CN114325216B - 一种基于有限pmu配置的配电网故障定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法，涉及配电网故障定位领域，包括下列步骤：步骤1：通过对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出故障等效电路上的故障节点电压方程，对复数形式的节点电压方程解耦，基于解耦结果建立压缩感知模型；步骤2：利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型，得出近似故障电流，对近似故障电流进行归一化处理，构建可疑故障区间集合；步骤3：求解可疑故障区间集合中各故障点对应的电压残差和故障距离，求得故障个数以及故障所在位置。

Description

一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法

技术领域

本发明涉及配电网故障定位领域，具体是一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法。

背景技术

配电网故障定位对电力系统的运行具有重要意义。快速准确的找出故障位置能大大减少故障恢复时间，提高电网供电质量和可靠性，提升用户满意度，同时也能降低运营商的运营成本。配电网相较输电网结构上更为复杂，支路众多，这给配电网的故障定位带来极大的挑战。随着通信技术和广域测量技术的不断发展，微型同步向量测量装置(micro-phasor measurement unit,^μPMU)的应用愈加广泛。PMU能获取配电网中高精度、同步的电气相量数据，其幅值和相角误差仅为0.5％和0.01°，这为配电网中故障的准确定位提供了条件。近年来，国内外学者对基于同步相量测量单元的配电网故障定位方法进行了广泛、深入的研究。在目前已有的关于利用PMU进行故障定位的方法中，大部分方法仍需系统节点半数以上的PMU，方能准确定位故障，并且关于多重故障的研究不多。因此，如何利用少量的量测终端实现配电网多重故障定位是亟待解决的实际问题。

发明内容

鉴于上述技术缺点，本发明提供了一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法。

为实现上述发明目的，本发明的技术方案如下：

一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法，包括下列步骤：

步骤1：通过对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出故障等效电路上的故障节点电压方程，对复数形式的节点电压方程解耦，基于解耦结果建立压缩感知模型，执行步骤2；

步骤2：利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型，得出近似故障电流，对近似故障电流进行归一化处理，构建可疑故障区间集合，执行步骤3；

步骤3：求解可疑故障区间集合中各故障点对应的电压残差和故障距离，求得故障个数以及故障所在位置。

优选的，所述步骤1中，在不改变原有线路拓扑结构的基础上，通过叠加原理和等效变换推导对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出的故障节点电压方程为有限量测终端下的故障节点电压方程，该方程为：

ΔV_i ¹表示第i个节点的正序电压，表示i节点的正序自阻抗，/>表示i和j节点正序互阻抗，/>分别表示故障点相邻的上、下游节点虚拟注入电流。

优选的，所述步骤S1的压缩感知模型适用于单故障和复故障两种情形，所述压缩感知模型为：

ΔV¹＝Z¹·ΔI¹

ΔV_real＝Z_real·ΔI_real

ΔV¹表示所有节点的正序电压，Z¹表示所有节点的正序自阻抗，表示第v个故障的虚拟注入电流，Re表示各矩阵中元素的实部，Im表示各矩阵中元素的虚部。

优选的，所述步骤2中，利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型需对该模型等价变换，等价模型为：

式中，X为k稀疏的向量；Φ∈R^M×N(K＜M＜＜N)为观测矩阵；Y∈R^M为观测向量；参数λ＞0，具有平衡解向量X稀疏度和近似误差的作用；

优选的，所述步骤2中，利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型求解近似故障电流并对该电流进行归一化处理时，设定阈值选取归一化重构向量中主导元素。

优选的，所述步骤2中，构建可疑故障区间集合时，还包括以下步骤：

步骤S21：将以主导元素表示的节点为首节点和末节点的所有支路作为该节点的一阶故障区间；

步骤S22：将与一阶故障区间相邻的所有支路称为该节点的二阶故障区间；

步骤S23：重复步骤S21到步骤S22，得出n阶故障区间，将多阶故障区间组合得出可疑故障区间集合。

优选的，所述步骤3中，求得故障个数以及故障所在位置时，还包括以下步骤：

步骤S31：假定系统发生单故障，依次计算出在单故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，判断是否满足电压残差最小且r满足0≤r≤1的条件，若满足，则进入步骤S42，若不满足，则进入步骤S33；

步骤S32：输出满足条件的故障个数以及故障位置；

步骤S33：假定系统故障个数加一，依次计算出系统故障个数加一的复故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，进入步骤S44；

步骤S34：重复步骤S33，在满足电压残差最小、且r满足0≤r≤1的条件时，进入步骤S32。

优选的，所述步骤31中的电压残差计算公式为：

R(p)第p个疑似故障支路的残差，v表示第v个故障，K表示故障个数，表示与第v个故障所处疑似故障区间的首末节点编号对应Z_real中的第j,q,j+N,q+N列元素，j,q为相邻节点，ΔI表示在该疑似故障区间下重构电流向量中的非零元素值。

本发明的有益效果是：

(1)发生故障时，配电网拓扑结构发生变化，本方法无需生成新的节点阻抗矩阵，而是将将故障等效至相邻节点上，节点阻抗矩阵与正常运行的系统保持一致。

(2)仅需少量的量测终端便能进行全网故障定位，无论是单故障或者多故障情形都能有效定位故障点，并且在多故障情形下无需预知故障个数，本方法能自适应确定故障个数。

(3)通过对压缩感知重构的向量进行处理，确定所有疑似故障区段，以电压残差和故障距离来确定实际故障区段，提高了故障定位的准确性。

(4)故障区段定位准确率较高，基本不受过渡电阻、故障类型和噪声影响；故障测距会在一定程度上受过渡电阻和噪声影响，但也能取得较好的测距结果，能满足实际应用需求。

附图说明

图1为本发明故障定位方法流程示意图；

图2为本发明故障网络分解示意图；

图3为本发明故障支路模型；

图4为本发明故障支路等效模型；

图5为本发明n阶故障区间示意图；

图6为本发明故障定位算法流程图；

图7为本发明IEEE33节点PMU配置图；

图8为本发明单故障重构电流归一化值；

图9为本发明双重故障重构电流归一化值。

具体实施方式

下面结合本发明的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法，包括下列步骤：

步骤1：通过对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出故障等效电路上的故障节点电压方程，对复数形式的节点电压方程解耦，基于解耦结果建立压缩感知模型，执行步骤2；

步骤2：利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型，得出近似故障电流，对近似故障电流进行归一化处理，构建可疑故障区间集合，执行步骤3；

步骤3：求解可疑故障区间集合中各故障点对应的电压残差和故障距离，求得故障个数以及故障所在位置。

具体的，所述步骤1中，在不改变原有线路拓扑结构的基础上，通过叠加原理和等效变换推导对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出的故障节点电压方程为有限量测终端下的故障节点电压方程，该方程为：

ΔV_i ¹表示第i个节点的正序电压，表示i节点的正序自阻抗，/>表示i和j节点正序互阻抗，/>分别表示故障点相邻的上、下游节点虚拟注入电流。

具体的，所述步骤S1的压缩感知模型适用于单故障和复故障两种情形，所述压缩感知模型为：

ΔV¹＝Z¹·ΔI¹

ΔV_real＝Z_real·ΔI_real

ΔV¹表示所有节点的正序电压，Z¹表示所有节点的正序自阻抗，表示第v个故障的虚拟注入电流，Re表示各矩阵中元素的实部，Im表示各矩阵中元素的虚部。

具体的，所述步骤2中，利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型需对该模型等价变换，等价模型为：

式中，X为k稀疏的向量；Φ∈R^M×N(K＜M＜＜N)为观测矩阵；Y∈R^M为观测向量；参数λ＞0，具有平衡解向量X稀疏度和近似误差的作用；

稀疏指非零元素个数，误差指噪声。

具体的，所述步骤2中，利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型求解近似故障电流并对该电流进行归一化处理时，设定阈值选取归一化重构向量中主导元素。

设定阈值选取归一化重构向量中主导元素遵循原则：只要在归一化重构向量中，虚部或实部有一个元素大于设定阈值，那么就应把该主导元素对应的节点作为故障区间的节点之一，假如某一节点在归一化重构向量中仅有实部大于阈值，其虚部小于阈值，在计算电压残差时，也应同时选取节点阻抗矩阵中与其实部和虚部分别对应的两列，即在Z_real中对应重构电流实部和虚部的原子总是成对出现的，并且与该节点的相邻的某一节点在Z_real中对应的两列也应同时被选取。

具体的，所述步骤2中，构建可疑故障区间集合时，还包括以下步骤：

步骤S21：将以主导元素表示的节点为首节点和末节点的所有支路作为该节点的一阶故障区间；

步骤S22：将与一阶故障区间相邻的所有支路称为该节点的二阶故障区间；

步骤S23：重复步骤S21到步骤S22，得出n阶故障区间，将多阶故障区间组合得出可疑故障区间集合。

具体的，所述步骤3中，求得故障个数以及故障所在位置时，还包括以下步骤：

步骤S31：假定系统发生单故障，依次计算出在单故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，判断是否满足电压残差最小且r满足0≤r≤1的条件，若满足，则进入步骤S42，若不满足，则进入步骤S33；

步骤S32：输出满足条件的故障个数以及故障位置；

步骤S33：假定系统故障个数加一，依次计算出系统故障个数加一的复故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，进入步骤S44；

步骤S34：重复步骤S33，在满足电压残差最小、且r满足0≤r≤1的条件时，进入步骤S32。

具体的，所述步骤31中的电压残差计算公式为：

R(p)第p个疑似故障支路的残差，v表示第v个故障，K表示故障个数，表示与第v个故障所处疑似故障区间的首末节点编号对应Z_real中的第j,q,j+N,q+N列元素，j,q为相邻节点，ΔI表示在该疑似故障区间下重构电流向量中的非零元素值。

计算故障距离时，对于单故障和复故障两种情况分别应用不同的距离计算公式：

单故障：

r为故障距离，j、q分别为故障点的上游节点和下游节点。

复故障：

r_i为第i个故障到该区段节点j_i的线路长度占该区段总长度的百分比；分别为第i个故障的上游节点和下游节点的虚拟注入电流；/>为第i个故障点的故障点电流。

通过叠加原理和等效变换推导故障分量网络的故障等效电路，列出在有限量测终端下的故障节点电压方程，对复数形式的节点电压方程解耦，基于此建立适用于单故障和复故障多种情形的压缩感知模型；利用l₁正则化最小二乘法求解压缩感知模型得到近似故障电流并对该电流进行归一化处理，设定阈值选取归一化重构向量中主导元素，构建可疑故障区间集合；通过循环遍历的方法求解所有可能故障数目下对应的电压残差和故障距离，根据计算结果判定故障个数和故障所在位置。

如图2所示，当系统发生故障时可以分解成正常运行和故障分量两个网络。图中，Z₁、Z₂为电源等值阻抗；U₁、U₂为电源电压；G₁、G₂为电源端电压节点；D₁、D₂为负荷节点；Z_D1、Z_D2为负荷阻抗，负荷采用恒定阻抗模型；f为故障点。

故障分量网络中仅有f点有注入电流-I_f。因此对于三相系统来说，故障网络节点电压方程如下。

ΔV_i ^abc表示第i个节点的三相电压向量，表示i节点三相自阻抗矩阵，/>表示i和j节点三相互阻抗矩阵，/>故障点f的三相故障电流向量。

对于所有不同类型的故障，其中都包含有正序分量，用对称分量法将式三相系统简化为单相系统。

ΔV_i ¹表示第i个节点的正序电压，表示i节点的正序自阻抗，/>表示i和j节点正序互阻抗，/>故障点f的正序故障电流。

如图3所示，考虑更为一般的情况，若故障发生在系统节点之间，很容易想到通过将故障点作为系统新增节点，列写故障情况下的节点电压方程，但需要根据故障点的位置重新计算节点阻抗矩阵，所以用该方法难以生成新的阻抗矩阵。因此可以考虑将故障点的电流等效至相邻节点上。

图中，z_jq为j,q节点间的阻抗，V和i分别为节点电压和注入节点的电流，y为节点对地导纳，r为故障节点到j节点的距离与j,q节点间距离的比值。根据基尔霍夫定律有：

V_f＝[i_f+(i_j-V_jy_j)](1-r)z_jq+V_q

联立以上两式可得j点注入电流：

可以看到i_j主要由三部分构成，j节点的对地电流，阻抗z_jq上流过的电流以及大小为-(1-r)i_f的节点注入电流。同理，可以推导出i_q的电流形式

i_q由节点q的对地电流，流过z_jq的电流以及大小为-ri_f的节点注入电流构成。

如图4所示，故障电流i_f按照比例被分配至线路两端的节点上，因此，故障电流可以等效为故障点相邻节点的虚拟注入电流。

在故障发生在线路任意位置时，都能由节点电压方程描述，一般的单故障网络的节点电压方程如下。

选取M个测量点，即从电压向量中选取M个元素以及阻抗矩阵中对应的M行，形成新的欠定节点电压方程，其中M<<N。

ΔV¹＝Z¹·ΔI¹

若系统中若发生多重故障，则故障电流分量可写成多个单故障叠加的形式：

表示第v个故障的虚拟注入电流。因此欠定节点电压方程，得到ΔI¹，便能知晓电流向量中全部非零元素的位置，即故障点所在区段，实现区段定位。

对于一般的欠定方程来说，不存在唯一解。但压缩感知理论指出，当解向量足够稀疏时，存在唯一的稀疏解。

由于大多数压缩感知重构算法都只适用于实数方程，难以对复数形式的方程求解，可以通过解耦的方式将复数方程等效为实数形式。欠定节点电压方程可以改写为

其中Re表示各矩阵中元素的实部，Im表示各矩阵中元素的虚部。

解耦后方程中的虚部和实部矩阵分离，整合成统一方程的矩阵形式，如下。

ΔV_real＝Z_real·ΔI_real

如此，便将求解复数方程的问题转化为求解实数方程的问题，便于通过压缩感知重构算法求解。

压缩感知框架：

自然界的所有信号都可以在某组基向量下展开，转换为稀疏系数。在本文中，由于故障电流信号本身就是高度稀疏的，因此不必考虑稀疏展开问题。

假设一向量X是k稀疏(即非零元素个数)的，我们可以用一个观测矩阵Φ∈R^M×N(K＜M＜＜N)对X进行观测，得到观测向量Y∈R^M,这也是高维向量到低维向量的投影过程。

Y＝ΦX

Φ中的每个列向量为一个原子，我们的目标就是把Y通过Φ中的最少个数的原子线性表示，求解该问题的过程就是求带有约束的最小l₀范数问题。

arg min||X||₀ s.t.Y＝ΦX

该问题是一个NP-hard问题，难以有效求解。但最小l₁范数问题和最小l₀范数问题在一定程度是等价的。最小0范数问题可转化为

arg min||X||₁ s.t.Y＝ΦX

对于本文所研究的配电网故障定位问题，实际中存在噪声影响，对最小1范数问题的约束条件适当松弛，有

arg min||X||₁ s.t.||Y-ΦX||₂≤ε

ε为噪声的能量边界。

通常将松弛问题改写为

参数λ＞0，具有平衡解向量X稀疏度和近似误差(即噪声)的作用。通过l₁正则化最小二乘法能求解稀疏向量的近似解。

确定主导元素：

通过上述算法求解得到稀疏向量，用I_r表示。通常做法是取绝对值最大的几个元素值作为故障定位结果，但实际上，I_r为近似故障电流，其中的非零元素与实际故障节点并非严格一一对应，用此法会出现误判故障区段的问题。为精确定位故障区段，首先在此对重构向量进行归一化处理。

I_r是长度为2N的列向量，前N项表示各节点虚拟注入电流的实部，后N项表示各节点虚拟注入电流的虚部，选取重构电流实部的最大元素作为前N项归一化系数，重构电流虚部的最大元素作为后N项的归一化系数。

式中，分别表示重构电流归一化的第i、j个元素，I_r(i)、I_r(j)分别表示重构电流中第i、j个元素，I_r(1～N)、I_r(N+1～2N)分别表示重构电流的第1～N、N+1～2N个元素。

将归一化电流中大于某一阈值的元素作为故障区间判别的主导元素，将主导元素作为可能的故障节点，用于后续确定疑似故障区间集合。

定位故障区段：

假设分别为系统中最大的故障电流的故障点首末节点虚拟注入电流，且 应满足式

其中分别为/>的实部和虚部，/>分别为/>的实部和虚部，k为实数，其值为(1-r)/r。该式可改写为

由假设可知分别为故障电流中实部和虚部的最大值，因此

已知I_r是的近似向量，应近似满足上式。

其余故障点的电流与最大故障点电流存在相位差，因此不满足上述关系，有可能出现其实部或虚部的值过小，甚至小于规定阈值的情况。在经过大量仿真试验发现，当设定阈值为0.05，绝大部分情况下这些故障点至少有一个实部值或虚部值大于0.05，能够准确的定位故障区间。

综上，只要在归一化重构向量中，虚部或实部有一个元素大于设定阈值，那么就应把该主导元素对应的节点作为故障区间的节点之一，假如某一节点在归一化重构向量中仅有实部大于阈值，其虚部小于阈值，在计算电压残差时，也应同时选取节点阻抗矩阵中与其实部和虚部分别对应的两列，即在Z_real中对应重构电流实部和虚部的原子总是成对出现的，并且由前面推导可知，与该节点的相邻的某一节点在Z_real中对应的两列也应同时被选取。

如图5所示，在有些情况下，主导元素的位置可能位于实际故障相邻区间的节点上，也可能出现在与实际故障区间相隔一个区间的节点上，为尽可能准确地估计故障区间，我们将以主导元素表示的节点为首节点和末节点的所有支路称为该节点的1阶故障区间，将与一阶故障相邻的所有支路称为该节点的2阶故障区间，依次类推，可得n阶区间故障。

将1阶故障区间作为初始的疑似故障支路，计算每条疑似故障支路或疑似支路组合对应的电压残差，从中选取电压残差最小的情况作为故障区段定位结果。电压残差计算公式如下。

R(p)第p个疑似故障支路或疑似故障支路组合(多重故障情形)的残差，v表示第v个故障，K表示故障个数，表示与第v个故障所处疑似故障区间的首末节点编号对应Z_real中的第j,q,j+N,q+N列元素，j,q为相邻节点，ΔI表示在该疑似故障区间下重构电流向量中的非零元素值。

复故障测距算法：

通过故障区段定位，可以确定系统中阻抗矩阵Z¹中有效原子的列序号，写成集合的形式C_k＝{j₁,q₁,j₂,q₂,…,j_K,q_K}，K为系统中故障个数。选取Z¹中的C_k列构成新的矩阵，记为式复数形式的欠定节点电压方程可写为

上述方程2K＜M,所有元素均为复数，因此可采用复数域的最小二乘法求解ΔI_2K×1。

/>

表示故障电流的最小二乘解，/>表示/>的共轭转置。

每一区段两端节点的注入故障电流应满足如下关系：

通过上面两式求解出r_i，便得出第i个故障到该区段节点j_i的线路长度占该区段总长度的百分比，实现故障测距。

显然，r_i应满足0≤r_i≤1。若存在某故障支路组合，使得所有的r_i均满足约束，则将此结果作为最终定位结果。若不存在这样的故障支路组合，使得所有r_i满足该约束，则应扩大疑似故障区间，将n+1阶故障区间也纳入疑似故障区间，形成新的疑似故障支路组合，重新计算电压残差和故障距离，直到r_i满足条件为止。该测距方法适用于任意个数的故障测距。

一般的，实际中发生单个故障的概率较大，下面提出一种对于单个故障的测距方法，能避免复数矩阵的运算，大大降低运算量。

单故障测距算法：

节点阻抗矩阵有较强的列相关性，对于系统中某一区域j-q，若节点j更靠近参考节点，则更靠近j的节点(包含j)称为上游节点i，更靠近q的节点(包含q)称为下游节点m。阻抗矩阵各元素的关系如下：

因此故障网络的节点电压方程实质上仅有两类方程，如下所示。

其中两者值不同；/>

由注入电流关系和节点电压方程可得如下关系：

ΔI₁＝[k₁+r(1-k₁)]·i_f

ΔI₂＝[k₂+r(1-k₂)]·i_f

将上述两式联立求解有：

与多重故障情形类似，若无r满足约束条件，则应扩大疑似故障区间，重新计算新区间下的电压残差和故障距离r，直到r满足约束。

从单故障测距公式中可以看出，仅需要故障区段上游和下游各一个测点电压的值以及节点阻抗矩阵中的元素便可实现故障测距，测点电压和阻抗矩阵都是已知的，采用该方法求解简单，无需计算节点注入电流。

如图6所示，在已知故障数目的情况下，通过前文所述方法能求出故障的具体位置，但在实际中无法预先得知系统中发生的故障数目，这会对故障区段定位和故障测距造成困难。由于故障重构电流向量并非精确解，其中的非零元素并不能与实际故障点一一对应，所以也不能简单的通过非零元素的个数确定实际故障个数，这也是压缩感知在故障定位中应用的局限性，在利用此类方法的研究中尚无关于故障个数的判别方法，大多都是在已知故障个数的情况下进行故障定位的。为避免计算故障个数的问题，采用循环遍历的方式，通过电压残差公式和故障测距公式依次计算可能故障数目下对应的电压残差，直到电压残差最小，且r_i满足0≤r_i≤1的条件，将该组支路或支路组合作为故障测距最终结果。通过此方法即使在不知道故障个数的前提下，也能有效进行故障定位。

算例验证分析：

如图7所示，实现故障定位必须满足的条件是在故障的上游和下游至少各存在一个测点，因此为实现全网故障定位，电源出口和各支路末端必须布置量测装置，同时，为提高定位精度，还应在支路阻抗较小的节点附近增设量测装置。在故障分别在1节点、8节点、11节点、17节点、21节点、24节点和32节点处放置7台PMU，通过大量仿真实验发现，在此配置下，对于线路中单故障定位的求解能有较高的精度，但若在多重故障定位中，需要增加一定的测点数量，才能成功定位多重故障位置。根据仿真模拟的结果，除了原本配置的7测点外，在3节点、19节点、25节点、30节点处增设4台PMU装置，能取得较好的定位结果。

为了说明故障定位精度，计算故障位置与实际故障位置定义如下：

单故障定位仿真分析：

在25节点和26节点之间设置b，c两相接地短路，过渡电阻为0Ω，故障点位于距离25节点占支路长度的30％处，记为25，26BCG-0Ω(30％)。此时系统中测点处的故障电压正序分量，详细数据如表1所示：

表1单故障电压正序分量

单位：kV

如图8所示，通过l₁正则化最小二乘法得到重构电流，然后对重构电流进行归一化处理。横坐标表示重构电流的元素值对应编号。图中蓝色虚线表示设定阈值，红色折线表示归一化重构电流，括号内第一项表示元素编号，第二项表示该编号的归一化值。

将5节点、25节点、26节的元素作为主导元素，将这些节点的一阶故障区间作为疑似故障支路。计算全部疑似故障支路对应的电压残差和故障距离，选取电压残差最小且r满足0≤r≤1的条件的一条支路作为故障区段定位结果，具体计算结果如表2所示。电压残差单位为V。

表2疑似故障支路计算结果

r表示故障点到首节点的距离占故障支路长度的百分比，在理想情况下，计算结果应为实数，但在计算过程中存在计算误差且实际中存在各种干扰因素(如噪声)，因此，按此方法计算所得r通常为复数形式，为使得计算结果同r的物理意义保持一致，取r的实部作为故障定位结果，分析结果都直接给出r的实数值。同时，故障距离不应为负值，因此表格中不再给出求解故障距离为负值的结果。从表2中可以看出，由25、26节点计算所得的电压残差远远小于其余疑似故障支路节点对应的电压残差，且r满足0≤r≤1的条件，因此将25和26节点所确定的支路作为最终故障区段定位结果。对比计算结果可以发现，仅有5、6节点和25、26节点确定的r满足约束，其余故障支路的计算故障距离均不满足。因此也可以直接计算所有疑似故障区段下对应的r，选取r满足上述条件的区段，再计算电压的残差，最终确定故障点位置。

综上，本次故障定位的结果为25和26节点之间，故障点位于距25节点占支路全长的30.26％。这一结果与我们设置的故障点位置极为接近，相对误差仅为0.26％，基本满足故障测距要求。

为验证算法的有效性与准确性，选择30个故障点，每一故障点分别设置四类常见故障类型：单相接地短路(1-ph-g)、两相短路(2-ph)、两相接地短路(2-ph-g)，三相接地短路(3-ph-g)，并设置不同的过渡电阻，求取平均测距误差，计算结果如表3所示：

表3单故障定位仿真结果

考虑噪声对故障定位的影响，给测点电压实部和虚部分别添加1％的高斯白噪声，计算结果如表4所示：

表4含噪声的单故障定位仿真结果

通过对比计算结果，可以看出噪声和过渡电阻会对测距结果造成一定的影响，随着过渡电阻不断增大，故障测距的误差也逐渐增大，这是因为过渡电阻越大，故障电流会越小，从而影响测距结果。因此，本文所提方法能耐受一定范围内的过渡电阻，具体范围需根据实际测距误差需求确定

复故障定位仿真分析：

以双重故障为例，说明多重故障定位的方法，更多故障情形的故障定位问题与双重故障的情形类似。

考虑含噪声的情形，给测点电压的实部和虚部分别添加1％的白噪声，两处故障的设置情况如下：

故障1：19节点和20节点之间设置b，c两相接地短路，过渡电阻为20Ω，故障点位于距离19节点占支路长度的20％处，记为19，20BC-20Ω(20％)。

故障2：29节点和30节点之间设置a相接地短路，过渡电阻为20Ω，故障点位于距离29节点占支路长度的50％处，记为29，30BC-20Ω(50％)。此时系统中各测点处的正序故障电压，如表5所示：

表5双重故障电压正序分量

单位：kV

如图9所示，通过l₁正则化最小二乘法求解电流重构向量，并对该向量元素进行归一化处理。元素归一化值大于阈值的编号分别为19、21、30节点，将各节点一阶故障区间(18,19)、(19，20)、(20，21)、(21，22)、(29，30)、(30，31)作为疑似故障支路，按照图6所示流程计算，可以发现第一次迭代(故障个数为1的情况)所得r均不满足约束，因此进入第二次迭代(故障个数为2的情况)，将这6条支路两两组合，形成所有可能的故障支路组合，求解电压残差和故障距离，具体计算结果如表6所示：

表6疑似故障支路组合计算结果

选取电压残差最小一组情况作为故障定位结果。通过计算结果发现支路组合(19,20)-(29,30)以及(20,21)-(29,30)的电压残差基本一致，但后者对应的故障距离r不满足约束条件，前者所求的两处故障距离均满足约束条件，因此选取第一种支路组合为最终故障定位结果。

综上，本次故障定位结果为第一处故障位于19、20节点之间距离19节点占支路全长20.57％处，第二处故障位于29、30节点之间距离占支路全长54.04％处，两处故障的相对误差分别为0.57％和4.04％。

通过此算例可以看出本文所提故障定位方法的优势，若按照一般方法分析故障，首先面临的难题便是故障个数未知，选取故障节点的个数。其次，假设已知故障数目为2，按照图9所示，若直接取元素绝对值最大的两个节点作为故障节点，此时得到的故障节点是1节点和19节点，明显与真实故障不一致，说明本文所提方法能避免故障个数未知的难题，并有效提高故障定位的可靠性。

本文分别在有噪声和无噪声情形下随机设置200组的双重故障，噪声为1％的高斯白噪声，故障范围在某一支路距其中一节点占支路长度的1％-99％之间，过渡电阻设为0Ω，20Ω，50Ω，故障定位结果如表7所示。

表7双重故障定位仿真结果

通过对比可以发现，双重故障定位效果没有单故障定位效果好，单故障情况下，大部分故障定位的误差都在1％以下，而双重故障定位误差大部分都在1％-5％之间，甚至在噪声影响下，还有少量高于10％的误差，但考虑在配电网中，实际线路距离较短，即使是10％的误差，实际需要排查的线路距离仍在可接受范围内，能有效缩小巡检范围。

Claims (1)

1.一种基于有限PMU配置的配电网故障定位方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤1：通过对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出故障等效电路上的故障节点电压方程，对复数形式的节点电压方程解耦，基于解耦结果建立压缩感知模型，执行步骤2；

步骤2：利用正则化最小二乘法求解压缩感知模型，得出近似故障电流，对近似故障电流进行归一化处理，构建可疑故障区间集合，执行步骤3；

步骤3：求解可疑故障区间集合中各故障点对应的电压残差和故障距离，求得故障个数以及故障所在位置；

所述步骤1中，在不改变原有线路拓扑结构的基础上，通过叠加原理和等效变换推导对故障分量网络的故障等效电路进行推导，列出的故障节点电压方程为有限量测终端下的故障节点电压方程，该方程为：

ΔV_i ¹表示第i个节点的正序电压，表示i节点的正序自阻抗，/>表示i和j节点正序互阻抗，/>分别表示故障点相邻的上、下游节点虚拟注入电流；

所述步骤1的压缩感知模型适用于单故障和复故障两种情形，所述压缩感知模型为：

ΔV¹＝Z¹·ΔI¹

ΔV_real＝Z_real·ΔI_real

ΔV¹表示所有节点的正序电压，Z¹表示所有节点的正序自阻抗，表示第v个故障的虚拟注入电流，Re表示各矩阵中元素的实部，Im表示各矩阵中元素的虚部；

所述步骤2中，利用正则化最小二乘法求解压缩感知模型需对该模型等价变换，等价模型为：

式中，X为k稀疏的向量；Φ∈R^M×N，其中K<M<<N，为观测矩阵；Y∈R^M为观测向量；参数λ＞0，具有平衡解向量X稀疏度和近似误差的作用；

所述步骤2中，利用正则化最小二乘法求解压缩感知模型求解近似故障电流并对该电流进行归一化处理时，设定阈值选取归一化重构向量中主导元素；

所述步骤2中，构建可疑故障区间集合时，还包括以下步骤：

步骤S21：将以主导元素表示的节点为首节点和末节点的所有支路作为该节点的一阶故障区间；

步骤S22：将与一阶故障区间相邻的所有支路称为该节点的二阶故障区间；

步骤S23：重复步骤S21到步骤S22，得出n阶故障区间，将多阶故障区间组合得出可疑故障区间集合；

所述步骤3中，求得故障个数以及故障所在位置时，还包括以下步骤：

步骤S31：假定系统发生单故障，依次计算出在单故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，判断是否满足电压残差最小且r满足0≤r≤1的条件，若满足，则进入步骤S42，若不满足，则进入步骤S33；

步骤S32：输出满足条件的故障个数以及故障位置；

步骤S33：假定系统故障个数加一，依次计算出系统故障个数加一的复故障情况下可疑故障集合所对应的电压残差和故障距离，进入步骤S34；

步骤S34：重复步骤S33，在满足电压残差最小、且r满足0≤r≤1的条件时，进入步骤S32；所述步骤S31中的电压残差计算公式为：

R(p)第p个疑似故障支路的残差，v表示第v个故障，K表示故障个数，表示与第v个故障所处疑似故障区间的首末节点编号对应Z_real中的第j,q,j+N,q+N列元素，j,q为相邻节点，ΔI表示在该疑似故障区间下重构电流向量中的非零元素值。