CN114171212A - 考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，包括如下步骤：步骤1：建立UAU‑SEIR模型的MMCA方程组；步骤2：考虑信息层遗忘因素的时变特性，设置个体遗忘概率的动态方程：步骤3：对步骤2中的动态方程进行简化，推导出模型的传播阈值。本发明利用MMCA算法分析传染病的特性，并推导出传染病的传播阈值表达式，以及通过大量的仿真实验进一步分析了所提出的模型，讨论了潜伏态转移概率、遗忘概率、感染衰减因子对传染病传播的影响。

Description

考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法

技术领域

本发明传染病传播领域，具体的说涉及一种考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型的建立方法。

背景技术

传染病的存在一直是对人类健康的一大潜在威胁。在历史上有很多因为传染病传播而导致的大规模灾难，例如：21世纪初的SARS病毒，艾滋病病毒以及危害性很高的埃博拉病毒等等，2019年底爆发的新冠状肺炎病毒(COVID-19)更是造成了全球性的灾难，至今还没有得到很好地控制。因此，如何了解传染病的传播机理，制定有效的传染病的控制策略，最大限度地减少传染病的危害，是传染病传播研究领域的焦点问题。

人类社会是一个真实存在的复杂网络系统，它是由多层相互作用且相互依赖的复杂网络组成的，当各层复杂网络中的参与者相同时，则称这些复杂网络为多重网络。因此，多重网络理论为研究病毒的传播提供了新的理论支撑。同时，个体对于传染病的差异性对传染病传播的影响引起了广泛的关注。例如，王刚等人发表的“节点增减机制下的病毒传播模型及稳定性”(空军工程大学信息与导航学院)构建节点增减机制下的SIRS模型，发现合理调节网络节点的增减数量，能够有效控制病毒在网络中的传播。Funk等人(S.Funk,E.Gilad,C.Watkins,J.A.A.Vincent,The spread of awareness and its impact onepidemic outbreaks,Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A(S0027-8424),2009,106(16):6872–6877.)建立了传染病传播和意识扩散的数学模型，并分析得出在一个人口混合均匀的前提下，个体对于传染病传播的风险意识会降低的传染病爆发规模，但不影响流行阈值的结论。Granell等人(C.Granell,S.Gomez,A.Arenas,Dynamical interplay between awarenessand epidemic spreading in multiplex networks,Phys.Rev.Lett(S0031-9007),2013,111(12):128701.)研究了拓扑结构对应于一个多重网络，其中意识与传染病扩散过程相互影响，利用微观马尔科夫链方法分析发现了传染病传播阈值与意识扩散以及网络的拓扑结构有关。Wang等人(Z.S.Wang,Q.T.Guo,et al.The impact of awareness diffusion onSIR-like epidemics in multiplex networks[J].Appl.Math.Comput(S0096-3003),2019,349(5):134-147)提出基于一定局部比例影响下的意识扩散UAU-SIR模型，利用微观马尔科夫链方法分析得出传染病阈值与意识扩散以及网络的拓扑结构有关。上述研究往往都是基于经典的SIS或者SIR模型在多重网络下传染病的传播行为，缺少关于意识扩散的时变特性以及对具有潜伏态传染病传播影响在双层网络上的研究。

发明内容

针对现有传染病传播模型考虑影响因素及个体状态单一的问题，提出了一种考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型的建立方法。该模型能更好地分析传染病在现实网络中的传播过程，运用微观马尔科夫链算法(MMCA)，推导出模型的传播阈值，对传染病的控制具有一定的指导意义。

为了达到上述目的，本发明是通过以下技术方案实现的：

本发明是一种考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型的建立方法，包括以下步骤：

步骤1，根据经典的SIR模型，传播节点加入了潜伏态，提出了新的双层网络传播模型UAU-SEIR模型，根据MMCA，建立数学描述方程组。

MMCA方程组为：

式(1)中(t+1)表示t时刻的下一时步，值得注意得是，无论哪一时刻必须满足：P_i ^AS(t)+P_i ^AE(t)+P_i ^AI(t)+P_i ^AR(t)+P_i ^US(t)+P_i ^UE(t)+P_i ^UR(t)＝1。当t→∞时，每个状态都会到达相应的稳态值，即有：

其中，P_i ^US(t)，P_i ^AS(t)，P_i ^UE(t)，P_i ^AE(t)，P_i ^AI(t)，P_i ^UR(t)，P_i ^AR(t)，分别表示t时间步各个节点状态的个体密度。r_i(t)表示节点i不知道传染病存在的消息的概率，q_i ^A(t)，q_i ^U(t)分别表示有意识节点和无意识节点不被感染的概率。

步骤2，考虑信息层遗忘因素的时变特性，设置遗忘因素的时变函数。

个体的遗忘概率的动态方程为：

其中，v和δ为参数，ρ^E为潜伏态节点密度，当δ＝0时，遗忘概率为v-ρ^E，当δ不为0时，遗忘概率ω(t)＝v-ρ^E*e^-δt，且ω(0)＝v-ρ^E，即初始时刻的遗忘概率为v-ρ^E。

步骤3，对方程进行化简，推导出模型的传播阈值。

模型的物理接触层传播阈值为：

其中，σ表示潜伏态转变为感染态的概率，θ表示潜伏态转变为恢复态的概率，Λ_max(H)表示构造矩阵H的最大特征根。

模型的信息层传播阈值为：

其中，ω表示遗忘概率，Λ_max(A)表示矩阵A的最大特征根。

本发明的有益效果是：本发明在传统的UAU-SIS模型的基础上，提出了一种新的考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型，根据个体对传染病的意识会随着时间的推移慢慢减退，同时也可能会因为潜伏态个体的密度的变低而松懈，更加准确地反映了真实传染病传播过程。

本发明根据建立的信息与传染病交互的双层网络传播模型，推导出其模型的传播阈值，仿真了遗忘因素对于传染病最终规模的影响，并分析了感染衰减因子对传染病传播的影响。仿真表明了本发明提出的考虑时变因素的双层网络传播模型的有效性。

附图说明

图1是本发明的双层网络结构图。

图2-a、图2-b分别是本发明的信息层状态转移、物理接触层状态转移过程。

图3是本发明的状态转移概率树。

图4是本发明的恢复态个体密度以感染率β的关系曲线。

图5是本发明的不同遗忘概率下的潜伏态个体密度曲线。

图6是本发明的稳态下恢复态个体密度与感染率之间的关系曲线。

6(a)参数为：μ＝0.3,θ＝0.32,σ＝0.48；6(b)参数为：μ＝0.5,θ＝0.32,σ＝0.48；

6(c)参数为：μ＝0.3,θ＝0.24,σ＝0.36,；6(d)参数为：μ＝0.5,θ＝0.24,σ＝0.36。

图7是本发明的真实数据与仿真数据的对比图。其中真实数据采用2020年2月四川省COVID-19累计确诊人数。

具体实施方式

以下将以图式揭露本发明的实施方式，为明确说明起见，许多实务上的细节将在以下叙述中一并说明。然而，应了解到，这些实务上的细节不应用以限制本发明。也就是说，在本发明的部分实施方式中，这些实务上的细节是非必要的。

针对目前现有传染病传播模型考虑影响因素及个体状态单一的问题，应该构建更加符合实际传染病传播的双层网络传播模型，能对传染病传播做出更加精确的分析和预判。本发明利用MMCA算法分析传染病的特性，并推导出传染病的传播阈值表达式，以及通过大量的仿真实验进一步分析了所提出的模型，讨论了潜伏态转移概率、遗忘概率、感染衰减因子对传染病传播的影响。

如图1-3所示，本发明针对传染病传播机理，建立考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型，并计算模型的传播阈值，并对遗忘概率、感染率以及感染衰减因子对传染病传播过程的影响进行了仿真，包括以下步骤：

步骤1：建立UAU-SEIR模型的MMCA方程组：

式(1)中(t+1)表示t时刻的下一时步，值得注意得是，无论哪一时刻必须满足：P_i ^AS(t)+P_i ^AE(t)+P_i ^AI(t)+P_i ^AR(t)+P_i ^US(t)+P_i ^UE(t)+P_i ^UR(t)＝1。当t→∞时，每个状态都会到达相应的稳态值，即有：

其中，P_i ^US(t)，P_i ^AS(t)，P_i ^UE(t)，P_i ^AE(t)，P_i ^AI(t)，P_i ^UR(t)，P_i ^AR(t)，分别表示t时间步各个节点状态的个体密度。r_i(t)表示节点i不知道传染病存在的消息的概率，q_i ^A(t)，q_i ^U(t)分别表示有意识节点和无意识节点不被感染的概率。

步骤2：设置个体的遗忘概率的动态方程为：

其中，v和δ为参数，ρ^E为潜伏态节点密度，当δ＝0时，遗忘概率为v-ρ^E，当δ不为0时，遗忘概率ω(t)＝v-ρ^E*e^-δt，且ω(0)＝v-ρ^E，即初始时刻的遗忘概率为v-ρ^E。

步骤3：根据式(1)、(2)、(3)，可推导出：

式(4)经变换可得：

其中，t_ji为单位矩阵的元素。定义h_ji＝[1-(1-γ)P_i ^A]b_ji为矩阵H的元素，且Λ_max是矩阵H的最大特征根。由此，可以得出本传染病传播模型的传播阈值为：

模型的物理接触层传播阈值为：

同理，模型的信息层传播阈值为：

步骤4：由图4可知，σ+θ对恢复态节点密度有较为明显的影响，σ+θ越大，说明潜伏态节点转移为其他状态的概率越大，随之恢复态节点的密度就会上升。

步骤5：由图5可知，遗忘概率对于潜伏态传染病的密度影响还是比较明显的。当遗忘概率大于信息层传播阈值

时，曲线会出现波峰，说明传染病会在人群中爆发。遗忘概率ω(t)是关于潜伏态节点密度的时变函数，可见在传染病刚出现时，存在少量潜伏态个体的信息不足以引起人们的注意，遗忘概率较大，导致潜伏态感染个体密度增加，即遗忘概率大于信息层传播阈值。之后由于潜伏态感染个体数量增加引起人们的关注，个体会采取一定的防护措施，同时遗忘概率也随之变小，进而潜伏态个体密度也呈现出下降趋势。

步骤6：由图6可知，其中每个模块的参数设置:

(a)μ＝0.3,θ＝0.32,σ＝0.48；(b)μ＝0.5,θ＝0.32,σ＝0.48；(c)μ＝0.3,θ＝0.24,σ＝0.36,；(d)μ＝0.5,θ＝0.24,σ＝0.36。对于传染病传播，遗忘概率ω(t)越大，传染病传播的流行率就会越高；当恢复率μ越大时，遗忘概率ω(t)对于传染病传播的流行率影响越大；当潜伏态转移为其他状态的概率变低时，会降低遗忘高概率ω(t)的影响。

步骤7：由图7可知，本发明所提模型可以较好的反映出传染病的实际传播趋势。

本发明具有如下优势：

1)提出一种UAU-SEIR模型，将信息层和物理接触层耦合，使模型更加符合真实的传染病传播情况。

2)在UAU-SEIR双层网络模型的基础上，结合MMCA推导出传染病的传播阈值。通过分析感染衰减因子和传播概率等因素，可以更加充分了解传染病在传播过程中的传播特性。

3)考虑了遗忘因素的时变特性，将遗忘因素设置为时变函数，使其更加符合意识在实际中的扩散过程。

以上所述仅为本发明的实施方式而已，并不用于限制本发明。对于本领域技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原理的内所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包括在本发明的权利要求范围之内。

Claims (5)

1.考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，其特征在于：所述双层网络传播模型建立方法包括如下步骤：

步骤1：建立UAU-SEIR模型的MMCA方程组；

步骤2：考虑信息层遗忘因素的时变特性，设置个体遗忘概率的动态方程；

步骤3：对步骤2中的动态方程进行简化，推导出模型的传播阈值。

2.根据权利要求1所述考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，其特征在于：所述步骤1中MMCA方程组为：

P_i ^US(t+1)＝P_i ^AS(t)ω(t)q_i ^U(t)+P_i ^US(t)r_i(t)q_i ^U(t)

P_i ^AS(t+1)＝P_i ^US(t)[1-r_i(t)]q_i ^A(t)+P_i ^AS(t)[1-ω(t)]q_i ^A(t)

P_i ^UE(t+1)＝P_i ^AE(t)ω(t)(1-σ-θ)+P_i ^US(t)r_i(t)[1-q_i ^U(t)](1-σ-θ)+P_i ^AS(t)ω(t)[1-q_i ^U(t)](1-σ-θ)+P_i ^UE(t)r_i(t)(1-σ-θ)

P_i ^AE(t+1)＝P_i ^AS(t){[1-ω(t)][1-q_i ^A(t)]+ω(t)[1-q_i ^U(t)][1-r_i(t)]}+P_i ^UE(t)[1-r_i(t)](1-σ-θ)+P_i ^US(t){r_i(t)[1-q_i ^U(t)][1-r_i(t)]+[1-r_i(t)][1-q_i ^A(t)]}+P_i ^AE(t)[1-ω(t)](1-σ-θ)

P_i ^AI(t+1)＝P_i ^AS(t){[1-ω(t)][1-q_i ^A(t)]σ+ω(t)[1-q_i ^U(t)]{σ+[1-r_i(t)]σ}}+P_i ^US(t){r_i(t)[1-q_i ^U(t)]{σ+[1-r_i(t)]σ}+[1-r_i(t)][1-q_i ^A(t)]σ+P_i ^UE(t)r_i(t)σ+P_i ^AE(t)[1-ω(t)σ]+P_i ^AI(t)(1-μ)

P_i ^UR(t+1)＝P_i ^AR(t)ω(t)+P_i ^UE(t)r_i(t)θ+P_i ^UR(t)r_i(t)

P_i ^AR(t+1)＝P_i ^AE(t)[1-ω(t)]θ+P_i ^UR(t)[1-r_i(t)]+P_i ^AI(t)μ+P_i ^AR(t)[1-ω(t)]

式中(t+1)表示t时刻的下一时步，无论哪一时刻必须满足：P_i ^AS(t)+P_i ^AE(t)+P_i ^AI(t)+P_i ^AR(t)+P_i ^US(t)+P_i ^UE(t)+P_i ^UR(t)＝1，当t→∞时，每个状态都会到达相应的稳态值，即有：

其中，P_i ^US(t)，P_i ^AS(t)，P_i ^UE(t)，P_i ^AE(t)，P_i ^AI(t)，P_i ^UR(t)，P_i ^AR(t)，分别表示t时间步各个节点状态的个体密度，r_i(t)表示节点i不知道传染病存在的消息的概率，q_i ^A(t)，q_i ^U(t)分别表示有意识节点和无意识节点不被感染的概率。

3.根据权利要求1所述考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，其特征在于：所述步骤2中遗忘概率的动态方程为：

其中，v和δ为参数，ρ^E为潜伏态节点密度，当δ＝0时，遗忘概率为v-ρ^E，当δ不为0时，遗忘概率ω(t)＝v-ρ^E*e^-δt，且ω(0)＝v-ρ^E，即初始时刻的遗忘概率为v-ρ^E。

4.根据权利要求1所述考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，其特征在于：所述步骤3中模型的物理接触层传播阈值为：

其中，σ表示潜伏态转变为感染态的概率，θ表示潜伏态转变为恢复态的概率，Λ_max(H)表示构造矩阵H的最大特征根。

5.根据权利要求1所述考虑时变遗忘因素的双层网络传播模型建立方法，其特征在于：所述步骤3中模型的信息层传播阈值为：

其中，ω表示遗忘概率，Λ_max(A)表示矩阵A的最大特征根。

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