CN114918744A - 采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法，具体为：基于端截面坐标系的圆锥型、外凸圆环型和内凹圆环型三类基本轮廓，进行灵活组合，分别计算回转异形轴基本轮廓磨削轨迹，再计算异形轴回转轮廓偏置轨迹交点，最后做异形轴回转轮廓偏置轨迹自适应处理，完成磨削轨迹求解。本发明可实现端截面轮廓的灵活组合，保证了各回转轮廓特征之间的光滑过渡，提高了磨削加工效率、表面质量和精度。

Description

采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法

技术领域

本发明属于回转异形轴磨削加工技术领域，具体涉及一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法。

背景技术

对于圆锥或圆柱形回转轮廓零件，通常采用外圆磨削的加工方法。周建民[1]等针对薄壁细长轴零件加工困难的问题提出了低熔点合金油膜柔性心轴加工方法，减少了磨削过程中的工件振动。Wang[2]等采用有限差分法对干磨削条件下外圆磨削区域温度进行了研究。牛同训[3]考虑了磨削用量对工艺成本的影响，建立了工艺成本最低的磨削参数优化模型。熊万里[4]等提出了轴颈外圆磨削双转子模型和迭代算法，经过对比验证证实了方法的有效性。Gong[5]等在磨削加工过程中的工艺参数选择上提出了一种混合粒子群算法。

对于较复杂的回转轮廓异形轴，实际生产中很多都采用成形砂轮磨削。但对于异形轴，成形砂轮加工回转轮廓特征时从发热和受力两个方面来看效果均不佳。郭国强[6]等设计了成形磨削温度的试验测试方法，结果表明回转轮廓交界处温升急剧增加，极易引起磨削烧伤。另一方面，成形磨削砂轮与工件的接触面积较大引起磨削力增大，若异形轴选用长径比值大的细长棒料，加工过程中棒料易发生变形，且成形磨削需要频繁修整砂轮，提高了生产成本。针对普通外圆磨削和成形磨削都无法解决的回转轮廓异形轴磨削工艺问题，段差磨削工艺采用带有一定抬角的砂轮外圆磨削姿态加工棒料，其特点是在磨削过程中砂轮与棒料线接触，接触面积极小，使得棒料与冷却液充分接触从而导致磨削烧伤等情况几乎不会发生，降低更换、维修砂轮的频率。以阶梯钻为例，按照阶数分类有二级钻、三级钻、多阶梯钻[7]等等，其制孔质量远远高于普通麻花钻头[8]。阶梯钻以刃点起为第一阶，通常该阶直径最小、长度最短，从第一阶后逐级增大形成台阶。因此，阶梯钻等数控刀具的棒料可看作各种不同直径的外圆复合组成，为保证工艺性，段差磨削工艺可代替成形磨削工艺加工其段差外径。

参考文献：

[1]周建民,晋国,范晓东等.薄壁细长轴类零件的外圆磨削[J].金属加工(冷加工),2022(02):36-38.

[2]Wang Xuezhi,Yu Tianbiao,Sun Xue,et al.Grinding Temperature FieldSimulation via Finite Difference Method[J].Chinese Journal ofConstructionMachinery,2015,13(2):124-129.

[3]牛同训.外圆磨削参数优化模型及其应用[J].机床与液压,2017,45(16):52-56.

[4]熊万里,陈建华,丁文祥等.轴颈外圆磨削成圆过程的双转子耦合模型及仿真算法[J].机械工程学报,2019,55(21):170-177.

[5]Gong Qingzhong,WuJinsong,WangDazhen.GrindingParametersOptimization BasedonHPSOAlgorithm[J].MachineTool&Hydraulics,2015,43(19):75-77.

[6]郭国强,安庆龙,林立芳等.成形磨削温度的理论与试验分析[J].机械工程学报,2018,54(03):203-215.

[7]易方富.阶梯钻的外圆磨削加工及工艺改进[J].摩托车技术,2008(03):38-41.

[8]冷小龙,李鹏南,邱新义等.阶梯钻钻削碳纤维复合材料-钛合金叠层板刀具磨损试验研究[J].宇航材料工艺,2018,48(02):86-90.

发明内容

针对上述问题，本发明提供了一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法。

本发明的一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型。

工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直。

步骤2：建立异形轴端截面模型。

基于工件坐标系以X_wO_wY_w平面视图建立异形轴端截面坐标系，在端截面坐标系下将异形轴的回转轮廓分为圆锥型、外凸圆环型和内凹圆环型三类基本轮廓元素，并对几何结构参数进行了定义。

步骤3：定义砂轮磨削姿态。

对于基于走心式段差磨床的外圆磨削工艺，磨削过程中砂轮抬角δ保持恒定，由于回转轮廓轴截面为圆，A轴高速旋转不参与联动，因此只需Y-X两轴联动即可完成加工。

采用1F1型平形砂轮进行磨削加工。

步骤4：回转异形轴基本轮廓磨削轨迹计算。

(1)圆锥型轮廓

在端截面坐标系下假设圆锥形轮廓由某前置段开始，前置段轴向距离总和为d_sum，圆锥轮廓首尾半径分别为R_pA和R_nA，轴向长度为d_A，P₁′、P₂′为圆锥型轮廓的偏置端点。

根据已知参数来表达圆锥型轮廓端点，P₁、P₂的坐标在工件坐标系下如公式(1)所示：

然后求解圆锥型轮廓偏置向量F_tA，在工件坐标系下F_tA如公式(2)所示：

其中，R为砂轮圆角半径，即砂轮厚度的二分之一；进而利用平移矩阵解得偏置点P_i′坐标如下，其中P_i′是异形轴圆锥型轮廓上任意一点所对应的砂轮圆角偏置点，如公式(3)所示：

(2)外凸圆环型轮廓

基于端截面坐标系X_wO_wY_w建立外凸圆环型轮廓的数学模型；与公式(1)类似，首先应该根据给定输入求解起点P₁、终点P₂以及轮廓圆心O_B坐标值；直接对O_B进行求解，联立方程组：

解得O_B如公式(5)所示：

其中，中间变量B₁、B₂、A₁、A₂、A₃如公式(6)、公式(7)所示：

由于偏置轨迹与外凸圆环型轮廓为同心圆，根据解得的圆心O_B坐标和圆上任意一点P_i坐标即可求解P_i所对应的偏置矢量F_tiB，如公式(8)所示：

根据已解得的矢量F_tiB，利用平移矩阵可求解外凸圆环型轮廓上任意一点P_i的砂轮圆角偏置点位P_i′，如公式(9)所示：

(3)内凹圆环型轮廓

在工件坐标系下以端截面坐标系建立内凹圆环型轮廓的数学模型；其中P₁、P₂以及轮廓圆心O_C坐标的求解过程与公式(5)相同；针对内凹圆环型轮廓的实际情况，圆心求解时取y_o较大的根；具体数学表达如公式(10)所示：

进而求解内凹圆环型轮廓上任意一点P_i对应的平移矢量F_tiC，其中对于内凹圆环型轮廓平移矢量F_tiC还需取负值，如公式(11)所示：

最后将平移矢量F_tiC带入三维平移矩阵求解内凹圆环轮廓所对应的任意偏置点P_i′。

步骤5：异形轴回转轮廓偏置轨迹交点计算。

首先求解偏置轨迹交点，两段轮廓相接的三种情况分别为：

(1)圆锥与圆锥相交

设轮廓交点为P₂，偏置轨迹交点为P_j，前端轮廓起点和后端轮廓终点分别为P₁和P₃，其中P₁P₂段的偏置向量为F_tA1，P₂P₃段的偏置向量为F_tA2；由公式(2)、公式(3)得偏置轨迹L₁、L₂的方程式，如公式(12)所示：

其中k₁、k₂分别为L₁、L₂斜率，如公式(13)所示：

联立公式(12)即可解得交点P_j，如公式(14)所示：

(2)圆锥与凹凸圆环相交

在工件坐标系建立圆锥轮廓与外凸圆环轮廓、内凹圆环轮廓相接的数学模型，由公式(10)中的O_C易得直线偏置轨迹L与圆弧偏置轨迹C的方程式：

其中的参数k、R_s分别如公式(16)所示：

解得P_j如公式(17)所示：

其中的中间变量A、b分别如公式(18)所示：

(3)双圆环相交

首先建立凹、凸圆环轮廓组合相接的数学模型，采用几何解析法，解得P_j如公式(19)所示：

其中的中间变量A₁、A₂、A₃和A₄分别如公式(20)所示：

步骤6：异形轴回转轮廓偏置轨迹自适应处理。

(1)伸长处理

在端截面轮廓为圆锥与圆锥相交的情况下，当α为钝角时采用伸长处理方式；此时将磨削轨迹延申至P_j处，对引入连接点P₂分别在两段轮廓的偏置点S₁、S₂，采用解析几何中向量乘积的方法对这一判断条件进行量化，如公式(21)所示：

P₂S₁·P₂S₂＞＝0 (21)

当上述条件发生时，对于轮廓相接带有圆环型轮廓的情况，采用伸长处理方法；对于圆锥与圆锥轮廓相接的情况，P₂S₁与P₂S₂的数量积>＝0这一条件与α为钝角也完全等价。

(2)拐角处理

当两端轮廓之间形成的夹角过小，即在圆锥与圆锥相交的情况下体现为α是锐角，数值上表示为P₂S₁·P₂S₂<0时，在这种情况下，采用拐角处理方法，计算平移矢量S₁S₃，如公式(22)所示：

其中f(x,y)＝0为轮廓在端截面坐标系X_wO_wY_w的轨迹方程，由此根据S₁S₃所得的平移矩阵进行求解拐角点位S₃，如公式(23)所示：

最后使用相同的方法求解点位S₄；此时的相接区域轨迹为S₁→S₃→S₄→S₂。

综上，当P₂S₁·P₂S₂>＝0时，轮廓相接处采用伸长处理方法；否则，应采用拐角处理方法，实现轮廓相接区域的自适应调整。

本发明的有益技术效果为：

本发明基于端截面坐标系的圆锥型、外凸圆环型和内凹圆环型灵活组合的连续磨削轨迹算法和基本轮廓相接处的自适应调整算法。该算法可实现端截面轮廓的灵活组合，保证了各回转轮廓特征之间的光滑过渡，提高了磨削加工效率、表面质量和精度。

附图说明

图1为异形轴建模示意图。

图2为端截面坐标系示意图。

图3为砂轮磨削姿态示意图。

图4为圆锥型轮廓磨削轨迹计算示意图。

图5为外凸圆环型轮廓磨削轨迹计算示意图。

图6为内凹圆环型轮廓磨削轨迹计算示意图。

图7为回转凹圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图8为回转凹圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图9为回转轮廓相接区域磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图10为回转轮廓相接区域磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图11为参考坐标系点位放缩示意图。

图12为变截面异形轴磨削轨迹计算示意图。

图13为在VERICUT8.0中进行磨削仿真的结果。

图14为在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工的实际效果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方法对本发明做进一步详细说明。

本发明的一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型。

如图1所示，工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直。

步骤2：建立异形轴端截面模型。

如图2所示，基于工件坐标系以X_wO_wY_w平面视图建立异形轴端截面坐标系，在端截面坐标系下将异形轴的回转轮廓分为圆锥型、外凸圆环型和内凹圆环型三类基本轮廓元素，并对几何结构参数进行了定义。

步骤3：定义砂轮磨削姿态。

对于基于走心式段差磨床的外圆磨削工艺，磨削过程中砂轮抬角δ保持恒定，且由于本章研究的回转轮廓轴截面为圆，A轴高速旋转不参与联动，因此只需Y-X两轴联动即可完成加工，如图3所示。

对异形轴进行磨削加工时通常使用回转半径较大且厚度较薄、带有圆角的平形砂轮作为磨削工具，以此保证高精度并适应砂轮抬角的改变。标准砂轮中，平形砂轮1A1型比较厚，容易发生干涉，而锥形砂轮1V1型过薄，磨削过程中易在轴向进给时损坏。而平形砂轮1F1型薄厚适中，工作面是圆环面，便于进行工件坐标系下的砂轮磨削轨迹计算，因此采用1F1型平形砂轮进行磨削加工。

步骤4：回转异形轴基本轮廓磨削轨迹计算。

(1)圆锥型轮廓

如图4所示，在端截面坐标系下假设圆锥形轮廓由某前置段开始，前置段轴向距离总和为d_sum，圆锥轮廓首尾半径分别为R_pA和R_nA，轴向长度为d_A，P₁′、P₂′为圆锥型轮廓的偏置端点。

根据已知参数来表达圆锥型轮廓端点，P₁、P₂的坐标在工件坐标系下如公式(1)所示：

然后求解圆锥型轮廓偏置向量F_tA，在工件坐标系下F_tA如公式(2)所示：

其中，R为砂轮圆角半径，即砂轮厚度的二分之一。进而利用平移矩阵解得偏置点P_i′坐标如下，其中P_i′是异形轴圆锥型轮廓上任意一点所对应的砂轮圆角偏置点，如公式(3)所示：

(2)外凸圆环型轮廓

基于端截面坐标系X_wO_wY_w建立外凸圆环型轮廓的数学模型，如图5所示。与公式(1)类似，首先应该根据给定输入求解起点P₁、终点P₂以及轮廓圆心O_B坐标值。直接对O_B进行求解，联立方程组：

解得O_B如公式(5)所示：

其中，中间变量B₁、B₂、A₁、A₂、A₃如公式(6)、公式(7)所示：

由于偏置轨迹与外凸圆环型轮廓为同心圆，根据解得的圆心O_B坐标和圆上任意一点P_i坐标即可求解P_i所对应的偏置矢量F_tiB，如公式(8)所示：

根据已解得的矢量F_tiB，利用平移矩阵可求解外凸圆环型轮廓上任意一点P_i的砂轮圆角偏置点位P_i′，如公式(9)所示：

(3)内凹圆环型轮廓

在工件坐标系下以端截面坐标系建立内凹圆环型轮廓的数学模型，如图6所示。其中P₁、P₂以及轮廓圆心O_C坐标的求解过程与公式(5)相同；针对内凹圆环型轮廓的实际情况，圆心求解时取y_o较大的根；具体数学表达如公式(10)所示：

进而求解内凹圆环型轮廓上任意一点P_i对应的平移矢量F_tiC，其中对于内凹圆环型轮廓平移矢量F_tiC还需取负值，如公式(11)所示：

最后将平移矢量F_tiC带入三维平移矩阵求解内凹圆环轮廓所对应的任意偏置点P_i′。

步骤5：异形轴回转轮廓偏置轨迹交点计算。

可能会有轮廓相接区域偏置轨迹产生断点的情况出现，若不进行处理，可能导致干涉。首先求解偏置轨迹交点，两段轮廓相接的三种情况分别为：

(1)圆锥与圆锥相交

如图7所示，设轮廓交点为P₂，偏置轨迹交点为P_j，前端轮廓起点和后端轮廓终点分别为P₁和P₃，其中P₁P₂段的偏置向量为F_tA1，P₂P₃段的偏置向量为F_tA2；由公式(2)、公式(3)得偏置轨迹L₁、L₂的方程式，如公式(12)所示：

其中k₁、k₂分别为L₁、L₂斜率，如公式(13)所示：

联立公式(12)即可解得交点P_j，如公式(14)所示：

(2)圆锥与凹凸圆环相交

如图8所示，在工件坐标系建立圆锥轮廓与外凸圆环轮廓、内凹圆环轮廓相接的数学模型，由公式(10)中的O_C易得直线偏置轨迹L与圆弧偏置轨迹C的方程式：

其中的参数k、R_s分别如公式(16)所示：

解得P_j如公式(17)所示：

其中的中间变量A、b分别如公式(18)所示：

(3)双圆环相交

如图9所示，首先建立凹、凸圆环轮廓组合相接的数学模型，采用几何解析法，解得P_j如公式(19)所示：

其中的中间变量A₁、A₂、A₃和A₄分别如公式(20)所示：

步骤6：异形轴回转轮廓偏置轨迹自适应处理。

(1)伸长处理

如图10所示，首先以端截面轮廓为圆锥与圆锥相交的情况为例，当α为钝角时采用伸长型处理方式。此时适合将磨削轨迹延申至P_j处。如图11所示，对于带有圆环轮廓组合的情况，无法描述角度α。鉴于这种情况，引入连接点P₂分别在两段轮廓的偏置点S₁、S₂，采用解析几何中向量乘积的方法对这一判断条件进行量化，如公式(21)所示：

P₂S₁·P₂S₂＞＝0 (21)

当上述条件发生时，对于轮廓相接带有圆环型轮廓的情况，采用伸长处理方法，不会发生干涉且走刀效率较高。对于圆锥与圆锥轮廓相接的情况，P₂S₁与P₂S₂的数量积>＝0这一条件与α为钝角也完全等价。

(2)拐角处理

如图12所示，当两端轮廓之间形成的夹角过小，即在圆锥与圆锥相交的情况下体现为α是锐角，数值上表示为P₂S₁·P₂S₂<0时，此时采用伸长型处理方式固然可行，但走刀效率较低。在这种情况下，采用拐角处理方法，计算平移矢量S₁S₃，如公式(22)所示：

其中f(x,y)＝0为轮廓在端截面坐标系X_wO_wY_w的轨迹方程，由此根据S₁S₃所得的平移矩阵进行求解拐角点位S₃，如公式(23)所示：

最后使用相同的方法求解点位S₄；此时的相接区域轨迹为S₁→S₃→S₄→S₂。即确保不会干涉到尖点部分，又提高了走刀效率。

综上，当P₂S₁·P₂S₂>＝0时，轮廓相接处采用伸长处理方法；否则，应采用拐角处理方法，实现轮廓相接区域的自适应调整。

算法验证：

为了验算所提出的回转异形轴砂轮磨削轨迹算法，本发明进行了仿真加工验证与实际加工验证。其中回转异形轴磨削轨迹计算和机床NC程序的获取，是在VC++环境开发一套算法模块实现的。输入异形轴端截面几何参数，根据提出的砂轮磨削轨迹算法，输出其刀位轨迹文件；再以刀位轨迹文件为输入，根据坐标变换进行后置处理，输出数控机床的NC程序。

三维仿真则使用VERICUT8.0来实现，选择变截面回转异形轴测试实例进行磨削轨迹仿真，其仿真数据如表1。

表1回转异形轴测试实例

在VERICUT8.0中进行磨削仿真的结果如图13所示。

在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工，并利用刀具检测仪PG-1000进行几何结构参数测量，结果如图14所示。

Claims (1)

1.一种采用段差磨削工艺加工回转异形轴的磨削轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型；

工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直；

步骤2：建立异形轴端截面模型；

基于工件坐标系以X_wO_wY_w平面视图建立异形轴端截面坐标系，在端截面坐标系下将异形轴的回转轮廓分为圆锥型、外凸圆环型和内凹圆环型三类基本轮廓元素，并对几何结构参数进行了定义；

步骤3：定义砂轮磨削姿态；

对于基于走心式段差磨床的外圆磨削工艺，磨削过程中砂轮抬角δ保持恒定，由于回转轮廓轴截面为圆，A轴高速旋转不参与联动，因此只需Y-X两轴联动即可完成加工；

采用1F1型平形砂轮进行磨削加工；

步骤4：回转异形轴基本轮廓磨削轨迹计算；

(1)圆锥型轮廓

在端截面坐标系下假设圆锥形轮廓由某前置段开始，前置段轴向距离总和为d_sum，圆锥轮廓首尾半径分别为R_pA和R_nA，轴向长度为d_A，P₁′、P₂′为圆锥型轮廓的偏置端点；

根据已知参数来表达圆锥型轮廓端点，P₁、P₂的坐标在工件坐标系下如公式(1)所示：

然后求解圆锥型轮廓偏置向量F_tA，在工件坐标系下F_tA如公式(2)所示：

其中，R为砂轮圆角半径，即砂轮厚度的二分之一；进而利用平移矩阵解得偏置点P_i′坐标如下，其中P_i′是异形轴圆锥型轮廓上任意一点所对应的砂轮圆角偏置点，如公式(3)所示：

(2)外凸圆环型轮廓

基于端截面坐标系X_wO_wY_w建立外凸圆环型轮廓的数学模型；与公式(1)类似，首先应该根据给定输入求解起点P₁、终点P₂以及轮廓圆心O_B坐标值；直接对O_B进行求解，联立方程组：

解得O_B如公式(5)所示：

其中，中间变量B₁、B₂、A₁、A₂、A₃如公式(6)、公式(7)所示：

由于偏置轨迹与外凸圆环型轮廓为同心圆，根据解得的圆心O_B坐标和圆上任意一点P_i坐标即可求解P_i所对应的偏置矢量F_tiB，如公式(8)所示：

根据已解得的矢量F_tiB，利用平移矩阵可求解外凸圆环型轮廓上任意一点P_i的砂轮圆角偏置点位P_i′，如公式(9)所示：

(3)内凹圆环型轮廓

在工件坐标系下以端截面坐标系建立内凹圆环型轮廓的数学模型；其中P₁、P₂以及轮廓圆心O_C坐标的求解过程与公式(5)相同；针对内凹圆环型轮廓的实际情况，圆心求解时取y_o较大的根；具体数学表达如公式(10)所示：

进而求解内凹圆环型轮廓上任意一点P_i对应的平移矢量F_tiC，其中对于内凹圆环型轮廓平移矢量F_tiC还需取负值，如公式(11)所示：

最后将平移矢量F_tiC带入三维平移矩阵求解内凹圆环轮廓所对应的任意偏置点P_i′；

步骤5：异形轴回转轮廓偏置轨迹交点计算；

首先求解偏置轨迹交点，两段轮廓相接的三种情况分别为：

(1)圆锥与圆锥相交

设轮廓交点为P₂，偏置轨迹交点为P_j，前端轮廓起点和后端轮廓终点分别为P₁和P₃，其中P₁P₂段的偏置向量为F_tA1，P₂P₃段的偏置向量为F_tA2；由公式(2)、公式(3)得偏置轨迹L₁、L₂的方程式，如公式(12)所示：

其中k₁、k₂分别为L₁、L₂斜率，如公式(13)所示：

联立公式(12)即可解得交点P_j，如公式(14)所示：

(2)圆锥与凹凸圆环相交

在工件坐标系建立圆锥轮廓与外凸圆环轮廓、内凹圆环轮廓相接的数学模型，由公式(10)中的O_C易得直线偏置轨迹L与圆弧偏置轨迹C的方程式：

其中的参数k、R_s分别如公式(16)所示：

解得P_j如公式(17)所示：

其中的中间变量A、b分别如公式(18)所示：

(3)双圆环相交

首先建立凹、凸圆环轮廓组合相接的数学模型，采用几何解析法，解得P_j如公式(19)所示：

其中的中间变量A₁、A₂、A₃和A₄分别如公式(20)所示：

步骤6：异形轴回转轮廓偏置轨迹自适应处理；

(1)伸长处理

在端截面轮廓为圆锥与圆锥相交的情况下，当α为钝角时采用伸长处理方式；此时将磨削轨迹延申至P_j处，对引入连接点P₂分别在两段轮廓的偏置点S₁、S₂，采用解析几何中向量乘积的方法对这一判断条件进行量化，如公式(21)所示：

P₂S₁·P₂S₂＞＝0 (21)

当上述条件发生时，对于轮廓相接带有圆环型轮廓的情况，采用伸长处理方法；对于圆锥与圆锥轮廓相接的情况，P₂S₁与P₂S₂的数量积>＝0这一条件与α为钝角也完全等价；

(2)拐角处理

当两端轮廓之间形成的夹角过小，即在圆锥与圆锥相交的情况下体现为α是锐角，数值上表示为P₂S₁·P₂S₂<0时，在这种情况下，采用拐角处理方法，计算平移矢量S₁S₃，如公式(22)所示：

其中f(x,y)＝0为轮廓在端截面坐标系X_wO_wY_w的轨迹方程，由此根据S₁S₃所得的平移矩阵进行求解拐角点位S₃，如公式(23)所示：

最后使用相同的方法求解点位S₄；此时的相接区域轨迹为S₁→S₃→S₄→S₂；

综上，当P₂S₁·P₂S₂>＝0时，轮廓相接处采用伸长处理方法；否则，应采用拐角处理方法，实现轮廓相接区域的自适应调整。

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