CN114092593B - 基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法 - Google Patents

基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于背景低秩和多方向纹理稀疏分解的动态磁共振图像重建方法。对由动态磁共振下采样算子得到的K空间数据，基于压缩感知理论和图像分解，提出了一种全新的重建模型并建立了有效的重建算法。该重建模型将动态磁共振图像分解为具有低秩性的背景部分和多方向纹理稀疏的前景部分，利用核范数来约束背景，保证背景的低秩性；利用多重卷积下确界振荡广义全变分来约束前景，刻画前景中多方向的纹理特征并保证前景的稀疏性。将模型离散后转化为相应的鞍点问题，利用原始对偶算法求解得到重建图像。相比于传统动态磁共振图像重建方法，本发明的技术关键是对动态磁共振图像的前景进行了多方向的纹理特征分解，提高了图像重建精度。

Description

基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法
技术领域
本发明属于医学成像技术领域，具体涉及一种基于背景低秩和多方向纹理稀疏分解的动态磁共振图像重建方法，主要用于动态医学图像的高精度恢复。
背景技术
磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging, MRI）是医学临床中常用的成像方式，可以非侵入式地获取人体器官和病灶的结构信息，用于指导病灶检测和临床诊断。由于物理和生理上的限制，磁共振成像，尤其是动态磁共振成像的速度通常很慢。为了提高磁共振成像速度和成像精度，目前主要的技术研究是减少K空间（Fourier域，即MRI的采样空间）采样的数据量，对相应的成像模型设计高效的求解算法。
目前，压缩感知重建是快速磁共振成像的主流方法。压缩感知理论是2005年Candés等提出的采样理论，突破了传统Nyquist采样定理的瓶颈，用远少于Nyquist采样所需的数据量即可大概率地精确重建图像。具体而言，压缩感知理论利用了图像的稀疏性，假设图像在某个变换下稀疏，对图像进行非相干下采样，然后通过非线性算法重建出图像。压缩感知理论在动态磁共振领域已有一定的发展，得到了适用于动态MR图像的稀疏表示方法。由于动态MR图像包含了时间和空间两个方向，因此稀疏变换的选择至关重要且具有很强的技巧性，主要有以下三种策略。第一种策略是利用传统的稀疏表示方法，如小波变换、Fourier变换等；第二种策略是考虑动态MR图像的低秩性，试图得到既稀疏又低秩的图像；最后一种策略是利用图像分解的思想，将动态MR图像分解为稀疏部分（即前景）和低秩部分（即背景）的叠加，并且分别用不同的正则项进行约束，以得到预期的重建结果。
虽然现有的方法对动态MR图像的稀疏性和低秩性进行了研究，但均没有充分考虑MR图像中蕴含的纹理特征。动态MR图像揭示了人体的解剖结构，这些结构信息中蕴含着大量的包含多个方向的纹理特征。传统的稀疏表示方法不能精确地刻画图像的纹理特征，因此现有动态MR图像重建方法得到的图像通常存在纹理缺失、边缘模糊、细节丢失等缺陷。本专利在压缩感知理论和图像分解思想的框架下，将多方向纹理特征的刻画方法融入动态MR重建模型并建立有效的重建算法，以更精细地揭示解剖结构中的纹理信息，从而提高图像重建的精度。
发明内容
发明目的：针对现有动态MR重建方法的缺陷和不足，本发明提出了一种基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法，可以有效地揭示动态MR图像中蕴含的多方向纹理特征，提高图像重建精度。
技术方案：本发明提出了一种全新的动态磁共振图像重建模型并建立了有效的重建方法，包括如下三个步骤：
（a）采集数据：利用现有动态MR图像的采样方式采集K空间数据；
（b）建立模型：基于压缩感知理论和图像分解，将动态MR图像分解为背景部分和前景部分的叠加，利用多重卷积下确界振荡广义全变分（Infimal Convolution ofOscillation Total Generalized Variation,
Figure 498605DEST_PATH_IMAGE001
）刻画前景部分的稀疏性和多方向的纹理特征，利用核范数刻画背景部分的低秩性，得到动态MR图像重建的高阶变分模型；
（c）求解模型：先对模型进行离散，投影到有限维空间，进而将离散后的高阶变分模型转化为等价的鞍点问题，利用原始对偶算法进行求解，得到重建的动态MR图像。
本发明将所述步骤（a）得到的采样数据用所述步骤（b）中的模型和所述步骤（c）中的算法进行动态磁共振重建，所述步骤（a）中的采样方式包含但不限于Cartesian采样方式或伪径向采样方式。
具体而言，所述步骤（a）中动态MR图像K空间数据的采集可以利用现有的采样方式，如Cartesian采样方式或伪径向采样方式，如图2所示。具体来说，在每一帧图像K空间的中心区域内进行Nyquist采样，在K空间的外围区域随机选取Cartesian采样线或者伪径向采样线，以增加采样的非相干性。
具体而言，所述步骤（b）中的动态MR图像重建的高阶变分模型为：
Figure 144350DEST_PATH_IMAGE003
模型中的第一项是K空间数据保真项，
Figure 456382DEST_PATH_IMAGE004
为Frobenius范数，其中
Figure 5438DEST_PATH_IMAGE005
为下采样算子，由采样方式
Figure 377513DEST_PATH_IMAGE006
和Fourier算子
Figure 510554DEST_PATH_IMAGE007
复合得到，
Figure 626278DEST_PATH_IMAGE008
是K空间的采集数据。
Figure 29839DEST_PATH_IMAGE009
为低秩项，代表动态MR图像的背景，
Figure 572816DEST_PATH_IMAGE010
为稀疏项，代表动态MR图像的前景；第二项是利用核范数
Figure 927574DEST_PATH_IMAGE011
对背景进行低秩约束，核范数的定义是矩阵奇异值的和；第三项表示多重卷积下确界振荡广义全变分，是对稀疏项
Figure 846989DEST_PATH_IMAGE010
的约束，表示式为
Figure 105057DEST_PATH_IMAGE013
它是
Figure 818935DEST_PATH_IMAGE014
上的可积泛函，
Figure 926568DEST_PATH_IMAGE015
。
Figure 384094DEST_PATH_IMAGE016
是卷积的重数，表示将一副图像
Figure 496669DEST_PATH_IMAGE017
分解为
Figure 647028DEST_PATH_IMAGE016
层不同方向的纹理图像
Figure 976378DEST_PATH_IMAGE018
。其中
Figure 237595DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 216395DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 537655DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 354301DEST_PATH_IMAGE022
,
Figure 153630DEST_PATH_IMAGE024
Figure 444059DEST_PATH_IMAGE025
的不同分量表示不同纹理的权重，
Figure 936221DEST_PATH_IMAGE026
的每个矩阵分量表示纹理方向矩阵
Figure 974584DEST_PATH_IMAGE027
，inf表示下确界，
Figure 843183DEST_PATH_IMAGE028
表示1-范数。振荡广义全变分
Figure 752233DEST_PATH_IMAGE029
中的
Figure 651181DEST_PATH_IMAGE030
表示向量场的有界形变空间，
Figure 442419DEST_PATH_IMAGE031
为一阶梯度算子，
Figure 583551DEST_PATH_IMAGE032
为二阶对称弱导数算子，定义为
Figure 143845DEST_PATH_IMAGE033
。
本专利在动态MR图像重建中引入了泛函
Figure 213694DEST_PATH_IMAGE001
，不仅可以刻画前景中不同方向的纹理特征，还可以保持前景部分的稀疏性，确保得到精确的重建结果。
具体而言，由于前景
Figure 492229DEST_PATH_IMAGE010
包含了多个方向纹理图像
Figure 702631DEST_PATH_IMAGE034
的叠加，因此动态MR图像重建的高阶变分模型（1）的具体表达式为：
Figure 117431DEST_PATH_IMAGE036
模型（2）中参数的选择策略是根据感兴趣的纹理方向和重建效果进行动态调整。最终的重建图像为泛函
Figure 623761DEST_PATH_IMAGE037
极小元向量
Figure 327275DEST_PATH_IMAGE038
各分量的和。
具体而言，步骤（c）将高阶变分模型
Figure 810209DEST_PATH_IMAGE037
离散化后转化为等价的鞍点问题。将区域
Figure 345096DEST_PATH_IMAGE015
离散成标准网格：
Figure 756748DEST_PATH_IMAGE040
其中
Figure 744295DEST_PATH_IMAGE041
，
Figure 296499DEST_PATH_IMAGE042
和
Figure 685892DEST_PATH_IMAGE043
分别为空间（x和y）和时间（t）方向上网格点的个数。令
Figure 534025DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 8869DEST_PATH_IMAGE045
，
Figure 36867DEST_PATH_IMAGE046
为三个有限维空间，且算子
Figure 280767DEST_PATH_IMAGE047
，
Figure 798336DEST_PATH_IMAGE031
和
Figure 261941DEST_PATH_IMAGE032
也转化为相应的离散形式，从而模型
Figure 890368DEST_PATH_IMAGE037
的离散形式为：
Figure 988774DEST_PATH_IMAGE049
相应的鞍点问题为：
Figure 942824DEST_PATH_IMAGE051
其中
Figure 616426DEST_PATH_IMAGE052
是对偶变量，
Figure 48545DEST_PATH_IMAGE053
是
Figure 267036DEST_PATH_IMAGE054
范数，
Figure 126408DEST_PATH_IMAGE055
为指示函数。对鞍点问题
Figure 299026DEST_PATH_IMAGE056
利用原始对偶算法进行求解，得到重建后的动态MR图像。详细的算法流程见具体实施方式。
有益效果：本发明提出了一种全新的动态MR图像重建模型并建立了有效的重建方法，与传统的方法相比，可以对动态MR图像中多方向的纹理特征进行精确地刻画和表示，从而提高动态MR图像重建的精度。
附图说明
图1为本发明的动态MR图像重建方法的整体流程图。
图2为本发明采用的采样方式示例；
其中，左图：伪径向采样；右图：Cartesian采样。
图3为本发明在模拟动态图像上的数值重建结果；
其中，(c)=(d)+(e)，(e)=(f)+(g)+(h)+(i)；(a) 原图像；(b) 补零重建结果；(c)本发明重建结果；(d) 低秩部分；(e) 稀疏部分；(f) 0度纹理；(g) 45度纹理；(h) 90度纹理；(i) 135度纹理。
具体实施方式
下面结合本发明具体实施步骤的附图，对本发明的目的、技术方案和优点进行详细的描述。
本发明提出了一种全新的动态MR重建模型并建立了有效的求解算法。具体而言，基于压缩感知理论和图像分解思想，将动态MR图像分解为背景部分和前景部分的叠加，并用不同的正则项进行约束。利用多重卷积下确界振荡广义全变分约束前景部分，保证前景部分的稀疏性并刻画前景部分中多方向的纹理特征；利用核范数约束背景部分，保证背景部分的低秩性，最终达到精确重建动态MR图像的目的。本发明的整体流程图如图1所示，具体包括以下步骤：
（a）选取动态MR重建的下采样算子
Figure 534835DEST_PATH_IMAGE005
并采集K空间数据
Figure 811095DEST_PATH_IMAGE008
，其中
Figure 841368DEST_PATH_IMAGE006
的选取可以利用现有的采样方式，如Cartesian采样、伪径向采样等，如图2所示。具体而言，对每一帧图像，在K空间的低频区域（即中心区域）进行全采样，在高频区域（即外围区域）随机选择相位编码线，以增加采样的非相干性，由此获得K空间数据
Figure 501282DEST_PATH_IMAGE008
。
（b）给出多重卷积下确界振荡广义全变分的公式。基于振荡广义全变分公式
Figure 9624DEST_PATH_IMAGE058
得到多重卷积下确界振荡广义全变分的公式
Figure 468287DEST_PATH_IMAGE060
（c）给出核范数的公式。对于秩为
Figure 669461DEST_PATH_IMAGE061
的矩阵
Figure 816671DEST_PATH_IMAGE062
，若其奇异值分解为
Figure 128704DEST_PATH_IMAGE063
，且
Figure 176294DEST_PATH_IMAGE064
，
Figure 548370DEST_PATH_IMAGE065
为奇异值，则其核范数为：
Figure 884673DEST_PATH_IMAGE066
（d）根据步骤（a）—（c），对前景部分
Figure 501861DEST_PATH_IMAGE010
包含
Figure 403958DEST_PATH_IMAGE016
个方向纹理图像
Figure 946935DEST_PATH_IMAGE034
的待重建图像，基于核范数和多重卷积下确界振荡广义全变分分解的动态MR图像重建模型为：
Figure 301693DEST_PATH_IMAGE068
模型中的参数，如权重参数
Figure 722572DEST_PATH_IMAGE069
、方向个数
Figure 479176DEST_PATH_IMAGE016
和方向向量
Figure 458633DEST_PATH_IMAGE026
等可以根据感兴趣的纹理方向和重建效果进行动态调整。
（e）将模型进行离散化并转化为相应的鞍点问题。首先将区域
Figure 566266DEST_PATH_IMAGE015
离散成标准网格：
Figure 525257DEST_PATH_IMAGE071
其中
Figure 136367DEST_PATH_IMAGE041
，
Figure 286726DEST_PATH_IMAGE042
和
Figure 616076DEST_PATH_IMAGE043
分别为空间（x和y）和时间（t）方向上网格点的个数。令
Figure 113179DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 844374DEST_PATH_IMAGE045
，
Figure 368897DEST_PATH_IMAGE046
为三个有限维空间。空间
Figure 919964DEST_PATH_IMAGE072
中标量内积的计算公式为
Figure 498055DEST_PATH_IMAGE073
范数
Figure 349337DEST_PATH_IMAGE074
。同样，空间
Figure 575919DEST_PATH_IMAGE075
和
Figure 879861DEST_PATH_IMAGE076
中的标量内积计算公式为
Figure 984345DEST_PATH_IMAGE077
和
Figure 627816DEST_PATH_IMAGE078
。
对
Figure 290879DEST_PATH_IMAGE079
，用步长为1的有限差分进行离散。前向差分算子和后向差分算子分别为：
Figure 816538DEST_PATH_IMAGE081
Figure 223249DEST_PATH_IMAGE083
Figure 285008DEST_PATH_IMAGE085
此时梯度算子
Figure 118972DEST_PATH_IMAGE031
、二阶对称弱导数算子
Figure 397506DEST_PATH_IMAGE032
的离散表示为：
Figure 342329DEST_PATH_IMAGE087
定义偏微分算子的差分格式为：
Figure 258594DEST_PATH_IMAGE089
Figure 997880DEST_PATH_IMAGE091
Figure 498132DEST_PATH_IMAGE093
从而散度算子的计算公式为：
Figure 449907DEST_PATH_IMAGE095
Figure 17417DEST_PATH_IMAGE097
并且
Figure 396446DEST_PATH_IMAGE098
。1-范数和
Figure 383993DEST_PATH_IMAGE099
范数的计算公式分别为：
Figure 936197DEST_PATH_IMAGE100
Figure 827055DEST_PATH_IMAGE101
Figure 173723DEST_PATH_IMAGE102
Figure 382987DEST_PATH_IMAGE103
假设采样矩阵
Figure 473303DEST_PATH_IMAGE104
，
Figure 218667DEST_PATH_IMAGE105
为有限维的Hilbert空间，并且为离散形式，则模型
Figure 736236DEST_PATH_IMAGE037
的离散形式为：
Figure 698376DEST_PATH_IMAGE106
相应的鞍点问题为：
Figure 326804DEST_PATH_IMAGE107
其中
Figure 628472DEST_PATH_IMAGE052
为对偶变量，
Figure 818407DEST_PATH_IMAGE108
为指示函数，
Figure DEST_PATH_IMAGE109
。
（e）利用原始对偶算法求解鞍点问题。首先给出投影算子
Figure 64581DEST_PATH_IMAGE110
、软阈值收缩算子
Figure 496699DEST_PATH_IMAGE111
和奇异值收缩算子
Figure 204937DEST_PATH_IMAGE112
的计算公式。其中投影算子的计算公式为：
Figure 64309DEST_PATH_IMAGE113
软阈值收缩算子的计算公式为：
Figure 1041DEST_PATH_IMAGE114
奇异值收缩算子的计算公式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE115
这里
Figure 535052DEST_PATH_IMAGE116
并且
Figure 811313DEST_PATH_IMAGE117
是秩为
Figure 638323DEST_PATH_IMAGE061
的矩阵
Figure 35DEST_PATH_IMAGE118
的奇异值分解。基于上述显式表达式，求解鞍点问题的原始对偶算法的详细步骤如下：
Figure 275420DEST_PATH_IMAGE119
对如上所述的本发明的详细实施步骤，为了更清楚地说明算法的可行性和优越性，下面针对模拟动态图像进行数值试验，给出具体的算法结果。模拟动态图像大小为128x128x64，其中包含64帧图像，每帧图像的大小为128x128。每帧图像中均包含4个方向的纹理信息，分别为0度、45度、90度和135度，并且纹理部分的灰度值随着时间而逐渐减小。利用本发明的算法对此模拟动态图像的重建结果的第20帧如图3所示。可以看出，算法成功地将动态图像分解成了低秩部分和稀疏部分，并且稀疏部分中所包含的4个方向的纹理也被成功地捕捉到，体现了本发明方法的可行性和优越性。

Claims (3)

1.基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法，其特征在于，包括如下步骤：
（a）采集数据：利用现有动态MR图像的采样方式采集K空间数据；
（b）建立模型：基于压缩感知理论和图像分解，将动态MR图像分解为背景部分和前景部分的叠加，利用多重卷积下确界振荡广义全变分刻画前景部分的稀疏性和多方向的纹理特征，利用核范数刻画背景部分的低秩性，得到动态MR图像重建的高阶变分模型；
（c）求解模型：先对模型进行离散，投影到有限维空间，进而将离散后的高阶变分模型转化为等价的鞍点问题，利用原始对偶算法进行求解，得到重建的动态MR图像；
所述步骤（b）中的动态MR图像重建的高阶变分模型为：
Figure DEST_PATH_IMAGE002
高阶变分模型（1）中的第一项是K空间数据保真项，
Figure DEST_PATH_IMAGE003
为Frobenius范数，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE004
为下采样算子，由采样方式
Figure DEST_PATH_IMAGE005
和Fourier算子
Figure DEST_PATH_IMAGE006
复合得到，
Figure DEST_PATH_IMAGE007
是K空间的采集数据，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
为低秩项，代表动态MR图像的背景，
Figure DEST_PATH_IMAGE009
为稀疏项，代表动态MR图像的前景；第二项是利用核范数
Figure DEST_PATH_IMAGE010
对背景进行低秩约束，核范数的定义是矩阵奇异值的和；第三项表示多重卷积下确界振荡广义全变分，是对稀疏项
Figure 817120DEST_PATH_IMAGE009
的约束，表示式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE012
它是
Figure DEST_PATH_IMAGE013
上的可积泛函，
Figure DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure DEST_PATH_IMAGE015
是卷积的重数，表示将一副图像
Figure DEST_PATH_IMAGE016
分解为
Figure 82115DEST_PATH_IMAGE015
层不同方向的纹理图像
Figure DEST_PATH_IMAGE017
；其中
Figure DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
,
Figure DEST_PATH_IMAGE023
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE024
的不同分量表示不同纹理的权重，
Figure DEST_PATH_IMAGE025
的每个矩阵分量表示纹理方向矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE026
，inf表示下确界，
Figure DEST_PATH_IMAGE027
表示1-范数，振荡广义全变分
Figure DEST_PATH_IMAGE028
中的
Figure DEST_PATH_IMAGE029
表示向量场的有界形变空间，
Figure DEST_PATH_IMAGE030
为一阶梯度算子，
Figure DEST_PATH_IMAGE031
为二阶对称弱导数算子，定义为
Figure DEST_PATH_IMAGE032
；
由于前景
Figure 691213DEST_PATH_IMAGE009
包含了多个方向纹理图像
Figure DEST_PATH_IMAGE033
的叠加，因此动态MR图像重建的高阶变分模型
Figure DEST_PATH_IMAGE034
的具体表达式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE036
高阶变分模型（2）中参数的选择策略是根据感兴趣的纹理方向和重建效果进行动态调整，最终的重建图像为泛函（2）极小元向量
Figure DEST_PATH_IMAGE037
各分量的和。
2.根据权利要求1所述的基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法，其特征在于：将所述步骤（a）得到的采样数据用所述步骤（b）中的模型和所述步骤（c）中的算法进行动态磁共振重建，所述步骤（a）中的采样方式包含但不限于Cartesian采样方式或伪径向采样方式。
3.根据权利要求1所述的基于背景低秩和多方向纹理稀疏的动态磁共振图像重建方法，其特征在于：步骤（c）将高阶变分模型（2）离散化后转化为等价的鞍点问题，将区域
Figure 679898DEST_PATH_IMAGE014
离散成标准网格：
Figure DEST_PATH_IMAGE039
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE040
，
Figure DEST_PATH_IMAGE041
和
Figure DEST_PATH_IMAGE042
分别为空间x和y，和时间t方向上网格点的个数；
令
Figure DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure DEST_PATH_IMAGE045
为三个有限维空间，且算子
Figure DEST_PATH_IMAGE046
，
Figure 802925DEST_PATH_IMAGE030
和
Figure 218862DEST_PATH_IMAGE031
也转化为相应的离散形式，从而高阶变分模型（2）的离散形式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE048
相应的鞍点问题为：
Figure DEST_PATH_IMAGE050
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE051
是对偶变量，
Figure DEST_PATH_IMAGE052
是
Figure DEST_PATH_IMAGE053
范数，
Figure DEST_PATH_IMAGE054
为指示函数，对鞍点问题（3）利用原始对偶算法进行求解，得到重建后的动态MR图像。
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