CN114372401A - 一种分层随机克里金代理模型构建方法 - Google Patents

一种分层随机克里金代理模型构建方法 Download PDF

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曾振兴
管晓乐
李洪双
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Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
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Abstract

本发明公开了一种分层随机克里金代理模型构建方法，首先以低可信度样本根据Stochastic Kriging模型，利用最佳线性无偏估计建立低可信度kriging代理模型，再在低可信度kriging代理模型的基础上建立高可信度kriging代理模型，使该模型的精度比拟较多高精度样本构建的代理模型，在大幅度减少了用有限元高精度网格对样本点的计算量的同时保证了计算的精度和效率。

Description

一种分层随机克里金代理模型构建方法
技术领域
本发明涉及计算机分析技术领域，具体涉及一种分层随机克里金代理模型构建方法。
背景技术
克里金法是Krige在1951年提出的一种统计插值方法，该方法的数学公式由Matheron在1963年提出。在Sacks等人的研究工作之后，克里金法在确定性计算机实验的设计和分析中得到了普及。2012年，文献Hierarchical Kriging Model for Variable-Fidelity Surrogate Modeling提出了一种更简单、更实用的变可信度代理模型，称为分层Kriging模型（hierarchical kriging，HK）。通常，模型趋势由低阶多项式定义，通常是线性或二次多项式。对于分层Kriging模型，分两层或多层建立代理模型。以两层模型为例，首先在低可行度样本数据集(S if ，y S,if )基础上建立Kriging模型y if ，然后以y if 为全局趋势模型，在高可信度样本数据集 (S,y S )基础上建立所需的代理模型。
近年来，随机元模型受到广泛关注，它可以有效地表示为随机变量。还可以直接导出统计矩的响应，以便于在设计中实现，例如稳健设计和基于可靠性的设计。但这些工作大多与基于多项式混沌展开的随机响应面方法有关，这是响应面方法的扩展。许多分支也被开发出来，以证明其在基于不确定性的设计中的有效性。事实上，克里金法被广泛认为是一种比响应面法更具吸引力的确定性元模型，它也有可能被扩展为一种随机元模型。由于克里金法的广泛优势，人们研究了许多类型的克里金法，而随机克里金方法充分考虑了输入数据的不确定性和采样重复次数，将DK代理模型从确定性空间转化到随机空间中，解决了包含各处非均等的不确定性和有限采样点的问题。
发明内容
为了克服现有方法的技术和不足，本发明提出了一种分层随机克里金代理模型构建方法，能够大幅度地减少使用有限元高精度网格对样本点的计算量，同时保持较高的精度。
本发明技术方案如下：
一种分层随机克里金代理模型构建方法，包括以下步骤：
步骤1，分别给定高、低可信度样本数据y 1,j （x i ），j=1,2,…,n 1,i ，i=1,2，…,k 1 ， y 2,j （x i ），j=1,2,…,n 2,i ，i=1,2，…,k 2 且n 2 >> n 1 ；
步骤2，基于低可信度样本数据，确认低可信度函数及其克里金模型，该模型的基函数采用普通克里金的基函数，以提供设计空间内的全局近似模型；
步骤3，基于随机克里金方法，随机选择空间中的样本，采用最佳线性无偏估计的形式预测该样本点处的响应，并得到该样本点处的响应均值；
步骤4，求取最佳线性无偏估计形式下低可信度数据相关的权重系数向量ω，基于该权重系数向量得到低可信度克里金代理模型；
步骤5，将所述低可信度克里金代理模型作为基函数，基于高可信度样本最终构造得到高可信度代理模型。
作为优选，步骤1中的高、低可信度样本分别通过有限元高、低精度网格计算得到，将计算结果按照与真实函数的差别大小进行排序，据此划分为低可信度样本与高可信度样本。
作为优选，步骤2中低可信度函数：
Figure 762116DEST_PATH_IMAGE001
式中，Y（X）为克里金模型；
Figure 506082DEST_PATH_IMAGE002
是随机向量X的基函数，提供了设计空间内的全局近似模型；β 0 为回归函数待定系数；ε j (x) 表示扰动项； Z(X)为设计变量的随机过程。
作为优选，Z(X)为在全局模拟的基础上创建的期望为0，且方差为б 2 的局部偏差，其协方差矩阵的分量可表示为：
Figure 415132DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 94506DEST_PATH_IMAGE004
，
式中， R（x (i) ，x (j) ）表示第i,j个样本点之间的相关函数，m为设计变量的维数，k= 1，2，……，m，θ为模型参数。
作为优选，步骤3中各个采样处的样本的均值表示为
Figure 26690DEST_PATH_IMAGE005
，用
Figure 371083DEST_PATH_IMAGE006
向量表示各个已知采样处的样本的响应均值，
Figure 462536DEST_PATH_IMAGE007
。
作为优选，步骤3中的随机克里金方法采用最优线性估计的形式进行预测，以得到预测样本点处的响应均值：
Figure 437446DEST_PATH_IMAGE008
，
式中ω i （x）为赋予已知各位置均值的权值量，通过调整权重估计预测采样位置处的均值。
作为优选，步骤4具体为：通过将均方误差最小作为目标函数，将无偏估计最小作为优化函数进行优化求解，使预测采样位置处的
Figure 233757DEST_PATH_IMAGE009
满足均方误差最小以及无偏估计最小两个条件，以求取权重ω，
Figure 381841DEST_PATH_IMAGE010
，并基于该权重系数向量得到低可信度克里金代理模型。
作为优选，优化求解为：将无偏估计最小及均方误差最小变为优化问题进行求解：
Figure 203167DEST_PATH_IMAGE011
其中，C为非固有不确定性的协方差矩阵；C（x,·）为预测点与样本点的协方差矩阵，r x 为预测点x与样本点之间的相关函数矩阵；η(x)代表的是在预测点x处的固有不确定性的方差；C ε 为固有不确定性的协方差矩阵；F T ω-f(x)=0为无偏差条件转化的约束函数，采用拉格朗日乘数法，最终得到权重向量ω：
Figure 473611DEST_PATH_IMAGE013
。
作为优选，将得到的权重向量ω代回原方程y s ，所述低可信度克里金代理模型为：
Figure 177125DEST_PATH_IMAGE014
，
其中，
Figure 66583DEST_PATH_IMAGE015
，f(x)为基函数，
Figure 617782DEST_PATH_IMAGE016
为与样本点有关的列向量。
作为优选，步骤5具体为：基于高可信度样本，考虑空间中的随机样本并得到已知位置的均值；将低可信度克里金代理模型作为基函数，采用最佳线性无偏估计的形式预测样本点处的响应，得到预测样本位置的均值；求取最佳线性无偏估计形式下高可信度数据的权重系数向量，并基于该权重系数向量得到高可信度克里金代理模型。
有益效果
本发明将随机克里金模型与分层克里金模型结合起来，形成一种新的代理模型，利用低精度网格生成的较多样本构建kriging代理模型作为基函数，利用高精度网格生成的少量样本的第二层kriging代理模型，使该模型的精度比拟较多高精度样本构建的代理模型，大大减少了用有限元高精度网格对样本点的计算量，提高了效率。
附图说明
图1为本发明一个实施例的模型精度对比图；
图2为本发明一个实施例的均方误差估计图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明公开了一种分层随机克里金代理模型构建方法，通过分层kriging，先采用大量低可信度样本进行构建代理模型，以此为基函数利用少量高可信度（高精度）样本构建高精度的代理模型，相比现有技术中直接使用有限元计算大量的高精度样本构建高精度代理模型，大幅度减少了计算量，且精度高。
结合图1至图2，说明本发明的实施例：
步骤1，分别给定高、低可信度样本数据y 1,j （x i ），j=1,2,…,n 1,i ，i=1,2，…,k 1 ， y 2,j （x i ），j=1,2,…,n 2,i ，i=1,2，…,k 2 且n 2 >> n 1 。其中，高、低可信度样本分别由有限元高、低精度网格计算得到，与原函数差别较大为低可信度样本，差别小为高可信度样本。
步骤2，基于低可信度样本数据，确认低可信度函数及其平稳随机过程形式，基函数采用普通克里金的基函数，提供设计空间内的全局近似模型。
低可信度函数的平稳随机过程形式为：
Figure 200073DEST_PATH_IMAGE001
式中，Y（X）为未知的克里金模型；
Figure 390883DEST_PATH_IMAGE002
是随机向量X的基函数，提供了设计空间内的全局近似模型；β 0 为回归函数待定系数；ε(x)被定义为固有不确定性，用来表示扰动项，并被假设为正态分布；ε j (x)是固有不确定性的一个实现，表示的是在x处重复样本的扰动，并且假设它与其他重复样本的固有和非固有不确定性Z(X)之间相互独立；Z(X)为一随机过程，是在全局模拟的基础上创建的期望为0，且方差为б 2 的局部偏差，其协方差矩阵的分量可表示为：
Figure 208666DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 473425DEST_PATH_IMAGE018
，
式中， R（x (i) ，x (j) ）表示任意两个样本点之间的相关函数，其为相关矩阵R的分量，有多种函数形式可选择，本实施例为高斯型相关函数表达式。
步骤3，考虑样本点计算的随机性，即相同的样本点，计算几次响应会有偏差，根据随机克里金理论，考虑空间中的随机样本，采用最佳线性无偏估计的形式预测样本点处的响应，以得到预测位置的均值。
其中，各个位置处样本的均值表示为
Figure 23355DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 278625DEST_PATH_IMAGE020
表示各已知位置均值的向量。
随机克里金方法采用最优线性估计的形式进行预测，以得到预测位置的均值：
Figure 509886DEST_PATH_IMAGE021
，式中ω i （x）表示的是赋予已知各位置均值的权值量，也就是通过调整权重来估计预测采样位置处的均值。
步骤4，通过将均方误差最小作为目标函数，将无偏估计最小作为优化函数进行优化求解，使预测采样位置处的
Figure 284944DEST_PATH_IMAGE009
满足均方误差最小以及无偏估计最小两个条件，以求取权重ω，
Figure 740196DEST_PATH_IMAGE022
，并基于该权重系数向量得到低可信度克里金代理模型，具体为：
步骤4.1，根据最佳线性无偏估计原理的假设，考虑估计量无偏且其均方误差最小化，将
Figure 108861DEST_PATH_IMAGE023
用相应的随机量
Figure 753600DEST_PATH_IMAGE024
代替，将
Figure 320847DEST_PATH_IMAGE025
看作是随机的，并使其均方误差最小化：
Figure 150263DEST_PATH_IMAGE026
式中C为非固有不确定性的协方差矩阵；C（x,·）为预测点与样本点的协方差矩阵，r x 为预测点x与样本点之间的相关函数矩阵；η(x)代表的是在预测点x处的固有不确定性的方差；C ε 为固有不确定性的协方差矩阵。
考虑无偏差条件转化为：
Figure 865278DEST_PATH_IMAGE027
转化为
Figure 703921DEST_PATH_IMAGE028
步骤4.2，将无偏估计及均方误差最小变为优化问题进行求解：
Figure 860096DEST_PATH_IMAGE029
其中，F T ω-f(x)=0为无偏差条件转化的约束函数，采用拉格朗日乘数法，经过推导可以证明最优加权系数ω可以由下列线性方程组给出：
Figure 502823DEST_PATH_IMAGE030
Figure 314921DEST_PATH_IMAGE031
式中
Figure 81889DEST_PATH_IMAGE032
为“相关矢量”，由预测点与所有样本点之间的相关函数值组成，F为样本点在基函数处的值：
求解方程组得：
Figure 358150DEST_PATH_IMAGE033
得到最佳线性无偏预测为：
Figure 794947DEST_PATH_IMAGE034
其中，
Figure 969708DEST_PATH_IMAGE035
。
步骤4.3，确认参数并进行参数计算
根据得到得最佳线性无偏预测公式可知，只需计算
Figure 946891DEST_PATH_IMAGE036
便可获得最终得到代理模型：
①
Figure 280920DEST_PATH_IMAGE037
，
Figure 747674DEST_PATH_IMAGE038
②
Figure 799944DEST_PATH_IMAGE039
，
Figure 315238DEST_PATH_IMAGE040
③
Figure 143255DEST_PATH_IMAGE041
④
Figure 656276DEST_PATH_IMAGE042
其中б 2 为外部方差，R M 是任意两个样本点的相关函数。
求得C ε 后，相关参数(θ,б 2 )通过以下式子，利用最大似然估计得到：
Figure 320475DEST_PATH_IMAGE043
步骤5，基于高可信度样本，考虑空间中的随机样本并得到已知位置的均值；将低可信度克里金代理模型作为基函数，采用最佳线性无偏估计的形式预测样本点处的响应，得到预测样本位置的均值；求取最佳线性无偏估计形式下高可信度数据的权重系数向量，并基于该权重系数向量得到高可信度克里金代理模型。
为了验证分层kriging代理模型的精度以及计算效率，选取测试函数进行对比。
高可信度模型为：
Figure 639461DEST_PATH_IMAGE044
，
低可信度模型由下式给出：
Figure 948083DEST_PATH_IMAGE045
即
Figure 507371DEST_PATH_IMAGE046
高可信度和低可信度样本x 的位置是
Figure 268654DEST_PATH_IMAGE047
和
Figure 391331DEST_PATH_IMAGE048
。
如图1所示，为本发明的模型精度对比图，其中横坐标为样本点的位置，纵坐标为响应值，高可信度样本的响应均值对应图中的圆圈标记，低可信度样本的响应均值对应途中的星号标记。
表1 高可信度样本
Figure 413513DEST_PATH_IMAGE049
表2 低可信度样本
Figure 533916DEST_PATH_IMAGE050
噪声项由均匀分布产生的方差建模，范围从0到1。
表3 低可信度样本的内在方差
Figure 844812DEST_PATH_IMAGE051
表4 高可信度样本的内在方差
Figure 97412DEST_PATH_IMAGE052
表5 利用低可信度样本构造出的基函数矩阵值
Figure 849468DEST_PATH_IMAGE053
表6 高可信度基函数矩阵值
Figure 530985DEST_PATH_IMAGE054
如图1所示，最终高可信度函数响应在区间位置[0,1]内的值如下表7所示，对应图1中的虚线标记。
表7 高可信度函数响应在区间位置[0,1]内的值
Figure 63597DEST_PATH_IMAGE055
如图2所示，预测点处的均方误差估计值，其中横坐标为样本点的位置，纵坐标为响应值。从图2可以清楚地得到预测点处的精准度，预测点处的均方误差估计值越小，则精准度越高。
表8 均方误差估计值
Figure 731339DEST_PATH_IMAGE056
由图1和图2可以看出，使用本发明公开的分层随机克里金代理模型采用的高精度样本数量很少，同时保持高精度。
最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，分别给定高、低可信度样本数据y 1,j （x i ），j=1,2,…,n 1,i ，i=1,2，…,k 1 ， y 2,j （x i ），j=1,2,…,n 2,i ，i=1,2，…,k 2 且n 2 >> n 1 ；
步骤2，基于低可信度样本数据，确认低可信度函数及其克里金模型，该模型的基函数采用普通克里金的基函数，以提供设计空间内的全局近似模型；
步骤3，基于随机克里金方法，随机选择空间中的样本，采用最佳线性无偏估计的形式预测该样本点处的响应，并得到该样本点处的响应均值；
步骤4，求取最佳线性无偏估计形式下低可信度数据相关的权重系数向量ω，基于该权重系数向量得到低可信度克里金代理模型；
步骤5，将所述低可信度克里金代理模型作为基函数，基于高可信度样本最终构造得到高可信度代理模型。
2.根据权利要求1所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述步骤1中的高、低可信度样本分别通过有限元高、低精度网格计算得到，将计算结果按照与真实函数的差别大小进行排序，据此划分为低可信度样本与高可信度样本。
3.根据权利要求2所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述步骤2中低可信度函数：
Figure 542996DEST_PATH_IMAGE001
式中，Y（X）为克里金模型；
Figure 663398DEST_PATH_IMAGE002
是随机向量X的基函数，提供了设计空间内的全局近似模型；β 0 为回归函数待定系数；ε j (x) 表示扰动项； Z(X)为设计变量的随机过程。
4.根据权利要求3所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，Z(X)为在全局模拟的基础上创建的期望为0，且方差为б 2 的局部偏差，其协方差矩阵的分量可表示为：
Figure 787343DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 448132DEST_PATH_IMAGE004
，
式中， R（x (i) ，x (j) ）表示第i,j个样本点之间的相关函数，m为设计变量的维数，k=1， 2，……，m，θ为模型参数。
5.根据权利要求4所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，步骤3中各个采样处的样本的均值表示为
Figure 731346DEST_PATH_IMAGE005
，用
Figure 881704DEST_PATH_IMAGE006
向量表示各个已知采样处的样本的响应均值，
Figure 617579DEST_PATH_IMAGE007
。
6.根据权利要求5所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述步骤3中的随机克里金方法采用最优线性估计的形式进行预测，以得到预测样本点处的响应均值：
Figure 82058DEST_PATH_IMAGE008
，
式中ω i （x）为赋予已知各位置均值的权值量，通过调整权重估计预测采样位置处的均值。
7.根据权利要求1或6所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述步骤4具体为：通过将均方误差最小作为目标函数，将无偏估计最小作为优化函数进行优化求解，使预测采样位置处的
Figure DEST_PATH_IMAGE009
满足均方误差最小以及无偏估计最小两个条件，以求取权重ω，
Figure 799872DEST_PATH_IMAGE010
，并基于该权重系数向量得到低可信度克里金代理模型。
8.根据权利要求7所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述优化求解为：将无偏估计最小及均方误差最小变为优化问题进行求解：
Figure 58815DEST_PATH_IMAGE011
其中，C为非固有不确定性的协方差矩阵；C（x,·）为预测点与样本点的协方差矩阵，r x 为预测点x与样本点之间的相关函数矩阵；η(x)代表的是在预测点x处的固有不确定性的方差；C ε 为固有不确定性的协方差矩阵；F T ω-f(x)=0为无偏差条件转化的约束函数，采用拉格朗日乘数法，最终得到权重向量ω：
Figure 406620DEST_PATH_IMAGE013
。
9.根据权利要求8所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，将得到的权重向量ω代回原方程y s ，所述低可信度克里金代理模型为：
Figure 346894DEST_PATH_IMAGE014
，
其中，
Figure 214487DEST_PATH_IMAGE015
，f(x)为基函数，
Figure 909911DEST_PATH_IMAGE016
为与样本点有关的列向量。
10.根据权利要求1或9所述的一种分层随机克里金代理模型构建方法，其特征在于，所述步骤5具体为：基于高可信度样本，考虑空间中的随机样本并得到已知位置的均值；将低可信度克里金代理模型作为基函数，采用最佳线性无偏估计的形式预测样本点处的响应，得到预测样本位置的均值；求取最佳线性无偏估计形式下高可信度数据的权重系数向量，并基于该权重系数向量得到高可信度克里金代理模型。
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