CN114812390B - 一种自适应光栅尺误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种自适应光栅尺误差补偿方法，该方法首先对测量误差进行模态分解得到若干个带宽有限的IMF分量，减少了冗余误差的影响，得到更加合理的分解结果，利于后续的本征信号重构；然后，为了选取符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号，根据本征信号低复杂度、高幅度的数据特征过滤掉了IMF分量中的随机信号分量；由于一些残余噪声可能会泄露到这些候选IMF分量中，影响补偿性能，定义了一个贡献系数从候选IMF中进一步地选出符合条件的IMF分量，并将其用于重构测量误差的本征信号，通过本发明所提出的粗筛到精选的自适应本征分量选取方案，时间成本大大降低，本征信号趋于最优，最后，通过消除测量误差中的本征信号来实现误差补偿。

Description

一种自适应光栅尺误差补偿方法

技术领域

本发明涉及光栅尺技术领域，更具体地，涉及一种自适应光栅尺误差补偿方法。

背景技术

随着现代化工业的发展，微纳领域超精密制造与加工越来越受到国际学术界和工业界的高度重视，中国颁布的《中国制造2025》将其列为国家大力推动的重点领域突破发展研究计划对象，是我国实现由制造大国向制造强国转变的重要前提之一。现代微纳精密制造装备是多物理过程全局耦合的统一体，通常是集机械、电子、液压、控制等多个学科领域功能单元于一体的复杂系统。

光栅尺作为一种高精度位置传感器，具有成本低、灵活性高等优点，是微纳超精密加工装备的核心测量器件，广泛应用于高端数控机床、机器人、跟踪系统、三坐标测量机等高精度设备中。光栅尺的精度限制着高精度设备的性能。但在实际测量过程中，光栅尺不可避免地受到自身(刻制工艺、尺身污染、光电系统、读数头工装容差)、温度、振动等因素的干扰，影响了码道信息的采集质量，进而影响码道定位和译码的精确性，严重制约了光栅尺测量精度提高。

为了提高光栅尺的测量精度，最直接的方法是增加光栅刻线的密度，这在很大程度上受到物理因素的限制。另一方面，近年来，研究者提出了许多光栅细分策略，这些策略是在一个光栅间距的长度内产生一个小的中间位置。当然，优化机械结构以及选用更合理的材料也可降低光栅尺的误差。然而，高精度光栅尺的实现仍然是一个巨大的挑战。近年来，误差补偿作为提高光栅尺测量精度的一种经济有效的方法，受到了越来越多研究者的关注。许多研究集中在补偿由几何误差、振动误差和温度等单一干扰因素引入的测量误差。

而在实际应用中，光栅尺受到多种干扰因素的影响，导致测量误差是由不同干扰因素引入的多种误差成分引起的，所以单干扰因素误差补偿方法无法取得好的补偿效果。并且由于受到多干扰因素的影响，测量误差表征为非线性非平稳的，且存在模态混叠的现象。目前性能最好的基于经验模态分解的综合误差补偿方法，虽然解决了测量误差数据中的模态混叠现象，取得了较好的补偿效果，但是由于额外的算法开销，导致时间成本大大增加。

现有技术中公开了一种基于经验模式分解的光栅尺误差补偿方法的专利。该专利方法首先采用EMD将误差信号分解成多个IMF分量和一个残余分量，然后分别对每个IMF分量进行希尔伯特变换，并计算获得每个IMF分量的希尔伯特谱和希尔伯特边缘谱，根据预设筛选条件对所有IMF分量进行分析后，筛选出符合条件的IMF分量，然后将残余分量和所有符合条件的IMF分量累加后作为误差信号的趋势误差分量，最后将该趋势误差分量作为误差补偿信号对光栅尺系统进行补偿。然而，该专利由于各种误差因素的综合影响，导致测量误差数据会导致部分区域出现数据异常，影响测量误差的固有成分，可能会使IMF分量出现模态混叠现象，影响趋势分量的提取。

发明内容

本发明提供一种自适应光栅尺误差补偿方法，该方法可实现通过消除测量误差中的本征信号来实现误差补偿。

为了达到上述技术效果，本发明的技术方案如下：

一种自适应光栅尺误差补偿方法，包括以下步骤：

S1：对测量误差数据进行模态分解，得到了带宽有限的IMF分量；

S2：构建自适应IMF分量选取方法来选取适合的IMF分量；

S3：将步骤S2中选取的IMF分量重构为测量误差的本征信号；

S4：将步骤S3得到的本征信号作为误差补偿信号对光栅尺系统进行补偿。

进一步地，所述步骤S1的具体过程是：

设测量误差信号为X(t)，使用以下式子将其分解为若干个IMF：

构建一个约束问题：

式(2)中ω_k为第k个IMF的中心频率，δ(·)为狄拉克函数，通过引入二次惩罚项α以及拉格朗日乘子λ(t)，式(2)中的约束问题转化为一个非约束问题：

二次惩罚项α可以保证光栅尺测量误差在耦合的多干扰因素影响下的精确重构，拉格朗日乘子λ(t)是为了严格执行约束，利用交替方向乘子法ADMM解决式(3)中的问题后，得到测量误差的所有IMF分量。

进一步地，所述步骤S2中，构建自适应IMF分量选取方法的过程是：

为了表征被测量误差分解的每个IMF的随机性和复杂性，对每个IMF分量进行相空间重构为：

式(4)中为m嵌入维度，τ为延时，N＝L-(m-1)τ，L为该测量误差的总数据点数，m和τ分别采用虚假最近邻算法和平均互信息进行获取；对于给定的嵌入维数m，将有m！种可能的排列，将式(4)中的重构矩阵的第n行中的元素视为一个符号序列，其对应的概率分布为p_n；然后，计算各IMF的熵：

当所有符号序列具有相同的概率分布p_n＝1/m！，H_k的最大值为ln(m！)，式(5)归一化为：

H_k(m)越大，对应的IMF的随机性和复杂性越高，反之亦然；因此，从测量误差中筛出分解后的IMF分量，即其本征信号的候选成分；如果H_k(m)<T_com，则选择相应的IMF作为候选分量，其中T_com是一个预定义的阈值。

进一步地，步骤S2中，由于一些残余噪声会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，尽管可以利用这些残余噪声来重构本征信号，但是残余噪声的存在会影响补偿性能，需要进一步进行筛选，以获得符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号：

定义一个贡献系数：

设A_j是通过候选IMF分量构建的Hankel矩阵：

利用SVD对Hankel矩阵进行分解：

A_j＝USV^T (8)

式(8)中U和V都为正交矩阵，S为包含A_j奇异值的对角矩阵；这些奇异值(σ₁,σ₂,…,σ_q,q＝L/2)都是非零的，并且按降序排列。

由于测量误差受到耦合的多干扰因素的污染，会有一些噪声泄漏到候选的IMF分量中，使得构造的Hankel矩阵是一个奇异值不为零的满秩矩阵，并且在奇异值序列中存在突变点，利用突变点可以从被污染的IMF分量中提取有效信息，即Hankel矩阵A_j的突变点为矩阵的最优奇异有效秩；

奇异值的差分谱B＝(b₁,b₂,…,b_q-1)用于确定对应的Hankel矩阵的有效奇异秩：

b_i＝σ_i-σ_i+1,i＝1,2,…,q-1 (9)

但仅以差分谱中最大的峰值作为最优奇异有效秩，会丢失一些信息，因为在最大峰值之后会有一些较大峰值的出现，为了充分评价差分谱B，提出在奇异值序列中寻找有效信息与噪声的近似边界σ_min,i，以确定最优奇异有效秩，表达式为：

σ_min,i＝min(σ_i>mean({σ})),i＝1,2,…,q (10)

式(10)中{σ}表示奇异值序列，mean({σ})为对应的平均值，假设B中的所有的峰值序列为{b_pv}，B的大于差谱序列平均值mean(B)的峰序列{b′_pv}表示为：

{b′_pv}＝{b_pv}>mean(B) (11)

将式(10)和(11)相结合，可定义每个候选IMF分量的最优奇异有效秩r_opt为：

r_opt＝argmin(|σ_min,i-b′_pv,r|) (12)

其中b′_pv,r是{b′_pv}中的第r个元素，然后，定义一个贡献系数I来评价每个候选的IMF分量的有效信息，用于进一步选择符合条件的IMF分量，公式为：

其中c_opt为r_opt对应的奇异值的比例，表示为：

c_max是预定义的可接受信息丢失量对应的奇异值的最大比例，将c_max经验设置为0.9，r_max是有效奇异秩对应c_max，h_com为候选IMF的归一化的复杂度度量值，由(6)计算得到；一般情况下，贡献系数I越大，IMF包含的有效信息越多，噪声越小，根据经验，将贡献系数I的阈值设置为0.9，对符合条件的IMF分量进行精细选择。

进一步地，所述步骤S3的过程是：

利用步骤S2选出合适的IMF分量后，则重构光栅尺的本征信号Γ(t)：

Γ(t)＝∑u′_j(t) (15)。

进一步地，所述步骤S4的过程是：

对光栅尺进行误差补偿：

x(t)＝X(t)-Γ(t) (16)

其中x(t)为光栅尺的误差补偿结果。

与现有技术相比，本发明技术方案的有益效果是：

本发明提出了一种自适应光栅尺测量误差补偿方法，能够自适应选取符合条件的IMF分量，快速重构测量误差的本征信号，完成光栅尺测量误差补偿；采用不用于EMD的方法得到IMF分量，分解得到的IMF分量为有限带宽的，减少了模态混叠以及冗余误差的影响；为了从测量误差中粗略选取候选的IMF分量，即其固有信号的候选成分，分析了本征信号的数据特征，得到了每个IMF分量的复杂度度量；考虑到本征信号的仅为后几个IMF分量重构而不是所有IMF分量，这可以减少补偿时间；一些残余噪声可能会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，从而影响补偿性能。在这里，定义一个贡献系数来精细选择符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号，贡献系数结合了IMF分量的最优奇异有效秩以及复杂度度量；该方法重构了最优的测量误差本征信号，提高误差补偿性能。

附图说明

图1为本发明方法流程图；

图2为本发明方法整体工作框图；

图3本发明系统的结构图。

具体实施方式

附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；

为了更好说明本实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；

对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的说明。

实施例1

如图1所示，一种自适应光栅尺误差补偿方法，包括以下步骤：

S1：对测量误差数据进行模态分解，得到了带宽有限的IMF分量；

S2：构建自适应IMF分量选取方法来选取适合的IMF分量；

S3：将步骤S2中选取的IMF分量重构为测量误差的本征信号；

S4：将步骤S3得到的本征信号作为误差补偿信号对光栅尺系统进行补偿。

步骤S1的具体过程是：

设测量误差信号为X(t)，使用以下式子将其分解为若干个IMF：

构建一个约束问题：

式(2)中ω_k为第k个IMF的中心频率，δ(·)为狄拉克函数，通过引入二次惩罚项α以及拉格朗日乘子λ(t)，式(2)中的约束问题转化为一个非约束问题：

二次惩罚项α可以保证光栅尺测量误差在耦合的多干扰因素影响下的精确重构，拉格朗日乘子λ(t)是为了严格执行约束，利用交替方向乘子法ADMM解决式(3)中的问题后，得到测量误差的所有IMF分量。

步骤S2中，构建自适应IMF分量选取方法的过程是：

为了表征被测量误差分解的每个IMF的随机性和复杂性，对每个IMF分量进行相空间重构为：

式(4)中为m嵌入维度，τ为延时，N＝L-(m-1)τ，L为该测量误差的总数据点数，m和τ分别采用虚假最近邻算法和平均互信息进行获取；对于给定的嵌入维数m，将有m！种可能的排列，将式(4)中的重构矩阵的第n行中的元素视为一个符号序列，其对应的概率分布为p_n；然后，计算各IMF的熵：

当所有符号序列具有相同的概率分布p_n＝1/m！，H_k的最大值为ln(m！)，式(5)归一化为：

H_k(m)越大，对应的IMF的随机性和复杂性越高，反之亦然；因此，从测量误差中筛出分解后的IMF分量，即其本征信号的候选成分；如果H_k(m)<T_com，则选择相应的IMF作为候选分量，其中T_com是一个预定义的阈值。

步骤S2中，由于一些残余噪声会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，尽管可以利用这些残余噪声来重构本征信号，但是残余噪声的存在会影响补偿性能，需要进一步进行筛选，以获得符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号：

定义一个贡献系数：

设A_j是通过候选IMF分量构建的Hankel矩阵：

利用SVD对Hankel矩阵进行分解：

A_j＝USV^T (8)

式(8)中U和V都为正交矩阵，S为包含A_j奇异值的对角矩阵；这些奇异值(σ₁,σ₂,…,σ_q,q＝L/2)都是非零的，并且按降序排列。

由于测量误差受到耦合的多干扰因素的污染，会有一些噪声泄漏到候选的IMF分量中，使得构造的Hankel矩阵是一个奇异值不为零的满秩矩阵，并且在奇异值序列中存在突变点，利用突变点可以从被污染的IMF分量中提取有效信息，即Hankel矩阵A_j的突变点为矩阵的最优奇异有效秩；

奇异值的差分谱B＝(b₁,b₂,…,b_q-1)用于确定对应的Hankel矩阵的有效奇异秩：

b_i＝σ_i-σ_i+1,i＝1,2,…,q-1 (9)

但仅以差分谱中最大的峰值作为最优奇异有效秩，会丢失一些信息，因为在最大峰值之后会有一些较大峰值的出现，为了充分评价差分谱B，提出在奇异值序列中寻找有效信息与噪声的近似边界σ_min,i，以确定最优奇异有效秩，表达式为：

σ_min,i＝min(σ_i>mean({σ})),i＝1,2,…,q (10)

式(10)中{σ}表示奇异值序列，mean({σ})为对应的平均值，假设B中的所有的峰值序列为{b_pv}，B的大于差谱序列平均值mean(B)的峰序列{b′_pv}表示为：

{b′_pv}＝{b_pv}>mean(B) (11)

将式(10)和(11)相结合，可定义每个候选IMF分量的最优奇异有效秩r_opt为：

r_opt＝argmin(|σ_min,i-b′_pv,r|) (12)

其中b′_pv,r是{b′_pv}中的第r个元素，然后，定义一个贡献系数I来评价每个候选的IMF分量的有效信息，用于进一步选择符合条件的IMF分量，公式为：

其中c_opt为r_opt对应的奇异值的比例，表示为：

c_max是预定义的可接受信息丢失量对应的奇异值的最大比例，将c_max经验设置为0.9，r_max是有效奇异秩对应c_max，h_com为候选IMF的归一化的复杂度度量值，由(6)计算得到；一般情况下，贡献系数I越大，IMF包含的有效信息越多，噪声越小，根据经验，将贡献系数I的阈值设置为0.9，对符合条件的IMF分量进行精细选择。

步骤S3的过程是：

利用步骤S2选出合适的IMF分量后，则重构光栅尺的本征信号Γ(t)：

Γ(t)＝∑u′_j(t) (15)。

步骤S4的过程是：

对光栅尺进行误差补偿：

x(t)＝X(t)-Γ(t) (16)

其中x(t)为光栅尺的误差补偿结果。

实施例2

如图2所示，一种自适应光栅尺测量误差补偿算法，用于进一步提高光栅尺测量精度，具体步骤如下所示：

1、模态分解

假定测量误差信号为X(t)，使用以下式子将其分解为若干个IMF：

为了得到更加合理的IMF，构建一个约束问题：

式(2)中ω_k为第k个IMF的中心频率，δ(·)为狄拉克函数。通过引入二次惩罚项α以及拉格朗日乘子λ(t)，式(2)中的约束问题转化为一个非约束问题：

二次惩罚项α可以保证光栅尺测量误差在耦合的多干扰因素影响下的精确重构。拉格朗日乘子λ(t)是为了严格执行约束。利用交替方向乘子法(ADMM)解决式(3)中的问题后，可以得到测量误差的所有IMF分量。

2、自适应本征分量选取方案

光栅尺的测量误差是由耦合的多干扰因素造成的，耦合的多干扰因素可以分为系统误差因素和随机误差因素。这两种误差成分可以分别表征为一个本征信号和一个随机信号。从原始信号中提取的本征信号分量可以表征原始信号的本征信息，与随机信号分量相比，具有低复杂度、高幅的典型特征。这样，就可以预测本征信号，而随机信号具有不确定性因此难以获取。本专利提出了一种由粗筛到精选的合格IMF选取方案，自适应地选取合适的IMF分量来重构测量误差的本征信号。

2.1IMF粗筛方案

为了表征被测量误差分解的每个IMF的随机性和复杂性，对每个IMF分量进行相空间重构：

式(4)中为m嵌入维度，τ为延时，N＝L-(m-1)τ，L为该测量误差的总数据点数。m和τ分别采用虚假最近邻算法和平均互信息进行获取。对于给定的嵌入维数m，将有m！种可能的排列。将式(4)中的重构矩阵的第n行中的元素视为一个符号序列，其对应的概率分布为p_n。然后，计算各IMF的熵：

当所有符号序列具有相同的概率分布p_n＝1/m！，H_k的最大值为ln(m！)。因此，式(5)可以归一化为：

H_k(m)越大，对应的IMF的随机性和复杂性越高，反之亦然。因此，可以利用以上式子从测量误差中粗筛出分解后的IMF分量，即其本征信号的候选成分。如果H_k(m)<T_com，则选择相应的IMF作为候选分量，其中T_com是一个预定义的阈值。

2.2基于贡献系数的IMF精选方案

一些残余噪声可能会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，尽管可以利用这些残余噪声来重构本征信号，但是残余噪声的存在会影响补偿性能。因此，需要进一步进行筛选，以获得符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号，在这里定义了一个贡献系数，如下所述。

假设A_j是通过候选IMF分量构建的Hankel矩阵：

利用SVD对Hankel矩阵进行分解：

A_j＝USV^T (8)

式(8)中U和V都为正交矩阵。S为包含A_j奇异值的对角矩阵。这些奇异值(σ₁,σ₂,…,σ_q,q＝L/2)都是非零的，并且按降序排列。

由于测量误差受到耦合的多干扰因素的污染，可能会有一些噪声泄漏到候选的IMF分量中。结果表明，所构造的Hankel矩阵是一个奇异值不为零的满秩矩阵。但在奇异值序列中存在突变点，利用突变点可以从被污染的IMF分量中提取有效信息，即Hankel矩阵A_j的突变点为矩阵的最优奇异有效秩。

奇异值的差分谱可以用于确定对应的Hankel矩阵的有效奇异秩：

b_i＝σ_i-σ_i+1,i＝1,2,…,q-1 (9)

但仅以差分谱中最大的峰值作为最优奇异有效秩，可能会丢失一些信息，因为在最大峰值之后会有一些较大峰值的出现。为了充分评价差分谱B，本专利中提出在奇异值序列中寻找有效信息与噪声的近似边界σ_min,i，以确定最优奇异有效秩，表达式为：

σ_min,i＝min(σ_i>mean({σ})),i＝1,2,…,q (10)

式(10)中{σ}表示奇异值序列，mean({σ})为对应的平均值。假设B中的所有的峰值序列为{b_pv}，B的大于差谱序列平均值mean(B)的峰序列{b′_pv}表示为：

{b′_pv}＝{b_pv}>mean(B) (11)

将式(10)和(11)相结合，可定义每个候选IMF分量的最优奇异有效秩r_opt为：

r_opt＝arg min(|σ_min,i-b′_pv,r|) (12)

其中b′_pv,r是{b′_pv}中的第r个元素。然后，定义一个贡献系数I来评价每个候选的IMF分量的有效信息，用于精细选择符合条件的IMF分量，公式为：

其中c_opt为r_opt对应的奇异值的比例，表示为：

c_max是预定义的可接受信息丢失量对应的奇异值的最大比例，本发明将c_max经验设置为0.9。r_max是有效奇异秩对应c_max。h_com为候选IMF的归一化的复杂度度量值，由(6)计算得到。一般情况下，贡献系数I越大，IMF包含的有效信息越多，噪声越小。根据经验，将贡献系数I的阈值设置为0.9，对符合条件的IMF分量进行精细选择。

3、本征信号重构以及误差补偿

当采用上述自适应选取方案选出合格的IMF分量后，则重构光栅尺的本征信号Γ(t)：

Γ(t)＝∑u′_j(t) (15)

最后，对光栅尺进行误差补偿：

x(t)＝X(t)-Γ(t) (16)

其中x(t)为光栅尺的误差补偿结果。

实施例3

如图1-3所示，一种应用了实施例1或2的方法的自适应光栅尺误差补偿系统，包括：

模态分解模块，用于对测量误差数据进行模态分解，得到了带宽有限的IMF分量；

IMF分量选取模块，用于建自适应IMF分量选取方法来选取适合的IMF分量；

IMF分量重构模块，用于将选取好的IMF分量重构为测量误差的本征信号；

补偿模块，用于将得到的本征信号作为误差补偿信号对光栅尺系统进行补偿。

模态分解模块的工作过程是：

设测量误差信号为X(t)，使用以下式子将其分解为若干个IMF：

构建一个约束问题：

式(2)中ω_k为第k个IMF的中心频率，δ(·)为狄拉克函数，通过引入二次惩罚项α以及拉格朗日乘子λ(t)，式(2)中的约束问题转化为一个非约束问题：

二次惩罚项α可以保证光栅尺测量误差在耦合的多干扰因素影响下的精确重构，拉格朗日乘子λ(t)是为了严格执行约束，利用交替方向乘子法ADMM解决式(3)中的问题后，得到测量误差的所有IMF分量。

IMF分量选取模块的工作过程是：

为了表征被测量误差分解的每个IMF的随机性和复杂性，对每个IMF分量进行相空间重构：

式(4)中为m嵌入维度，τ为延时，N＝L-(m-1)τ，L为该测量误差的总数据点数，m和τ分别采用虚假最近邻算法和平均互信息进行获取；对于给定的嵌入维数m，将有m！种可能的排列，将式(4)中的重构矩阵的第n行中的元素视为一个符号序列，其对应的概率分布为p_n；然后，计算各IMF的熵：

当所有符号序列具有相同的概率分布p_n＝1/m！，H_k的最大值为ln(m！)，式(5)归一化为：

H_k(m)越大，对应的IMF的随机性和复杂性越高，反之亦然；因此，从测量误差中筛出分解后的IMF分量，即其本征信号的候选成分；如果H_k(m)<T_com，则选择相应的IMF作为候选分量，其中T_com是一个预定义的阈值。

由于一些残余噪声会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，尽管可以利用这些残余噪声来重构本征信号，但是残余噪声的存在会影响补偿性能，需要进一步进行筛选，以获得符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号：

定义一个贡献系数：

设A_j是通过候选IMF分量构建的Hankel矩阵：

利用SVD对Hankel矩阵进行分解：

A_j＝USV^T (8)

式(8)中U和V都为正交矩阵，S为包含A_j奇异值的对角矩阵；这些奇异值(σ₁,σ₂,…,σ_q,q＝L/2)都是非零的，并且按降序排列。

由于测量误差受到耦合的多干扰因素的污染，会有一些噪声泄漏到候选的IMF分量中，构造的Hankel矩阵是一个奇异值不为零的满秩矩阵，但在奇异值序列中存在突变点，利用突变点可以从被污染的IMF分量中提取有效信息，即Hankel矩阵A_j的突变点为矩阵的最优奇异有效秩；

奇异值的差分谱用于确定对应的Hankel矩阵的有效奇异秩：

b_i＝σ_i-σ_i+1,i＝1,2,…,q-1 (9)

但仅以差分谱中最大的峰值作为最优奇异有效秩，会丢失一些信息，因为在最大峰值之后会有一些较大峰值的出现，为了充分评价差分谱B，提出在奇异值序列中寻找有效信息与噪声的近似边界σ_min,i，以确定最优奇异有效秩，表达式为：

σ_min,i＝min(σ_i>mean({σ})),i＝1,2,…,q (10)

式(10)中{σ}表示奇异值序列，mean({σ})为对应的平均值，假设B中的所有的峰值序列为{b_pv}，B的大于差谱序列平均值mean(B)的峰序列{b′_pv}表示为：

{b′_pv}＝{b_pv}>mean(B) (11)

将式(10)和(11)相结合，可定义每个候选IMF分量的最优奇异有效秩r_opt为：

r_opt＝arg min(|σ_min,i-b′_pv,r|) (12)

其中b′_pv,r是{b′_pv}中的第r个元素，然后，定义一个贡献系数I来评价每个候选的IMF分量的有效信息，用于进一步选择符合条件的IMF分量，公式为：

其中c_opt为r_opt对应的奇异值的比例，表示为：

c_max是预定义的可接受信息丢失量对应的奇异值的最大比例，将c_max经验设置为0.9，r_max是有效奇异秩对应c_max，h_com为候选IMF的归一化的复杂度度量值，由(6)计算得到；一般情况下，贡献系数I越大，IMF包含的有效信息越多，噪声越小，根据经验，将贡献系数I的阈值设置为0.9，对符合条件的IMF分量进行精细选择。

IMF分量重构模块的工作过程是：

利用步骤S2选出合适的IMF分量后，则重构光栅尺的本征信号Γ(t)：

Γ(t)＝∑u′_j(t) (15)。

补偿模块的工作过程是：

对光栅尺进行误差补偿：

x(t)＝X(t)-Γ(t) (16)

其中x(t)为光栅尺的误差补偿结果。

相同或相似的标号对应相同或相似的部件；

附图中描述位置关系的用于仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；

显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：对测量误差数据进行模态分解，得到了带宽有限的IMF分量；其中具体过程是：

设测量误差信号为X(t)，使用以下式子将其分解为若干个IMF：

构建一个约束问题：

式(2)中ω_k为第k个IMF的中心频率，δ(·)为狄拉克函数，通过引入二次惩罚项α以及拉格朗日乘子λ(t)，式(2)中的约束问题转化为一个非约束问题：

二次惩罚项α可以保证光栅尺测量误差在耦合的多干扰因素影响下的精确重构，拉格朗日乘子λ(t)是为了严格执行约束，利用交替方向乘子法ADMM解决式(3)中的问题后，得到测量误差的所有IMF分量；

S2：构建自适应IMF分量选取方法来选取适合的IMF分量；其中构建自适应IMF分量选取方法的过程是：

为了表征被测量误差分解的每个IMF的随机性和复杂性，对每个IMF分量进行相空间重构：

式(4)中为m嵌入维度，τ为延时，N＝L-(m-1)τ，L为该测量误差的总数据点数，m和τ分别采用虚假最近邻算法和平均互信息进行获取；

S3：将步骤S2中选取的IMF分量重构为测量误差的本征信号；

S4：将步骤S3得到的本征信号作为误差补偿信号对光栅尺系统进行补偿。

2.根据权利要求1所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，对于给定的嵌入维数m，将有m！种可能的排列，将式(4)中的重构矩阵的第n行中的元素视为一个符号序列，其对应的概率分布为p_n；然后，计算各IMF的熵：

当所有符号序列具有相同的概率分布p_n＝1/m！，H_k的最大值为ln(m！)，式(5)归一化为：

H_k(m)越大，对应的IMF的随机性和复杂性越高，反之亦然；因此，从测量误差中筛出分解后的IMF分量，即其本征信号的候选成分；如果H_k(m)<T_com，则选择相应的IMF作为候选分量，其中T_com是一个预定义的阈值。

3.根据权利要求2所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，步骤S2中，由于一些残余噪声会泄漏到本征信号的候选IMF分量中，尽管可以利用这些残余噪声来重构本征信号，但是残余噪声的存在会影响补偿性能，需要进一步进行筛选，以获得符合条件的IMF分量来重构测量误差的本征信号：

定义一个贡献系数：

设A_j是通过候选IMF分量构建的Hankel矩阵：

利用SVD对Hankel矩阵进行分解：

A_j＝USV^T (8)

式(8)中U和V都为正交矩阵，S为包含A_j奇异值的对角矩阵；

由于测量误差受到耦合的多干扰因素的污染，会有一些噪声泄漏到候选的IMF分量中，使得构造的Hankel矩阵是一个奇异值不为零的满秩矩阵，并且在奇异值序列中存在突变点，利用突变点可以从被污染的IMF分量中提取有效信息，即Hankel矩阵A_j的突变点为矩阵的最优奇异有效秩；

奇异值的差分谱B＝(b₁,b₂,…,b_q-1)用于确定对应的Hankel矩阵的有效奇异秩：

b_i＝σ_i-σ_i+1,i＝1,2,…,q-1 (9)

但仅以差分谱中最大的峰值作为最优奇异有效秩，会丢失一些信息，因为在最大峰值之后会有一些较大峰值的出现，为了充分评价差分谱B，提出在奇异值序列中寻找有效信息与噪声的近似边界σ_min,i，以确定最优奇异有效秩，表达式为：

σ_min,i＝min(σ_i>mean({σ})),i＝1,2,…,q (10)

式(10)中{σ}表示奇异值序列，mean({σ})为对应的平均值，假设B中的所有的峰值序列为{b_pv}，B的大于差谱序列平均值mean(B)的峰序列{b′_pv}表示为：

{b′_pv}＝{b_pv}>mean(B) (11)

将式(10)和(11)相结合，可定义每个候选IMF分量的最优奇异有效秩r_opt为：

r_opt＝argmin(|σ_min,i-b′_pv,r|) (12)

其中b′_pv,r是{b′_pv}中的第r个元素，然后，定义一个贡献系数I来评价每个候选的IMF分量的有效信息，用于进一步选择符合条件的IMF分量，公式为：

其中c_opt为r_opt对应的奇异值的比例，表示为：

c_max是预定义的可接受信息丢失量对应的奇异值的最大比例，，r_max是有效奇异秩对应c_max，h_com为候选IMF的归一化的复杂度度量值，由(6)计算得到。

4.根据权利要求3所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，将c_max设置为0.9。

5.根据权利要求4所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，所述贡献系数I的阈值设置为0.9，贡献系数I越大，IMF包含的有效信息越多，噪声越小。

6.根据权利要求5所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，所述步骤S3的过程是：

利用步骤S2选出合适的IMF分量后，则重构光栅尺的本征信号Γ(t)：

Γ(t)＝∑u′_j(t) (15)。

7.根据权利要求4所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，所述步骤S4的过程是：

对光栅尺进行误差补偿：

x(t)＝X(t)-Γ(t)(16)

其中x(t)为光栅尺的误差补偿结果。

8.根据权利要求7所述的自适应光栅尺误差补偿方法，其特征在于，奇异值σ₁,σ₂,…,σ_q,q＝L/2都是非零的，并且按降序排列。