CN114850977A - 采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法，具体为：在轴截面坐标系下将异形轴的非圆轮廓分为非圆直线型、非圆凸圆弧型、非圆凹圆弧型三类基本轮廓，计算常截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹和轮廓相接区域，再计算变截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹，转换到工件坐标系完成轨迹求解。本发明不仅可实现轴截面轮廓的灵活组合，还可实现轴截面引导线的参数化设计，保证了各非圆轮廓特征之间的光滑过渡，提高了磨削加工效率、表面质量和精度。

Description

采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法

技术领域

本发明属于非圆异形轴磨削加工技术领域，尤其涉及一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法。

背景技术

非圆轴是汽车、航空航天等行业中的重要零件，由于使用场合特殊，其加工精度对于整体装备性能具有决定性影响[1]。从技术角度可将非圆轮廓零件加工分为三个阶段[2]，第一阶段是基于专用机床的机械运动合成加工法，适合大批次的生产但加工方法柔性较差。第二阶段是靠仿形加工法，依赖样板或靠模控制刀具运动轨迹进行加工，工序简单但精度不高且柔性差的问题并未得到改善[3]。第三阶段即现在基于磨床或车床的数控加工法，从加工范围、加工精度、柔性、效率、稳定性、自动化程度等多个维度均优于前两个阶段[4]。

西方国家对非圆轴的数控加工技术研究较早，日本的Izumi在上世纪90年代研制了非圆活塞加工的加工误差在2μm以内[5]的高频响跟踪型电磁式微进给机构，美国的Giddings公司研发出加工精度控制在3.8μm以内[6]的PTM-3000型活塞车削机床。对于非圆轴的磨削加工，凸轮轴、椭圆活塞等典型的回转类非圆轮廓轴类零件常应用于汽车、船舶发动机等重要场合，其加工精度对发动机的性能影响巨大，而磨削加工是这类非圆轮廓零件的主要加工方式[7]，目前凸轮轴普遍采用X-C两轴联动磨削加工以保证加工精度。陈秀梅等[8]考虑了多因素耦合下的回转类非圆轮廓稳定性模型，较好的预测了回转类非圆轮廓零件高速磨削的稳定性。李静等[9]研究了非圆轮廓表面接触式随动测量方法，解决了凸轮轮廓表面各点径向尺寸转换、测量机系统误差补偿或抑制等问题。朱淼[10]等利用逐点比较法对直线和圆弧非圆轮廓进行插补，利用时间分割法对椭圆弧非圆轮廓进行插补。徐新阳[11]等在CAPC环境下开发了一套非圆轮廓数控磨削系统，提出了两种实现恒速磨削的方法。李启光[12]等针对非圆轮廓磨削提出了类似曲柄滑块形式的数学模型，并进行了验证。解文龙[13]等根据联动磨削的加工原理，由非圆轮廓曲线方程建立了X-C联动加工的数学模型。此外，除了轴类零件，在一些非轴类零件的磨削加工领域也有部分关于非圆磨削的学术研究[14]。陈甜甜[15]针对多种类型的可转位刀片采用外圆磨削法进行磨削轨迹计算。综上，国内多数研究只对常截面非圆轴的磨削加工进行探索，而实际生产中可能对变截面异形轴可变、可控的轴截面引导线提出需求。参考文献：

[1]吴丹,谢晓丹,王先逵.快速刀具伺服机构研究进展[J].中国机械工程,2008(11):1379-1385.

[2]王佳伟.中凸变椭圆活塞高精密微量进给伺服刀架系统研究[D].山东大学,2018.

[3]刘明晖,廖君慧,阳超华.活塞异形曲面造型技术研究[J].内燃机与配件,2014(05):21-25.

[4]谌侨.开放式中凸变椭圆活塞车削加工研究[D].江苏科技大学,2015.

[5]田中实,李文.活塞外形加工用高速CNC车床[J].国外机车车辆工艺,1991(06):31-38.

[6]吴献钢.一种新型的非圆轴数控加工系统的研究与开发[D].电子科技大学,2002.

[7]Li Jing,Gao Huayu,Shen Nanyan,et al.Tracing measurement method fornon-circular contour ofcomplex shafts[J].Journal ofMechanical Engineering,2018,54(5):38-46.

[8]陈秀梅,韩秋实,彭宝营.回转类非圆零件轮廓误差控制技术现状[J].机械制造与自动化,2017,46(01):9-11.

[9]李静,高华钰,沈南燕等.复杂轴类零件非圆轮廓接触式随动测量方法[J].机械工程学报,2018,54(05):38-46.

[10]朱淼.非圆表面工件的数控磨削系统的设计与实现[D].杭州电子科技大学,2019.

[11]徐新阳,李建刚,成群林.基于CPAC的非圆磨削数控系统的开发[J].哈尔滨工业大学学报,2014,46(11):123-128.

[12]李启光,李伟华,彭宝营等.非圆磨削轮廓误差法向修正方法研究[J].科技创新导报,2017,14(32):92-95.

[13]解文龙,陈秀梅,李启光等.回转类非圆零件的X-C联动磨削数学模型研究[J].机械制造及自动化,2016,45(02):109-111.

[14]易为,许鹏飞,王东海等.双面八角形可转位铣刀片设计的有限元仿真与试验研究[J].硬质合金,2017,34(05):332-339.

发明内容

针对上述问题，本发明提供了一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法。

本发明的一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型。

工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直。

步骤2：建立异形轴轴截面模型。

基于工件坐标系以Y_wO_wZ_w平面视图建立异形轴轴截面坐标系；在轴截面坐标系下将异形轴的非圆轮廓分为非圆直线型、非圆凸圆弧型、非圆凹圆弧型三类基本轮廓元素，定义非圆轮廓与Y_w的交点与原点O_w的连线为比例特征线。

步骤3：建立异形轴轴截面引导线模型。

基于工件坐标系以X_wO_wY_w建立异形轴轴截面引导线坐标系，其中轴截面引导线以轴截面的比例特征线为起点。

步骤4：定义砂轮磨削姿态。

采用段差磨削工艺加工非圆异形轴，应用到段差磨床上针对异形轴非圆轮廓的外圆磨削加工主要依靠Y-A-X三轴联动磨削；砂轮以机床的Y轴方向作径向进给的同时向机床X轴方向作轴向进给，异形轴工件绕A轴旋转与砂轮径向进给运动、轴向进给运动产生联动；为避免砂轮与异形轴工件发生干涉，工件围绕C轴旋转从而使砂轮与异形轴工件之间产生抬角λ，其中C轴是段差磨床的附加轴。

步骤5：常截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算。

(1)非圆直线型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆直线型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

式中，F_tA为非圆直线轮廓的偏置矢量，在工件坐标系下表达为：

式中R为砂轮端圆半径。

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，砂轮的单位切矢量F′_cA在工件坐标系下表达为：

λ非90°时非圆直线轮廓对应的磨削偏置矢量F′_tA在工件坐标系下表达为：

(2)非圆凸圆弧型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凸圆弧型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，砂轮的单位切矢量F_ciB在工件坐标系下表达为：

借助旋转矩阵通式Rot(F_ciB,90-λ)求解旋转后得到的F′_tiB，表达为：

F_tiB'＝Rot(F_ciB,90-λ)·F_tiB (7)

(3)非圆凹圆弧型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凹圆弧型轮廓特征对应的砂轮单位切矢量F_tiC表达为：

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况的砂轮单位切矢量F′_tiC，表达为：

F′_tiC＝Rot(F_ciC,90-λ)·F_tiC (9)

最后利用径向矢量F'_tiC进行平移求解带抬角的砂轮端圆中心点坐标O_g，表达为：

(4)轮廓相接区域

以凸圆弧与凹圆弧相接处的磨削轨迹处理为例求解P₂′P₂″段圆弧上res与i的一一映射关系；利用几何解析法在三角形OP₂P′_2i中使用两次正弦定理，可解得res如公式(11)所示。

其中的中间变量μ和ρ分别如公式(12)所表达：

根据res与i的映射关系易得O_g点位坐标与径向矢量F_t2i，如公式(13)、公式(14)所示。

进而求解砂轮抬角非90°的情况，由F_t2i利用旋转矩阵求解切向矢量F_c2i，单位化后得到F_c2i，如公式(15)所示：

然后以F_c2i为旋转轴求解F′_t2i，将F_c2i和90-λ代入三维旋转矩阵通式Rot(N,λ)即可得到，如公式(16)所示：

F′_t2i＝Rot(F_c2i,90-λ)·F_t2i (16)

最后利用三维空间平移矩阵求解带有抬角的砂轮大端圆心P_2im；

步骤6：变截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算。

(1)定义参考坐标系

将异形轴轴截面引导线的方程在X_wO_wZ_w坐标系下表达；基于段差磨削对变截面非圆异形轴进行磨削加工，需要砂轮在径向进给的同时轴向进给，定义轴向进给的步长为d_x，每次进给d_x时，以X′_w与X_w同轴，以磨削点所在的截面与X′_w的交点作为参考坐标系原点O′_w，以新的比例特征线O′_wA′建立Y′_w轴，Z′_w与Z_w平行建立参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w来描述变截面非圆异形轴的磨削轨迹，进而将磨削点位平移至工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w下进行统一表达。

(2)参考坐标系下非圆轮廓点位放缩计算

根据计算机图形学点位缩放理论，当非圆轮廓经引导线由轴截面坐标系Y_wO_wZ_w变换到参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w下时，由轴截面坐标系下的非圆轮廓以一定比例γ进行缩放，即非圆轮廓上任意点P′_i，包括凹、凸圆弧轮廓的圆心点P′_Boi和P′_Coi的点位坐标都将随之缩放，如公式(18)所示：

P_Pi′＝γ·P_Pi′ (18)

其中γ可由轴截面参考坐标系的O′_wA′和轴截面坐标系的O_wA比例特征线的比值进行计算，而比例特征线在引导线上更易表达；设端截面坐标系X_wO_wZ_w下的二维引导线为f(x)，则γ如公式(19)所示；

(3)将砂轮端圆中心转换至工件坐标系

参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w下新的非圆轮廓点位已成功计算，进而由步骤5的磨削轨迹算法即可解得O′_w-X′_wY′_wZ′_w下砂轮中心点坐标以及砂轮轴矢量；由于轴截面参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w与轴截面坐标系Y_wO_wZ_w平行，砂轮轴矢量在两坐标系下描述并无区别，因此以公式(20)将参考坐标系下的砂轮端圆中心O′_g转换到工件坐标系下表示即可。

本发明的有益技术效果为：

本发明利用外圆磨削位姿可磨削凹圆弧面特征、磨削接触面积小、加工精度较高的优点，应用几何解析法完成了非圆轮廓的连续磨削轨迹计算，并且基于近似逼近法对带有砂轮抬角和轴截面引导线的变截面异形轴算法进行了研究。通过磨削仿真和实际加工，验证了该算法的正确性和有效性。

附图说明

图1为异形轴建模示意图。

图2为段差磨削砂轮磨削姿态示意图。

图3为非圆直线型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图4为非圆直线型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图5为非圆凸圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图6为非圆凸圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图7为非圆凹圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图8为非圆凹圆弧型轮廓磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图9为非圆轮廓相接区域磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角90°)。

图10为非圆轮廓相接区域磨削轨迹计算示意图(砂轮抬角非90°)。

图11为参考坐标系点位放缩示意图。

图12为变截面异形轴磨削轨迹计算示意图。

图13为在VERICUT8.0中进行磨削仿真的结果。

图14为在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工的效果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

本发明的一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型。

如图1所示，工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直。

步骤2：建立异形轴轴截面模型。

基于工件坐标系以Y_wO_wZ_w平面视图建立异形轴轴截面坐标系；在轴截面坐标系下将异形轴的非圆轮廓分为非圆直线型、非圆凸圆弧型、非圆凹圆弧型三类基本轮廓元素，定义非圆轮廓与Y_w的交点与原点O_w的连线为比例特征线。

步骤3：建立异形轴轴截面引导线模型。

基于工件坐标系以X_wO_wY_w建立异形轴轴截面引导线坐标系，其中轴截面引导线以轴截面的比例特征线为起点。

步骤4：定义砂轮磨削姿态。

采用段差磨削工艺加工非圆异形轴，应用到段差磨床上针对异形轴非圆轮廓的外圆磨削加工主要依靠Y-A-X三轴联动磨削；砂轮以机床的Y轴方向作径向进给的同时向机床X轴方向作轴向进给，异形轴工件绕A轴旋转与砂轮径向进给运动、轴向进给运动产生联动；为避免砂轮与异形轴工件发生干涉，工件围绕C轴旋转从而使砂轮与异形轴工件之间产生抬角λ，其中C轴是段差磨床的附加轴，如图2所示。

步骤5：常截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算。

(1)非圆直线型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，如图3所示，基于几何解析法解得异形轴非圆直线型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

式中，F_tA为非圆直线轮廓的偏置矢量，在工件坐标系下表达为：

式中R为砂轮端圆半径。

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，如图4所示，砂轮的单位切矢量F′_cA在工件坐标系下表达为：

λ非90°时非圆直线轮廓对应的磨削偏置矢量F′_tA在工件坐标系下表达为：

(2)非圆凸圆弧型轮廓

如图5所示，根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凸圆弧型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，如图6所示，砂轮的单位切矢量F_ciB在工件坐标系下表达为：

借助旋转矩阵通式Rot(F_ciB,90-λ)求解旋转后得到的F′_tiB，表达为：

F_tiB'＝Rot(F_ciB,90-λ)·F_tiB (7)

(3)非圆凹圆弧型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，如图7所示，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凹圆弧型轮廓特征对应的砂轮单位切矢量F_tiC表达为：

如图8所示，进而考虑砂轮抬角非90°时的情况的砂轮单位切矢量F′_tiC，表达为：

F′_tiC＝Rot(F_ciC,90-λ)·F_tiC (9)

最后利用径向矢量F'_tiC进行平移求解带抬角的砂轮端圆中心点坐标O_g，表达为：

(4)轮廓相接区域

如图9所示，以凸圆弧与凹圆弧相接处的磨削轨迹处理为例求解P′₂P″₂段圆弧上res与i的一一映射关系；利用几何解析法在三角形OP₂P′_2i中使用两次正弦定理，可解得res如公式(11)所示。

其中的中间变量μ和ρ分别如公式(12)所表达：

根据res与i的映射关系易得O_g点位坐标与径向矢量F_t2i，如公式(13)、公式(14)所示。

进而求解砂轮抬角非90°的情况，如图10所示，由F_t2i利用旋转矩阵求解切向矢量F_c2i，单位化后得到F_c2i，如公式(15)所示：

然后以F_c2i为旋转轴求解F′_t2i，将F_c2i和90-λ代入三维旋转矩阵通式Rot(N,λ)即可得到，如公式(16)所示：

F′_t2i＝Rot(F_c2i,90-λ)·F_t2i (16)

最后利用三维空间平移矩阵求解带有抬角的砂轮大端圆心P_2im；

步骤6：变截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算。

(1)定义参考坐标系

将异形轴轴截面引导线的方程在X_wO_wZ_w坐标系下表达；基于段差磨削对变截面非圆异形轴进行磨削加工，需要砂轮在径向进给的同时轴向进给，定义轴向进给的步长为d_x，每次进给d_x时，以X′_w与X_w同轴，以磨削点所在的截面与X′_w的交点作为参考坐标系原点O′_w，以新的比例特征线O′_wA′建立Y′_w轴，Z′_w与Z_w平行建立参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w来描述变截面非圆异形轴的磨削轨迹，进而将磨削点位平移至工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w下进行统一表达，如图11所示。

(2)参考坐标系下非圆轮廓点位放缩计算

根据计算机图形学点位缩放理论，当非圆轮廓经引导线由轴截面坐标系Y_wO_wZ_w变换到参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w下时，由轴截面坐标系下的非圆轮廓以一定比例γ进行缩放，即非圆轮廓上任意点P′_i，包括凹、凸圆弧轮廓的圆心点P′_Boi和P′_Coi的点位坐标都将随之缩放，如公式(18)所示：

P_Pi′＝γ·P_Pi′ (18)

其中γ可由轴截面参考坐标系的O′_wA′和轴截面坐标系的O_wA比例特征线的比值进行计算，而比例特征线在引导线上更易表达；设端截面坐标系X_wO_wZ_w下的二维引导线为f(x)，则γ如公式(19)所示；

(3)将砂轮端圆中心转换至工件坐标系

参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w下新的非圆轮廓点位已成功计算，进而由步骤5的磨削轨迹算法即可解得O′_w-X′_wY′_wZ′_w下砂轮中心点坐标以及砂轮轴矢量；由于轴截面参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w与轴截面坐标系Y_wO_wZ_w平行，砂轮轴矢量在两坐标系下描述并无区别，因此以公式(20)将参考坐标系下的砂轮端圆中心O′_g转换到工件坐标系下表示即可，如图12所示。

算法验证：

为为了验算所提出的非圆异形轴砂轮磨削轨迹算法，本发明进行了仿真加工验证与实际加工验证。其中非圆异形轴磨削轨迹计算和机床NC程序的获取，是在VC++环境开发一套算法模块实现的。输入异形轴轴截面的各点位与轴截面引导线的几何参数，根据提出的砂轮磨削轨迹算法，输出其刀位轨迹文件；再以刀位轨迹文件为输入，根据坐标变换进行后置处理，输出数控机床的NC程序。

三维仿真则使用VERICUT8.0来实现，选择变截面非圆异形轴测试实例进行磨削轨迹仿真，其仿真数据如表1，运算结果如表2。

表1变截面非圆异形轴测试实例

表2部分磨削轨迹运算结果

在VERICUT8.0中进行磨削仿真的结果如图13所示。

在精利MD3015五轴联动数控工具磨床上进行实际加工，并利用刀具检测仪PG-1000进行几何结构参数测量，结果如图14所示。

Claims (1)

1.一种采用段差磨削工艺加工非圆异形轴的磨削轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立工件坐标系模型；

工件坐标系-O_wX_wY_wZ_w以异形轴的回转中心为X_w轴，以异形轴装夹侧端平面与Z_w轴的交点为原点O_w，O_w与坐标轴Y_w和坐标轴Z_w组成的X_wO_wY_w平面和坐标轴X_w垂直；

步骤2：建立异形轴轴截面模型；

基于工件坐标系以Y_wO_wZ_w平面视图建立异形轴轴截面坐标系；在轴截面坐标系下将异形轴的非圆轮廓分为非圆直线型、非圆凸圆弧型、非圆凹圆弧型三类基本轮廓元素，定义非圆轮廓与Y_w的交点与原点O_w的连线为比例特征线；

步骤3：建立异形轴轴截面引导线模型；

基于工件坐标系以X_wO_wY_w建立异形轴轴截面引导线坐标系，其中轴截面引导线以轴截面的比例特征线为起点；

步骤4：定义砂轮磨削姿态；

采用段差磨削工艺加工非圆异形轴，应用到段差磨床上针对异形轴非圆轮廓的外圆磨削加工主要依靠Y-A-X三轴联动磨削；砂轮以机床的Y轴方向作径向进给的同时向机床X轴方向作轴向进给，异形轴工件绕A轴旋转与砂轮径向进给运动、轴向进给运动产生联动；为避免砂轮与异形轴工件发生干涉，工件围绕C轴旋转从而使砂轮与异形轴工件之间产生抬角λ，其中C轴是段差磨床的附加轴；

步骤5：常截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算；

(1)非圆直线型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆直线型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

式中，F_tA为非圆直线轮廓的偏置矢量，在工件坐标系下表达为：

式中R为砂轮端圆半径；

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，砂轮的单位切矢量F′_cA在工件坐标系下表达为：

λ非90°时非圆直线轮廓对应的磨削偏置矢量F′_tA在工件坐标系下表达为：

(2)非圆凸圆弧型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凸圆弧型轮廓特征对应的砂轮端圆圆心点O_g在工件坐标系下的坐标为：

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况，砂轮的单位切矢量F_ciB在工件坐标系下表达为：

借助旋转矩阵通式Rot(F_ciB,90-λ)求解旋转后得到的F′_tiB，表达为：

F_tiB'＝Rot(F_ciB,90-λ)·F_tiB (7)

(3)非圆凹圆弧型轮廓

根据砂轮磨削姿态定义，首先考虑砂轮抬角λ为90°时的情况，基于几何解析法解得异形轴非圆凹圆弧型轮廓特征对应的砂轮单位切矢量F_tiC表达为：

进而考虑砂轮抬角非90°时的情况的砂轮单位切矢量F′_tiC，表达为：

F′_tiC＝Rot(F_ciC,90-λ)·F_tiC (9)

最后利用径向矢量F'_tiC进行平移求解带抬角的砂轮端圆中心点坐标O_g，表达为：

(4)轮廓相接区域

以凸圆弧与凹圆弧相接处的磨削轨迹处理为例求解P′₂P″₂段圆弧上res与i的一一映射关系；利用几何解析法在三角形OP₂P′_2i中使用两次正弦定理，可解得res如公式(11)所示：

其中的中间变量μ和ρ分别如公式(12)所表达：

根据res与i的映射关系易得O_g点位坐标与径向矢量F_t2i，如公式(13)、公式(14)所示；

进而求解砂轮抬角非90°的情况，由F_t2i利用旋转矩阵求解切向矢量F_c2i，单位化后得到F_c2i，如公式(15)所示：

然后以F_c2i为旋转轴求解F′_t2i，将F_c2i和90-λ代入三维旋转矩阵通式Rot(N,λ)即可得到，如公式(16)所示：

F′_t2i＝Rot(F_c2i,90-λ)·F_t2i (16)

最后利用三维空间平移矩阵求解带有抬角的砂轮大端圆心P_2im；

步骤6：变截面非圆异形轴砂轮段差磨削轨迹计算；

(1)定义参考坐标系

将异形轴轴截面引导线的方程在X_wO_wZ_w坐标系下表达；基于段差磨削对变截面非圆异形轴进行磨削加工，需要砂轮在径向进给的同时轴向进给，定义轴向进给的步长为d_x，每次进给d_x时，以X′_w与X_w同轴，以磨削点所在的截面与X′_w的交点作为参考坐标系原点O′_w，以新的比例特征线O′_wA′建立Y′_w轴，Z_w'与Z_w平行建立参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w来描述变截面非圆异形轴的磨削轨迹，进而将磨削点位平移至工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w下进行统一表达；

(2)参考坐标系下非圆轮廓点位放缩计算

根据计算机图形学点位缩放理论，当非圆轮廓经引导线由轴截面坐标系Y_wO_wZ_w变换到参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w下时，由轴截面坐标系下的非圆轮廓以一定比例γ进行缩放，即非圆轮廓上任意点P′_i，包括凹、凸圆弧轮廓的圆心点P′_Boi和P′_Coi的点位坐标都将随之缩放，如公式(18)所示：

其中γ可由轴截面参考坐标系的O′_wA′和轴截面坐标系的O_wA比例特征线的比值进行计算，而比例特征线在引导线上更易表达；设端截面坐标系X_wO_wZ_w下的二维引导线为f(x)，则γ如公式(19)所示；

(3)将砂轮端圆中心转换至工件坐标系

参考坐标系O′_w-X′_wY′_wZ′_w下新的非圆轮廓点位已成功计算，进而由步骤5的磨削轨迹算法即可解得O′_w-X′_wY′_wZ′_w下砂轮中心点坐标以及砂轮轴矢量；由于轴截面参考坐标系Y′_wO′_wZ′_w与轴截面坐标系Y_wO_wZ_w平行，砂轮轴矢量在两坐标系下描述并无区别，因此以公式(20)将参考坐标系下的砂轮端圆中心O′_g转换到工件坐标系下表示即可；

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