CN114397819B - 航空发动机执行机构的事件触发自适应控制方法 - Google Patents
航空发动机执行机构的事件触发自适应控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
航空发动机执行机构的事件触发自适应控制方法，属于事件触发控制和自适应鲁棒控制技术领域。本发明将电磁阀作为一个子节点接收主控制器通过总线传输的控制指令，对液压作动筒实现控制任务；该指令在主控制器中必须满足一定的阈值条件才能发布到通信总线上，否则电磁阀始终保持上一次接收到的指令，进而实现了对带宽资源的高利用率。本发明还能够消除触发误差对控制性能的影响。通过引入的非线性鲁棒反馈项抑制触发误差，并且自适应律能够调节控制器的结构参数，从本质上减小触发误差的影响。本发明将传统基于时间的采样数据控制技术，通过结合事件触发技术迁移到总线型的网络化控制架构下进行应用，简单易实现且几乎不改变原控制器的设计流程。
Description
技术领域
本发明涉及事件触发控制和自适应鲁棒控制技术领域，具体涉及航空发动机的可调静子叶片(VSV机构)、尾喷管(A8)的液压作动筒控制方法。
背景技术
航空发动机控制技术正从传统的集中式控制向总线型的网络化控制转型，总线型的网络化控制技术最大的特点/优点就是共用一条总线进行信息交互，其结构简单，并且能够大幅减少航空线缆的使用，从而减轻航空发动机的重量；网络化控制的不足之处是总线的带宽是有限的。而随着国产发动机性能需求的增加，挂载在总线上的通信节点快速增长，事件触发控制技术成为一种有效的节约带宽的手段。液压作动筒是发动机上必不可少的执行机构，包括A1进气导向叶片执行机构和A2可变静子叶片执行机构，A8/A9尾喷管执行机构。无论对进气气流还是尾气气流的控制，都对执行机构的动态/稳态性能提出了较高的需求。为了实现高品质的追踪性能，则需要较大的带宽保证控制信号实时的到达电磁阀(执行机构作动筒的驱动器)，电磁阀作为一个子节点挂载在总线上，如果分配的带宽资源占用过大必然会导致其它子节点带宽资源过少而引起通信丢包、堵塞。因此，发明一种在保证性能需求的前提下、同时能够减少占用带宽的方法，有很大的现实意义。
本发明旨在提出一种自适应鲁棒控制技术和事件触发技术结合的方法，解决如何在保证性能需求的前提下，实现减少控制通信带宽占用的目标。将电磁阀作为一个子节点接收主控制器通过总线传输的控制指令，对液压作动筒实现控制任务；该指令在主控制器中必须满足一定的阈值条件才能发布到通信总线上，否则电磁阀始终保持上一次接收到的指令，进而实现了对带宽资源的高利用率。然而事件触发控制技术，使得控制器实时输出值与触发输出值存在一定误差，本发明解决的另一个问题就是消除触发误差对控制性能的影响。通过引入的非线性鲁棒反馈项抑制触发误差，并且自适应律能够调节控制器的结构参数，从本质上减小触发误差的影响。本发明将传统基于时间的采样数据控制技术，通过结合事件触发技术迁移到总线型的网络化控制架构下进行应用，简单易实现且几乎不改变原控制器的设计流程。
发明内容
传统基于时间的采样数据控制技术，直接应用到总线型的网络化控制架构下，主控制器连续的向总线发布控制指令，电磁阀接收控制指令后并在控制周期内保持，等待下一个周期的信号更新。液压作动筒的绝大部分工况是常值输出，控制指令几乎维持恒定，基于时间的控制技术发送了冗余数据包，占用了通信资源。
为了减少带宽的浪费并维持一定的控制精度和品质，本发明采用的技术方案为：
S1：可调静子叶片执行器动力学和流量机理建模。(VSV：可调静子叶片)首先针对阀控式液压油缸进行建模，建模分为油缸执行器负载建模、油缸容腔压力动力学建模和电磁阀的流量建模。
S1.1：发动机静子叶片传动机构模型搭建。发动机的静子叶片驱动机构包括联动环和曲柄摇臂以及油缸机构，通过油缸的直线运动比例放缩到联动环的平移运动，带动静子叶片转动。
θ＝κ(l,ν)·y
其中，θ表示静子叶片旋转的角度；κ(l,ν)表示摇臂运动位移量l和曲柄旋转角度ν构成的几何关系，特殊VSV机构可通过查表试验法构建映射函数κ(l,ν)；y表示油缸运动位移量。
传动模型揭示了静子叶片旋转角度θ和作动筒位移y刚性对应关系，因此本发明直接针对油缸研究，设计VSV期望角度时按比例换算到油缸位移，控制器即可实现VSV期望角度。
S1.2：油缸执行器负载建模。液压缸通过两腔压差作用，推动质量惯性负载运动，构建油缸推动质量惯性负载模型如下所示：
其中，表示位移y的二阶导数即加速度，v表示速度，fb表示粘性摩擦力系数，fc表示库伦摩擦力系数，S(v)表示速度的非线性函数，S(v)＝0,v≠0、S(v)＝1,v＝0，F1表示惯性负载的集总建模误差，包含了未建模的动态摩擦力和其他不确定性干扰力。p1与p2表示液压缸的左腔和右腔的液压油压强，单位为bar；A1 A2表示左腔和右腔的面积，m为惯性负载的质量。
惯性负载的集总建模误差F1是未知的时变量，分为名义值F1n和偏差量△F1，如下：
F1＝F1n+△F1
S1.3：油缸容腔压力动力学建模。控制油缸两腔流量和压力，进而实现对质量负载的运动控制。对油缸两腔可压缩的容腔动力学模型进行建模：
其中，V1＝V10+A1y和V2＝V20-A2y表示无杆腔和有杆腔对应的总的体积，V10表示左腔初始体积，V20表示右腔初始体积，y表示位移，表示左腔压强的导数，/>表示右腔压强的导数，βe和Ctm分别表示有效体积弹性模量和油缸内漏泄系数，Q1和Q2表示两腔的实际流量，包含了两个容腔动力学模型的集总建模误差。
容腔压力动力学模型中的实际流量Q1、Q2，可以分为标称值Q1d、Q2d和剩余流量建模误差值其中标称值即为电磁阀可建模流量值，考虑到内部漏泄的流量较少，将漏泄流量引起的误差与/>共同组成容腔动力学的集总流量误差，即：
集总流量误差△Q1和△Q2，由标称值△Q1n△Q2n和偏差量组成：
S1.4：电磁阀的流量建模。通过控制电磁换向阀行程长度，实现控制阀门开口流通面积，实现对流量的控制。构建电磁阀的流量模型如下：
其中，ω表示阀门面积梯度,ps、pr表示供油压力和油箱背压，u表示系统的实际输入，ρ表示液压油的标称密度，Cd表示电磁阀的流量系数，sgn(·)是一个符号函数，取值规则如下所示：
S1.5：机理模型参数化表示。参数化模型如下：
其中，θ1＝1/m，θ2＝fb/m，θ3＝fc/m，θ4＝F1n/m，θ5＝βe，/>s1＝A1/V1，/>s2＝A2/V2θ7＝βes1△Q1n-βes2△Q2n。参数化的模型中的x1＝y，x2＝v，x3＝p1A1-p2A2分别表示位移、速度和负载力，/>分别表示位移、速度和负载力的一阶导数。ksv表示电压信号增益，与实际电磁阀位移信号xv满足如下关系：
xv＝ksv·u
模型的集总误差去掉标称值后的偏差量d1，d2，定义如下：
d1＝△F1/m (2)
S1.6：设计控制器满足的参数需求。
首先设计追踪控制器，系统的期望输出yd满足3阶连续可导，并且均存在上界；其次，参数化模型(1)中的未知参数θi及不确定非线性d1和d2变化范围或者上界已知，如下：
θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min,θ5min,θ6min,θ7min]T (6)
θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max,θ5max,θ6max,θ7max]T (7)
其中，为有界闭集，为由已知常数构成的上下界，/>同为带有上界的有界闭集，δi为已知常数。模型中的物理参数将通过不连续投影的自适应律进行在线更新，将未知的第*个参数的估计值定义为/>将参数估计的误差表示为/>有/>设计的自适应律如下形式：
其中，θ*表示第*个系统参数；Γ>0是调整函数的增益对角矩阵；τ*为自适应函数，不连续投影率为：
其中，表示第i个未知参数估计值，θimax表示第i个未知参数最大值，θimin表示第i个未知参数最小值；
上述的投影率对任意取值的自适应函数τ*，均可保证满足以下两条性质：
1：参数估计值与系统参数θ*的最大变化范围均在闭集/>内，如下所示：
2：
参数的估计误差和未建模集总误差可以通过非线性鲁棒反馈项抑制。对于任意的追踪误差z，将虚拟误差的抑制项记为α*s2，需满足以下条件：
其中，参数φ*表示模型回归向量，表示参数估计误差，d表示集中的不确定非线性，ε*为任意小的设计参数。通常，α*s2选取为以下形式：
其中，h≥||θ*max-θ*min||2|φ2+δd，δd是模型非线性项d的边界，φ是模型回归向量。
S2：鲁棒自适应反步控制率设计。基于参数化模型(1)，设计控制率α3使得被控对象状态x1追踪期望输出信号yd。
S2.1：定义跟踪误差z1＝x1-yd，定义类滑模量z2如下：
其中，k1>0是线性增益，表示追踪误差的一阶导数，/>表示辅助变量，/>表示期望轨迹的一阶导数。z1和z2之间的传递函数定义为G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)，是稳定传递函数，因此控制z2很小/趋于零，z1也会很小/趋于零。反步法第一步设计目标是控制z2很小或者趋于零。
其中，表示虚拟误差z2的导数，/>表示加速度，/>是式(15)的一阶导数；
可将x3作为虚拟控制输入，根据自适应鲁棒控制理论，得到虚拟控制率α2为：
α2＝α2a+α2s (17)
α2s＝α2s1+α2s2
其中，虚拟控制率包括模型补偿项α2a和鲁棒反馈项α2s，α2s1是反馈增益，k2>0，g21>0，w2>0和w3>0是权重系数，φ1是模型回归向量φ1＝[α2a,-x2,-S(x2),-1,0,0,0]T，α2s2是满足以下两个条件的鲁棒反馈项：
其中，ε1为任意小的设计参数，为参数向量θ的估计偏差值构成的向量。并且定义虚拟误差z3＝x3-α2，将控制率(17)带入到(16)中可得到下式：
S2.2：设计理想的电磁阀开度控制率α3，使虚拟误差z3很小/趋近于0，即使得状态x3跟踪上一步虚拟控制率α2。通过参数化模型(1)和z3＝x3-α2，可得：
其中，表示虚拟误差z3的一阶导数，/>表示可计算部分，/>表示不可计算部分，通过鲁棒反馈项抑制，具体展开如下形式：
其中，表示自适应估计参数的导数；
根据自适应鲁棒控制理论，得到虚拟控制率α3为：
α3＝α3a+α3s (23)
α3s＝α3s1+α2s2
同公式(17)，α3a为模型补偿项，α3s为鲁棒反馈项，k3>0，g31>0，γ>0，并且回归向量φ2如下：
此时，把式(21)～(23)带入式(20)中可得到：
其中，α3s2表示鲁棒抑制项；
根据自适应反步理论，给出如下自适应律和自适应函数：
τ2＝w2z2φ1+w3z3φ2 (27)
S3：事件触发控制率及其反馈抑制项综合设计。通过引入事件触发条件，构造自适应事件触发控制器，同时结合反馈抑制项消除事件触发带来的影响。
定义事件触发更新时刻tk,k∈Z+，当满足触发条件后更新时刻记为tk+1，并更新被控对象控制率，给出如下所示的事件触发规则：
tk+1＝inf{t∈R|ψ(u,α3,s1,g1,s2,g2)>ρ} (28)
ψ(u,α3,s1,g1,s2,g2)＝θ6max(s1g1+s2g2)|u(t)-α3(t)| (29)
其中，u(t)表示触发后的系统输入；
联合反步法和事件触发误差设计反馈鲁棒抑制项，由式(12)推得α3s2是满足两个条件的非线性反馈项，设计如下：
定理1：基于以上步骤，结合事件触发规则(28)～(29)和设计的虚拟控制率(17)，自适应鲁棒控制率(23)与事件触发条件综合设计的液压油缸的控制率(30)，则参数化模型(1)与事件触发控制率(30)构成的闭环系统保证以下条件成立：
1)系统的所有闭环信号均有界；
2)闭环系统追踪误差z1有界于：
且可通过选择控制参数改变；其中，ε＝w2ε1+w3ε2。
3)存在一个Zeno常数tτ，使得系统任意的时间触发间隔都不小于tτ。
S4：稳定性分析与证明。首先基于选取的李雅普诺夫候选函数求导可得：
将(18)、(31)按照形式(13)组成的反馈抑制项带入(33)中，可得到：
结合事件触发条件(28)得到
经过积分处理能够得到不等式(32)。同时，显然V1(t)≤V1(0)有界，因此系统的误差z3和z2有界，根据稳定的传递函数G(s)＝1/(s+k1)可知z1也有界。根据假设1和假设2可知期望轨迹有界，自适应参数和被估计参数有界，所以所有状态均有界，那么虚拟输入α2(t)和输入控制率α3(t)有界，根据触发条件(28)输入u(t)有界，最终得到所有信号有界，并且可以通过调整设计参数调整追踪误差的收敛速度和收敛界。
接下来证明存在一个时间常数tτ，当连续两次的触发时刻间隔tk+1-tk>tτ时系统排出芝诺现象。触发误差基于此可以得到导数：
其中，表示触发误差的一阶导数，/>和/>分别表示对应的虚拟输入导数；根据α3(t)的定义可知，α3(t)是关于误差z2、z3和向量/>等有界信号的函数，因此能够确定α3(t)有上界。同时基于α3(t)的定义可知除/>之外均为连续函数，基于α2(t)的定义(17)可知，/>和/>以及/>均是连续函数，最终推断/>为连续函数，因此可找到一个常数上界使得/> 表示一个正常数。由触发条件(28)可知，而由参数化模型(1)可知在已知的物理系统中必然有最小值，令常数ξ＝min(s1g1+s2g2)，所以当满足/>时候，排出Zeno现象。
本发明的有益效果：本发明提出的基于固定阈值的事件触发技术与传统的自适应鲁棒控制技术结合，综合了双方的优势既保证了控制精度也减少了带宽占用，为液压作动筒执行机构适应总线型的网络化控制特点提供了一种新的控制手段。
附图说明
图1为液压作动筒及其在基于总线网络化架构下的基本的控制策略流程；
图2为期望位移轨迹和期望速度轨迹示意图；其中，(a)为期望位移轨迹，(b)为期望速度轨迹；
图3为自适应鲁棒控制器与两种阈值下的追踪误差对比图；
图4为自适应鲁棒控制器与两种阈值下的事件触发控制器输出对比示意图；
图5为两种阈值下事件触发的时刻与间隔示意图；其中，(a)的阈值为0.0001，(b)的阈值为0.0005。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明，流程如图1所示。
S1：参数选择。
首先获取到被控的作动筒有效作用面积参数A1,A2，系统的压力源参数ps，系统的背压pr，电磁比例换向阀的最大开口面积Av；估计出系统的弹性模量βe范围，并给出一个标称值；作动筒的有效运动距离s和最大运行速度v_M；粘滞摩擦系数Fb，以及静摩擦系数Fc。
本发明仿真被控执行机构是一个40mm内径和25mm外径的作动筒，最大运行距离是1m，最大运行速度是0.2m/s，仿真忽略静摩擦系数，系统参数如下：
m＝300kg∈[200kg,400kg]
Fb＝400N·s/m∈[200N·s/m,600N·s/m]
F1n∈[-200N,200N]
βe＝7.8×108Pa∈[7×108Pa,1×109Pa]
△Q1n∈[-2L/min,2L/min]
△Q2n∈[-2L/min,2L/min]
同时系统恒压源选择为ps＝12000000Pa，背压pr＝100000Pa。
S2：控制模型预处理。
根据参数化模型(1)和S1中给定的参数，忽略静摩擦后，共有6个自适应系数，3个系统状态，模型如下所示：
由于压力系数参数与其他两个状态参数数量级相差巨大，做简单的归一化处理，将所有的压力参数除以106，缩小到p∈[-12,12]范围内即可。处理后的模型形式上不变，只是压力参数数量级下降。因此，作为面向控制的动态微分方程模型仍然具备系统属性特点。
S3：自适应反步鲁棒控制器设计。
预处理后的模型针对性设计反步法自适应控制器，根据式(15)和式(16)设计虚拟控制器α2和鲁棒反馈抑制项α2s2，根据自适应参数误差的范数计算并放大可得到鲁棒控制增益的上界，合理的选择数值即可。经过计算选择增益为15，与k2s1合并后选择增益为20。
然后对虚拟控制器α2进行求导操作，分为能求导部分和不能求导部分，见式(19)和(20)。
式(21)为系统控制率设计公式，与虚拟控制率α2类似，不进行赘述。接下来是设计系统的自适应率函数，首先注意φ1和φ2的定义，再根据(24)式和(25)式设计自适应率。其中权重系数w2＝w3＝1，不对其进行约束。至此，传统的自适应反步鲁棒控制率设计完成。
S4：事件触发控制器设计。
事件触发控制器独立于自适应反步鲁棒控制率设计过程，根据流程图1直观地得到事件触发控制的实施过程，其中触发条件阈值参数ρ取值为0.0005和0.0001(控制器最大输出值为0.3)，两值作为对比。
以上为本发明的具体实施过程，并给出一组数据作为案例，同时通过了仿真验证并将重要的结果展示在附图文件中。本发明不仅适用于总线型的网络化架构下发动机的液压作动控制，同时也适用于绝大多数总线型的下三角非线性系统控制，例如永磁同步电机和直流电机的控制，均可按照本发明方式进行设计控制器。
Claims (1)
1.航空发动机执行机构的事件触发自适应控制方法，其特征在于，步骤如下：
S1：执行器动力学和流量机理建模；首先针对阀控式液压油缸进行建模，建模分为油缸执行器负载建模、油缸容腔压力动力学建模和电磁阀的流量建模；
S1.1：发动机静子叶片传动机构模型搭建；发动机的静子叶片驱动机构包括联动环和曲柄摇臂以及油缸机构，通过油缸的直线运动比例放缩到联动环的平移运动，带动静子叶片转动；
其中，表示静子叶片旋转的角度；κ(l,ν)表示摇臂运动位移量l和曲柄旋转角度ν构成的几何关系，特殊VSV机构可通过查表试验法构建映射函数κ(l,ν)；y表示油缸运动位移量；
S1.2：油缸执行器负载建模；液压缸通过两腔压差作用，推动质量惯性负载运动，构建油缸推动质量惯性负载模型如下所示：
其中，表示位移y的二阶导数即加速度，v表示速度，fb表示粘性摩擦力系数，fc表示库伦摩擦力系数，S(v)表示速度的非线性函数，S(v)＝0,v≠0、S(v)＝1,v＝0，F1表示惯性负载的集总建模误差，包含了未建模的动态摩擦力和其他不确定性干扰力；p1与p2表示液压缸的左腔和右腔的液压油压强，单位为bar；A1 A2表示左腔和右腔的面积，m为惯性负载的质量；
惯性负载的集总建模误差F1是未知的时变量，分为名义值F1n和偏差量ΔF1，如下：
F1＝F1n+ΔF1
S1.3：油缸容腔压力动力学建模；控制油缸两腔流量和压力，进而实现对质量负载的运动控制；对油缸两腔可压缩的容腔动力学模型进行建模：
其中，V1＝V10+A1y和V2＝V20-A2y表示无杆腔和有杆腔对应的总的体积，V10表示左腔初始体积，V20表示右腔初始体积，y表示位移，表示左腔压强的导数，/>表示右腔压强的导数，βe和Ctm分别表示有效体积弹性模量和油缸内漏泄系数，Q1和Q2表示两腔的实际流量，包含了两个容腔动力学模型的集总建模误差；
容腔压力动力学模型中的实际流量Q1、Q2，可以分为标称值Q1d、Q2d和剩余流量建模误差值其中标称值即为电磁阀可建模流量值，考虑到内部漏泄的流量少，将漏泄流量引起的误差与/>共同组成容腔动力学的集总流量误差，即：
集总流量误差ΔQ1和ΔQ2，由标称值ΔQ1nΔQ2n和偏差量组成：
S1.4：电磁阀的流量建模；通过控制电磁换向阀行程长度，实现控制阀门开口流通面积，实现对流量的控制；构建电磁阀的流量模型如下：
其中，ω表示阀门面积梯度,ps、pr表示供油压力和油箱背压，u表示系统的实际输入，ρ表示液压油的标称密度，Cd表示电磁阀的流量系数，sgn(·)是一个符号函数，取值规则如下所示：
S1.5：机理模型参数化表示；参数化模型如下：
其中，θ1＝1/m，θ2＝fb/m，θ3＝fc/m，θ4＝F1n/m，θ5＝βe，/>s1＝A1/V1，/>s2＝A2/V2θ7＝βes1ΔQ1n-βes2ΔQ2n；参数化的模型中的x1＝y，x2＝v，x3＝p1A1-p2A2分别表示位移、速度和负载力，/>分别表示位移、速度和负载力的一阶导数；ksv表示电压信号增益，与实际电磁阀位移信号xv满足如下关系：
xv＝ksv·u
模型的集总误差去掉标称值后的偏差量d1，d2，定义如下：
d1＝ΔF1/m(2)
S1.6：设计控制器满足的参数需求；
首先设计追踪控制器，系统的期望输出yd满足3阶连续可导，并且均存在上界；其次，参数化模型(1)中的未知参数θi及不确定非线性d1和d2变化范围或者上界已知，如下：
θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min,θ5min,θ6min,θ7min]T(6)
θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max,θ5max,θ6max,θ7max]T(7)
其中，为有界闭集，为由已知常数构成的上下界，/>同为带有上界的有界闭集，δi为已知常数；模型中的物理参数将通过不连续投影的自适应律进行在线更新，将未知的第*个参数的估计值定义为/>将参数估计的误差表示为/>有/>设计的自适应律如下形式：
其中，θ*表示第*个系统参数；Γ＞0是调整函数的增益对角矩阵；τ*为自适应函数，不连续投影率为：
其中，表示第i个未知参数估计值，θimax表示第i个未知参数最大值，θimin表示第i个未知参数最小值；
上述的投影率对任意取值的自适应函数τ*，均可保证满足以下两条性质：
1：参数估计值与系统参数θ*的最大变化范围均在闭集/>内，如下所示：
2：
参数的估计误差和未建模集总误差可以通过非线性鲁棒反馈项抑制；对于任意的追踪误差z，将虚拟误差的抑制项记为α*s2，需满足以下条件：
其中，参数φ*表示模型回归向量，表示参数估计误差，d表示集中的不确定非线性，ε*为任意小的设计参数；/>选取为以下形式：
其中，δd是模型非线性项d的边界，φ是模型回归向量；
S2：鲁棒自适应反步控制率设计；基于参数化模型(1)，设计控制率α3使得被控对象状态x1追踪期望输出信号yd；
S2.1：定义追踪误差z1＝x1-yd，定义类滑模量z2如下：
其中，k1＞0是线性增益，表示追踪误差的一阶导数，/>表示辅助变量，/>表示期望轨迹的一阶导数；z1和z2之间的传递函数定义为G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)，是稳定传递函数，因此控制z2很小/趋于零，z1也会很小/趋于零；反步法第一步设计目标是控制z2很小或者趋于零；
其中，表示z2的导数，/>表示加速度，/>是式(15)的一阶导数；
可将x3作为虚拟控制输入，根据自适应鲁棒控制理论，得到虚拟控制率α2为：
α2＝α2a+α2s(17)
α2s＝α2s1+α2s2
其中，虚拟控制率包括模型补偿项α2a和鲁棒反馈项α2s，α2s1是反馈增益，k2＞0，g21＞0，w2＞0和w3＞0是权重系数，φ1是模型回归向量φ1＝[α2a,-x2,-S(x2),-1,0,0,0]T，α2s2是满足以下两个条件的鲁棒反馈项：
其中，ε1为任意小的设计参数，为参数向量θ的估计偏差值构成的向量；并且定义虚拟误差z3＝x3-α2，将虚拟控制率(17)带入到式(16)中可得到下式：
S2.2：设计理想的电磁阀开度控制率α3，使虚拟误差z3很小/趋近于0，即使得状态x3跟踪上一步虚拟控制率α2；通过参数化模型(1)和z3＝x3-α2，可得：
其中，表示虚拟误差z3的一阶导数，/>表示可计算部分，/>表示不可计算部分，通过鲁棒反馈项抑制，具体展开如下形式：
其中，表示自适应估计参数的导数；
根据自适应鲁棒控制理论，得到虚拟控制率α3为：
α3＝α3a+α3s(23)
α3s＝α3s1+α2s2
同公式(17)，α3a为模型补偿项，α3s为鲁棒反馈项，k3＞0，g31＞0，γ＞0，并且回归向量φ2如下：
此时，把式(21)～(23)带入式(20)中可得到：
其中，α3s2表示鲁棒抑制项；
根据自适应反步理论，给出如下自适应律和自适应函数：
τ2＝w2z2φ1+w3z3φ2(27)
S3：事件触发控制率及其反馈抑制项综合设计；通过引入事件触发条件，构造自适应事件触发控制器，同时结合反馈抑制项消除事件触发带来的影响；
定义事件触发更新时刻tk,k∈Z+，当满足触发条件后更新时刻记为tk+1，并更新被控对象控制率，给出如下所示的事件触发规则：
tk+1＝inf{t∈R|ψ(u,α3,s1,g1,s2,g2)＞ρ}(28)
ψ(u,α3,s1,g1,s2,g2)＝θ6max(s1g1+s2g2)|u(t)-α3(t)|(29)
其中，u(t)表示触发后的系统输入；
联合反步法和事件触发误差设计反馈鲁棒抑制项，由式(12)推得α3s2是满足两个条件的非线性反馈项，设计如下：
定理1：基于以上步骤，结合事件触发规则(28)～(29)和设计的虚拟控制率(17)，自适应鲁棒控制率(23)与事件触发条件综合设计的液压油缸的控制率(30)，则参数化模型(1)与液压油缸的控制率(30)构成的闭环系统保证以下条件成立：
1)系统的所有闭环信号均有界；
2)闭环系统追踪误差z1有界于：
且可通过选择控制参数改变；其中，λ＝2min(k2,k3)，ε＝w2ε1+w3ε2；
3)存在一个Zeno常数tτ，使得系统任意的时间触发间隔都不小于tτ；
S4：稳定性分析与证明；首先基于选取的李雅普诺夫候选函数求导可得：
将(18)、(31)按照形式(13)组成的反馈抑制项带入(33)中，可得到：
结合事件触发条件(28)得到
经过积分处理能够得到不等式(32)；同时，显然V1(t)≤V1(0)有界，因此系统的误差z3和z2有界，根据稳定的传递函数G(s)＝1/(s+k1)可知z1也有界；根据假设1和假设2可知期望轨迹有界，自适应参数和被估计参数有界，所以所有状态均有界，那么虚拟输入α2(t)和输入控制率α3(t)有界，根据事件触发条件(28)输入u(t)有界，最终得到所有信号有界，并且可以通过调整设计参数调整追踪误差的收敛速度和收敛界；
接下来证明存在一个时间常数tτ，当连续两次的触发时刻间隔tk+1-tk＞tτ时系统排出芝诺现象；触发误差基于此可以得到导数：
其中，表示触发误差的一阶导数，/>和/>分别表示对应的虚拟输入导数；根据α3(t)的定义可知，α3(t)是关于误差z2、z3和向量/>有界信号的函数，因此能够确定α3(t)有上界；同时基于α3(t)的定义可知除/>之外均为连续函数，基于α2(t)的定义可知，/>和以及/>均是连续函数，最终推断/>为连续函数，因此可找到一个常数上界使得表示一个正常数；由事件触发条件(28)可知，/>而由参数化模型(1)可知在已知的物理系统中必然有最小值，令常数ξ＝min(s1g1+s2g2)，所以当满足/>时候，排出Zeno现象。
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