CN114662270A - 可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本申请涉及一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，包括以下步骤：构建可重复使用火箭的全箭简化模型；在火箭着陆与地面碰撞阶段，设计简化动力学模型A，在缓冲器缓冲阶段，设计简化动力学模型B，建立动力学方程式一；依据简化动力学模型B建立完整的动力学方程二；需确定缓冲器中刚度、阻尼为优化参数，确定缓冲器压缩行程为约束条件，确定箭体过载为优化目标，确定迭代次数；进行优化迭代计算；优化迭代后，得到所有迭代中最小过载，并获得对应的最优缓冲器参数。本申请具有以下可预期的技术效果：设计简化动力学模型，以该模型实现快速迭代，利用非线性规划的方法优化设计缓冲器参数，得到最优箭体过载，从而达到优化着陆载荷的目的。

Description

可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法

技术领域

本申请涉及航天火箭着陆技术领域，尤其是涉及一种可重复使用火箭的着 陆载荷优化设计方法。

背景技术

可重复使用火箭一般采用回收支腿支撑方式着陆，该回收支腿包含支腿、 缓冲器、足垫等主要结构，用于减小箭体着陆时载荷。可重复使用火箭着陆经 历：发动机关机-自由落体-与地面碰撞-足垫滑动-缓冲器缓冲-成功着陆等主要过 程，若着陆中箭体载荷过大，将导致结构舱段或单机损坏，降低火箭重复利用 率，因此需优化设计着陆载荷。

但是，在设计阶段，对于带复杂支腿结构的可重复使用火箭，其箭体、支 腿、缓冲器、足垫等部件的连接包含多个铰链，如球铰、固定铰、万向节等， 复杂的支腿结构和连接形式导致箭体着陆载荷复杂多变，其影响因素较多。着 陆载荷影响因素中以碰撞、缓冲器性能占主要因素，其中碰撞与着陆速度、着 陆质量、与地面接触关系等参数有关；对于缓冲器，常以刚度、阻尼形式来进 行参数化描述。由于与碰撞相关参数受制导精度、发射场等限制，因此，在设 计中，对着陆载荷的优化重点在于对缓冲器参数的优化。

着陆载荷与火箭着陆过载正相关，由此对着陆载荷的优化即优化设计缓冲 器刚度、阻尼，从而在最大程度上减小着陆过载，但是受制于可重复使用火箭 的复杂支腿结构，很难对可重复使用火箭的着陆载荷进行优化设计，故而有待 改进。

发明内容

为了改善传统方法难以对可重复使用火箭的着陆载荷进行优化设计的问 题，本申请提供一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法。

本申请提供一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，采用如下的技 术方案：

一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，包括以下步骤：

步骤一，构建可重复使用火箭的全箭简化模型，全箭简化模型包括模拟箭 体外形的中心圆柱、模拟支腿的细杆构件、模拟足垫的方形构件以及模拟缓冲 器的弹簧构件，弹簧构件连接于细杆构件和方形构件之间；

步骤二，在火箭着陆与地面碰撞阶段，主要为足垫与地面的碰撞，依据该 阶段动力学特性，设计简化动力学模型A，将箭体、支腿、足垫看作整体分析 对象；在缓冲器缓冲阶段，以缓冲器压缩作为主要承力部件，设计简化动力学 模型B，将箭体、支腿看作第一分析对象，将足垫看作第二分析对象，箭体、支 腿与足垫之间的动力学过程用缓冲器参数刚度、阻尼进行描述；

基于简化动力学模型A和简化动力学模型B，足垫与地面的碰撞动力学过 程的动力学方程式一如下：

式中，k_p为碰撞中足垫与地面的接触刚度；δ为足垫压进地面的深度，即渗 透深度；e为非线性指数；c_p为碰撞中接触阻尼；v_p为碰撞中足垫相对地面速度； d为全阻尼渗透深度；c_pmax为碰撞中最大接触阻尼；F_normal为碰撞中足垫与地面的 法向接触力；

步骤三，依据简化动力学模型B建立完整的动力学方程，动力学方程式二 为：

k₂＝k_p·u₂ ^e/u₂,c₂＝c_p

式中，u₁为第一分析对象相对地面的位移；m₁为第一分析对象的质量；u₂为 第二分析对象相对地面的位移，即渗透深度；m₂为第二分析对象-足垫质量；k₁为 缓冲器等效定刚度，为常值；c₁为缓冲器等效定阻尼，为常值；k₂为碰撞中等效 定刚度，为常值；c₂为碰撞中等效定阻尼，为常值；

表示u₁对时间的1阶导数，

表示u₁对时间的2阶导数，

表示u₂对时间的1阶导数，

表示u₂对时间的2 阶导数；

步骤四，在优化前，需确定缓冲器中刚度、阻尼为优化参数，确定缓冲器 压缩行程为约束条件，确定箭体过载为优化目标，确定迭代次数；

步骤五，开始优化，首先输入箭体和支腿质量、足垫质量、接触刚度、初 始接触阻尼、最大迭代次数、优化参数初值；

步骤六，然后判断当前足垫位移是否大于全阻尼渗透深度，进而重新确定 接触阻尼大小；

步骤七，接着带入动力学方程式二进行计算，得到当前优化参数下最大过 载及缓冲器行程，再接着判断是否超出最大迭代次数，若超出，则结束优化， 并进行下一个步骤；若未超出，则利用非线性规划重置初始参数，并回到步骤 五，实现循环迭代；

步骤八，优化迭代完毕后，得到所有迭代中最小过载，并获得对应的最优 缓冲器参数，即定刚度与定阻尼。

进一步地，以油气式缓冲器为例，其刚度与阻尼特性表征为非线性，缓冲 器缓冲的实质是能量的转化，在相同缓冲器行程和速度下，使缓冲器回复力、 阻尼力所做的功分别等于在设计时由最优定刚度下的回复力、最优定阻尼下的 阻尼力所做的功；

在工程上，油气式缓冲器回复力、阻尼力的计算方法分别为：

式中：F_s为空气回复力，P₀为缓冲器初始充压，A₀为气室面积，V₀为充气 体积，X_s为缓冲器行程，γ为气体多方指数，F_c为油液阻尼力，ρ为油液密度， D_c为油孔流量系数，A_c1为正行程油室油孔面积，A_c2为负行程油室油孔面积；

上述各参数中，对于回复力，缓冲器初始充压为主要设计参数P₀；对于阻尼 力，油室油孔面积A_c1、A_c2为主要设计参数，其余参数由几何关系、物性参数和 工程经验得到；

缓冲器回复力与阻尼力所做功的计算方式为：

由此可设计得到缓冲器初始充压P₀、正行程油室油孔面积A_c1和负行程油室 油孔面积A_c2，并得到缓冲器行程-回复力、速度-阻尼力曲线。

进一步地，K_p、c_p、e受足垫和地面物性属性影响，K_p、c_p、e的值均可 通过试验或经验获取，且当地面与足垫皆为干燥钢材时，K_p＝10⁷N/m， c_p＝5×10⁴N·s/m，e＝1.5。

进一步地，全阻尼渗透深度d与足垫的结构形状有关，基于“赫兹碰撞理论”， 当碰撞两物体由“点接触”逐渐变为“面接触”时，随着接触面的增大，阻尼 逐渐增大，当可重复使用火箭的足垫底部为平整面时，火箭的足垫与地面碰撞 瞬间接触就为面接触，因此d取小值，并令d＝10^-5m，此时接触阻尼为常值 c_pmax＝5×10⁴N·s/m。

进一步地，基于动力学方程式二，以缓冲器最大行程不超过200mm，即 L＝u₁-u₂≤200mm作为约束条件，以每次迭代中箭体动力学响应中m₁最大过载g₁作为优化目标，可设计最大迭代次数N＝400。

进一步地，优化后的缓冲器等效定刚度与等效定阻尼分别为 k₁＝8.68×10⁵N/m，c₁＝5.122×10⁴Ns/m。

进一步地，取A₀＝1.4957×10^-2m²，V₀＝3.739×10^-3m³，γ＝1.3，ρ＝912kg/m³， D_c＝0.8，由此可设计得到P₀＝2.235MPa，A_c1＝3.4339×10^-4m²，A_c2＝1.7426×10^-4m²。

综上所述，本申请包括以下至少一种有益技术效果：

1.根据可重复使用火箭的动力学特性，设计简化动力学模型，以该模型实现 快速迭代，利用非线性规划的方法优化设计缓冲器参数，得到最优箭体过载， 从而达到优化着陆载荷的目的；

2.以油气式缓冲器为例，对可重复使用火箭的缓冲器参数进行优化设计，进 而实现对着陆载荷的优化，对其中非设计参数，都可依据其几何特性、物性参 数、工程经验等获得；而对设计参数，可优化后获得；

3.对于可重复使用火箭，在着陆时碰撞及缓冲为必须经历的过程，因此本 申请技术方案具有一定普适性，依据该发明的设计思路，对减小箭体着陆载荷 具有显著效果，在设计阶段，特别是无法明确火箭在带有复杂支腿构型后的动 力学特性时，都可依据本申请原理，简化其动力学模型，结合非线性规划，实 现快速迭代，获得优化后的缓冲器参数，进而减小箭体着陆载荷。

附图说明

为了更清楚地说明本申请实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所 需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请 的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下， 还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本申请实施例的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法的流程示 意图。

图2是本申请实施例中带复杂支腿构型的可重复使用火箭的全箭简化模型。

图3是本申请实施例中碰撞阶段的全箭简化动力学模型A。

图4是本申请实施例中缓冲阶段的全箭简化动力学模型B。

图5是本申请实施例中缓冲器参数优化设计流程示意图。

图6是本申请实施例中在最优缓冲器参数下箭体过载-时间变化曲线图；

图7是本申请实施例中设计的非线性缓冲器的行程-回复力曲线图。

图8是本申请实施例中设计的非线性缓冲器的速度-阻尼力曲线图。

附图标记说明：

101、中心圆柱；102、细杆构件；103、方形构件；104、弹簧构件。

具体实施方式

为了使本申请所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白， 以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处所描 述的具体实施例仅仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。

需要说明的是，当元件被称为“固定于”或“设置于”另一个元件，它可 以直接在另一个元件上或者间接在该另一个元件上。当一个元件被称为是“连 接于”另一个元件，它可以是直接连接到另一个元件或间接连接至该另一个元 件上。

需要理解的是，术语“长度”、“宽度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、 “右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系 为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本申请和简化描述，而 不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和 操作，因此不能理解为对本申请的限制。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示 相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第 二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本申请的描述 中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。

以下结合附图1-8对本申请作进一步详细说明。

本申请实施例公开一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法。参照图 1，可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，包括以下步骤：

步骤一，构建可重复使用火箭的全箭简化模型，具体参照图2，全箭简化模 型包括模拟箭体外形的中心圆柱101、模拟支腿的细杆构件102、模拟足垫的方 形构件103以及模拟缓冲器的弹簧构件104，弹簧构件104连接于细杆构件和方 形构件之间。

步骤二，在火箭着陆与地面碰撞阶段，主要为足垫与地面的碰撞，依据该 阶段动力学特性，设计简化动力学模型A，具体参照图3，将箭体、支腿、足垫 看作整体分析对象；在缓冲器缓冲阶段，以缓冲器压缩作为主要承力部件，设 计简化动力学模型B，具体参照图4，将箭体、支腿看作第一分析对象，将足垫 看作第二分析对象，箭体、支腿与足垫之间的动力学过程用缓冲器参数刚度、 阻尼进行描述；

基于简化动力学模型A和简化动力学模型B，足垫与地面的碰撞动力学过 程的动力学方程式一如下：

式中，k_p为碰撞中足垫与地面的接触刚度；δ为足垫压进地面的深度，即渗 透深度；e为非线性指数；c_p为碰撞中接触阻尼；v_p为碰撞中足垫相对地面速度； d为全阻尼渗透深度；c_pmax为碰撞中最大接触阻尼；F_normal为碰撞中足垫与地面的 法向接触力。

步骤三，依据简化动力学模型B建立完整的动力学方程，动力学方程式二 为：

k₂＝k_p·u₂ ^e/u₂,c₂＝c_p

式中，u₁为第一分析对象相对地面的位移；m₁为第一分析对象的质量；u₂为 第二分析对象相对地面的位移，即渗透深度；m₂为第二分析对象-足垫质量；k₁为 缓冲器等效定刚度，为常值；c₁为缓冲器等效定阻尼，为常值；k₂为碰撞中等效 定刚度，为常值；c₂为碰撞中等效定阻尼，为常值；

表示u₁对时间的1阶导数，

表示u₁对时间的2阶导数，

表示u₂对时间的1阶导数，

表示u₂对时间的2 阶导数。

步骤四，优化过程设计如图5所示，在优化前，需确定缓冲器中刚度、阻 尼为优化参数，确定缓冲器压缩行程为约束条件，确定箭体过载为优化目标， 确定迭代次数。

步骤五，开始优化，首先输入箭体和支腿质量、足垫质量、接触刚度、初 始接触阻尼、最大迭代次数、优化参数初值。

步骤六，然后判断当前足垫位移是否大于全阻尼渗透深度，进而重新确定 接触阻尼大小。

步骤七，接着带入动力学方程式二进行计算，得到当前优化参数下最大过 载及缓冲器行程，再接着判断是否超出最大迭代次数，若超出，则结束优化， 并进行下一个步骤；若未超出，则利用非线性规划重置初始参数，并回到步骤 五，实现循环迭代。

步骤八，优化迭代完毕后，得到所有迭代中最小过载，并获得对应的最优 缓冲器参数，即定刚度与定阻尼。

以油气式缓冲器为例，其刚度与阻尼特性表征为非线性，缓冲器缓冲的实 质是能量的转化，在相同缓冲器行程和速度下，使缓冲器回复力、阻尼力所做 的功分别等于在设计时由最优定刚度下的回复力、最优定阻尼下的阻尼力所做 的功；

在工程上，油气式缓冲器回复力、阻尼力的计算方法分别为：

式中：F_s为空气回复力，P₀为缓冲器初始充压，A₀为气室面积，V₀为充气 体积，X_s为缓冲器行程，γ为气体多方指数，F_c为油液阻尼力，ρ为油液密度， D_c为油孔流量系数，A_c1为正行程油室油孔面积，A_c2为负行程油室油孔面积；

上述各参数中，对于回复力，缓冲器初始充压为主要设计参数P₀；对于阻尼 力，油室油孔面积A_c1、A_c2为主要设计参数，其余参数由几何关系、物性参数和 工程经验得到；

缓冲器回复力与阻尼力所做功的计算方式为：

由此可设计得到缓冲器初始充压P₀、正行程油室油孔面积A_c1和负行程油室 油孔面积A_c2，并得到缓冲器行程-回复力、速度-阻尼力曲线。

K_p、c_p、e受足垫和地面物性属性影响，K_p、c_p、e的值均可通过试验或 经验获取，且当地面与足垫皆为干燥钢材时，K_p＝10⁷N/m，c_p＝5×10⁴N·s/m， e＝1.5。

全阻尼渗透深度d与足垫的结构形状有关，基于“赫兹碰撞理论”，当碰撞 两物体由“点接触”逐渐变为“面接触”时，随着接触面的增大，阻尼逐渐增 大，当可重复使用火箭的足垫底部为平整面时，火箭的足垫与地面碰撞瞬间接 触就为面接触，因此d取小值，并令d＝10^-5m，此时接触阻尼为常值c_pmax＝5×10⁴N·s/m。

基于动力学方程式二，以缓冲器最大行程不超过200mm，即L＝u₁-u₂≤200mm 作为约束条件，以每次迭代中箭体动力学响应中m₁最大过载g₁作为优化目标， 可设计最大迭代次数N＝400。

优化后的缓冲器等效定刚度与等效定阻尼分别为

k₁＝8.68×10⁵N/m，c₁＝5.122×10⁴Ns/m。在最优缓冲器参数下箭体过载-时间变化曲线图，如图6所示。

取A₀＝1.4957×10^-2m²，V₀＝3.739×10^-3m³，γ＝1.3，ρ＝912kg/m³，D_c＝0.8，由 此可设计得到P₀＝2.235MPa，A_c1＝3.4339×10^-4m²，A_c2＝1.7426×10^-4m²。本申请实施例 中设计的非线性缓冲器的行程-回复力曲线图，如图7所示；本申请实施例中设 计的非线性缓冲器的速度-阻尼力曲线图，如图8所示。

本申请实施例一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法的实施原理 为：根据可重复使用火箭的动力学特性，设计简化动力学模型，以该模型实现 快速迭代，利用非线性规划的方法优化设计缓冲器参数，得到最优箭体过载， 从而达到优化着陆载荷的目的。

以油气式缓冲器为例，对可重复使用火箭的缓冲器参数进行优化设计，进 而实现对着陆载荷的优化，对其中非设计参数，都可依据其几何特性、物性参 数、工程经验等获得；而对设计参数，可优化后获得。

对于可重复使用火箭，在着陆时碰撞及缓冲为必须经历的过程，因此本申 请技术方案具有一定普适性，依据该发明的设计思路，对减小箭体着陆载荷具 有显著效果，在设计阶段，特别是无法明确火箭在带有复杂支腿构型后的动力 学特性时，都可依据本申请原理，简化其动力学模型，结合非线性规划，实现 快速迭代，获得优化后的缓冲器参数，进而减小箭体着陆载荷。

以上所述仅为本申请的较佳实施例而已，并不用以限制本申请，凡在申请 的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本申请的 保护范围之内。

Claims (7)

1.一种可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，构建可重复使用火箭的全箭简化模型，全箭简化模型包括模拟箭体外形的中心圆柱、模拟支腿的细杆构件、模拟足垫的方形构件以及模拟缓冲器的弹簧构件，弹簧构件连接于细杆构件和方形构件之间；

步骤二，在火箭着陆与地面碰撞阶段，主要为足垫与地面的碰撞，依据该阶段动力学特性，设计简化动力学模型A，将箭体、支腿、足垫看作整体分析对象；在缓冲器缓冲阶段，以缓冲器压缩作为主要承力部件，设计简化动力学模型B，将箭体、支腿看作第一分析对象，将足垫看作第二分析对象，箭体、支腿与足垫之间的动力学过程用缓冲器参数刚度、阻尼进行描述；

基于简化动力学模型A和简化动力学模型B，足垫与地面的碰撞动力学过程的动力学方程式一如下：

式中，k_p为碰撞中足垫与地面的接触刚度；δ为足垫压进地面的深度，即渗透深度；e为非线性指数；c_p为碰撞中接触阻尼；v_p为碰撞中足垫相对地面速度；d为全阻尼渗透深度；c_pmax为碰撞中最大接触阻尼；F_normal为碰撞中足垫与地面的法向接触力；

步骤三，依据简化动力学模型B建立完整的动力学方程，动力学方程式二为：

k₂＝k_p·u₂ ^e/u₂,c₂＝c_p

式中，u₁为第一分析对象相对地面的位移；m₁为第一分析对象的质量；u₂为第二分析对象相对地面的位移，即渗透深度；m₂为第二分析对象-足垫质量；k₁为缓冲器等效定刚度，为常值；c₁为缓冲器等效定阻尼，为常值；k₂为碰撞中等效定刚度，为常值；c₂为碰撞中等效定阻尼，为常值；

表示u₁对时间的1阶导数，

表示u₁对时间的2阶导数，

表示u₂对时间的1阶导数，

表示u₂对时间的2阶导数；

步骤四，在优化前，需确定缓冲器中刚度、阻尼为优化参数，确定缓冲器压缩行程为约束条件，确定箭体过载为优化目标，确定迭代次数；

步骤五，开始优化，首先输入箭体和支腿质量、足垫质量、接触刚度、初始接触阻尼、最大迭代次数、优化参数初值；

步骤六，然后判断当前足垫位移是否大于全阻尼渗透深度，进而重新确定接触阻尼大小；

步骤七，接着带入动力学方程式二进行计算，得到当前优化参数下最大过载及缓冲器行程，再接着判断是否超出最大迭代次数，若超出，则结束优化，并进行下一个步骤；若未超出，则利用非线性规划重置初始参数，并回到步骤五，实现循环迭代；

步骤八，优化迭代完毕后，得到所有迭代中最小过载，并获得对应的最优缓冲器参数，即定刚度与定阻尼。

2.根据权利要求1所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：以油气式缓冲器为例，其刚度与阻尼特性表征为非线性，缓冲器缓冲的实质是能量的转化，在相同缓冲器行程和速度下，使缓冲器回复力、阻尼力所做的功分别等于在设计时由最优定刚度下的回复力、最优定阻尼下的阻尼力所做的功；

在工程上，油气式缓冲器回复力、阻尼力的计算方法分别为：

式中：F_s为空气回复力，P₀为缓冲器初始充压，A₀为气室面积，V₀为充气体积，X_s为缓冲器行程，γ为气体多方指数，F_c为油液阻尼力，ρ为油液密度，D_c为油孔流量系数，A_c1为正行程油室油孔面积，A_c2为负行程油室油孔面积；

上述各参数中，对于回复力，缓冲器初始充压为主要设计参数P₀；对于阻尼力，油室油孔面积A_c1、A_c2为主要设计参数，其余参数由几何关系、物性参数和工程经验得到；

缓冲器回复力与阻尼力所做功的计算方式为：

由此可设计得到缓冲器初始充压P₀、正行程油室油孔面积A_c1和负行程油室油孔面积A_c2，并得到缓冲器行程-回复力、速度-阻尼力曲线。

3.根据权利要求2所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：K_p、c_p、e受足垫和地面物性属性影响，K_p、c_p、e的值均可通过试验或经验获取，且当地面与足垫皆为干燥钢材时，K_p＝10⁷N/m，c_p＝5×10⁴N·s/m，e＝1.5。

4.根据权利要求3所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：全阻尼渗透深度d与足垫的结构形状有关，基于“赫兹碰撞理论”，当碰撞两物体由“点接触”逐渐变为“面接触”时，随着接触面的增大，阻尼逐渐增大，当可重复使用火箭的足垫底部为平整面时，火箭的足垫与地面碰撞瞬间接触就为面接触，因此d取小值，并令d＝10^-5m，此时接触阻尼为常值c_pmax＝5×10⁴N·s/m。

5.根据权利要求4所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：基于动力学方程式二，以缓冲器最大行程不超过200mm，即L＝u₁-u₂≤200mm作为约束条件，以每次迭代中箭体动力学响应中m₁最大过载g₁作为优化目标，可设计最大迭代次数N＝400。

6.根据权利要求5所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：优化后的缓冲器等效定刚度与等效定阻尼分别为k₁＝8.68×1⁵0N/m，c₁＝5.122×10⁴Ns/m。

7.根据权利要求6所述的可重复使用火箭的着陆载荷优化设计方法，其特征在于：取A₀＝1.4957×10^-2m²，V₀＝3.739×10^-3m³，γ＝1.3，ρ＝912kg/m³，D_c＝0.8，由此可设计得到P₀＝2.235MPa，A_c1＝3.4339×10^-4m²,A_c2＝1.7426×10^-4m²。

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