CN114218819B - 基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法。工程设计中主要采用有限元技术进行数值仿真，有限元模型修正是保障计算结果准确度的重要技术；不确定性使实测响应表现出分散性，确定性有限元模型修正无法实现对响应数值结果不确定性特征的预测；本发明考虑区间不确定性，建立具有满意精度的有限元模型的代理元模型，基于元模型并构造自适应扩张系数对待修正参数区间进行一级粗修；进一步基于粗修模型，建立模型参数区间修正的优化模型，采用智能遗传算法对待修正参数的区间上界和下界进行二级精修。本发明能够修正和量化有限元模型中受不确定性影响的参数区间，为实际工程中不确定性情形的有限元模型修正提供了新思路。

Description

基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法

技术领域

本发明涉及复杂结构有限元模型修正、不确定性系统数值计算技术领域，特别涉及一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法。

背景技术

在实际工程中，尤其是航空航天、土木、船舶等重要工程领域，往往涉及面向复杂结构系统的分析与设计，特别是设计阶段，需要针对设计对象开展多次方案修改与重分析，然而，对于大型复杂结构系统，难以通过理论分析或物理试验的方式实现上述关于方案修改与重分析的需求。有限元数值计算技术通过单元离散的方式建立结构响应计算的统一数学模型，并赋予有限元网格单元材料、尺寸等物理属性；经过多年发展，有限元技术愈发成熟，有限元仿真分析软件相继出现，使工程设计人员能够更便捷地建立和修改对应于结构方案的有限元仿真模型并进行响应求解；有限元技术的理论完善、用法灵活，借助计算机强大的运算能力，有效解决了大型复杂结构难以分析的问题，目前已经成为实际工程中结构系统响应数值计算的公认主要手段；

虽然有限元数值计算技术为大型复杂结构的响应数值计算提供了有效方法，但是根据设计经验、相关规范建立的有限元模型具有理想化假定或简化，使得有限元模型与真实结构之间具有差异性，从而导致有限元模型的响应数值计算结果与实际情况不符；有限元模型修正技术根据实测结构响应数据指导有限元模型中相关参数的修改，例如材料属性、边界条件、几何尺寸以及求解器设置等，能够将精确度较差的有限元模型修正至更为精确，使基于有限元模型的响应数值计算结果与实测数据相符，从而可以使用有限元模型开展后续的结构分析与设计工作。目前常用的有限元模型修正手段是将模型参数修正问题建模为数学优化问题，借助寻优算法对待修正参数的最优值进行求解，考虑到多次调用有限元分析所带来计算资源耗费，通过引入代理元模型技术，构建反映待修正参数与结构响应之间映射关系的数学模型替代有限元仿真分析，有效提高了有限元模型修正的效率。

在实际工程中，由于材料属性分散性、几何尺寸测量误差、外部载荷和环境扰动等原因，不确定性广泛存在于复杂结构系统之中，这些不确定性因素也会造成结构响应的不确定性，使结构的实测响应数据同样表现出分散性特征，在结构分析与设计中必须加以考量；传统的有限元模型修正技术主要聚焦于确定性情形，即考虑单次实测数据的模型修正，经修正的模型参数采用确定性的数值进行描述，虽然修正结果与单次实测数据吻合，然而多次实测数据由于客观不确定性的影响存在分散性，基于确定性模型修正技术得到的有限元模型无法预测或评估结构响应的不确定性特征；不确定性有限元模型修正技术基于实测响应数据的分散性特征，目的在于量化和识别模型参数的不确定性数字特征，即修正后的参数同为不确定性量，从而使借助不确定性有限元分析技术计算的响应数值结果不确定性特征与实测数据呈现的分散性特征具有相容性。在不确定性建模和量化方面，目前主要集中在基于概率模型的方法研究，即不确定性参数是服从某种分布的随机变量，然而这些概率信息的获取必须以大量实验数据作为支撑。对于难以多次开展物理试验的实际工程系统而言，基于小样本的非概率区间模型则适用性更强，即不确定性参数在某一区间内取值，以区间上界和区间下界为数值特征，因而结构响应也在某区间内取值，有限元模型参数区间修正的目的即确定模型参数区间的上下界，从而使基于不确定性有限元模型计算的结构响应区间上下界与实测数据相符。

综上，有限元仿真分析技术是实际工程设计中结构响应计算的有效手段，有限元模型修正技术根据实测结构响应数据能够消除有限元模型与真实结构之间的差异性；随着设计精细化要求的提高，客观存在的不确定性对于结构响应的影响变得不可忽视，结构响应的不确定性特征对于进一步的可靠性的评估至关重要，因此必须发展不确定性有限元模型修正技术，使设计技术人员能够基于修正的有限元模型有效开展结构响应不确定性特征的数值预测。

从技术发展角度而言，现存的不确定性有限元模型修正分析技术主要集中于概率不确定性，对于非概率区间不确定性的相关技术研究有所欠缺；此外，虽然元模型技术的引入提升了有限元模型修正的效率，但是元模型的近似精度对于修正效果同样关键，而提升元模型的近似精度需要付出计算资源代价，目前针对模型修正精度与效率之间的平衡问题仍需研究。

基于因实际工程中不确定性因素导致的具有分散性的响应实测数据，修正和量化有限元结构仿真模型中不确定性参数区间的上界和下界，从而使基于有限元模型的结构响应数值结果的不确定性特征与实测数据保持一致；在实测数据表现出不确定性特征的条件下，本发明为工程技术人员实现有限元模型中不确定性参数区间的修正提供了可行的方法；当有限元模型中待修正参数具有实际物理意义时，本发明能够对这些物理参数的不确定性特征进行量化识别，从而指导进一步的结构可靠性评估。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：考虑非概率区间不确定性，为了使有限元模型的结构响应数值结果的区间上下界与实测数据相符，提供一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法；将不确定性有限元模型问题建模为数学优化问题，通过自适应元模型技术完成了有限元模型参数区间的快速初步修正，进一步利用智能寻优算法完成有限元模型参数区间的精细化修正，本发明能够高效地得到具有较高精度的有限元模型参数区间，使基于修正参数区间的不确定性有限元分析的结构响应数值结果的不确定性特征与实测数据相符。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：考虑实际工程中基于小样本的非概率区间不确定性，将结构响应实测数据与有限元数值结果的区间上下界之间的差异最小化作为修正目标，修正变量为模型参数区间的上下界，建立了优化数学模型；考虑到计算效率，构建结构响应数值计算元模型，建立了一种自适应元模型更新策略，对模型参数区间上下界进行粗略估计，并通过动态采样提高元模型近似精度；基于一级粗修结果，在较小的变量空间内采用智能寻优算法基于元模型对优化数学模型进行求解，实现对模型参数区间上下界的二级精细化修正。该方法将模型参数区间的修正分解为两级修正过程，通过一级粗修过程实现了未知参数区间的粗略估计，缩小了优化数学模型的设计变量空间，期间引入自适应元模型技术，降低了计算量并保证了元模型的近似精度，间接提高了模型参数修正结果的可信度，进而通过二级精修过程对粗略估计的参数区间进行更为精细化的修正，本发明能够为相关领域的研究和设计人员提供有效便捷的技术手段。

本发明技术方案：一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，实现步骤如下：

第一步：针对结构系统的静力问题，将待修正的结构有限元模型的平衡方程表示为：

Φ(α,y)＝f

其中，α代表结构有限元模型中的待修正参数，包括：材料属性、结构刚度等，y代表结构有限元模型响应，包括：节点位移、应力、应变等；f代表结构所承受的外力作用。

由于这些参数所代表的实际物理量因为测量、加工等环节存在误差而具有不确定性，因此采用区间变量对其进行描述，即其中α和分别代表有限元模型参数区间的下界和上界；

第二步：修正模型参数区间α^I等价于对于区间下界α和区间上界的修正，从而可以建立如下不确定性有限元模型修正问题的优化数学模型：

其中，和y分别为结构有限元模型在区间模型参数影响下的响应上下界，即：

y _i＝min{y_i:Φ(α,y)＝f,α∈α^I}i＝1,2,…,N

其中，y_i代表有限元模型响应的第i个分量，N是待求响应总量，max{}代表y_i的最大值，min{}代表y_i的最小值，和y _实验分别为根据实测数据集Ω_实验得到的结构响应上下界，即：

其中，N为测点数量，在数值上应与待求响应总量相等；优化数学模型的目标函数是范数和||y-y _实验||之中的最大值，通过修正α和使通过有限元模型计算的结构响应上下界与实测数据尽可能地接近；

第三步：将第二步中优化数学模型的求解分解为两级修正过程，即一级粗修和二级精修，第一级修正的目的是初步估计待修正参数区间，第二级修正基于粗修的待修正参数区间，在区间界限内搜索具有更高精度的模型参数区间上下界；

第四步：开展第三步中提及的第一级粗修过程，设待修正参数的确定性初值为α₀，假设待修正参数在较小的区间内取值，即其中β应取较小值，如β＝0.001，避免初始参数区间过大；简便起见，将初始参数区间进行归一化处理，即：

其中，α_0,j是待修正参数确定性初值α₀的第j个分量，是初始参数区间的分量，区间是区间向量的分量，后面的步骤将基于归一化区间对模型参数区间进行修正；

第五步：基于第四步中构造的区间向量(其初始值为)，第一步中待修正的结构有限元模型的平衡方程可表示为如下关于参数e的形式：

其中，α_j＝α_0,j+e_jβα_0,j(j＝1,2,…,M)，因此给定一组参数e即可通过有限元模型求得一组结构响应y，下标k代表的更新步数，取k为初始值0；

第六步：在参数区间内采样，利用第五步中的平衡方程计算样本点处的结构响应值，构造结构响应y关于参数e的代理元模型(类型不限，构造过程这里不做多余赘述，默认元模型已通过精度检验且具有足够精度)，将构造的元模型表示如下：

其中，下标k代表的更新步数；是通过元模型计算的近似有限元结构响应，由于元模型精度足够，所以后续将采用元模型代替有限元模型开展结构响应计算；

第七步：利用区间不确定性传播分析方法(如蒙特卡洛方法)计算第六步中近似有限元结构响应的上下界：

比较和 y _实验，当结构数值响应结果区间包络实测数据区间时，即满足及时，完成第一级粗修，进入第十步；否则，进入第八步；

第八步：根据第七步的计算结果，为了使结构数值响应结果区间包络实测数据区间，定义扩张系数γ_k，更新后的参数区间为对参数区间进行自适应扩张，其中γ_k的自适应调整方式如下：

当k≥1时，定义如下结构响应区间变化量：

其中，d_k是结构响应区间变化量，代表括号内分式的最大值，角标i用于有限元模型响应的分量计数。

和结构响应区间与实测数据区间之间的差异指标Δ_k：

假设第k次与第k-1次运算之间结构响应区间变化量满足如下关系：

求解上述关系式得到λ_k后，通过如下关系式：

得到第k个更新步的自适应扩张系数；特别地，当k＝0时，令初始扩张系数γ₀＝1.25；

第九步：更新参数区间进入下一个更新步并更新步数k，回到第六步；

第十步：开展第二级精修，令利用智能优化算法求解如下优化问题：

其中，代表第一级粗修中通过第六步更新得到的元模型，由于通过第一级粗修得到的结构响应区间能够包络实测数据区间，经过粗修得到的区间参数同样包络了真实区间，因此在约束条件中加入了设计变量的范围约束；求解算法可选用遗传算法、粒子群算法等算法；

第十一步：将第十步中通过第二级精修得到的修正结果表示为e ^*,基于此，经两级修正的模型参数区间上界和下界分别为：

通过以上11个步骤，能够确定结构有限元模型中待修正参数区间的上界和下界，实现在实测数据具有不确定性情形下的结构有限元模型参数区间的较高精度修正，能够将相对误差控制在5％以内。

其中，所述的复杂结构指代飞行器结构中的复合材料层合板。

本发明与现有技术相比的有益效果：本发明针对结构响应实测数据含有不确定性特征的情形，提供了一种不确定性有限元模型参数修正的新方法，考虑概率不确定性模型难以处理的小样本情形，本发明将不确定性量化为区间数，利用本发明能够确定有限元模型中待修正参数的取值区间，由此得到的模型参数区间代入有限元模型后计算的结构响应数值结果区间能够与实测数据一致。本发明一定程度上弥补了现有有限元模型修正技术在含有非概率区间不确定性情形中的研究不足，所得到的模型参数区间一般具有实际物理意义，因此本发明还有助于工程人员根据结构响应实测数据实现对于结构系统中物理量不确定性特征的定量化识别，从而指导进一步的结构可靠性评估和性能设计提升；相比基于直接优化方法的不确定性修正技术，本发明采用两级修正策略，能够通过第一级粗修初步确定模型参数所处的大致区间，进而在模型参数的粗估区间内开展第二级精修，使优化设计变量空间缩减；本发明中提出的参数区间自适应扩张系数技术能够使第一级粗修过程快速获得大小合适的模型参数粗估区间；两级修正均采用代理元模型开展结构响应区间的近似计算，能够有效减少有限元模型的计算调用次数，节省了计算时间；本发明为实现不确定性条件下有限元模型参数区间的有效修正奠定了一定的技术基础。

附图说明

图1是本发明基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法的实现流程图；

图2是本发明实施例中复合材料层合板结构模型示意图；

图3是本发明实施例中由本发明方法计算的E₁₁上界和下界的第一级粗修历程图；

图4是本发明实施例中由本发明方法计算的E₁₁上界和下界的第二级精修历程图。

具体实施方式

下面将结合本发明中的附图和实施例，对本发明的具体实施方式进行清楚、完整的描述。

如图1所示，本发明的一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法具体实施方式包括以下步骤：

(1)以图2所示的复合材料层合板结构模型为对象，图中展示了结构的几何尺寸、边界条件和铺层信息，其中，层合板尺寸L×L，四边固支，铺层为[0°/90°/0°/90°/0°]，单层厚度为t，层合板承受垂直于x-y平面的均布载荷，合力为90N；在本实施例中，单层板的纵向弹性模量E₁₁被假设为不确定性量，并在一个未知区间内取值，利用本发明对纵向弹性模量E₁₁的取值区间的上界和下界进行修正，已知其确定性估计值为此外，其余参数值如表1所示。

表1

首先建立复合材料层合板结构的有限元模型，表示为如下形式静力平衡方程组：

K(α)u＝F

其中，K代表结构刚度矩阵，u代表结构节点位移向量，F代表节点载荷向量；α是待修正参数，即α＝E₁₁。

(2)在本实施例中，将根据结构的最大位移u_max开展参数α的修正，由此建立了如下不确定性有限元模型修正问题的优化数学模型：

其中，和u _max分别为结构有限元模型在区间模型参数影响下的响应上下界，即：

u _max＝min{u_max:K(α)u＝F；α∈α^I}

其中，u_max代表有限元模型的最大位移响应，max{}代表u_max的最大值，min{}代表u_max的最小值；

和分别为根据实测数据集Ω_实验得到的结构最大位移的上下界参考值，本实施例中假设因此将通过修正α和使通过有限元模型计算的结构最大位移的上下界 u _max与参考值尽可能地接近；

(3)将优化数学模型的求解分解为两级修正过程，即一级粗修和二级精修；首先开展第一级粗修，待修正参数的确定性初值为假设待修正参数在较小的区间内取值，即其中β＝0.01，进一步将初始参数区间进行归一化处理：

其中，后面的步骤将基于归一化区间对模型参数区间进行修正；

(4)基于步骤(3)中构造的区间向量(其初始值为)，第一步中待修正的结构有限元模型的平衡方程可表示为如下关于参数e的形式：

由此可知，给定参数e即可通过有限元模型求得一组结构响应u，下标k代表的更新步数；这里令更新步数k为初始值0，此时有

(5)在第k个更新步，在参数区间内采样，利用步骤(4)中的平衡方程计算样本点处的结构响应值，构造结构最大位移u_max关于参数e的代理元模型(本实施例中采用径向基函数模型，构造过程这里不做多余赘述，默认元模型已通过精度检验且具有足够精度)，将构造的元模型表示如下：

其中，下标k代表的更新步数；是通过元模型计算的近似有限元结构最大位移，由于元模型精度足够，所以后续将采用元模型代替有限元模型开展结构响应计算；

(6)利用蒙特卡洛方法计算步骤(5)中第k个更新步中近似有限元结构最大位移的上下界，即：

比较和当并且时，完成第一级粗修，进入步骤(9)；否则，进入下一步骤；

(7)根据步骤(6)的计算结果在第k个更新步，定义扩张系数γ_k，更新后的参数区间为对参数区间进行自适应扩张，其中γ_k的自适应调整方式如下：

当k≥1时，定义如下结构最大位移区间变化量d_k：

和结构最大位移区间与实测数据区间之间的差异指标Δ_k：

假设第k次与第k-1次运算之间结构响应区间变化量满足如下关系：

求解上述关系式得到λ_k后，通过如下关系式：

得到第k个更新步的自适应扩张系数；特别地，当k＝0时，令初始扩张系数γ₀＝1.25；

(8)通过步骤(7)计算的扩张系数γ_k更新参数区间进入下一个更新步并更新步数k，回到步骤(5)；

(9)满足步骤(6)中的粗修终止条件后，得到开展第二级精修，令本实施例中，采用遗传算法求解如下优化问题：

(10)将步骤(9)中通过第二级精修得到的修正结果表示为e ^*,得到(e^*)^I＝[-14.2990,15.9378]，基于此，利用步骤(3)中的变换公式，得到经两级修正的模型参数区间上界和下界：

α ^*＝α₀+e ^*βα₀＝124+(15.9378)×0.01×124＝143.763Gpa

即为了对比精度，这里直接给出E₁₁的精确取值区间E₁₁∈[106.25,143.75]Gpa，上界和下界的修正误差分别为0.00904％和0.01788％，可见本发明具有良好的修正精度；

以上过程即本发明结合实施例的具体实施方式。

图3和图4分别展示了本发明中针对待修正参数区间上界和下界的两级修正过程。进一步说明本发明的修正效率，采取直接优化方法，利用遗传算法对有限元模型进行参数区间修正，将有限元模型调用次数作为修正效率的衡量指标，表2中的对比结果表明，本发明的计算结果能够达到与直接优化方法相当的修正精度，但相比之下，由于本发明方法基于元模型开展修正，因此实施本发明方法所调用的有限元模型计算次数明显少于直接优化方法。

表2对比结果

综上所述，本发明方法将结构响应实测数据与有限元数值结果的区间上下界之间的差异最小化作为修正目标，修正变量为模型参数区间的上下界，建立了优化数学模型；考虑到计算效率，构建结构响应数值计算元模型，建立了一种自适应元模型更新策略，对模型参数区间上下界进行粗略估计，并通过动态采样提高元模型近似精度；基于一级粗修结果，在较小的变量空间内采用智能寻优算法基于元模型对优化数学模型进行求解，实现对模型参数区间上下界的二级精细化修正。该方法将模型参数区间的修正分解为两级修正过程，通过一级粗修过程实现了未知参数区间的粗略估计，缩小了优化数学模型的设计变量空间，期间引入自适应元模型技术，降低了计算量并保证了元模型的近似精度，间接提高了模型参数修正结果的可信度，进而通过二级精修过程对粗略估计的参数区间进行更为精细化的修正，本发明能够为相关领域的研究和设计人员提供有效便捷的技术手段。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，其特征在于：所述方法应用于含有未知区间参数的结构静力有限元模型中，实现步骤如下：

步骤1：针对复杂结构系统的静力问题，将待修正复杂结构系统的结构有限元模型的平衡方程表示为：

(1)

其中，代表结构有限元模型中的待修正参数，包括：材料属性、结构刚度，代表结构有限元模型响应，包括：节点位移、应力、应变；代表结构所承受的外力作用，采用区间变量对不确定性参数进行描述，即，其中和分别代表有限元模型参数区间的下界和上界；

步骤2：基于步骤1建立的平衡方程（1），将修正模型参数区间等价为对于区间下界和区间上界的修正，建立如下不确定性有限元模型修正问题的优化数学模型：

(2)

其中，和分别为结构有限元模型在区间模型参数影响下的响应上下界，即：

(3)

其中，代表有限元模型响应的第i个分量，N是待求响应总量，代表的最大值，代表的最小值，和分别为根据实测数据集得到的结构响应上下界，即：

(4)

其中，为测点数量，在数值上应与式(3)中的待求响应总量相等，优化数学模型的目标函数是范数和之中的最大值；

步骤3：将步骤2中优化数学模型的求解分解为一级粗修和二级精修两级修正过程；设待修正参数的确定性初值为，假设待修正参数在区间内取值，其中取较小值，，将初始参数区间进行归一化处理：

(5)

其中，是待修正参数确定性初值的第j个分量，是初始参数区间的分量，区间是区间向量的分量；

步骤4：基于步骤3中构造的区间向量，其初始值为，将步骤1中待修正的结构有限元模型的平衡方程表示为如下关于参数的形式：

(6)

其中，，下标k代表的更新步数，取为初始值0；

步骤5：在参数区间内采样，利用步骤4中的平衡方程（6）计算样本点处的结构响应值，构造结构响应关于参数的代理元模型，将构造的元模型表示如下：

(7)

其中，下标代表的更新步数，代表通过元模型计算的近似有限元结构响应；

步骤6：利用区间不确定性传播分析方法计算步骤5中近似有限元结构响应的上下界：

(8)

比较和，当结构数值响应结果区间包络实测数据区间时，即满足及时，完成第一级粗修，进入步骤9；否则，进入步骤7；

步骤7：根据步骤6的计算结果，定义扩张系数，以及更新后的参数区间为，其中，基于结构响应区间的变化量及其与实测数据区间的差异，对扩张系数在每个更新步进行自适应调整，实现参数区间的自适应扩张；

步骤8：更新参数区间，进入下一个更新步并更新步数，返回步骤5；

步骤9：开展第二级精修，令，利用智能优化算法求解如下优化问题：

(9)

其中，代表第一级粗修中通过步骤5更新得到的元模型；

步骤10：将步骤9中令，通过第二级精修得到的修正结果表示为，将经两级修正的模型参数区间上界和下界分别表示为：

(10)

至此完成对于不确定性结构有限元模型参数区间的修正；

步骤3中，第一级粗修的目的是初步估计待修正参数区间，通过第一级粗修得到的模型参数区间满足结构数值响应结果区间对实测数据区间的包络关系，即和；第二级精修基于第一级粗修得到的待修正参数区间，在区间界限内搜索具有更高精度的模型参数区间上下界，经过第二级精修得到的模型参数区间能够满足结构数值响应结果区间与实测数据区间之间差异的最小化；

所述步骤7中，

当时，定义结构响应区间变化量：

(11)

其中，是结构响应区间变化量，代表括号内分式的最大值，角标i用于有限元模型响应的分量计数；

和结构响应区间与实测数据区间之间的差异指标：

(12)

假设第次与第次运算之间结构响应区间变化量满足如下关系：

(13)

求解关系式（13）得到后，通过关系式：

，

得到第个更新步的自适应扩张系数；当时，令初始扩张系数。

2.根据权利要求1所述的基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，其特征在于：所述步骤6至步骤9中，采用元模型代替有限元模型进行结构响应区间上下界的计算，并采用归一化变换参数代替有限元模型参数参与修正。

3.根据权利要求1所述的基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，其特征在于：所述步骤9中，参数区间的上下界修正范围设置为第一级粗修的参数区间修正结果，即、。

4.根据权利要求1所述的基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，其特征在于：步骤6中所述的区间不确定性传播分析方法为蒙特卡洛方法。

5.根据权利要求1所述的基于自适应元模型的复杂结构有限元参数区间的修正方法，其特征在于：所述的复杂结构指代飞行器结构中的复合材料层合板。