CN114419055B - 一种基于高斯像的可展面分割-拟合方法 - Google Patents

一种基于高斯像的可展面分割-拟合方法 Download PDF

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CN114419055B CN202210094064.7A CN202210094064A CN114419055B CN 114419055 B CN114419055 B CN 114419055B CN 202210094064 A CN202210094064 A CN 202210094064A CN 114419055 B CN114419055 B CN 114419055B
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Abstract

本发明公开一种基于高斯像的可展面分割‑拟合方法，方案包括：利用主成分分析方法选取种子面片；利用相关系数和区域增长法对高斯像中的点集进行聚类，生成线状点集；将面片数小的类整合到面片数大的类中；用曲线拟合每个线状点集，生成对应的可展面。在分割步骤，重新定义了高斯像点，让其更好地表示曲面的切平面，并设计了新颖的用于分割出线状高斯像的度量方法，该度量考虑了点集局部的线性程度和线性方向的吻合程度，将其运用于区域增长算法能够保证分割所得的每个高斯像点集呈现曲线状且该曲线不分叉。在拟合步骤，设计了提取高斯像点序集的算法，保证了拟合的参数表示可展面足够接近原曲面。

Description

一种基于高斯像的可展面分割-拟合方法
技术领域
本说明书涉及计算机图形处理技术领域，尤其涉及一种便基于高斯像的可展面分割-拟合方法。
背景技术
可展面在计算机辅助设计、计算机图形学和建筑设计中有着广泛的应用。从分类上看，可展面主要分为三大类：柱面、锥面和切线面，它们可通过常见的不可拉伸的平面材料如纸张、布料或钢板弯曲而成，也可以通过铣床由圆柱或圆锥形铣刀侧铣加工而成。
由于可展面在日常生活中很常见，与可展面相关的分割与拟合问题在过去的几十年中得到了广泛的研究。从可展面的表示形式上看，针对不同的需求，现有算法采取不同策略将计算机图形学中最常见的三角网格分割或拟合为不同方式表达的可展面，如：在建筑领域，需要将网格模型分割并拟合为排列相对整齐的平面或锥面组成的模型(K.Gavriil,A.Schiftner,and H.Pottmann.Optimizing B-spline surfaces for developabilityand paneling architectural freeform surfaces.Computer-Aided Design,111:29–43,2019.)；在纸张设计领域，需要将网格模型分割并拟合为柱面或锥面模型(D.Julius,V.Kraevoy,and A.Sheffer.D-charts:Quasi-developable mesh segmentation.ComputerGraphics Forum,24(3):581–590,2005.)，或正交四边测地网格(M.Rabinovich,T.Hoffmann,and O.Sorkine-Hornung.Discrete geodesic nets for modelingdevelopable surfaces.ACM Trans.on Graphics,37(2),2018.)；在布料设计领域，需要将网格模型分割为内点高斯曲率和尽可能地小且边界线长度尽可能地短的网格面片(H.Yamauchi,S.Gumhold,R.Zayer,and H.-P.Seidel.Mesh segmentation driven byGaussian curvature.The Visual Computer,21(8):659–668,2005.)。然而，针对数控机床的侧铣加工方法，要得到高精度的加工结果，首先需要得到参数表达的光滑可展面，在已有的方法中，还没有方法能够将三角网格模型转换为参数表达的分片光滑可展面。
相关的用分片光滑可展面逼近三角网格模型的工作包括通过限制三角网格的局部形状进行逼近(O.Stein,E.Grinspun,and K.Crane.Developability of trianglemeshes.ACM Trans.on Graphics(Proc.SIGGRAPH),37(4),2018.)、通过限制三角网格的局部法向进行逼近(A.Binninger,F.Verhoeven,P.Herholz,and O.SorkineHornung.Developable approximation via Gauss image thinning.Computer GraphicsForum(Proc.SGP),40(5):289–300,2021.)。这些工作并不能满足所得曲面是可展面的要求，只能得到近似可展的曲面；也不能满足分片的需求，因为这些工作的拟合算法中不考虑面片的分割。
发明内容
为解决上述技术问题，本说明书实施例是这样实现的：本发明提供一种基于高斯像的可展面分割-拟合方法，包括：
步骤S1、利用主成分分析方法选取种子面片；
步骤S2、利用相关系数和区域增长法对高斯像中的点集进行聚类，生成线状点集；
步骤S3、将面片数小的类整合到面片数大的类中；
步骤S4、用曲线拟合每个线状点集，生成对应的可展面。
优选的，所述步骤S1中选取所有面片种最平坦的面片作为种子面片，种子面片f的平坦程度通过所述种子面片f邻域面片的高斯像点的聚集程度来度量，具体度量数值通过第一主成分的数值得到。
优选的，所述步骤S1和S2中利用了可展面的高斯像为点状和线状的特性，通过对高斯像点进行聚类来分割原网格，其中，使用的高斯像点定义如下：
对于三角面片f，若f所在平面的方程为nxx+nyy+nzz+d＝0，
Figure GDA0004133399460000031
Figure GDA0004133399460000032
d＞0，则f对应的高斯像点为pf＝(dnx，dny，dnz)。
优选的，所述步骤S4中，将线状高斯像点集还原为参数表示的可展面，步骤包括：
步骤S41：根据网格连接情况由线状点集生成图H；
步骤S42：计算图H的最小生成树并从中抽取有序点列；
步骤S43：修正有序点列的坐标，使得每个点对应的平面与网格曲面的切平面相近；
使用的高斯像点定义如下
优选的，所述步骤S4中，使用以下公式恢复可展面：
将对序点列进行拟合得到的样条曲线记为c(t)，则对应可展面的切平面簇为：
T(t)：cx(t)x+cy(t)y+cz(t)z+r(t)＝0，
r(t)＝cx(t)2+cy(t)2+cz(t)2，
对应的可展面参数方程S(t，v)为方程组
Figure GDA0004133399460000033
的解：
S(t，v)＝a(t)+vb(t)，
其中，
Figure GDA0004133399460000034
Figure GDA0004133399460000035
本说明书实施例能够达到以下有益效果：
本发明技术方案提出了一种高效的基于高斯像的可展面分割-拟合方法。在分割步骤，本发明重新定义了高斯像点，让其更好地表示曲面的切平面，并设计了新颖的用于分割出线状高斯像的度量方法，该度量考虑了点集局部的线性程度和线性方向的吻合程度，将其运用于区域增长算法能够保证分割所得的每个高斯像点集呈现曲线状且该曲线不分叉。在拟合步骤，本发明设计了提取高斯像点序集的算法，考虑了曲面片的邻接关系以及高斯像点代表的切平面与原曲面的接近程度，保证了拟合的参数表示可展面足够接近原曲面。
附图说明
为了更清楚地说明本说明书实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明基于高斯像的可展面分割-拟合方法的总体框架流程图；
图2是本发明步骤S4拟合线状点集，生成对应可展面的框架流程图；
图3是本发明分割-拟合过程中的结果示意图；
图4是本发明步骤S4拟合过程中的结果示意图；
图5是本发明的方法在各类网格模型上的结果示意图；
图6是本发明与现有技术中其他方法在近似可展面组成的网格模型上的第一对比结果图；
图7是本发明与现有技术中其他方法在近似可展面组成的网格模型上的第二对比结果图；
图8是本发明与现有技术中其他方法在包含不可展面的网格模型上的第一对比结果图；
图9是本发明与现有技术中其他方法在包含不可展面的网格模型上的第二对比结果图。
具体实施方式
为使本说明书一个或多个实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本说明书具体实施例及相应的附图对本说明书一个或多个实施例的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本说明书的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本说明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本说明书一个或多个实施例保护的范围。
步骤S1、利用主成分分析选取种子面片；
步骤S2、利用相关系数和区域增长法对高斯像中的点集进行聚类，生成线状点集；
步骤S3、将面片数小的类整合到面片数大的类中；
步骤S4、用曲线拟合每个线状点集，生成对应的可展面。
下面对上述每个步骤进行更加详细的说明。
步骤S1、利用主成分分析选取种子面片。
本发明的输入是一个三角网格M＝{V，E，F}，其中V为顶点集，E为边集，F为三角面片集。
首先，确定每个面片f∈F的领域面片集Uf，本发明按以下原则确定Uf：
(1)若面片g与f相邻或g＝f，则称g属于f的1-邻域
Figure GDA0004133399460000051
(2)若面片g与
Figure GDA0004133399460000052
相邻或
Figure GDA0004133399460000053
则称g属于f的2-邻域
Figure GDA0004133399460000054
(3)递归地，有f的k-邻域
Figure GDA0004133399460000055
本发明使用f的3-邻域
Figure GDA0004133399460000056
然后，将每个面片f映射到对应的高斯像点pf，特别地，为方便还原可展面，本发明使用与传统高斯像点不同的定义，让高斯像点在半径方向偏移一定长度，该长度代表面片f所在平面距原点的距离，具体定义如下：若f所在平面的方程为nxx+nyy+nzz+d＝0，
Figure GDA0004133399460000057
d＞0，则f对应的高斯像点为pf＝(dnx，dny，dnz)。
接着，利用主成分分析，计算每个领域面片集U的高斯像点的聚集程度，此聚集程度反应了面片的平坦程度，聚集程度的计算方法如下：
(1)平移高斯像点使得点集的重心与坐标原点重合，设平移后高斯像点pi，i＝1…n的坐标变为
Figure GDA0004133399460000061
(2)利用主成分分析提取点集
Figure GDA0004133399460000062
的第一主成分的值作为衡量聚集程度的度量值v，v越小说明聚集程度越好，v的具体计算方法为：对矩阵
Figure GDA0004133399460000063
进行奇异值分解(SVD)，从大到小分别将三个奇异值称为U的第一主成分值、第二主成分值和第三主成分值，对应的特征向量分别称为U的第一主成分、第二主成分和第三主成分。
最后，选取聚集程度最好，即v最小的面片作为种子面片。
步骤S2、利用相关系数和区域增长法对高斯像中的点集进行聚类，生成线状点集，具体的，包括如下内容：
S21：首先初始化区域增长法的接受集S，将步骤1中给定的种子面片f以及与f的法向最相近的两个面片加入到接受集S中；
S22：然后对于每个与接受集S相邻的面片
Figure GDA0004133399460000064
分别利用相关系数和主成分分析计算其与接受集的线性程度El和线性光滑程度Es，具体计算方法如下：
线性程度E的计算方法：取面片
Figure GDA0004133399460000065
的领域集与接受集的交集
Figure GDA0004133399460000066
将此交集中面片的高斯像点集P投影到通过最小二乘计算的近似平面上得到点集
Figure GDA0004133399460000067
对投影后的点集
Figure GDA0004133399460000068
做坐标变换，使得高斯像点集的重心位于原点，且像点集
Figure GDA0004133399460000069
的第一主成分与直线y＝x平行，记坐标变换后的点集为
Figure GDA00041333994600000610
计算
Figure GDA00041333994600000611
的y坐标与x坐标的相关系数El，该相关系数即衡量了
Figure GDA00041333994600000612
的高斯像点集的线性程度，El越接近1，
Figure GDA00041333994600000613
的高斯像点集越近似一条直线，线性程度越好，El越接近0，线性程度越差。
线性光滑程度Es的计算方法：首先将初始接受集S中每个面片f的高斯像点对应的切向量tf定义为f的邻域集与接受集S的交集
Figure GDA00041333994600000614
的第一主成分；然后将
Figure GDA0004133399460000071
的切向量
Figure GDA0004133399460000072
定义为
Figure GDA0004133399460000073
的第一主成分，则
Figure GDA0004133399460000074
衡量了
Figure GDA0004133399460000075
的高斯像点对接受集S的高斯像点集的光滑程度的影响，Es越接近1，将
Figure GDA0004133399460000076
加入S后的高斯像点集越光滑。
S23：若线性程度El大于给定的值l，本发明设为0.9，且线性光滑程度Es大于给定的值s，本发明设为0.9，则将面片
Figure GDA0004133399460000077
加入接受集中并记录
Figure GDA0004133399460000078
的高斯像点的切向量，继续进行步骤2，若接受集S没有相邻的面片满足条件，则选择新的初始面片继续步骤1，直到所有面片都属于某个接受集。
步骤S3、将面片数小的类整合到面片数大的类中
该步骤的流程如下：
步骤S31：删除面片数较少的类，本发明中选择删除面片数少于30的类；
步骤S32：计算所有未分类面片的法向与相邻的已分类面片法向的点乘作为相似程度L；
步骤S33：找出L最大的一对未分类面片f1和已分类面片f2，将f1加入到f2的类中；
步骤S34：更新f1周围面片的相似程度，重复步骤S33直到没有未分类面片。
步骤S4、用曲线拟合每个线状点集，生成对应的可展面；
该步骤从上一步所得的每个类对应的高斯像点集G中提取有序点列o1，o2，…，ok，然后利用该有序点列生成可展面的参数方程，如图2所示，该步骤流程如下：
步骤S41：将点集G根据网格面片的相邻情况连接成图H。具体来说，H中的两点有边相连当且仅当它们对应的面片相邻；
步骤S42：计算H的最小生成树T，使用已有方法(Lee，InKwon.Curvereconstruction from unorganized points.[J].Computer aided geometric design，2000，17(2)：161-177.)从T中提取有序点列o1，o2，…，ok。
步骤S43：重新修正有序点列的坐标，使得每个点对应的平面与网格曲面的切平面相近，该步骤流程如下：
步骤S431：取一给定半径r，本发明中
Figure GDA0004133399460000081
其中|oi+1-oi|为oi到oi+1的欧氏距离，对有序点列中的每一点oi，作以oi为球心，r为半径的球B，查找球内与oi在T中有路径相连，且路径也在球B内的点，得到点集Oi
步骤S432：分别用平面拟合Oi对应面片集中包含的顶点集，并用该平面对应的高斯像点替代相应的oi，得到最终的有序高斯像点列o1，o2，…，ok。
步骤S4.4利用有序高斯像点列生成可展面。使用传统B样条拟合方法对每个类对应的有序点列进行拟合得到样条曲线c(t)，则对应可展面的切平面簇为T(t)：cx(t)x+cy(t)y+cz(t)z+r(t)＝0，r(t)＝cx(t)2+cy(t)2+cz(t)2，对应的可展面参数方程S(t，v)为方程组
Figure GDA0004133399460000082
的解：
S(t，v)＝a(t)+vb(t)，
其中
Figure GDA0004133399460000083
Figure GDA0004133399460000084
图3展示了本发明步骤S1至步骤S4过程中的结果示意图，从上到下依次为：输入的网格曲面；步骤S2的聚类结果和对应的高斯像点(此次仅绘制单位法向量，如果单位法向量是线状，则本发明定义的高斯像点也为线状)；步骤S3的整合结果；步骤S4生成的可展面。
图4展示了本发明步骤S4过程中的结果示意图，左上是网格的分割结果，左下是步骤S4拟合生成的可展面，右边从上到下依次为：步骤S4.1通过左边橙色面片的高斯像点生成的图H；步骤S4.2中图H的最小生成树；步骤S4.2所得的有序点列；步骤S4.3进行坐标修正后的点列；最终拟合所得的B样条。
图5展示了本发明的方法在各类网格模型上的分割结果。其中模型(a)、(b)全为近似可展面，模型(c)包含不可展面，模型(d)则带有噪声。图5从左到右依次为：输入模型；分割结果对应的高斯像(仅显示单位法向)；分割结果；网格投影到拟合面片上的结果；采用已有方案(Y.Boykov,O.Veksler,and R.Zabih.Fast approximate energy minimizationvia graph cuts.PAMI2,23(11):1222–1239,2001.)根据拟合结果对网格重新分片的结果。从结果图看出，本发明能将可展面组成的模型很好地分割成分片光滑可展面，对于包含不可展面的模型，本发明也能较好地将光滑可展面分割出来，在带有噪声的模型上，本发明能够分割出相对大片的可展面，有了拟合结果后，还可以利用已有方案得到边界更光滑的分割结果。
图6-9展示了本发明的方法与其他分片可展面拟合网格方法的结果比较。表1展示了本发明的方法与其他分片可展面拟合网格方法结果的数值比较。其中图6-7为可展面组成的模型，图8-9为包含不可展面的模型。(a)为输入的网格模型；(b)为限制三角网格的局部形状(O.Stein,E.Grinspun,and K.Crane.Developability of triangle meshes.ACMTrans.on Graphics(Proc.SIGGRAPH),37(4),2018.)得到的结果；(c)为限制三角网格的局部法向(A.Binninger,F.Verhoeven,P.Herholz,and O.Sorkine Hornung.Developableapproximation via Gauss image thinning.Computer Graphics Forum(Proc.SGP),40(5):289–300,2021.)得到的结果；(d)为本发明的分割结果；(e)三角网格在本发明的拟合结果上的投影。相比于(b)，尽管(b)在由可展面组成的模型上更接近原曲面，但在包含不可展面的模型上，(b)并不能很好地找到可展面与不可展面的边界线，同时从视觉上看本发明可以用更少的可展面逼近原曲面；相比于(c)，本发明不仅有更好的拟合精度，且能保证图1中的切线面的不被拟合成锥面。
本发明技术方案提出了一种高效的基于高斯像的可展面分割-拟合方法。在分割步骤，本发明重新定义了高斯像点，让其更好地表示曲面的切平面，并设计了新颖的用于分割出线状高斯像的度量方法，该度量考虑了点集局部的线性程度和线性方向的吻合程度，将其运用于区域增长算法能够保证分割所得的每个高斯像点集呈现曲线状且该曲线不分叉。在拟合步骤，本发明设计了提取高斯像点序集的算法，考虑了曲面片的邻接关系以及高斯像点代表的切平面与原曲面的接近程度，保证了拟合的参数表示可展面足够接近原曲面。
上述实验结果和分割-拟合方法，可以用于数控机床加工、几何形状设计、网格数据简化等多方面，具有较高的实际应用价值。
以上的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明。但是以上描述仅是本发明的较佳实施例而已，本发明能够以很多不同于在此描述的其它方式来实施，因此本发明不受上面公开的具体实施的限制。同时任何熟悉本领域技术人员在不脱离本发明技术方案范围情况下，都可利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出许多可能的变动和修饰，或修改为等同变化的等效实施例。凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化及修饰，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims (1)

1.一种基于高斯像的可展面分割-拟合方法，其特征在于，所述方法包括：
步骤S1、利用主成分分析方法选取种子面片；具体包括：
输入是一个三角网格M＝{V,E,F}，其中，符号V表示顶点集，符号E表示边集，符号F表示三角面片集；
首先，确定每个面片f∈F的领域面片集Uf，本步骤中按以下原则确定Uf：
(1)若面片g与f相邻或g＝f，则称g属于f的1-邻域
Figure FDA0004133399450000011
(2)若面片g与
Figure FDA00041333994500000110
相邻或
Figure FDA0004133399450000012
则称g属于f的2-邻域
Figure FDA0004133399450000013
(3)递归地，有f的k-邻域
Figure FDA0004133399450000014
本步骤中使用f的3-邻域
Figure FDA0004133399450000015
然后，将每个面片f映射到对应的高斯像点pf，本步骤中让高斯像点在半径方向偏移一定长度，该长度代表面片f所在平面距原点的距离，具体定义如下：若f所在平面的方程为nxx+nyy+nzz+d＝0,
Figure FDA0004133399450000016
则f对应的高斯像点为pf＝(dnx,dny,dnz)；
接着，利用主成分分析方法，计算每个领域面片集U的高斯像点的聚集程度，该聚集程度反应了面片的平坦程度，聚集程度的计算方法如下：
(1)平移高斯像点使得点集的重心与坐标原点重合，设平移后高斯像点pi,i＝1…n的坐标变为
Figure FDA0004133399450000017
(2)利用主成分分析提取点集
Figure FDA0004133399450000018
的第一主成分的值作为衡量聚集程度的度量值v，v的具体计算方法为：对矩阵
Figure FDA0004133399450000019
进行奇异值分解，从大到小分别将三个奇异值称为U的第一主成分值、第二主成分值和第三主成分值，对应的特征向量分别称为U的第一主成分、第二主成分和第三主成分；
最后，选取聚集程度最好，即v最小的面片作为种子面片；
步骤S2、利用相关系数和区域增长法对高斯像中的点集进行聚类，生成线状点集；具体的，包括如下内容：
S21：首先初始化区域增长法的接受集S，将步骤1中给定的种子面片f以及与f的法向最相近的两个面片加入到接受集S中；
S22：然后对于每个与接受集S相邻的面片
Figure FDA0004133399450000021
分别利用相关系数和主成分分析方法计算其与接受集的线性程度El和线性光滑程度Es，具体计算方法如下：
线性程度El的计算方法：取面片
Figure FDA0004133399450000022
的领域集与接受集的交集
Figure FDA0004133399450000023
将此交集中面片的高斯像点集P投影到通过最小二乘计算的近似平面上得到点集
Figure FDA0004133399450000024
对投影后的点集
Figure FDA00041333994500000219
做坐标变换，使得高斯像点集的重心位于原点，且像点集
Figure FDA0004133399450000025
的第一主成分与直线y＝x平行，记坐标变换后的点集为
Figure FDA0004133399450000026
计算
Figure FDA0004133399450000027
的y坐标与x坐标的相关系数El，该相关系数即衡量了
Figure FDA0004133399450000028
的高斯像点集的线性程度，El越接近1,
Figure FDA0004133399450000029
的高斯像点集越近似一条直线，线性程度越好，El越接近0，线性程度越差；
线性光滑程度Es的计算方法：首先将初始接受集S中每个面片f的高斯像点对应的切向量tf定义为f的邻域集与接受集S的交集
Figure FDA00041333994500000210
的第一主成分；然后将
Figure FDA00041333994500000211
的切向量
Figure FDA00041333994500000212
定义为
Figure FDA00041333994500000213
的第一主成分，则
Figure FDA00041333994500000214
衡量了
Figure FDA00041333994500000215
的高斯像点对接受集S的高斯像点集的光滑程度的影响，Es越接近1，将
Figure FDA00041333994500000216
加入S后的高斯像点集越光滑；
S23：若线性程度El大于给定的值l，且线性光滑程度Es大于给定的值s，则将面片
Figure FDA00041333994500000217
加入接受集中并记录
Figure FDA00041333994500000218
的高斯像点的切向量，继续进行步骤2，若接受集S没有相邻的面片满足条件，则选择新的初始面片继续步骤1，直到所有面片都属于某个接受集；
步骤S3、将面片数小的类整合到面片数大的类中；
步骤S31：删除面片数较少的类，本步骤中选择删除面片数少于30的类；
步骤S32：计算所有未分类面片的法向与相邻的已分类面片法向的点乘作为相似程度L；
步骤S33：找出L最大的一对未分类面片f1和已分类面片f2，将f1加入到f2的类中；
步骤S34：更新f1周围面片的相似程度，重复步骤S33直到没有未分类面片；
步骤S4、用曲线拟合所述线状点集中的每个线状点集，生成对应的可展面；
该步骤从上一步所得的每个类对应的高斯像点集G中提取有序点列o1,o2,…,ok，然后利用该有序点列生成可展面的参数方程，该步骤流程如下：
步骤S41：将点集G根据网格面片的相邻情况连接成图H；具体来说，H中的两点有边相连当且仅当它们对应的面片相邻；
步骤S42：计算H的最小生成树T，从T中提取有序点列o1,o2,…,ok；
步骤S43：重新修正有序点列的坐标，使得每个点对应的平面与网格曲面的切平面相近，该步骤流程如下：
步骤S431：取一给定半径r，本步骤中设定
Figure FDA0004133399450000031
其中|oi+1-oi|为oi到oi+1的欧氏距离，对有序点列中的每一点oi，作以oi为球心，r为半径的球B，查找球内与oi在T中有路径相连，且路径也在球B内的点，得到点集Oi
步骤S432：分别用平面拟合Oi对应面片集中包含的顶点集，并用该平面对应的高斯像点替代相应的oi，得到最终的有序高斯像点列o1,o2,…,ok；
步骤S4.4利用有序高斯像点列生成可展面；使用传统B样条拟合方法对每个类对应的有序点列进行拟合得到样条曲线c(t)，则对应可展面的切平面簇为T(t):cx(t)x+cy(t)y+cz(t)z+r(t)＝0，r(t)＝cx(t)2+cy(t)2+cz(t)2，对应的可展面参数方程S(t,v)为方程组
Figure FDA0004133399450000032
的解：
S(t,v)＝a(t)+vb(t),
其中
Figure FDA0004133399450000041
Figure FDA0004133399450000042
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