CN114337008A - 一种基于不等距调制齿的游标永磁电机及其高转矩设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于不等距调制齿的游标永磁电机及其高转矩设计方法，该电机的转子包括铁心和永磁体，永磁体采用表贴式的安装方式，以产生永磁励磁磁场；定子包括定子铁心和电枢绕组，定子铁心由定子轭、定子槽、定子齿和不等距调制齿构成，通过不等距调制齿对永磁励磁磁场的调制作用，产生出额外特定次数的谐波，产生额外的转矩输出。定子槽内安装有电枢绕组，用以产生电枢反应磁场，以和经过不等距调制齿调制后的永磁气隙磁场耦合产生转矩。

Description

一种基于不等距调制齿的游标永磁电机及其高转矩设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于不等距调制齿的游标永磁电机及其高转矩设计方法，在 电机设计中，将游标永磁电机的调制齿设计为不等距调制齿结构，以产生气隙中 额外极对数的谐波，从而提高电机的转矩输出。本发明属于电工、电机领域。

背景技术

传统的游标永磁电机基于磁齿轮调制效应运行，具有低速大转矩的特性，适 用于直驱式系统。然而，电动拖拉机等对转矩要求特别高的领域对游标永磁电机 的转矩密度提出了更高的要求。

为增加游标永磁电机的转矩密度，通常可以通过改变永磁体安装方案，以增 加励磁磁场强度。例如，采用径向充磁式永磁体安装方式，基于永磁磁场的聚磁 效应，可有效增加永磁励磁磁场强度，以此改善电机的转矩输出能力，但该类电 机转子外侧永磁极间漏磁严重，降低了永磁体利用率；采用Halbach永磁阵列， 不仅可以改善励磁磁场波形系数，降低转矩脉动，而且得益于Halbach永磁阵列 的单侧聚磁效应，能有效提升电机转矩密度，但Halbach永磁阵列的加工和生产 工艺复杂，增加了生产成本。

发明内容

针对现有技术的不足，本文提出了一种基于不等距调制齿的游标永磁电机高 转矩设计方法。该设计方法目的是为了进一步增加游标永磁电机的转矩输出，并 解决现有技术永磁体利用率低或成本高等问题，该设计方法将游标永磁电机的调 制齿设计为不等距结构，从而产生额外极对数的永磁励磁磁场谐波，以提高电机 的转矩输出。

本发明采用的技术方案是：一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，包括内 定子、外转子和转轴；内定子和外转子中间设有气隙；所述内定子包括定子轭部 铁心(1)、定子齿(2)、定子槽(3)、小调制齿(4)和大调制齿(5)。定 子槽(3)内安装有电枢绕组(6)，相邻两个定子齿(2)上分别安装有2个不 等距小调制齿(4)和3个不等距大调制齿(5)，相邻两个不等距大调制齿(5) 之间的距离相等，但该距离和相邻两个不等距小调制齿(4)之间的距离不等， 从而构成了不等距调制齿结构；所述外转子包括转子铁心(7)和永磁体(8)， 永磁体采用表贴式结构，表贴于转子铁心(7)表面。

进一步，永磁体(8)采用径向充磁，且相邻永磁体充磁方向相反。

进一步，永磁体(8)可采用钕铁硼、钐钴等永磁材料。

进一步，内定子铁心和外转子铁心均采用硅钢片叠压而成。

进一步，内定子铁心由1个定子轭部铁心(1)、12个定子齿(2)、12个 定子槽(3)、12个不等距小调制齿(4)和18个不等距大调制齿(5)构成。

本发明的一种基于不等距调制齿的游标永磁电机高转矩设计方法，包括以下 步骤：

游标永磁电机的调制齿采用不等距结构，即总调制齿个数依然为N_mt，在实 际设计中，将传统游标永磁电机的N_mt个相同距离、相同大小的调制齿分割为 N_mt/λ个不等距调制齿组，这N_mt/λ组每组之间的距离相等，但每个调制齿组中的 λ个调制齿相互之间的距离存在不相等的情况，相邻调制齿之间距离的取值范围 为(0,θ_s/2)。从而构成了不等距调制齿结构。本发明所述基于不等距调制齿游标永 磁电机高转矩设计方法如下：

已有一台三相游标永磁电机，已知其相关参数为：槽数为Z，调制齿总个数 为N_mt，永磁体极对数为P_PM，电机每相有x个线圈，第1个线圈两条边的角度 为θ_1-1和θ_1-2，第2个线圈两条边的角度为θ_2-1和θ_2-2，第3个线圈两条边的角度 为θ_3-1和θ_3-2，依此类推，第x个线圈两条边的角度为θ_x-1和θ_x-2。一个调制齿宽 度为θ_t，传统等距调制齿电机两个相邻调制齿之间的宽度为θ_s。

步骤1)：先对传统等距调制齿电机分析，根据永磁体排列示意图和永磁励 磁磁动势波形。利用离散傅里叶变换并考虑转子的旋转，可得永磁励磁磁动势 F_PM随圆周位置θ的表达式为：

其中，θ表示转子圆周位置，ω_r表示转子旋转的机械角速度，F_PMj表示j次谐波 分量幅值。

步骤2)：传统游标永磁电机采用的是等距调制齿结构，即每个调制齿之间的 间距相同，设调制齿总个数为N_mt，分为N_mt组，即调制齿气隙磁导的傅里叶周 期数为N_mt，则傅里叶周期为：

结合步骤1)公式并利用离散傅里叶变换并可得气隙磁导随圆周位置θ的表 达式为：

其中，Λ₀表示气隙磁导的直流分量，Λ_k表示k次谐波分量的幅值。

所以，传统游标永磁电机的气隙磁密表达式为：

由上式可知：谐波主要有三种，极对数分别为jP_PM、kN_mt-jP_PM和 kN_mt+jP_PM，将其定义为谐波Ⅰ类、谐波Ⅱ类和谐波Ⅲ类。

步骤3)：根据电机学基本理论，电机的转矩输出大小由磁链大小决定，传 统游标永磁电机的第一个线圈的磁链ψ₁可表达为：

其中，H₁为传统游标永磁电机中谐波Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类的谐波集合，B_imax为i 次谐波的磁密幅值，r_s为电机的气隙直径，l_a为电机的轴长，N为电机的线圈匝 数，t为时间，θ_i(t)为i次谐波在t时刻的相位。

为实现永磁游标电机低速大转矩运行，通常将调制齿数量N_mt设计为略大于 永磁极对数P_PM，此时，三类谐波的极对数关系如下：

kN_mt-jP_PM＜jP_PM＜kN_mt+jP_PM

所以可通过增加谐波Ⅱ类的额外谐波极对数增加电机的转矩输出。结合上述 磁链公式和电机已知参数可得电机的每相磁链公式为：

其中，n为第n个线圈，θ_n-1和θ_n-2第n个线圈两条边的角度。

通过对每相磁链进行时间t微分就可得到传统游标永磁电机的转矩T_em1为：

其中，i_m为电机的相电流峰值。

步骤4)：对于不等距调制齿，在实际设计中，将传统游标永磁电机的N_mt个相同距离、相同大小的调制齿分割为N_mt/λ个不等距调制齿组，且每组之间的 距离相等，同时每组中的λ个调制齿相互之间的距离存在不相等的情况，相邻调 制齿之间距离的取值范围为

从而构成了不等距调制齿结构。此时气隙磁 导的傅里叶周期变为：

其中，λ为大于1且能使N_mt/λ为整数的正整数。

不等距调制齿游标永磁电机的永磁励磁磁动势和传统游标永磁电机相同，即 也可用步骤1)中的磁动势公式表示，但其气隙磁导表达式发生了改变，为：

其中，Λ₀′表示气隙磁导的直流分量，Λ_k′表示k′次谐波分量的幅值。

结合永磁磁动势、气隙磁导傅里叶周期和气隙磁导可得不等距调制齿游标永 磁电机的气隙磁密表达式为：

由此可见，当设计的气隙磁导的傅里叶周期数为原傅里叶周期数的1/λ倍时， 其Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类谐波极对数分别为jP_PM、

和

步骤5)：分两种情况讨论k′/λ和k的关系。

1)k′＝kλ

此时不等距调制齿游标永磁电机产生了和传统游标永磁电机相同的谐波极 对数，说明该种电机经过不等距调制齿的设计，原谐波极对数并没有减少，保证 了原转矩输出的大小。

2)k′≠kλ

此时由于不等距调制齿游标永磁电机产生了额外极对数的谐波。多产生的谐 波极对数为：

其中，第1项属于谐波Ⅱ类，即能够最有效地提供转矩的谐波Ⅱ类的极对数得到了增加，同时其中的第2项属于谐波Ⅲ类，即谐波Ⅲ类的谐波极对数也得到了增 加。

步骤6)：根据上述分析，不等距调制齿游标永磁电机的第一个线圈磁链ψ₂可表达为：

其中，m为通过不等距调制齿设计额外增加的谐波极对数，H₂为该类谐波集合，B_mmax为m次谐波磁密幅值，θ_i(t)为m次谐波在t时刻的相位。

由磁链公式可知，除了原谐波集合H₁外，不等距调制齿游标永磁电机还增 加了另一个谐波集合H₂，该谐波集合的加入增加了总谐波数量。

结合电机已知参数和上式可得电机的相磁链为：

其中ψ_1p(t)为不等距调制齿游标永磁电机的相磁链，通过对相磁链进行时间t的微分可得不等距调制齿游标永磁电机的转矩T_em2公式为：

对比此式和步骤3)中传统游标永磁电机的转矩T_em1可知，由于不等距调制 齿游标永磁电机的相磁链里增加了谐波集合H₂所提供的磁链，从而提供了额外 的转矩，表明该基于不等距调制齿的游标永磁电机高转矩设计方法具有有效性。

本发明的技术效果为：

1)本发明通过一种不等距调制齿的设计，产生额外极对数的永磁励磁磁 场谐波，以产生额外的转矩输出，进一步增大了游标永磁电机的转矩输出， 在一些对转矩输出要求大的场合尤为适用。

2)本发明提出的基于不等距调制齿游标永磁电机高转矩设计方法，相比于现有方法设计方法，具有电机结构简单，设计与安装方便和永磁体用量小等优势。

附图说明

为使本发明中内容更易被理解，下面根据本发明的具体实施方式结合附图， 对本发明作进一步的说明：

图1为传统游标永磁电机示意图

图2为传统游标永磁电机等距调制齿示意图

图3为永磁体排列示意图

图4为等效气隙磁动势示意图

图5为传统游标永磁电机简化气隙磁导波形图

图6为不等距调制齿游标永磁电机示意图

图7为不等距调制齿游标永磁电机一个不等距调制齿组示意图

图8为传统游标永磁电机和不等距调制齿游标永磁电机气隙磁密对比图

图9为传统游标永磁电机和不等距调制齿游标永磁电机输出转矩对比图

图中附图标记分别表示：1-定子轭部铁心；2-定子齿；3-定子槽；4-小调制齿； 5-大调制齿；6-电枢绕组；7-转子铁心；8-永磁体；9-转轴；θ_s-两个相邻小调制 齿4之间的宽度；θ_t-一个大调制齿5宽度；θ_s1-相邻两个不等距大调制齿5之间 的距离；θ_s2-小调制齿4和大调制齿5之间的最短距离；θ_s3-相邻两个不等距小调 制齿4之间的距离。

具体实施方式

为了使本发明内容易于理解，下面结合本发明的具体实施例并结合附图进行 进一步说明。

传统游标永磁电机如图1所示。电机采用外转子结构，电机由内定子、外转 子和转轴组成。内定子包括1个定子轭部铁心1、12个定子齿2、12个定子槽3、 12个小调制齿4、18个大调制齿5和电枢绕组6组成。其中，定子轭部铁心1 和相邻两个定子齿2构成1个定子槽3，定子槽3内安装有电枢绕组6，相邻两 个定子齿2上分别安装有2个小调制齿4和3个大调制齿5，调制齿齿宽和距离 如图2所示。外转子包括1块转子铁心7和2P_PM块永磁体8。永磁体8采用表 贴式和径向充磁，且相邻永磁体充磁方向相反，如图3所示。转轴9置于定子轭 部铁心1的几何中心。内定子和外转子中间设有气隙，气隙的厚度和电机的功率 等级、所选取的永磁材料以及内定子和外转子的加工和装配工艺有关。内定子铁 心和外转子均采用硅钢片叠压而成，永磁体8可采用钕铁硼、钐钴等永磁材料， 转轴9可选用轴承钢材料。

先对传统等距调制齿电机分析，根据图3和图4。利用离散傅里叶变换并考 虑转子的旋转，可得永磁励磁磁动势F_PM随圆周位置θ的表达式为：

其中，θ表示转子圆周位置，ω_r表示转子旋转的机械角速度，F_PMj表示j次谐波 分量幅值。

传统游标永磁电机采用的是等距调制齿结构，即每个调制齿之间的间距相同， 设调制齿总个数为N_mt，所以调制齿可分为N_mt组，每组有1个调制齿，即调制 齿气隙磁导的傅里叶周期数为N_mt，则傅里叶周期为：

根据图5，利用离散傅里叶变换并结合公式(1)，可得气隙磁导随圆周位置θ 的表达式为：

其中，Λ₀表示气隙磁导的直流分量，Λ_k表示k次谐波分量的幅值。

结合公式(1)和(3)可得传统游标永磁电机的气隙磁密表达式为：

由上式可知：谐波主要有三种，极对数分别为jP_PM、kN_mt-jP_PM和 kN_mt+jP_PM，将其定义为谐波Ⅰ类、谐波Ⅱ类和谐波Ⅲ类。

根据电机学基本理论，电机的转矩输出大小由磁链大小决定，在电枢绕组排 布状态相同的情况下，电机的磁链大小主要由谐波极对数i和谐波磁密幅值B_imax决定，传统游标永磁电机的第一个线圈的磁链ψ₁可表达为：

其中，H₁为传统游标永磁电机中谐波Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类的谐波集合，B_imax为i 次谐波的磁密幅值，r_s为电机的气隙直径，l_a为电机的轴长，N为电机的线圈匝 数，t为时间，θ_i(t)为i次谐波在t时刻的相位，θ_1-1和θ_1-2分别表示第1个线圈两 条边的角度。

根据公式(5)可知，谐波极对数i越小，谐波提供的磁链越大。为实现永磁游 标电机低速大转矩运行，通常将调制齿数量N_mt设计为略大于永磁极对数P_PM， 此时，三类谐波的极对数关系如下：

kN_mt-jP_PM＜jP_PM＜kN_mt+jP_PM (6)

由此可得，增加Ⅱ类谐波的极对数能够最有效地提供转矩，所以可通过增加 谐波Ⅱ类的额外谐波极对数增加电机的转矩输出。

结合公式(5)和电机已知参数可得电机的每相磁链公式为：

其中，n为第n个线圈，θ_n-1和θ_n-2第n个线圈两条边的角度。

将公式(7)对时间t微分就可得到传统游标永磁电机的转矩T_em1为：

其中i_m为电机的相电流峰值。

对于不等距调制齿永磁游标电机，如图6所示，2个调制齿4和3个调制齿 5构成一个不等距调制齿组。根据图7，在1个定子齿2上，相邻两个不等距小 调制齿4之间的距离为θ_s3，相邻两个不等距大调制齿5之间的距离为θ_s1。在相 邻的两个定子齿2上，小调制齿4和大调制齿5之间的最短距离为θ_s2，小调制 齿4和大调制齿5的齿宽均为θ_t。其总调制齿个数依然为N_mt，在实际设计中， 将传统游标永磁电机的N_mt个相同距离、相同大小的调制齿分割为N_mt/λ个不等 距调制齿组，这N_mt/λ组每组之间的距离相等，但每个调制齿组中的λ个调制齿 相互之间的距离存在不相等的情况，相邻调制齿之间距离的取值范围为

从而构成了不等距调制齿结构。从原理上分析，传统游标永磁电机调制齿气隙磁 导的原傅里叶周期数为N_mt，将不等距调制齿气隙磁导的傅里叶周期数设计为原 傅里叶周期数N_mt的1/λ倍，即变为N_mt/λ，其中λ为大于1且能使N_mt/λ为整数 的正整数。此时气隙磁导的傅里叶周期变为：

不等距调制齿游标永磁电机的永磁励磁磁动势和传统游标永磁电机相同，即 也可用公式(1)表示，但其气隙磁导表达式发生了改变，为：

其中，Λ₀′表示气隙磁导的直流分量，Λ_k′表示k′次谐波分量的幅值。

结合公式(1)、(9)和(10)，可得不等距调制齿游标永磁电机的气隙磁密表达式为：

由此可见，当设计的气隙磁导的傅里叶周期数为原傅里叶周期数的1/λ倍时， 其Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类谐波极对数分别为jP_PM、

和

下面 分两种情况讨论k′/λ和k的关系。

1)k′＝kλ

此时不等距调制齿游标永磁电机产生了和传统游标永磁电机相同的谐波极 对数，说明该种电机经过不等距调制齿的设计，原谐波极对数并没有减少，保证 了原转矩输出的大小。

2)k′≠kλ

此时由于不等距调制齿游标永磁电机产生了额外极对数的谐波。由于λ为大 于1的正整数，且k和k′的为两个独立的数值，所以k′/λ的取值密度一定比k大， 即不等距调制齿游标永磁电机的谐波极对数比传统游标永磁电机多。多产生的谐 波极对数为：

其中，第1项属于谐波Ⅱ类，即能够最有效地提供转矩的谐波Ⅱ类的极对数得到了增加，同时其中的第2项属于谐波Ⅲ类，即谐波Ⅲ类的谐波极对数也得到了增 加。据此，不等距调制齿游标永磁电机的第一个线圈磁链ψ₂可表达为：

其中，m为通过不等距调制齿设计额外增加的谐波极对数，H₂为该类谐波集合，B_mmax为m次谐波磁密幅值，θ_i(t)为m次谐波在t时刻的相位。

由公式(13)可知，除了原谐波集合H₁外，不等距调制齿游标永磁电机还增 加了另一个谐波集合H₂，该谐波集合的加入增加了总谐波数量。

结合电机已知参数和上式可得电机的相磁链为：

其中ψ_1p(t)为不等距调制齿游标永磁电机的相磁链，通过对相磁链进行时间t的微分可得不等距调制齿游标永磁电机的转矩T_em2公式为：

对比公式(15)和公式(8)可知，由于不等距调制齿游标永磁电机的相磁链里增 加了谐波集合H2所提供的磁链，从而提供了额外的转矩，所以其转矩Tem2显 然会比传统游标永磁电机Tem1大，表明该基于不等距调制齿的游标永磁电机高 转矩设计方法具有有效性。

该实施例的电机参数为N_mt＝30，P_PM＝25，且不等距调制齿组为6组，所以 根据N_mt＝30、式(2)和式(9)可计算出当采用传统等距调制齿和不等距调制齿的调 制齿气隙磁导傅里叶周期为：

再将P_PM＝25代入式(4)和(11)中，并结合式(16)，可得到在j＝1时不等距调制齿游标永磁电机和传统游标永磁电机的谐波极对数，如表1所示。由表1中两者的谐波极对数可知，不等距调制齿游标永磁电机产生了更多额外极对数的谐波，如谐波Ⅱ类中极对数为1、7、11、13、17、19的谐波和谐波Ⅲ类中极对数为31、37、43、49的谐波，这些谐波能够产生额外的转矩输出。表1为传统游标永磁 电机和不等距调制齿游标永磁电机谐波极对数表。

表1

通过有限元软件仿真可得到图8所示的气隙磁密对比图，由图可知在极对数 为5、25等原谐波气隙磁密幅值基本不变的情况下，出现了极对数为1、7、13 等经过不等距调制齿设计的谐波，验证了理论的正确性。

根据公式(8)和(15)，可计算得出两种电机的转矩输出示意图如图9所示，由 图可知在使用了不等距调制齿结构替换了原来的等距调制齿结构后，电机的转矩 提升了约65％，验证了该方案的可行性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明。凡在本发明 的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保 护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，其特征在于，包括内定子、外转子和转轴；内定子和外转子中间设有气隙；所述内定子包括定子轭部铁心(1)、定子齿(2)、定子槽(3)、小调制齿(4)和大调制齿(5)；定子槽(3)内安装有电枢绕组(6)，相邻两个定子齿(2)上分别安装有2个不等距小调制齿(4)和3个不等距大调制齿(5)，相邻两个不等距大调制齿(5)之间的距离相等，但该距离和相邻两个不等距小调制齿(4)之间的距离不等，从而构成了不等距调制齿结构；所述外转子包括转子铁心(7)和永磁体(8)，永磁体采用表贴式结构，表贴于转子铁心(7)表面。

2.根据权利要求1所述的一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，其特征在于，永磁体(8)采用径向充磁，且相邻永磁体充磁方向相反。

3.根据权利要求1所述的一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，其特征在于，永磁体(8)可采用钕铁硼、钐钴等永磁材料。

4.根据权利要求1所述的一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，其特征在于，内定子铁心和外转子铁心均采用硅钢片叠压而成。

5.根据权利要求1所述的一种基于不等距调制齿的游标永磁电机，其特征在于，内定子铁心由1个定子轭部铁心(1)、12个定子齿(2)、12个定子槽(3)、12个不等距小调制齿(4)和18个不等距大调制齿(5)构成。

6.一种基于不等距调制齿的游标永磁电机高转矩设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1)：先对传统等距调制齿电机分析，根据永磁体排列示意图和永磁励磁磁动势波形，利用离散傅里叶变换并考虑转子的旋转，可得永磁励磁磁动势F_PM随圆周位置θ的表达式为：

其中，θ表示转子圆周位置，ω_r表示转子旋转的机械角速度，F_PMj表示j次谐波分量幅值；P_PM为永磁体极对数；

步骤2)：传统游标永磁电机采用的是等距调制齿结构，即每个调制齿之间的间距相同，设调制齿总个数为N_mt，分为N_mt组，即调制齿气隙磁导的傅里叶周期数为N_mt，则傅里叶周期为：

结合步骤1)公式并利用离散傅里叶变换并可得气隙磁导随圆周位置θ的表达式为：

其中，Λ₀表示气隙磁导的直流分量，Λ_k表示k次谐波分量的幅值；

所以，传统游标永磁电机的气隙磁密表达式为：

由上式可知：谐波主要有三种，极对数分别为jP_PM、kN_mt-jP_PM和kN_mt+jP_PM，将其定义为谐波Ⅰ类、谐波Ⅱ类和谐波Ⅲ类；

步骤3)：根据电机学基本理论，电机的转矩输出大小由磁链大小决定，传统游标永磁电机的第一个线圈的磁链ψ₁可表达为：

其中，H₁为传统游标永磁电机中谐波Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类的谐波集合，B_imax为i次谐波的磁密幅值，r_s为电机的气隙直径，l_a为电机的轴长，N为电机的线圈匝数，t为时间，θ_i(t)为i次谐波在t时刻的相位，θ_1-1和θ_1-2分别表示第1个线圈两条边的角度；

为实现永磁游标电机低速大转矩运行，通常将调制齿数量N_mt设计为略大于永磁极对数P_PM，此时，三类谐波的极对数关系如下：

kN_mt-jP_PM＜jP_PM＜kN_mt+jP_PM

所以可通过增加谐波Ⅱ类的额外谐波极对数增加电机的转矩输出，结合上述磁链公式和电机已知参数可得电机的每相磁链公式为：

其中，n为第n个线圈，θ_n-1和θ_n-2第n个线圈两条边的角度；

通过对每相磁链进行时间t微分就可得到传统游标永磁电机的转矩T_em1为：

其中，i_m为电机的相电流峰值；

步骤4)：对于不等距调制齿，在实际设计中，将传统游标永磁电机的N_mt个相同距离、相同大小的调制齿分割为N_mt/λ个不等距调制齿组，且每组之间的距离相等，同时每组中的λ个调制齿相互之间的距离存在不相等的情况，相邻调制齿之间距离的取值范围为

从而构成了不等距调制齿结构，此时气隙磁导的傅里叶周期变为：

其中，λ为大于1且能使N_mt/λ为整数的正整数；

不等距调制齿游标永磁电机的永磁励磁磁动势和传统游标永磁电机相同，即也可用步骤1)中的磁动势公式表示，但其气隙磁导表达式发生了改变，为：

其中，Λ₀′表示气隙磁导的直流分量，Λ_k′表示k′次谐波分量的幅值；

结合永磁磁动势、气隙磁导傅里叶周期和气隙磁导可得不等距调制齿游标永磁电机的气隙磁密表达式为：

由此可见，当设计的气隙磁导的傅里叶周期数为原傅里叶周期数的1/λ倍时，其Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类谐波极对数分别为jP_PM、

和

步骤5)：分两种情况讨论k′/λ和k的关系：

1)k′＝kλ

此时不等距调制齿游标永磁电机产生了和传统游标永磁电机相同的谐波极对数，说明该种电机经过不等距调制齿的设计，原谐波极对数并没有减少，保证了原转矩输出的大小；

2)k′≠kλ

此时由于不等距调制齿游标永磁电机产生了额外极对数的谐波，多产生的谐波极对数为：

其中，第1项属于谐波Ⅱ类，即能够最有效地提供转矩的谐波Ⅱ类的极对数得到了增加，同时其中的第2项属于谐波Ⅲ类，即谐波Ⅲ类的谐波极对数也得到了增加；

步骤6)：根据上述分析，不等距调制齿游标永磁电机的第一个线圈磁链ψ₂可表达为：

其中，m为通过不等距调制齿设计额外增加的谐波极对数，H₂为该类谐波集合，B_mmax为m次谐波磁密幅值，θ_i(t)为m次谐波在t时刻的相位；

由磁链公式可知，除了原谐波集合H₁外，不等距调制齿游标永磁电机还增加了另一个谐波集合H₂，该谐波集合的加入增加了总谐波数量；

结合电机已知参数和上式可得电机的相磁链为：

其中ψ_1p(t)为不等距调制齿游标永磁电机的相磁链，通过对相磁链进行时间t的微分可得不等距调制齿游标永磁电机的转矩T_em2公式为：

对比此式和步骤3)中传统游标永磁电机的转矩T_em1可知，由于不等距调制齿游标永磁电机的相磁链里增加了谐波集合H₂所提供的磁链，从而提供了额外的转矩，表明该基于不等距调制齿的游标永磁电机高转矩设计方法具有有效性。

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