CN114692266A - 一种基于高斯伪谱法的节能坡优化方法 - Google Patents

Abstract

一种基于高斯伪谱法的节能坡优化方法，在规划设计阶段采用该方法实现线路纵断面设计，可以有效节约运营期列车的运行能耗，有效降低轨道交通运营成本。通过多次列车仿真测试实验的对比，发现不同线路、车辆等条件下，列车运行节能效果不同。在巡航工况下，列车运行能耗可节约4.8％‑16.2％，对于用电量较大的轨道交通系统来说，可有效降低运营成本，实现节能减排目标。

Description

一种基于高斯伪谱法的节能坡优化方法

技术领域

本发明涉及轨道交通线路设计领域，适用于城市轨道交通线路纵断面设计。

背景技术

城市轨道交通每天都在消耗着大量的能源，节约运行能耗对降低轨道交通运营成本、提高经济效益具有十分重要的现实意义。

为了降低能耗，人们采取了许多节能措施，包括车辆轻量化(如采用铝合金车体)、节能路线设计、采用移动闭塞列车控制系统等。在轨道交通工程线路纵断面设计时，通常将地铁车站设在线路纵段面的最高处，车站两端均为下坡，实现进出站的“节能坡”设计，它不但要满足地形、地质、障碍物以及行车安全条件的要求，还要力求减少工程量和创造良好的运营条件，已降低运营费用，到达降低能耗的目的。

一般来说，现有工程节能坡设计多是采用组合寻优的方法，通过多种坡道组合，进行列车仿真运行测试。得出仿真运行能耗后，选择列车运行能耗最优的一组坡道设计组合作为节能坡推荐方案。这种做法可以在组合中找出较优的节能坡设计方案，但是无法找到最优方案。同时在考虑控制点高程的情况时，存在一定局限。

随着中国城市化脚步日益加快，我国正处于快速城市化与高能耗问题并存的阶段，城市交通环境污染问题突出。城市轨道交通属节能型交通工具，但城市轨道交通是以电力为能源的交通运输系统，庞大的轨道交通网络总耗电量相当大，列车牵引用电支出在运营成本中占很大比重，尽快找到降低城市轨道交通运营能耗的方法，已成为保持城市轨道交通高速可持续发展必须解决的问题。

在规划设计阶段即综合考虑列车运行能耗与工程设计标准，以对线路纵断面进行优化设计，可以避免轨道交通系统各专业间由于孤立设计而造成的工程浪费，尽可能实现全局性的且贯穿轨道交通全生命周期的节能运营效果。

发明内容

本发明是在合理选线的基础上，通过对能耗等指标进行模拟计算，确定合理的节能坡方案，包括进出站节能坡优化方案和区间坡段组合优化方案，从而有效地降低列车运行能耗。

本发明提出了一种基于高斯伪谱法的节能坡优化方法，包括以下步骤：

1)将列车运行节能坡优化问题转化为最优控制问题表达形式，根据列车操纵的状态，对边界约束、路径约束、容许控制和性能指标进行设置；

对于列车运行系统的最优控制问题，选择坡度作为最优控制问题的容许控制u(t)，列车运行速度、能耗、距离、高程差作为系统状态x(t)，并根据工况分成四个阶段，分别是牵引、巡航、惰行与制动，具体如下：

性能指标J与节能坡优化模型一致，由列车运行能耗与时间偏差惩罚组成。

式中L[u^p(t),x^p(t)]表示第p个阶段的累计能耗，阶段1-4分别表示牵引、巡航、惰行与制动，具体公式如(2)，即每个阶段末端状态中的能耗值。

表示运行变化时间惩罚，若列车运行时间

超过原始方案运行时间t_n一定比例ε(ε取5％)，则

取M(M为无穷大)。若未超过ε，则

取0。

表示p阶段起终点时间，其中

可由dt积分得出，式(4)中a,b,c表示戴维斯公式系数，f_r表示曲线阻力，f_t表示隧道阻力。x(t)表示系统状态，包括速度v(t)，距离S(t)，能耗E(t)，高程差H_z(t)。

牵引阶段系统状态微分方程为：

巡航阶段系统状态微分方程为：

惰行阶段系统状态微分方程为：

制动阶段系统状态微分方程为：

为了使四种工况能够在分界点连续，需要设置一组连杆条件与相邻的阶段相连接。可以保证不同阶段状态向量是连续的，同时求解的结果保证与原优化问题的一致性。

这些约束可以保证时间和系统状态是连续的。

2)处理线路设计数据，所述线路设计数据包括车站站间距、配线形式、曲线半径及位置、控制点高程及位置、区间风井规模及位置；

根据线路设计数据，设定状态量参数及路径约束。

速度v(t)初始值为0、末端值为0，距离S(t)初始值为0、末端值为S_sl，高程差H_z(t)初始值为0、末端值为[H_zl，H_zh]，能耗E(t)初始值为0、末端值无约束，

表1状态量的初始值与末端值

H_zl为设定高程差最低值，H_zh为设定高程差最高值。

纵断面坡度i最小值为i_min，最大坡度为i_max。坡度约束为：

i_min≤i≤i_max (9)

列车运行速度应满足区间运行时间的要求，列车最高运行速度受技术速度v_max限制，同时在牵引—惰行模式和巡航—惰行模式下分别受区间最低运行速度和巡航速度的限制，运行速度满足约束如下：

v_min≤v≤v_max

v_C≤v≤v_max (10)

坡段的高程差指在坡段的起点与终点垂直方向高度的差值。在节能坡设计中，起始车站的埋深已经确定，所以两车站间的高程差是固定的。所以在坡长与坡度设计中，要满足车站高程差的设计要求。每一段坡段产生的高程差为

车站间高程差满足约束如下：

在巡航工况下，列车为保持巡航速度不变，需要维持列车合力F_c为0，所以在巡航工况时，列车需要使用牵引力或者制动力以保持F_c为0。这时需要增加约束，若列车需要牵引，则列车为维持巡航速度的力F_cru应不超过最大牵引力，若列车需要制动，则F_cru应不超过最大制动力，F_cru满足约束如下：

F_B(v_m)≤F_cru≤F_m(v_m) (12)

3)使用高斯伪谱法离散控制与状态变量，将列车运行节能坡优化问题转化为非线性规划问题；

(1)时域变换

将时间区间转换到τ∈[-1,1]，做如下变换：

将上述转换应用于最优控制问题的表达式，性能指标改写如下：

微分方程约束：

边界条件：

σ[x(-1),t₀,x(1),t_f]＝0 (16)

等式及不等式约束，路径约束：

ω[x^p(τ),u^p(τ),τ]≤0 (17)

经过时域变换后，各函数应使用新的符合表示，但是为了方便描述，下文仍采用原符号。

(2)状态变量和控制变量的插值近似

状态和控制变量可以用拉格朗日多项式来近似表示为：

其中L_i(τ)，

为拉格朗日插值多项式为：

终端状态应满足动力学方程约束，而式(18)未定义终端状态，因此需将终端状态约束条件离散并利用高斯积分近似，可得：

式中τ_k为LG点，

为高斯权重，并且满足k＝1,2,…,N。

(3)微分方程约束转换为代数方程

对式(18)求导可得状态x(τ)对时间τ的导数：

将式(23)代入状态方程(22)，并在LG点上离散得：

式(24)中

为微分近似矩阵D_ki，由下式确定：

(4)约束的离散化

在LG点τ_k上对约束离散化处理得：

ω[X(τ_k),U(τ_k),τ_k；t₀,t_f]≤0 (26)

(5)边界条件的离散化：

σ[x(τ₀),t₀,x(τ_f),t_f]＝0 (27)

(6)离散化的性能指标：

式中，w_k为高斯权重。

4)使用序列二次规划算法求解，并采用序列分割算法和积分平均处理方法，得出节能坡设计方案。

高斯伪谱法离散后的非线性规划问题形式如下：

目标函数：

min f(x) (29)

具有约束条件如下：

G_i(x)＝0 i＝1,…,m_e (30)

G_i(x)≤0 i＝m_e+1,…,m (31)

式(29)中f(x)为目标函数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]为设计参数向量，G(x)＝[g₁(x),g₂(x),…,g_m(x)]为函数向量，m_e为约束分界值。该算法通过拉格朗日函数的二次近似求解子问题：

式中λ_i是拉格朗日因子。通过线性化非线性的约束条件后可得到子问题，其目标函数为：

约束为：

式中

表示梯度，d_g为全变量搜索方向，矩阵H_k是拉格朗日函数的海赛矩阵的正定拟牛顿近似。

本发明在规划设计阶段采用该方法实现线路纵断面设计，可以有效节约运营期列车的运行能耗，有效降低轨道交通运营成本。通过多次列车仿真测试实验的对比，发现不同线路、车辆等条件下，列车运行节能效果不同。在巡航工况下，列车运行能耗可节约4.8％-16.2％，对于用电量较大的轨道交通系统来说，可有效降低运营成本，实现节能减排目标。

附图说明

结合附图，并通过参考下面的详细描述，将会更容易地对本发明有更完整的理解并且更容易地理解其伴随的优点和特征，其中：

图1是本发明的基于高斯伪谱法的节能坡优化方法的流程图；

图2是使用本发明的方法求解出列车状态的示图；

图3是使用本发明的方法求解出节能坡设计方案的示图。

具体实施方式

本发明的基于高斯伪谱法的节能坡优化方法，适用于城市轨道交通线路纵断面设计，能够给出列车运行能耗最优的节能坡设计方案，使用该方法可以求解出列车状态，如图2所示；

包括以下步骤：

1)将列车运行节能坡优化问题转化为最优控制问题表达形式，根据列车操纵的状态，对边界约束、路径约束、容许控制和性能指标进行设置；

对于列车运行系统的最优控制问题，选择坡度作为最优控制问题的容许控制u(t)，列车运行速度、能耗、距离、高程差作为系统状态x(t)，并根据工况分成四个阶段，分别是牵引、巡航、惰行与制动，具体如下：

性能指标J与节能坡优化模型一致，由列车运行能耗与时间偏差惩罚组成。

式中L[u^p(t),x^p(t)]表示第p个阶段的累计能耗，阶段1-4分别表示牵引、巡航、惰行与制动，具体公式如(2)，即每个阶段末端状态中的能耗值。

表示运行变化时间惩罚，若列车运行时间

超过原始方案运行时间t_n一定比例ε(ε取5％)，则

取M(M为无穷大)。若未超过ε，则

取0。

表示p阶段起终点时间，其中

可由dt积分得出，式(4)中a,b,c表示戴维斯公式系数，f_r表示曲线阻力，f_t表示隧道阻力。x(t)表示系统状态，包括速度v(t)，距离S(t)，能耗E(t)，高程差H_z(t)。

牵引阶段系统状态微分方程为：

巡航阶段系统状态微分方程为：

惰行阶段系统状态微分方程为：

制动阶段系统状态微分方程为：

为了使四种工况能够在分界点连续，需要设置一组连杆条件与相邻的阶段相连接。可以保证不同阶段状态向量是连续的，同时求解的结果保证与原优化问题的一致性。

这些约束可以保证时间和系统状态是连续的。

2)处理线路设计数据，所述线路设计数据包括车站站间距、配线形式、曲线半径及位置、控制点高程及位置、区间风井规模及位置；

根据线路设计数据，设定状态量参数及路径约束。

速度v(t)初始值为0、末端值为0，距离S(t)初始值为0、末端值为S_sl，高程差H_z(t)初始值为0、末端值为[H_zl，H_zh]，能耗E(t)初始值为0、末端值无约束，

表1状态量的初始值与末端值

H_zl为设定高程差最低值，H_zh为设定高程差最高值。

纵断面坡度i最小值为i_min，最大坡度为i_max。坡度约束为：

i_min≤i≤i_max (9)

列车运行速度应满足区间运行时间的要求，列车最高运行速度受技术速度v_max限制，同时在牵引—惰行模式和巡航—惰行模式下分别受区间最低运行速度和巡航速度的限制，运行速度满足约束如下：

v_min≤v≤v_max

v_C≤v≤v_max (10)

坡段的高程差指在坡段的起点与终点垂直方向高度的差值。在节能坡设计中，起始车站的埋深已经确定，所以两车站间的高程差是固定的。所以在坡长与坡度设计中，要满足车站高程差的设计要求。每一段坡段产生的高程差为

车站间高程差满足约束如下：

在巡航工况下，列车为保持巡航速度不变，需要维持列车合力F_c为0，所以在巡航工况时，列车需要使用牵引力或者制动力以保持F_c为0。这时需要增加约束，若列车需要牵引，则列车为维持巡航速度的力F_cru应不超过最大牵引力，若列车需要制动，则F_cru应不超过最大制动力，F_cru满足约束如下：

F_B(v_m)≤F_cru≤F_m(v_m) (12)

3)使用高斯伪谱法离散控制与状态变量，将列车运行节能坡优化问题转化为非线性规划问题；

(1)时域变换

将时间区间转换到τ∈[-1,1]，做如下变换：

将上述转换应用于最优控制问题的表达式，性能指标改写如下：

微分方程约束：

边界条件：

σ[x(-1),t₀,x(1),t_f]＝0 (16)

等式及不等式约束，路径约束：

ω[x^p(τ),u^p(τ),τ]≤0 (17)

经过时域变换后，各函数应使用新的符合表示，但是为了方便描述，下文仍采用原符号。

(2)状态变量和控制变量的插值近似

状态和控制变量可以用拉格朗日多项式来近似表示为：

其中L_i(τ)，

为拉格朗日插值多项式为：

终端状态应满足动力学方程约束，而式(18)未定义终端状态，因此需将终端状态约束条件离散并利用高斯积分近似，可得：

式中τ_k为LG点，

为高斯权重，并且满足k＝1,2,…,N。

(3)微分方程约束转换为代数方程

对式(18)求导可得状态x(τ)对时间τ的导数：

将式(23)代入状态方程(22)，并在LG点上离散得：

式(24)中

为微分近似矩阵D_ki，由下式确定：

(4)约束的离散化

在LG点τ_k上对约束离散化处理得：

ω[X(τ_k),U(τ_k),τ_k；t₀,t_f]≤0 (26)

(5)边界条件的离散化：

σ[x(τ₀),t₀,x(τ_f),t_f]＝0 (27)

(6)离散化的性能指标：

式中，w_k为高斯权重。

4)使用序列二次规划算法求解，并采用序列分割算法和积分平均处理方法，得出节能坡设计方案，如图3所示。

高斯伪谱法离散后的非线性规划问题形式如下：

目标函数：

min f(x) (29)

具有约束条件如下：

G_i(x)＝0 i＝1,…,m_e (30)

G_i(x)≤0 i＝m_e+1,…,m (31)

式(29)中f(x)为目标函数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]为设计参数向量，G(x)＝[g₁(x),g₂(x),…,g_m(x)]为函数向量，m_e为约束分界值。该算法通过拉格朗日函数的二次近似求解子问题：

式中λ_i是拉格朗日因子。通过线性化非线性的约束条件后可得到子问题，其目标函数为：

约束为：

式中

表示梯度，d_g为全变量搜索方向，矩阵H_k是拉格朗日函数的海赛矩阵的正定拟牛顿近似。

Claims (1)

1.一种基于高斯伪谱法的节能坡优化方法，包括以下步骤：

1)将列车运行节能坡优化问题转化为最优控制问题表达形式，根据列车操纵的状态，对边界约束、路径约束、容许控制和性能指标进行设置；

对于列车运行系统的最优控制问题，选择坡度作为最优控制问题的容许控制u(t)，列车运行速度、能耗、距离、高程差作为系统状态x(t)，并根据工况分成四个阶段，分别是牵引、巡航、惰行与制动，具体如下：

性能指标J与节能坡优化模型一致，由列车运行能耗与时间偏差惩罚组成；

式中L[u^p(t),x^p(t)]表示第p个阶段的累计能耗，阶段1-4分别表示牵引、巡航、惰行与制动，具体公式如(2)，即每个阶段末端状态中的能耗值。

表示运行变化时间惩罚，若列车运行时间

超过原始方案运行时间t_n一定比例ε(ε取5％)，则

取M(M为无穷大)；若未超过ε，则

取0；

表示p阶段起终点时间，其中

可由dt积分得出，式(4)中a,b,c表示戴维斯公式系数，f_r表示曲线阻力，f_t表示隧道阻力；x(t)表示系统状态，包括速度v(t)，距离S(t)，能耗E(t)，高程差H_z(t)；

牵引阶段系统状态微分方程为：

巡航阶段系统状态微分方程为：

惰行阶段系统状态微分方程为：

制动阶段系统状态微分方程为：

为了使四种工况能够在分界点连续，需要设置一组连杆条件与相邻的阶段相连接；可以保证不同阶段状态向量是连续的，同时求解的结果保证与原优化问题的一致性；

这些约束可以保证时间和系统状态是连续的；

2)处理线路设计数据，所述线路设计数据包括车站站间距、配线形式、曲线半径及位置、控制点高程及位置、区间风井规模及位置；

根据线路设计数据，设定状态量参数及路径约束；

速度v(t)初始值为0、末端值为0，距离S(t)初始值为0、末端值为S_sl，高程差H_z(t)初始值为0、末端值为[H_zl，H_zh]，能耗E(t)初始值为0、末端值无约束，H_zl为设定高程差最低值，H_zh为设定高程差最高值；

纵断面坡度i最小值为i_min，最大坡度为i_max；坡度约束为：

i_min≤i≤i_max (9)

列车运行速度应满足区间运行时间的要求，列车最高运行速度受技术速度v_max限制，同时在牵引—惰行模式和巡航—惰行模式下分别受区间最低运行速度和巡航速度的限制，运行速度满足约束如下：

坡段的高程差指在坡段的起点与终点垂直方向高度的差值；在节能坡设计中，起始车站的埋深已经确定，所以两车站间的高程差是固定的；所以在坡长与坡度设计中，要满足车站高程差的设计要求；每一段坡段产生的高程差为

车站间高程差满足约束如下：

在巡航工况下，列车为保持巡航速度不变，需要维持列车合力F_c为0，所以在巡航工况时，列车需要使用牵引力或者制动力以保持F_c为0；这时需要增加约束，若列车需要牵引，则列车为维持巡航速度的力F_cru应不超过最大牵引力，若列车需要制动，则F_cru应不超过最大制动力，F_cru满足约束如下：

F_B(v_m)≤F_cru≤F_m(v_m) (12)

3)使用高斯伪谱法离散控制与状态变量，将列车运行节能坡优化问题转化为非线性规划问题；

(1)时域变换

将时间区间转换到τ∈[-1,1]，做如下变换：

将上述转换应用于最优控制问题的表达式，性能指标改写如下：

微分方程约束：

边界条件：

σ[x(-1),t₀,x(1),t_f]＝0 (16)

等式及不等式约束，路径约束：

ω[x^p(τ),u^p(τ),τ]≤0 (17)

经过时域变换后，各函数应使用新的符合表示，但是为了方便描述，下文仍采用原符号；

(2)状态变量和控制变量的插值近似

状态和控制变量可以用拉格朗日多项式来近似表示为：

其中L_i(τ)，

为拉格朗日插值多项式为：

终端状态应满足动力学方程约束，而式(18)未定义终端状态，因此需将终端状态约束条件离散并利用高斯积分近似，可得：

式中τ_k为LG点，

为高斯权重，并且满足k＝1,2,…,N；

(3)微分方程约束转换为代数方程

对式(18)求导可得状态x(τ)对时间τ的导数：

将式(23)代入状态方程(22)，并在LG点上离散得：

式(24)中

为微分近似矩阵D_ki，由下式确定：

(4)约束的离散化

在LG点τ_k上对约束离散化处理得：

ω[X(τ_k),U(τ_k),τ_k；t₀,t_f]≤0 (26)

(5)边界条件的离散化：

σ[x(τ₀),t₀,x(τ_f),t_f]＝0 (27)

(6)离散化的性能指标：

式中，w_k为高斯权重；

4)使用序列二次规划算法求解，并采用序列分割算法和积分平均处理方法，得出节能坡设计方案；

高斯伪谱法离散后的非线性规划问题形式如下：

目标函数：

min f(x) (29)

具有约束条件如下：

G_i(x)＝0 i＝1,…,m_e (30)

G_i(x)≤0 i＝m_e+1,…,m (31)

式(29)中f(x)为目标函数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]为设计参数向量，G(x)＝[g₁(x),g₂(x),…,g_m(x)]为函数向量，m_e为约束分界值；该算法通过拉格朗日函数的二次近似求解子问题：

式中λ_i是拉格朗日因子；通过线性化非线性的约束条件后可得到子问题，其目标函数为：

约束为：

式中

表示梯度，d_g为全变量搜索方向，矩阵H_k是拉格朗日函数的海赛矩阵的正定拟牛顿近似。

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