位移的关系的中间矩阵。DM和DR分别为橡胶单元和纤维平面单元的材料矩阵，ΣM和ΣR分别为橡胶单元和纤维平面单元的第二基尔霍夫应力矩阵，SM和SR分别为橡胶单元和纤维平面单元的第二基尔霍夫应力的列向量形式。CT为纤维平面单元相对于所在橡胶单元的相对位置矩阵，L为纤维平面单元整体坐标到局部坐标的变换矩阵。
步骤四、计算灵敏度信息。通过目标函数对设计变量求导得到：
由于橡胶基体涉及非线性大变形，需要采用非线性有限元分析，所以dU/dxij很难直接推导出来，因此，引入拉格朗日乘子λ将平衡方程R与目标函数联立定义函数
为：
函数
采用链式求导法则和伴随法对设计变量求导得到：
其中，权系数ωik对设计变量xij的导数为：
拉格朗日乘子λ通过计算伴随方程得到：
步骤五、优化迭代和收敛性判断。根据步骤四得到的灵敏度信息采用MMA优化算法进行纤维角度优化，通过更新设计变量来实现在待选角度中转换及调整，实现结构不断更新优化，在每次结构纤维角度更新后进行收敛性判断，收敛条件为：
其中，wij为第i个待确定纤维角度组件的第j个待选角度的权系数，ε为允许的收敛误差。若满足收敛条件，则优化过程结束，输出当前的设计结果作为最优的纤维角度；否则，返回步骤三，继续对结构进行优化。
本发明纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法的有益效果在于：通过将纤维层等效成纤维平面单元来构建橡胶复合材料有限元模型，使得该方法可以分别考虑橡胶基体的超弹性与纤维层的几何非线性来解决纤维增强橡胶复合材料纤维角度的优化问题，同时在离散材料优化方法中添加了映射函数提高了纤维收敛的速度。本发明为橡胶复合材料设计提供一种有效且高效的设计方法。
实施例2：
以纤维增强橡胶复合悬臂板结构为例，参见图3所示，为本实施例的模型几何尺寸、有限元模型与边界条件，单元尺寸为5mm。其中改进的BCP方法中β的取值从0开始，在优化进行到第十代时增大到5，此后每两代增加1。优化的允许收敛误差设置为0.01％。规定每个橡胶基体单元对应的纤维平面单元的纤维角度都进行优化设计。橡胶基体采用Neo-Hookean本构模型，其中A10是拟合Neo-Hookean本构模型的材料参数，K为体积模量，纤维为线弹性材料。橡胶基体和纤维的材料参数如表1所示。本实施例最优的纤维角度优化结果如图4所示。本发明方法经过实施例26步迭代后得到优化设计结果。优化结果的目标末端柔度为4142.0，相比于所有角度选为90°结构的末端柔度4483.9降低了7.6％。
表1橡胶与纤维材料参数
以上所述仅为本发明的优选实例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡对本发明所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (3)
1.一种纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一、给定设计域和边界条件，通过将纤维层等效成纤维平面单元的纤维增强橡胶复合材料建模方法来构建有限元模型；
步骤二、采用改进的离散多材料优化方法构建纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化模型和有限元模型；
步骤三、通过非线性有限元分析得到节点位移；
步骤四、根据优化模型和节点位移采用伴随方法引入拉格朗日乘子得到伴随方程，进而得到每个设计变量的灵敏度信息；
步骤五、根据灵敏度信息采用优化算法对所构建的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化问题进行求解并判断收敛性，若满足收敛条件，得到最优结果。
2.根据权利要求1所述的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，其特征在于：步骤二所述的采用改进的离散多材料优化方法构建纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化模型和有限元模型，具体是：构造离散多材料优化方法的纤维平面单元材料矩阵的插值函数形式来实现将离散的角度优化问题转化为连续设计变量优化问题，即设计组件的每个待选角度的材料矩阵乘以权系数后叠加得到优化形式的材料矩阵；并添加设计变量映射函数提高纤维角度优化的收敛效率；得到纤维增强橡胶复合材料纤维角度优化的优化模型；目标函数为结构的柔度，约束条件为满足非线性有限元的平衡方程和设计变量的取值范围。
3.根据权利要求1所述的纤维增强橡胶复合材料的纤维角度优化方法，其特征在于：步骤四所述的根据优化模型和节点位移采用伴随方法引入拉格朗日乘子得到伴随方程，进而得到每个设计变量的灵敏度信息，具体是：由于橡胶基体和纤维平面单元分别涉及超弹性和几何非线性问题，因此，引入拉格朗日乘子将纤维平面单元刚度凝聚到橡胶基体后的非线性有限元平衡方程与目标函数联立，通过伴随法得到拉格朗日乘子；分别对橡胶基体和纤维平面单元两部分的残余力进行求导联立后得到灵敏度信息。
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