CN114329867B - 一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，具体为利用网络离散度从局部角度衡量网络鲁棒性，以及利用基于模体的节点度分布的熵从全局角度对网络的鲁棒性进行粗粒度的衡量。网络离散度能够灵敏的感知网络鲁棒性的细微变化，而模体作为一种由节点构成的高阶网络结构，将模体应用于网络鲁棒性度量，既考虑了节点本身对网络鲁棒性的影响，又考虑了节点间的依存关系对网络鲁棒性的决定作用。对网络鲁棒性的度量，能够发现网络对不同程度、不同类型故障的抵抗能力，然后进一步针对不同的网络及其应用背景提出优化网络鲁棒性的策略，提高系统的可靠性和稳定性。

Description

一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法

技术领域

本发明涉及复杂网络鲁棒性判断技术领域，具体为一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，用于无标度网络在随机攻击下的鲁棒性度量。

背景技术

无标度网络是一种经典的复杂网络，大部分无标度网络的度分布都可以用幂律分布来表示，即P(k)＝Ck^-γ，其中C为比例系数，k为节点的度值，γ为指数，并且在无标度网络中，大多数节点的度值都很小，而少数的枢纽节点拥有很大的度值。

为了实现无标度网络的构造，Barabási和Albert提出了一种简单有效的构造模型--BA无标度网络模型，即在一个随机生成的小网络的基础上，遵循生长机制和偏好连接机制进行BA无标度网络的生成，其中生长机制是指在每个时间步都添加一个新节点到原始网络中，而偏好连接机制是指新加入网络的节点倾向于和原始网络中的大度节点产生连边。对于N＝100，M＝3的BA无标度网络来说，其生成过程为：当网络中加入一个新节点时，网络中就会新增加M＝3条边，直到网络的规模达到N＝100个节点。

节点和连边是复杂网络最基本的组成结构，网络的很多作用和功能都可以通过节点和连边的共同协作得以实现，但是对节点、连边的分析还只是从最简单的微观角度出发的。从介观层面来看，复杂网络是由大量不同种类的模体构成的。模体是由节点及其相互作用关系构成的一种高阶子图结构，模体可以更加精确地描述网络内部特定的连接模式，同时能够简化网络的结构，并且对于了解网络的功能以及拓扑属性具有重要的作用。

网络鲁棒性是复杂网络最基本的性质之一，鲁棒性具体是指网络在遭受了节点的随机攻击或者蓄意攻击之后，仍然能够保持原有结构完整性以及相应功能的能力。将模体应用于网络鲁棒性度量，既考虑了节点本身对网络鲁棒性的影响，又考虑了节点间的相互作用关系对网络鲁棒性的决定作用。利用模体度量网络的鲁棒性，能够发现网络对不同程度、不同类型故障的抵抗能力，然后进一步从介观层面针对不同的网络及其应用背景提出优化网络鲁棒性的策略，提高系统整体的可靠性和稳定性。

发明内容

综合以往有关网络鲁棒性度量的工作来看，主要是从节点角度进行的，本发明考虑到网络模体的特性及其对网络结构和相关功能、性质的影响，将节点和模体进行了结合，提供一种分别从局部角度和全局角度对网络的鲁棒性进行度量的方法。

本发明是采用如下技术方案实现的：

一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，包括以下步骤：

一、建立网络模型

将复杂系统抽象为由节点和连边构成的无向无权复杂网络，网络中的节点表示原始复杂系统中的个体，连边表示原始复杂系统中个体之间的相互作用关系，从而形成网络模型G＝(V，E)，其中V＝{v₁，v₂，…，v_n}是网络中所有节点的集合，n表示网络中的节点总数，E＝{e₁，e₂，…，e_m}是网络中所有连边的集合，m表示网络中的连边总数；

根据网络中的节点和连边的拓扑关系构建网络邻接矩阵A＝(a_ij)_n×n，若节点i和j之间存在连边，则a_ij＝1，否则a_ij＝0，且对于无向无权网络，其邻接矩阵是关于主对角线对称的。

二、搜寻网络中的模体结构

采用ESU算法检测网络中的三阶模体，具体如下：首先建立多个与原始网络具有相同度分布的随机网络，然后对随机网络中的三阶子图进行枚举，根据三阶子图的邻接矩阵将子图进行同构分类，最后利用Z得分的正负情况判断三阶子图是否为三阶模体；Z得分计算公式为其中，N_real表示模体在真实网络中出现的次数，<N_rand>表示模体在相同规模的随机网络中出现的平均次数，σ_rand表示随机网络中模体出现次数的标准差，且当Z＞0时认定该子图即为网络模体。

三、引入网络鲁棒性衡量指标

I、网络离散度

首先利用网络离散度从局部角度衡量网络离散度的细微变化，网络离散度的计算公式如下：

其中，d_ij表示节点i和节点j之间的最短路径，且D_F越大，网络的离散度越大，网络鲁棒性越差。

II、基于模体的节点度分布的熵

对于一个网络G，设M为其模体，定义由节点i参与构成的模体的总数为节点i的基于模体的顶点度值；结合基于模体的节点度分布，得到基于模体的节点度分布的熵H_M，该指标能够从全局角度衡量网络的鲁棒性，其具体表达式为：

其中，k_M为节点的基于模体的度值，P_M(k_M)为网络的基于模体的节点度分布函数，且H_M越大，网络的鲁棒性越强；对于P_M(k_M)＝0的情况不予计算。

四、鲁棒性分析

对于网络离散度，则需要对复杂网络中的节点进行随机移除，并且每次只随机移除网络中的1个节点，根据整个移除过程中网络离散度的变化情况判断网络的鲁棒性。对于不同规模、不同类型的网络，在移除相同比例的节点之后，网络离散度越小，说明该网络在部分节点失效之后依然能够维持原有连通性的能力越强，即该网络的鲁棒性越强。

对于基于模体的节点度分布的熵，首先计算节点的基于模体的度值，然后得到整体网络的基于模体的节点度分布函数，最后计算整体网络的基于模体的节点度分布的熵则得到一个代数值，根据代数值的相对大小则直接判断网络的鲁棒性强弱。

本发明还引入平均边介数、网络效率做为鲁棒性验证指标与网络离散度、基于模体的节点度分布的熵进行对比验证，验证结果表明：网络离散度、基于模体的节点度分布的熵在度量网络鲁棒性方面的有效性。

本发明在现有的有关网络鲁棒性度量的基础上，结合了信息熵、网络模体、网络离散度的相关知识，对网络鲁棒性进行了研究。用基于模体的节点度分布的熵度量鲁棒性，是从全局角度出发的，既考虑了节点本身对鲁棒性的影响，又综合了节点对之间的相互作用关系对鲁棒性的决定作用；用网络离散度度量鲁棒性，是从局部角度出发的，离散度可以灵敏的反应网络鲁棒性的细微变化。

本发明设计合理，具有很好的实际应用价值。

附图说明

图1表示本发明利用模体、网络离散度度量网络鲁棒性的流程图。

图2表示ESU算法流程图。

图3表示实际无标度网络的离散度变化图。

图4表示小型人工网络示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施例进行详细说明。

一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，如图1所示，本实例以三个不同规模、不同类型的网络为例说明具体的操作步骤：

一、建立网络模型

三个实验网络的具体参数如表1所示，网络模型用G＝(V，E)来表示，其中V＝{v₁，v₂，…，v_n}是网络中所有节点的集合，n表示网络中的节点总数，E＝{e₁，e₂，…，e_m}是网络中所有连边的集合，m表示网络中的连边总数。

二、搜寻网络中的模体结构

由于随着网络规模的增长，网络模体的数量将会出现指数级的增加，因此一般只选取三阶模体进行相应分析。本发明采用ESU算法检测网络中的三阶模体，算法如图2所示，其具体操作如下：首先建立多个与原始网络具有相同度分布的随机网络，然后分别对原始网络、随机网络中的三阶子图进行枚举，根据三阶子图的邻接矩阵将子图进行同构分类与计数，最后利用Z得分的正负情况判断三阶子图是否为三阶模体。Z得分计算公式为其中，N_real表示模体在真实网络中出现的次数，<N_rand>表示模体在相同规模的随机网络中出现的平均次数，σ_rand表示随机网络中模体出现次数的标准差，且当Z＞0时认定该子图即为网络模体。

对于选取的三个不同的实际无标度网络，其基本属性即网络模体信息如表1所示。

表1无标度网络基本信息

三、引入网络鲁棒性衡量指标

I、网络离散度

首先利用网络离散度从局部角度衡量网络离散度的细微变化，网络离散度的计算公式如下：

其中，d_ij表示节点i和节点j之间的最短路径，且D_F越大，网络的离散度越大，网络鲁棒性越差。

对于选取的三个不同网络，在随机移除节点的过程中，其网络离散度变化情况如图3所示。通过观察图3可以发现，在整个离散度变化过程中，当移除相同比例的节点时，Miscellaneous网络的离散度最大，Iceland网络次之，Email网络最小。对于不同规模的网络，在节点移除过程中，网络离散度越小说明网络鲁棒性越强，所以Email网络的鲁棒性最强，Iceland网络次之，Miscellaneous网络的鲁棒性最弱。

II、基于模体的节点度分布的熵

研究表明，与其他网络相比，异构网络的鲁棒性更强，即网络的异构性和鲁棒性之间存在正向的联系，结合复杂网络来说，系统的异构性是指系统的混乱程度，而熵正好是用来反应系统的混乱程度，即熵可以用来描述复杂网络的异构性，进一步来说，熵可以用来衡量网络的鲁棒性。

经典的节点度值是指节点所拥有的连边总数，但是这种度值计算方式忽略了网络中模体的存在。基于此，基于模体的节点度值被提出，其具体定义为：对于一个网络G，设M为其模体，定义由节点i参与构成的模体的总数为节点i的基于模体的顶点度值。结合基于模体的节点度分布，可以得到基于模体的节点度分布的熵H_M，该指标能够从全局角度衡量网络的鲁棒性，其具体表达式为：

其中，k_M为节点的基于模体的度值，P_M(k_M)为网络的基于模体的节点度分布函数，且H_M越大，网络的鲁棒性越强。需要注意的是，对于P_M(k_M)＝0的情况不予计算。

关于k_M，P_M(k_M)的计算过程，结合图4中的小型人工网络进行说明。在图4中，三角形(由节点7、8、10构成的形状)为该网络的三阶模体。

对于节点10，由其参与构成的三阶模体的数量为5个，包括(7，8，10)、(10，11，12)、(10，11，13)、(10，12，13)、(10，12，15)，即对于节点10来说，其k_M＝5。按同样的方法可以得到所有节点的k_M值，如表2所示，

表2节点k_M值

k_M＝0的节点个数有10个，k_M＝1的节点个数有3个，k_M＝2，3，4，5的节点数量分别为0、2、1、1。因此，当k_M＝0时，其对应的P_M(k_M)＝10/17，当k_M＝1时，其对应的P_M(k_M)＝3/17，k_M＝2，3，4，5对应的

对于选取的三个实际无标度网络，其基于模体的节点度分布的熵计算结果如表3所示。

表3基于模体的节点度分布的熵计算结果

四、鲁棒性分析验证

对于网络离散度，则需要对复杂网络中的节点进行随机移除，并且每次只随机移除网络中的1个节点，根据整个移除过程中网络离散度的变化情况判断网络的鲁棒性。对于不同规模、不同类型的网络，在移除相同比例的节点之后，网络离散度越小，说明该网络在部分节点失效之后依然能够维持原有连通性的能力越强，即该网络的鲁棒性越强。

对于基于模体的节点度分布的熵，首先计算节点的基于模体的度值，然后得到整体网络的基于模体的节点度分布函数，最后计算整体网络的基于模体的节点度分布的熵就可以得到一个代数值，根据代数值的相对大小就可以直接判断网络的鲁棒性强弱。

五、本发明实施例同时引入平均边介数、网络效率做为鲁棒性验证指标与该网络离散度、基于模体的节点度分布的熵进行对比验证。

定义1：边介数B_e是基于最短路径衡量连边中心性的标准之一，其计算公式如下：

其中，B_e表示边e的介数值，L_jk表示从节点j到节点k的最短路径的长度，L_jk(e)表示从节点j到节点k且经过边e的最短路径的长度。

定义2：对于网络G，平均边介数B_G是从局部角度出发衡量网络鲁棒性的指标之一，其定义如下：

其中，m为网络G的连边总数，E为网络G中所有连边的集合，且B_G越小，网络的鲁棒性越强。

定义3：对于网络G，网络效率F_G是从全局角度衡量网络鲁棒性的指标之一，其计算公式如下：

其中，L_jk表示从节点j到节点k的最短路径的长度，n表示网络G的节点总数，V为网络G中所有节点的集合，且F_G越大，网络的鲁棒性越强。

对于选取的三个实际无标度网络，其平均边介数、网络效率计算结果如表4所示。

表4鲁棒性验证指标计算结果

通过观察分析表4中的基于模体的节点度分布的熵、平均边介数、网络效率的计算结果以及图3中网络离散度的变化情况可以发现，以上四个指标对Iceland网络、Email网络、Miscellaneous网络的鲁棒性排序均为：Email＞Iceland＞Miscellaneous，验证了网络离散度、基于模体的节点度分布的熵在度量网络鲁棒性方面的有效性。

本发明所述的基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，具体为利用网络离散度从局部角度衡量网络鲁棒性，以及利用基于模体的节点度分布的熵从全局角度对网络的鲁棒性进行粗粒度的衡量。网络离散度能够灵敏的感知网络鲁棒性的细微变化，而模体作为一种由节点构成的高阶网络结构，将模体应用于网络鲁棒性度量，既考虑了节点本身对网络鲁棒性的影响，又考虑了节点间的依存关系对网络鲁棒性的决定作用。对网络鲁棒性的度量，能够发现网络对不同程度、不同类型故障的抵抗能力，然后进一步针对不同的网络及其应用背景提出优化网络鲁棒性的策略，提高系统的可靠性和稳定性。

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照本发明实施例进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明的技术方案的精神和范围，其均应涵盖本发明的权利要求保护范围中。

Claims (2)

1.一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，其特征在于：包括以下步骤：

一、建立网络模型

将复杂系统抽象为由节点和连边构成的无向无权复杂网络，网络中的节点表示原始复杂系统中的个体，连边表示原始复杂系统中个体之间的相互作用关系，从而形成网络模型G＝(V,E)，其中V＝{v₁,v₂,…,v_n}是网络中所有节点的集合，n表示网络中的节点总数，E＝{e₁,e₂,…,e_m}是网络中所有连边的集合，m表示网络中的连边总数；

根据网络中的节点和连边的拓扑关系构建网络邻接矩阵A＝(a_ij)_n×n，若节点和之间存在连边，则a_ij＝1，否则a_ij＝0，且对于无向无权网络，其邻接矩阵是关于主对角线对称的；

二、搜寻网络中的模体结构

采用ESU算法检测网络中的三阶模体，其具体如下：首先建立多个与原始网络具有相同度分布的随机网络，然后对随机网络中的三阶子图进行枚举，根据三阶子图的邻接矩阵将子图进行同构分类，最后利用得分的正负情况判断三阶子图是否为三阶模体；Z得分计算公式为其中N_real表示模体在真实网络中出现的次数，<N_rand>表示模体在相同规模的随机网络中出现的平均次数，σ_rand表示随机网络中模体出现次数的标准差，且当Z＞0时认定该子图即为网络模体；

三、引入网络鲁棒性衡量指标

Ⅰ、网络离散度

首先利用网络离散度从局部角度衡量网络离散度的细微变化，网络离散度的计算公式如下：

其中，d_ij表示节点i和节点j之间的最短路径，且D_F越大，网络的离散度越大，网络鲁棒性越差；

Ⅱ、基于模体的节点度分布的熵

对于一个网络G，设M为其模体，定义由节点i参与构成的模体的总数为节点的基于模体的顶点度值；结合基于模体的节点度分布，得到基于模体的节点度分布的熵H_M，该指标能够从全局角度衡量网络的鲁棒性，其具体表达式为：

其中，k_M为节点的基于模体的度值，P_M(k_M)为网络的基于模体的节点度分布函数，且H_M越大，网络的鲁棒性越强；

四、鲁棒性分析

对于网络离散度，对复杂网络中的节点进行随机移除，根据在整个移除过程中网络离散度的变化情况判断网络的鲁棒性；

对于基于模体的节点度分布的熵，首先计算节点的基于模体的度值，然后得到整体网络的基于模体的节点度分布函数，最后计算整体网络的基于模体的节点度分布的熵则得到一个代数值，根据代数值的相对大小则直接判断网络的鲁棒性强弱。

2.根据权利要求1所述的一种基于模体的无标度网络鲁棒性度量方法，其特征在于：步骤Ⅱ中，对于P_M(k_M)＝0的情况不予计算。