CN114781210A - 基于有限元端口法的周期异向介质传输特性求解方法 - Google Patents

基于有限元端口法的周期异向介质传输特性求解方法 Download PDF

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CN114781210A CN202210386828.XA CN202210386828A CN114781210A CN 114781210 A CN114781210 A CN 114781210A CN 202210386828 A CN202210386828 A CN 202210386828A CN 114781210 A CN114781210 A CN 114781210A
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Abstract

本发明提出一种基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，实现步骤包括：1)构建周期异向介质中异向介质单元的几何模型；2)设置几何模型的材料和边界条件；3)计算几何模型的Floquet端口处的激励电磁场；4)对几何模型进行网格剖分；5)求解四面体网格中每个网格单元的电场；6)获取周期异向介质传输特性的求解结果。本方法通过主从边界条件中的数学处理，使得无限大二维周期性的三维异向介质的分析转化为单个计算三维异向介质单元几何模型的分析，此外，在Floquet端口引入特定模式的平面波，并且设定Floquet端口边界条件以分析特定模式下周期复杂媒质异向介质的传输特性，具有广泛用途。

Description

基于有限元端口法的周期异向介质传输特性求解方法
技术领域
本发明属于电磁仿真技术领域，涉及一种周期异向介质传输特性求解方法，具体涉及一种基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法。
背景技术
近年来，异向介质由于其独特的传输特性，在固体物理、材料科学、光学和应用电磁学领域内获得越来越多的关注。所谓异向介质一般是通过二维周期性的排列单位元来合成的，周期性的合成方式有利于结构的分析和制作。异向介质属于一种特殊的周期性结构，往往属于混合媒质，单元的尺寸以及单元之间的间隔远小于入射波的工作波长，电磁波在整个异向介质结构中的空间变化要远大于单元不连续性引起的电磁波局部变化。电磁周期结构呈现出“单元数目越来越多，单元结构越来越复杂”的特点，导致求解电磁周期结构电磁参数时所需的计算资源越来越大，这给电磁周期结构的传输特性数值分析带来了巨大的困难。
由于异向介质的周期性，可以利用传统的周期性理论来分析，比如Floquet-Bloch理论，这种方法的基础是将异向介质元胞的物理结构等效为集总等效电路模型，将对电磁场的分析转化为对路的分析，进而分析异向介质固有的色散和阻抗特性，这种方法常应用于分析单元结构较为简单的一维和二维异向介质，而面对复杂异向介质结构，如混合媒质的情况，难以提取集总等效电路。而全波分析方法则为分析和设计复杂异向介质结构提供了新的途径。全波分析方法的主要思路是利用较为成熟的微波数值算法比如矩量法、有限元法以及时域有限差分法。矩量法基于表面电流的相互作用得出积分方程，然后离散所得积分方程对电磁问题进行求解。在求解开域问题时，具有较高的精度，但求解的方程系数矩阵具有稠密性，导致一般情况下对高维数的矩阵进行求解需要耗费较大的计算资源。时域有限差分法在对微分方程进行离散时采用差分的方式进行，方程较为简单直观，但一般采用六方体网格进行离散，因此在模拟复杂几何模型时有相当对较大的误差，且存在较为明显的数值色散效应，不利于求解。
安徽大学在其申请的专利文献“一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法”(申请号CN201810720625.3，申请公布号CN10895977A)中公开一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法。该方法包括以下步骤：大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分；对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程；整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算，提供一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法。但是该发明是基于矩量法的分析方法，矩量法在分析复杂媒质周期结构时较为困难，难以处理周期性混合媒质介质。该发明仅解决了二维有限个数的周期结构的特征模式分析方法，无法处理无限大周期性异向介质问题。该发明仅能各计算特征模式电流下的分布，无法计算任意入射角度、任意极化模式平面波下周期性异向介质的传输特性。
发明内容
本发明的目的在于克服上述现有技术的存在的缺陷，提出一种基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，用于实现对特定极化模式下二维周期性的三维异向介质传输特性的求解。
为实现上述目的，本发明采取的技术方案包括如下步骤：
(1)构建周期异向介质中异向介质单元的几何模型：
根据沿x轴和y轴方向周期性排布的多个异向介质单元组成的周期异向介质中任意一个异向介质单元的设计尺寸，以及该异向介质单元与其他异向介质单元之间边界面的连续性，构建该异向介质单元与设计要求相对应的几何模型；
(2)设置几何模型的材料和边界条件：
在异向介质单元的几何模型中的每个几何体上均设置与周期异向介质的实际设计要求相应的材料属性，同时设置几何模型的边界条件，包括几何面上的边界条件、主从边界条件以及端口边界条件，对该几何模型中的几何面上设置与周期异向介质的实际设计相应的边界条件，对几何模型x方向上的一对侧面，设置关于x方向的主从边界的主边界条件及从边界条件，对几何模型y方向上的一对侧面，设置关于y方向的主从边界的主边界条件及从边界条件，在顶面与底面设置为Floquet端口边界条件，顶部和底部Floquet端口边界面的法方向分别为
Figure BDA0003594039390000031
和
Figure BDA0003594039390000032
主从边界条件以及Floquet端口边界条件均属于柯西边界条件，其中Floquet端口边界条件的方程为：
(3)计算几何模型的Floquet端口处的激励电磁场：
通过几何模型的Floquet端口边界条件引入类型为TE模式、TM模式或TEM模式的极化平面波，并根据极化平面波的模式以及入射角度，计算该三种模式对应的几何模型端口处的激励电场和磁场
Figure BDA0003594039390000033
和
Figure BDA0003594039390000034
和
Figure BDA0003594039390000035
ETEM和HTEM：
Figure BDA0003594039390000036
Figure BDA0003594039390000037
Figure BDA0003594039390000038
Figure BDA0003594039390000039
Figure BDA00035940393900000310
Figure BDA00035940393900000311
Figure BDA00035940393900000312
Figure BDA0003594039390000041
Figure BDA0003594039390000042
Figure BDA0003594039390000043
m、n分别为极化平面波的模式标号，SU为端口的表面积，
Figure BDA0003594039390000044
为极化平面波的入射角度，kxmn、kymn及kzmn为极化平面波在x、y、z方向上的波数，a1与a2为二维端口的边矢量，k1与k2为极化平面波在该端口形状下的频域矢量，k为介质空间中的波数，kt(n,m)为横向场波数；
(4)对几何模型进行网格剖分：
通过网格生成器将异向介质单元的几何模型剖分成多个紧密相连的四面体单元，得到四面体网格；
(5)求解四面体网格中每个网格单元的电场：
(5a)采用基函数对每个网格单元内的电场E(e)进行展开表达：
Figure BDA0003594039390000045
其中dof为四面体单元内基函数的个数，xi (e)为第i个基函数Ni的待求解展开系数；
(5b)根据四面体网格的材料属性和边界条件建立有限元变分方程，并通过该有限元变分方程中的系数构建系统矩阵K(e)、b(e)，然后利用矩阵求解器求解系统矩阵，得到四面体网格中每个网格单元的电场；
(5c)通过主从边界条件关系式，求出完整周期异向介质的电场；
(6)获取周期异向介质传输特性的求解结果：
利用传输特性后处理计算器，将电场转化为周期异向介质的传输特性。
本发明与现有技术相比，具有如下优点：
第一，由于本发明中使用有限元Floquet端口法，并在端口边界上引入任意角度、任意极化模式的平面波，克服了现有技术不能求解任意角度、任意极化模式下周期混合媒质异向介质问题，使得本发明能以特定模式分析为基础来分析周期混合媒质异向介质问题，根据相应的传输特性，可以选取可用的传输模式和凋落模式，具有广泛的用途。
第二，由于本发明通过边界条件中的处理，使得无限大二维周期性的三维异向介质的分析转化为单个三维异向介质单元几何模型的分析，克服了现有技术对二维周期性的三维异向介质进行整体几何建模与网格剖分的困难的问题，简化了周期异向介质传输特性的求解过程。
附图说明
图1为本发明的实现流程图；
图2为本发明周期异向介质的单元几何建模示意图；
图3为本发明周期异向介质的单元结构具体尺寸示意图；
图4为本发明周期异向介质的计算结果图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及具体实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
参照图1，本发明包括如下步骤：
步骤1.构建周期异向介质中异向介质单元的几何模型。
根据沿x轴和y轴方向周期性排布的多个异向介质单元组成的周期异向介质中任意一个异向介质单元的设计尺寸，以及该异向介质单元与其他异向介质单元之间边界面的连续性，构建该异向介质单元与设计要求相对应的几何模型。
下面结合图2的周期异向介质的单元几何建模示意图对创建的单元几何模型的具体步骤做进一步的描述。
由图2可见，模型的中间是所选单元结构，介质基板相对介电常数εr＝2.0-0.2j,相对磁导率μr＝1.0，介质板厚度为100mm。单元结构的上表面中心的十字型几何面为金属贴片，结合图3的周期异向介质单元结构具体尺寸示意图以及表1对单元结构的具体尺寸做进一步的描述。
表1
参数 L<sub>1</sub> L<sub>2</sub> L<sub>3</sub> W<sub>1</sub> W<sub>2</sub>
长度/mm 100 100 100 500 100
在单元结构本身的上方和下方，分别创建了1个与单元结构等宽等长的空气体，其相对介电常数εr＝1.0，相对磁导率μr＝1.0，高度为四分之一波长。
步骤2.设置几何模型的材料和边界条件。
在异向介质单元的几何模型中的每个几何体上均设置与周期异向介质的实际设计要求相应的材料属性，同时设置几何模型的边界条件，包括几何面上的边界条件、主从边界条件以及端口边界条件。对该几何模型中的几何面上设置与周期异向介质的实际设计相应的边界条件。对几何模型x方向上的一对侧面，设置关于x方向的主从边界的主边界条件及从边界条件。对几何模型y方向上的一对侧面，设置关于y方向的主从边界的主边界条件及从边界条件。在顶面与底面设置为Floquet端口边界条件，顶部和底部Floquet端口边界面法方向分别为
Figure BDA0003594039390000061
和
Figure BDA0003594039390000062
主从边界条件以及Floquet端口边界条件均属于柯西边界条件。其中Floquet端口边界条件的方程为：
Figure BDA0003594039390000063
其中
Figure BDA0003594039390000064
为哈密顿算子，
Figure BDA0003594039390000065
k0为自由空间中的波数，θinc为入射极化平面波的入射角度，
Figure BDA0003594039390000066
为入射极化平面波与z轴所成平面与xoz面的夹角。
下面结合图2周期异向介质的单元几何建模示意图单元模型的主从边界条件具体设置做进一步的描述。如图2所示，几何模型从上到下分为上空气介质层、单元结构层以及下空气介质层。将上空气介质层中左侧和右侧表面分别设置为主边界1和从边界1，正面和背面分别设置为从边界面2和主边界面2。将单元结构体中左侧和右侧表面分别设置为主边界3和从边界3，正面和背面分别设置为从边界面4和主边界面4。将下空气介质层中左侧和右侧表面分别设置为主边界5和从边界5，正面和背面分别设置为从边界面6和主边界面6。将几何模型的顶部和顶部表面设置为Floquet端口1和Floquet端口2。
步骤3.计算几何模型的Floquet端口处的激励电磁场。
通过几何模型的Floquet端口边界条件引入类型为TE模式、TM模式或TEM模式的极化平面波，并根据极化平面波的模式以及入射角度，计算该三种模式对应的几何模型端口处的激励电场和磁场
Figure BDA0003594039390000071
和
Figure BDA0003594039390000072
和
Figure BDA0003594039390000073
ETEM和HTEM：
Figure BDA0003594039390000074
Figure BDA0003594039390000075
Figure BDA0003594039390000076
Figure BDA0003594039390000077
Figure BDA0003594039390000078
Figure BDA0003594039390000079
Figure BDA00035940393900000710
Figure BDA00035940393900000711
Figure BDA00035940393900000712
Figure BDA0003594039390000081
m、n分别为极化平面波的模式标号，SU为端口的表面积，
Figure BDA0003594039390000082
为极化平面波的入射角度，kxmn、kymn及kzmn为极化平面波在x、y、z方向上的波数，a1与a2为二维端口的边矢量，k1与k2为极化平面波在该端口形状下的频域矢量，k为介质空间中的波数，kt(n,m)为横向场波数。这里引入的平面波类型设置为TE00模式，入射角度为垂直入射，即可计算垂直入射的TE00模式下周期异向介质的传输特性。这是一种以模式分析为基础的分析方法，能够分析不同的模式在周期异向介质上的频域响应，进而可以设计出符合预期的具有特定传输特性的周期异向介质，因此具有广泛的用途。
步骤4.对几何模型进行网格剖分。
通过网格生成器将异向介质单元的几何模型剖分成多个紧密相连的四面体单元，得到四面体网格。
步骤5.求解四面体网格中每个网格单元的电场。
(5a)采用基函数对每个网格单元内的电场E(e)进行展开表达：
Figure BDA0003594039390000083
其中dof为四面体单元内基函数的个数，xi (e)为第i个基函数Ni的待求解展开系数。
(5b)根据四面体网格的材料属性和边界条件建立有限元变分方程：
Figure BDA0003594039390000084
i＝1～dof
Figure BDA0003594039390000091
Figure BDA0003594039390000092
其中J为电流密度，M为磁流密度，
Figure BDA0003594039390000093
为相对磁导率的张量形式，
Figure BDA0003594039390000094
为相对介电常数的张量形式，f为激励函数，φ为柯西边界激励函数，Einc为引入的平面波激励电场，Ω为计算区域空间，S为求解区域Ω的外边界的表面，
Figure BDA0003594039390000095
为外边界表面S的法向矢量，方向朝外，SC为柯西边界条件的边界面。
(5c)通过该有限元变分方程中的系数构建系统矩阵方程组：
K(e)x(e)＝b(e)
K(e)、b(e)、x(e)为系统矩阵，其中矩阵元素为：
Figure BDA0003594039390000096
Figure BDA0003594039390000097
Figure BDA0003594039390000098
然后利用矩阵求解器求解系统矩阵，得到四面体网格中每个网格单元的电场，再通过每个网格的电场组合成整个单元结构中的电场分布，因此这样的求解电场分布的方式可以对具有复杂媒质的结构进行分析。
(5d)通过主从边界条件关系式，包括从边界条件中棱边上的关系式以及主从边界条件在主、从面上的关系式，其中主从边界条件中棱边上的关系式：
Figure BDA0003594039390000099
ψx＝kxDx
ψy＝kyDy
其中Kfi、bfi为关于x方向的主从边界中的主边界面与关于y方向的主从边界中的主边界面之间的棱边系统矩阵元素。Kbi、bbi为关于x方向的主从边界中的从边界面与关于y方向的主从边界中的主边界面之间的棱边系统矩阵元素。Kli、bli为关于x方向的主从边界中的主边界面与关于y方向的主从边界中的从边界面之间的棱边系统矩阵元素。Kri、bri为关于x方向的主从边界中的从边界面与关于y方向的主从边界中的从边界面之间的棱边系统矩阵元素。kx为波数k0在x方向上的分量，Dx为主从边界在x方向上的距离，ky为波数k0在y方向上的分量，Dy为主从边界在y方向上的距离。
主从边界条件在主、从面上的关系式：
Figure BDA0003594039390000101
Figure BDA0003594039390000102
其中
Figure BDA0003594039390000103
为关于x方向的主从边界中的主边界面上的系统矩阵元素。
Figure BDA0003594039390000104
为关于x方向的主从边界中的从边界面上的系统矩阵元素。
Figure BDA0003594039390000105
为关于y方向的主从边界中的主边界面上的系统矩阵元素。
Figure BDA0003594039390000106
为关于y方向的主从边界中的从边界面上的系统矩阵元素。由以上步骤可以得知，通过主从边界条件下的关系式将单个周期结构内的系统矩阵对应的电场分布转化为其他单元结构的系统矩阵对应的电场分布。将每个单元的电场分布组合，进而求解出完整周期异向介质的电场分布，实现了
步骤6.获取周期异向介质传输特性的求解结果。
利用传输特性后处理计算器，将电场转化为周期异向介质的传输特性。
下面结合仿真实验对本发明的效果做进一步的说明：
1.仿真实验条件：
本发明的仿真实验的硬件平台为：刀片节点，处理器为4颗12核Intel(R)Xeon(R)Gold 5215CPU，主频为2.50GHz，内存1024GB。
本发明的仿真实验的软件平台为：Red Hat Enterprise Linux Server release7.4操作系统和Fortran90。
2.仿真内容及其结果分析：
本发明的仿真实验是采用本发明技术，计算由如图2所示的单元模型组成的无限大周期结构的传输特性。本发明的仿真实验选择传输参数S11和S21作为结果来分析传输特性的结构，如图4所示，频率范围是300MHz到500MHz。证明本方法能以模式分析为基础来分析周期混合媒质异向介质问题，可根据相应的传输特性，选取可用的传输模式和凋落模式，具有广泛的用途。
上述对实施例的描述是为了便于该技术领域的普通技术人员能够理解和应用本案技术，熟悉本领域技术的人员显然可轻易对这些实例做出各种修改，并把在此说明的一般原理应用到其它实施例中而不必经过创造性的劳动。因此，本案不限于以上实施例，本领域的技术人员根据本案的揭示，对于本案做出的改进和修改都应该在本案的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)构建周期异向介质中异向介质单元的几何模型：
根据沿x轴和y轴方向周期性排布的多个异向介质单元组成的周期异向介质中任意一个异向介质单元的设计尺寸，以及该异向介质单元与其他异向介质单元之间边界面的连续性，构建该异向介质单元与设计要求相对应的几何模型；
(2)设置几何模型的材料和边界条件：
在异向介质单元的几何模型中的每个几何体上均设置与周期异向介质的实际设计要求相应的材料属性，同时设置几何模型的边界条件，包括几何面上的边界条件、主从边界条件以及端口边界条件，对该几何模型中的几何面上设置与周期异向介质的实际设计相应的边界条件，对几何模型x方向上的一对侧面，设置关于x方向的主从边界的主边界条件及从边界条件，对几何模型y方向上的一对侧面，设置关于y方向的主从边界的主边界条件及从边界条件，在顶面与底面设置为Floquet端口边界条件，顶部和底部Floquet端口边界面法方向分别为
Figure FDA0003594039380000011
和
Figure FDA0003594039380000012
主从边界条件以及Floquet端口边界条件均属于柯西边界条件，其中Floquet端口边界条件的方程为：
Figure FDA0003594039380000013
其中
Figure FDA0003594039380000014
为哈密顿算子，
Figure FDA0003594039380000015
k0为自由空间中的波数，θinc为入射极化平面波的入射角度，
Figure FDA0003594039380000016
为入射极化平面波与z轴所成平面与xoz面的夹角；
(3)计算几何模型的Floquet端口处的激励电磁场：
通过几何模型的Floquet端口边界条件引入类型为TE模式、TM模式或TEM模式的极化平面波，并根据极化平面波的模式以及入射角度，计算该三种模式对应的几何模型端口处的激励电场和磁场
Figure FDA0003594039380000021
和
Figure FDA0003594039380000022
Figure FDA0003594039380000023
和
Figure FDA0003594039380000024
ETEM和HTEM：
Figure FDA0003594039380000025
Figure FDA0003594039380000026
Figure FDA0003594039380000027
Figure FDA0003594039380000028
Figure FDA0003594039380000029
Figure FDA00035940393800000210
Figure FDA00035940393800000211
Figure FDA00035940393800000212
Figure FDA00035940393800000213
Figure FDA00035940393800000214
m、n分别为极化平面波的模式标号，SU为端口的表面积，
Figure FDA00035940393800000215
为极化平面波的入射角度，kxmn、kymn及kzmn为极化平面波在x、y、z方向上的波数，a1与a2为二维端口的边矢量，k1与k2为极化平面波在该端口形状下的频域矢量，k为介质空间中的波数，kt(n,m)为横向场波数；
(4)对几何模型进行网格剖分：
通过网格生成器将异向介质单元的几何模型剖分成多个紧密相连的四面体单元，得到四面体网格；
(5)求解四面体网格中每个网格单元的电场：
(5a)采用基函数对每个网格单元内的电场E(e)进行展开表达：
Figure FDA0003594039380000031
其中dof为四面体单元内基函数的个数，xi (e)为第i个基函数Ni的待求解展开系数；
(5b)根据四面体网格的材料属性和边界条件建立有限元变分方程，并通过该有限元变分方程中的系数构建系统矩阵方程组K(e)x(e)＝b(e)，然后利用矩阵求解器求解系统矩阵方程组，得到四面体网格中每个网格单元的电场；
(5c)通过主从边界条件关系式，求出完整周期异向介质的电场；
(6)获取周期异向介质传输特性的求解结果：
利用传输特性后处理计算器，将电场转化为周期异向介质的传输特性。
2.根据权利要求1所述的基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，其特征在于，步骤(4)离散后任意四面体单元中的电场E(e)进行以下展开：
Figure FDA0003594039380000032
其中dof为四面体单元内基函数的个数，xi (e)为第i个基函数
Figure FDA0003594039380000033
的待求解展开系数。
3.根据权利要求1所述的基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，其特征在于，步骤(5a)中有限元变分方程为：
Figure FDA0003594039380000041
Figure FDA0003594039380000042
Figure FDA0003594039380000043
其中J为电流密度，M为磁流密度，
Figure FDA0003594039380000044
为相对磁导率的张量形式，
Figure FDA0003594039380000045
为相对介电常数的张量形式，f为激励函数，φ为柯西边界激励函数，Einc为引入的平面波激励电场，Ω为计算区域空间，S为求解区域Ω的外边界的表面，
Figure FDA0003594039380000046
为外边界表面S的法向矢量，方向朝外，SC为柯西边界条件的边界面。
4.根据权利要求1所述的基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，其特征在于，步骤(5b)中的系统矩阵方程组为：
K(e)x(e)＝b(e)
K(e)、b(e)、x(e)为系统矩阵，其中矩阵元素为：
Figure FDA0003594039380000047
Figure FDA0003594039380000048
Figure FDA0003594039380000049
5.根据权利要求1所述的基于有限元Floquet端口法的周期异向介质传输特性求解方法，其特征在于，步骤(5c)主从边界条件中棱边上的关系式：
Figure FDA0003594039380000051
ψx＝kxDx
ψy＝kyDy
其中Kfi、bfi为关于x方向的主从边界中的主边界面与关于y方向的主从边界中的主边界面之间的棱边系统矩阵元素，Kbi、bbi为关于x方向的主从边界中的从边界面与关于y方向的主从边界中的主边界面之间的棱边系统矩阵元素，Kli、bli为关于x方向的主从边界中的主边界面与关于y方向的主从边界中的从边界面之间的棱边系统矩阵元素，Kri、bri为关于x方向的主从边界中的从边界面与关于y方向的主从边界中的从边界面之间的棱边系统矩阵元素，kx为波数k0在x方向上的分量，Dx为主从边界在x方向上的距离，ky为波数k0在y方向上的分量，Dy为主从边界在y方向上的距离，
主从边界条件在主、从面上的关系式：
Figure FDA0003594039380000052
Figure FDA0003594039380000053
其中
Figure FDA0003594039380000054
为关于x方向的主从边界中的主边界面上的系统矩阵元素，
Figure FDA0003594039380000055
Figure FDA0003594039380000056
为关于x方向的主从边界中的从边界面上的系统矩阵元素，
Figure FDA0003594039380000057
为关于y方向的主从边界中的主边界面上的系统矩阵元素，
Figure FDA0003594039380000058
为关于y方向的主从边界中的从边界面上的系统矩阵元素。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN116992730A (zh) * 2023-08-07 2023-11-03 西安电子科技大学 一种矩形波导凋落模电磁特性求解方法

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