CN114779633A - 通用的分数阶多周期重复控制器设计方法及控制器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法及控制器，可用于可编程交流电源、电力变换器、伺服电机等多种装置对周期性的信号或干扰实施精确跟踪或消除。本发明建立控制对象的数学模型，设计状态反馈控制器，得到无差拍控制器，采用该无差拍控制器的闭环反馈控制系统的传递函数；将分数阶多周期重复控制器插入到稳定的反馈控制回路中，并进一步设计出多周期重复控制以形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统，从而快速、准确和鲁棒地跟踪或消除周期性信号或干扰。特别针对所插入的分数阶多周期重复控制器，本发明为各种的工业装置跟踪或消除周期信号或扰动提供简便有效的高性能控制解决方案。

Description

通用的分数阶多周期重复控制器设计方法及控制器

技术领域

本发明属于工业控制领域，特别涉及一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法及控制器，可用于可编程交流电源、电力变换器、伺服电机等多种装置对周期不相关的多周期信号实施精确跟踪或消除对应谐波。

背景技术

各种的电力以及电机驱动装置而言，其控制系统对周期性信号的控制性能很大程度上决定了其系统的控制性能。例如可编程交流电源、电机驱动等装置的实际输出电压/电流信号往往含有多种谐波成分，如工频的二次、三次、五次谐波等，还有与工频不成倍数关系的其他频率的谐波成分及其高次谐波。基于内模原理的重复控制可以对任何频率已知的任意波形的单一基波频率的周期性信号实施零误差跟踪或抑制。然而对于包含多个不相关频率信号的周期信号，多周期重复控制策略将多个经典重复控制器简单并联，为多周期信号调节提供了一种可行的控制方法。

然而在实际应用当中，每个传统的重复控制器进行数字化实现时都需要包含一个对应的延迟单元z^-Ni，其中N_i等于所对应信号的周期与系统采样周期的比值。控制实现中N_i必须是整数才能物理上实现相应的延迟单元z^-Ni，若将多个传统的重复控制策略相并联用于跟踪或消除多个不相关周期信号(即各周期信号的频率之比非整数)时，则无论是采用可变的系统采样率还是固定的系统采样率，都无法做到让所有N_i(i＝1,2,…)均为整数，也就无法准确地实现对多周期信号实施准确的跟踪或消除。

本发明的目的是为了解决上述背景技术存在的不足，而提出的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法及控制器，通用的采用固定采样率的分数阶多周期重复控制方案及其设计方法，可为多种工业装置跟踪或消除此类多周期信号或扰动提供一种简便高效的高性能控制解决方案。

为实现上述目的，本发明所设计的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特殊之处在于，所述方法包括如下步骤：

所述方法包括如下步骤：

1)建立控制对象G_p(z)的数学模型，设计一款状态反馈控制器，得到一个无差拍控制器G_c(z)，采用该无差拍控制器的闭环反馈控制系统的传递函数H(z)为：

其中，y₀(z)为反馈控制器G_c(z)控制下的系统输出，r(z)为系统的参考输入量；

令系统传递函数H(z)的特征方程1+G_c(z)G_p(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，以得到稳定的闭环反馈控制系统；

2)构造分数阶多周期重复控制器G_M(z)，并插入到所述稳定的闭环反馈控制系统中，

式中，m为重复控制器的并联数量；下标i代表第i个不相关的周期信号的编号；G_i(z)为第i个周期信号对应的重复控制器，z为将系统模型从时域变换到离散域的变换算子，k_i为控制增益，F_i(z)为系统补偿器，N_i＝T_i/T_s为信号周期T_i与系统采样时间T_s之比，Q(z)为低通滤波器且|Q(z)|≤1；

3)设计分数阶多周期重复控制参数以形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统，即所述通用插入式分数阶多周期重复控制系统的传递函数的特征方程1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，

式中，y(z)为插入式分数阶多周期重复控制系统输出，d(z)为系统的干扰输入量；

4)调整系统补偿器F_i(z)、重复控制器增益k_i以实现1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统。

优选地，步骤2)的多周期重复控制器G_M(z)中，无论N_i＝T_i/T_s是整数还是分数，其延迟环节均表示为z^-Ni/2＝z^-[Ni/2]-Di，其中[N_i/2]为N_i/2的整数部分，D_i＝N_i/2-[N_i/2](0≤D_i<1)为N_i的小数部分，分数阶延迟z^-Di采用固定采样率的拉格朗日插值多项式FIR滤波器的方法进行逼近：

其中n是整数多项式次数，q为多项式中每一项的编号，j是一个自然数常数；

将分数阶延迟代入所述通用多周期重复控制器的表达式，得到的通用分数阶多周期重复控制器G_M(z)为：

优选地，所述系统补偿器F_i(z)设计为

式中，c为已知的延迟步长，B^-(z)的根位于单位圆上或单位圆外,而B⁺(z)的根位于单位圆内，A(z)为分母部分。

优选地，所述分数阶多周期重复控制器G_M(z)的控制增益k_i的选取范围为k_i＞0且K∈(0,2)。

优选地，步骤1)中所述控制对象G_p(z)的数学模型为：

其中：

v_i(t)＝v_dcu(t)

式中，v_o为滤波电容C两端电压，同时也是输出负载电压，i_L为通过滤波电感L的电流；R为电阻负载，C为滤波电容，L为滤波电感，v_i为逆变输出PWM电压，v_dc为直流母线电压，u(t)为占空比；

以T_s为采样时间的离散时域中数学模型如下，其中v_o为输出电压，R_L为滤波电感L的电阻值，δ₁₁、δ₁₂、δ₁₁、δ₁₂、λ₁、λ₂均为中间参数：

式中各系数如下：

采用如下状态反馈控制器：

u(k)＝-h₁v_o(k)-h₂i_L(k)+h₃v_r(k)

式中，u(k)为控制器输出的控制量，h₁，h₂和h₃为增益，v_r为参考信号。

优选地，所述增益h₁，h₂和h₃设定为：

得到无差拍控制器，采用该无差拍控制器的闭环逆变器系统的传递函数为：

优选地，所述分数阶多周期重复控制器G_M(z)中的各重复控制器均采用延迟补偿器F_i(z)＝z^p加以补偿，通过实验补偿效果取步长p＝5。

优选地，所述控制对象G_p(z)为输出电压/电流信号由多个不相关频率的周期信号所组成的工业设备，包括可编程交流电源、电力变换器、伺服电机。

本发明还提出一种通用的分数阶多周期重复控制器，其特殊之处在于，所述控制器通过上述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法实现。所述控制器的控制对象G_p(z)为输出电压/电流信号由多个不相关频率的周期信号所组成的工业设备，包括可编程交流电源、电力变换器、伺服电机。

针对所插入的分数阶多周期重复控制器，本发明给出了完整设计方案：(1)提出了该重复控制器的零相位补偿方法，用于补偿常规反馈控制系统所包含的各种延迟；(2)其次，给出了基于零相位补偿的该重复控制器增益的选取范围，以确保插入了该重复控制器的系统能够稳定；(3)提出了该重复控制器的增益整定方法，以实现系统控制误差的快速一致收敛。本发明提出的通用分数阶多周期重复控制器及其设计方法，可用于可编程交流电源、电力变换器、伺服电机等装置对含有多个不相关基波频率分量的周期性信号实施精确控制。

附图说明

图1为本发明所提出的一种通用的分数阶多周期重复控制方案系统结构图。

图2为采用本发明的分数阶多周期重复控制方案的单相PWM逆变器实例示意图。

图3为实施例中在仅采用无差拍控制器时，PWM逆变器的输出电压、参考电压的波形图，以及输出电压的频谱图。

图4为实施例中在仅采用无差拍控制器时，PWM逆变器的输出电压与参考电压之间的误差电压波形图。

图5为实施例中在无差拍控制回路中插入分数阶多周期重复控制器，且该重复控制器采用了本发明的增益整定办法所得到的重复控制增益情况下，PWM逆变器的输出电压、参考电压、跟踪误差的波形图，以及输出电压的频谱图。

图6为实施例中在采用本发明的通用分数阶多周期重复控制方案的PWM逆变器，在负载突变时的输出响应波形图。

图7为实施例中在无差拍控制回路中加入三组不同重复控制增益的分数阶多周期重复控制器的逆变器的跟踪误差响应波形图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明提出一种通用的分数阶多周期复合重复控制器的系统结构如图1所示，其设计方法包括如下步骤：

1)针对控制对象G_p(z)设计出一种常规反馈控制器G_c(z)，得到该反馈控制系统的传递函数H(z)：

其中，y₀(z)为反馈控制器G_c(z)控制下的系统输出，r(z)为系统的参考输入量，令系统传递函数H(z)的特征方程1+G_c(z)G_p(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，以得到稳定的闭环反馈控制系统；

2)构造分数阶多周期重复控制器G_M(z)，并插入到所述稳定的闭环反馈控制系统中，

式中m为重复控制器的并联数量；下标i代表第i个不相关的周期信号的编号；G_i(z)为第i个周期信号对应的重复控制器，z为将系统模型从时域变换到离散域的变换算子，k_i为控制增益，F_i(z)为系统补偿器，N_i＝T_i/T_s为信号周期T_i与系统采样时间T_s之比，Q(z)为低通滤波器且|Q(z)|≤1；

多周期重复控制器G_M(z)中，无论N_i＝T_i/T_s是整数还是分数，其延迟环节均表示为z^-Ni/2＝z^-[Ni/2]-Di，其中[N_i/2]为N_i/2的整数部分，D_i＝N_i/2-[N_i/2](0≤D_i<1)为N_i的小数部分，分数阶延迟z^-Di采用固定采样率的拉格朗日插值多项式FIR滤波器的方法来进行逼近，方法如下：

其中n是整数多项式次数，q为多项式中每一项的编号，j是一个自然数常数；

将分数阶延迟代入所述通用多周期重复控制器的表达式，即得到通用分数阶多周期重复控制器如下：

然后将分数阶多周期重复控制器插入到稳定的闭环反馈控制系统当中，系统结构图如图1所示。

3)设计通用分数阶多周期重复控制参数以形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统，即所述插入式分数阶多周期重复控制系统的传递函数的特征方程1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，

其中y(z)为插入式分数阶多周期重复控制系统输出，d(z)为系统的干扰输入量；

4)调整重复控制器的系统补偿器F_i(z)和控制增益以实现1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统。

为实现1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，该分数阶多周期重复控制器G_M(z)的主要参数的设计方法具体为：

系统补偿器F_i(z)的设计方法如下：

不失一般性，令：

其中c为已知的延迟步长，B^-(z)的根位于单位圆上或单位圆外,而B⁺(z)的根位于单位圆内；

相应地，系统补偿器F_i(z)可设计为：

其中b≥max|B^–(z)|²。从而使得：

即系统补偿器F_i(z)为闭环反馈系统传递函数H(z)的零相位补偿器。

多周期重复控制器增益k_i的选取范围如下：

在上述设计均得到满足的前提下，令所有控制增益之和为：

则若满足控制增益k_i＞0且K∈(0,2)，可以保证该分数阶多周期重复控制系统稳定。

图2表示采用本发明所提出的通用分数阶多周期重复控制器的一台用于可编程交流电源的单相PWM逆变器控制示意图，其中v_dc为直流母线电压；v_i为逆变输出PWM电压；i_L为通过滤波电感L的电流；u(t)为占空比，R_L为通过滤波电感L的电阻值；v_o为滤波电容C两端电压，同时也是输出负载电压；i_R为通过电阻负载R的电流，等于输出负载电流i_o；u(k)为控制器输出的控制量，e(k)为输入与参考之间的误差量。该离网逆变器的控制目标是，在不同负载下提供标称的输出电压v_o，即电压v_o准确地跟踪其参考信号v_r。

根据图2得到逆变器的数学模型为：

其中：

v_i(t)＝v_dcu(t)

以T_s为采样时间的离散时域中数学模型如下：

式中δ₁₁、δ₁₂、δ₁₁、δ₁₂、λ₁、λ₂均为中间参数，各系数如下：

采用如下状态反馈控制器：

u(k)＝-h₁v_o(k)-h₂i_L(k)+h₃v_r(k)

若选用如下增益：

得到一个无差拍控制器。采用该无差拍控制器的闭环逆变器系统的传递函数为：

即输出电压仅需延迟一个采样时间周期就能完全跟踪上所期望的参考信号。无差拍控制器具有非常快的动态响应，但对系统模型的不确定性非常敏感，如未建模的系统延迟、负载变化、参数变化等，在实际当中往往无法取得预期的无差拍控制效果。

采用上述无差拍控制器的逆变器带电阻负载，参考信号v_r(t)模拟频率分别为50Hz、35Hz、65Hz的多周期信号：

v_r(t)＝31.2sin(70πt)+156sin(100πt)+15.6(130πt)

可以测得输出电压、电流及电压跟踪误差如图3、图4所示。输出电压v_o小于并滞后于参考电压v_r，由35Hz、50Hz、65Hz、150Hz、250Hz的5个主频分量组成，150Hz信号和250Hz信号是通常由单相PWM逆变器产生的50Hz信号的3阶和5阶谐波；输出电压的跟踪误差e＝v_r-v_o峰值约为±40V。

由于谐波成分较大，为提高跟踪精度并减小谐波畸变，须设计一个针对多个不相关频率的周期信号的重复控制器G_M(z)插入到无差拍控制回路当中。所以根据参考信号v_r(t)的频谱，现构造如下分数阶多周期重复控制器G_M(z)：

其中G₁(z)、G₂(z)、G₃(z)为对应35Hz、50Hz、65Hz周期信号的重复控制器，k_i为控制增益，F_i(z)为相位超前补偿器，N_i＝T_i/T_s为信号周期与系统采样时间T_s之比，Q(z)为低通滤波器且|Q(z)|≤1。

令延迟z^-Ni＝z^-[Ni]-Di，其中[N_i]为N_i的整数部分，D_i＝N_i-[N_i](0≤D_i<1)为N_i的小数部分。根据分数阶延迟滤波器的设计方法，分数阶延迟元件z^-Di可以用固定采样率的拉格朗日插值多项式FIR滤波器简单逼近，如下式所示：

其中n是整数多项式次数。通过权衡近似精度和实现复杂性后取n＝3，即可得到通用的分数阶多周期重复控制器如下：

则周期性信号所对应的N_i无论是整数还是分数，该控制器均可皆可实现对其准确跟踪或消除。

对于无差拍闭环控制自身延迟以及逆变器系统未建模的各项延迟，分数阶多周期重复控制器G_M(z)中的各重复控制器均采用系统补偿器F_i(z)＝z^p加以补偿，通过实验补偿效果取步长p＝5。

进一步地，根据多周期的参考信号v_r(t)的组成，并依据所发明的增益选取范围以及整定方法，当取增益之和K＝0.9<2时，可以得到对应35Hz的重复控制器的增益k₁＝0.15,对应50Hz的重复控制器的增益k₂＝0.77,对应50Hz的重复控制器的增益k₃＝0.08。

采用上述由无差拍控制器与分数阶多周期重复控制器组合而成的插入式多周期重复控制方案及其设计方法，逆变器的输出电压响应和负载电流响应如图5所示，波形图的横坐标为时间标度，左边纵坐标为电压标度，右边纵坐标为电流标度，频谱图的横、纵分别代表谐波的阶次和幅值。由图可知，输出电压v_o的波形与参考电压v_r近乎完全吻合，近似为：

v_o(t)≈31.59sin(70πt)+315.02sin(100πt)+47.55sin(130πt)

并且50Hz信号的150Hz和250Hz谐波分量已从输出电压中消除。由此可见，采用根据本发明设计的插入式分数阶多周期重复控制器，可以准确地产生所指定的多周期电压。

图6给出了在空载电阻R＝46Ω时，突然负载变化时输出电压v_o和负载电流i_o的响应。结果表明，输出电压v_o克服负载突变需要约0.1s的暂态时间，且在负载突变情况下v_o的幅度变化小于±10％。这意味着采用该控制器的逆变器对负载突变具有鲁棒性，并能提供快速的动态响应。

图7为K＝0.9(k₁＝0.15,k₂＝0.77,k₃＝0.08)、K＝0.45(k₁＝0.075,k₂＝0.385,k₃＝0.04)、K＝0.9(k₁＝0.15,k₂＝0.08,k₃＝0.77)三组不同控制增益下的多周期重复控制器插入无差拍控制回路时，逆变器的跟踪误差波形。由图7可知，将多周期重复控制器插入无拍控制回路后，三组增益下跟踪误差峰值从±40V减小到±2V分别需要0.3秒、0.58秒、1.28秒，说明采用本发明所提出的增益整定方法，G_M(z)的动态响应几乎与K成正比，而没有采用所发明的增益整定方案的控制器响应缓慢。

综上所示，采用本发明所述的通用分数阶多周期重复控制方案及其设计方法，逆变器可以实现较高的输出电压跟踪精度、快速的动态响应和较好的鲁棒性。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (10)

1.一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：

1)建立控制对象G_p(z)的数学模型，设计一款状态反馈控制器，得到一个无差拍控制器G_c(z)，采用该无差拍控制器的闭环反馈控制系统的传递函数H(z)为：

其中，y₀(z)为反馈控制器G_c(z)控制下的系统输出，r(z)为系统的参考输入量；

令系统传递函数H(z)的特征方程1+G_c(z)G_p(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，以得到稳定的闭环反馈控制系统；

2)构造分数阶多周期重复控制器G_M(z)，并插入到所述稳定的闭环反馈控制系统中，

式中，m为重复控制器的并联数量；下标i代表第i个不相关的周期信号的编号；G_i(z)为第i个周期信号对应的重复控制器，z为将系统模型从时域变换到离散域的变换算子，k_i为控制增益，F_i(z)为系统补偿器，N_i＝T_i/T_s为信号周期T_i与系统采样时间T_s之比，Q(z)为低通滤波器且|Q(z)|≤1；

3)设计分数阶多周期重复控制参数以形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统，即所述通用插入式分数阶多周期重复控制系统的传递函数的特征方程1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内，

式中，y(z)为插入式分数阶多周期重复控制系统输出，d(z)为系统的干扰输入量；

4)调整系统补偿器F_i(z)、重复控制器增益k_i以实现1+G_M(z)H(z)＝0的所有根均在以原点为中心的单位圆内形成稳定的插入式分数阶多周期重复控制系统。

2.根据权利要求1所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：步骤2)的多周期重复控制器G_M(z)中，无论N_i＝T_i/T_s是整数还是分数，其延迟环节均表示为z^-Ni/2＝z^-[Ni/2]-Di，其中[N_i/2]为N_i/2的整数部分，D_i＝N_i/2-[N_i/2](0≤D_i<1)为N_i的小数部分，分数阶延迟z^-Di采用固定采样率的拉格朗日插值多项式FIR滤波器的方法进行逼近：

其中n是整数多项式次数，q为多项式中每一项的编号，j是一个自然数常数；

将分数阶延迟代入所述通用多周期重复控制器的表达式，得到的通用分数阶多周期重复控制器G_M(z)为：

3.根据权利要求1所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述系统补偿器F_i(z)设计为

式中，c为已知的延迟步长，B^-(z)的根位于单位圆上或单位圆外,而B⁺(z)的根位于单位圆内，A(z)为分母部分。

4.根据权利要求1所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述分数阶多周期重复控制器G_M(z)的控制增益k_i的选取范围为k_i＞0且K∈(0,2)。

5.根据权利要求2所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：步骤1)中所述控制对象G_p(z)的数学模型为：

其中：

v_i(t)＝v_dcu(t)

式中，v_o为滤波电容C两端电压，同时也是输出负载电压，i_L为通过滤波电感L的电流；R为电阻负载，C为滤波电容，L为滤波电感，v_i为逆变输出PWM电压，v_dc为直流母线电压，u(t)为占空比；

以T_s为采样时间的离散时域中数学模型如下，其中v_o为输出电压，R_L为滤波电感L的电阻值，δ₁₁、δ₁₂、δ₁₁、δ₁₂、λ₁、λ₂均为中间参数：

式中各系数如下：

采用如下状态反馈控制器：

u(k)＝-h₁v_o(k)-h₂i_L(k)+h₃v_r(k)

式中，u(k)为控制器输出的控制量，h₁，h₂和h₃为增益，v_r为参考信号。

6.根据权利要求5所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述增益h₁，h₂和h₃设定为：

得到无差拍控制器，采用该无差拍控制器的闭环逆变器系统的传递函数为：

7.根据权利要求5所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述分数阶多周期重复控制器G_M(z)中的各重复控制器均采用延迟补偿器F_i(z)＝z^p加以补偿，通过实验补偿效果取步长p＝5。

8.根据权利要求1所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法，其特征在于：所述控制对象G_p(z)为输出电压/电流信号由多个不相关频率的周期信号所组成的工业设备，包括可编程交流电源、电力变换器、伺服电机。

9.一种通用的分数阶多周期重复控制器，其特征在于：所述控制器通过权利要求1～7中任一项所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器设计方法实现。

10.根据权利要求9所述的一种通用的分数阶多周期重复控制器，其特征在于：所述控制器的控制对象G_p(z)为输出电压/电流信号由多个不相关频率的周期信号所组成的工业设备，包括可编程交流电源、电力变换器、伺服电机。

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