CN114083534B - 基于自适应梯度下降的机械臂运动学mdh参数标定方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法。利用MDH参数建立机械臂的运动学参数模型，并得到机械臂末端坐标系与基础坐标系间的参考坐标变换矩阵；控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制设定的各个关节转角，利用激光跟踪仪测量得到机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标，计算机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵；构建以MDH参数为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数；以理想MDH参数为初始值，利用自适应梯度下降法优化获得使目标函数取最小值的MDH参数，即为实际MDH参数。本发明对机械臂运动学MDH参数进行标定，避免了传统方法对传感器测量误差敏感的缺点，更加稳定可靠。

Description

基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法
技术领域
本发明属于机械臂运动学误差辨识领域，具体涉及到一种基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法。
背景技术
基于MDH(Modified Denavit-Hartenberg)参数定义可以得到的机械臂运动学模型，其描述了机械臂关节MDH参数与末端坐标系在基础坐标系中的位姿之间的对应关系。随着智能制造在世界范围内的快速发展，机械臂的需求量越来越高，对机械臂定位精度的要求也越来越高，其中机械臂运动学参数的准确性是影响机械臂准确定位控制的一个重要因素。
在机械臂生产制造、装配、使用过程中，由于制造误差、装配误差、老化磨损等原因，极易出现机械臂运动学模型的设定参数与机械臂实际物理参数不匹配的情况，从而影响机械臂的绝对定位精度。为了解决这一问题，需要根据机械臂的实际物理参数，对机械臂的运动学模型参数进行标定，从而使机械臂的绝对定位精度满足实际需求。
基于MDH参数的机械臂运动学模型在机械臂运动学参数实际标定中应用十分广泛。温秀兰等(基于改进粒子群算法的机器人几何参数标定研究[J].南京信息工程大学学报(自然科学版),2019,11(02):144–150.)提出基于粒子群算法的机械臂运动学MDH参数标定方法；徐昌军(基于MDH模型的工业机器人运动学标定技术的研究[D].哈尔滨工业大学,2017)提出基于最小二乘法求误差线性方程组伪逆的机械臂MDH参数标定方法；陆艺等(基于标准球距离约束的工业机器人参数标定[J].计量学报,2020,41(09):1048–1054.)提出基于LM方法的机械臂MDH参数标定方法；白云飞(基于6参数模型的6R串联机器人运动学参数辨识[J].机器人,2015,37(04):486–492)提出基于置信域方法优化的机械臂MDH参数标定方法。
常用的MDH参数标定技术通常需要对运动学模型基于泰勒展开式进行微分线性化，得到末端坐标系在基础坐标系中的坐标误差与机械臂MDH参数误差之间的映射关系ep＝JΔq，其中ep代表末端坐标系在基础坐标系中的坐标误差，Δq代表机械臂MDH参数误差，然后根据最小二乘法求线性方程组伪逆构建Δq＝J+ep或者采用LM方法直接求解线性方程组，从而求解出机械臂MDH参数误差，也可以采用遗传算法或者粒子群算法等优化算法，直接对线性化之前的非线性方程组进行优化，求解出机械臂MDH参数误差。
在上述的MDH参数标定技术中，映射关系矩阵J通常是奇异矩阵，因此J的条件数很大，测量误差扰动δep的微小改变就会使MDH参数产生较大的误差值δq，使参数辨识过程对外部干扰信号变得敏感，影响标定结果的准确性。针对这一问题，提出一种对测量误差不敏感的更加稳健的MDH参数标定方法具有重要的实用价值。
发明内容
本发明根据优化原理，提出一种基于自适应梯度下降的对机械臂运动学MDH参数进行标定的方法。该方法基于理论建模得到的机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵(矩阵各元素是以MDH参数为自变量的函数表达式)，和实际测量得到的机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际坐标变换矩阵，构建以机械臂运动学模型的MDH参数为自变量的目标函数；然后采用梯度下降法迭代修正MDH参数，对目标函数取值进行优化；最后获得机械臂运动学MDH参数的实际值。
本发明的技术方案为：
步骤一、利用机械臂待标定的MDH参数xMDH建立机械臂的运动学参数模型，并得到机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure BDA0003349942140000021
其中/>
Figure BDA0003349942140000022
的各个元素是以xMDH为自变量的函数；
基础坐标系是以机械臂中最靠近根部的第一个关节的中心为原点建立的三维坐标系ObaseXbaseYbaseZbase，其Z轴Zbase的方向竖直向上，竖直向上是指沿重力方向竖直向上，X轴Xbase的方向为Zbase轴与机械臂第一个关节轴线之间的公垂线方向(如存在无数个公垂线方向时，取其中指向机械臂前方的公垂线方向为X轴)，Y轴Ybase方向基于右手系规则确定；末端坐标系是以机械臂末端中心为原点建立的三维坐标系OendXendYendZend，其X轴Xend、Y轴Yend、Z轴Zend的方向分别与机械臂末端前一个关节坐标系的X轴、Y轴、Z轴相同。
对于具有N个运动关节的机械臂，其每一个关节上的关节坐标系OiXiYiZi(i＝1,…,N)是指以关节i的轴线方向为Z轴、以关节i与关节i+1两轴线的公垂线为X轴、以上述公垂线与关节i的Z轴交点为原点的右手坐标系；机械臂的基础坐标系和末端坐标系也可分别看作是第0个关节坐标系和第N+1个关节坐标系，只不过其对应的虚拟关节(根部关节和末端关节)都是不存在相对运动的。
步骤二、控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制设定的各个关节转角，利用激光跟踪仪测量得到机械臂末端坐标系的原点、X轴上一点、Y轴上一点相对于基础坐标系的实际坐标，基于前述测量得到的数据计算得到机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵
Figure BDA0003349942140000034
其中/>
Figure BDA0003349942140000035
的各个元素是常数值；
激光跟踪仪可布置在机械臂所在空间附近便于测量的任意位置，测量机械臂末端坐标系的原点、X轴上一点、Y轴上一点相对于基础坐标系的空间坐标，测点位置以装在机械臂根部关节和末端关节处的辅助定位装置为准。
步骤三、构建以MDH参数为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数F(xMDH)；
步骤四、给定MDH参数xMDH的初始值，针对目标函数最小化利用自适应梯度下降法优化获得使目标函数取最小值的xMDH，即为实际的MDH参数取值。
在步骤一中，建立机械臂运动学模型，得到机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵(以六关节机械臂为例)：
Figure BDA0003349942140000031
/>
其中：nx、ny、nz分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ox、oy、oz分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ax、ay、az分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，
Figure BDA0003349942140000032
代表机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考旋转变换矩阵，/>
Figure BDA0003349942140000033
代表机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的参考三维坐标向量的简记，i-1 iT代表机械臂各个相邻关节间第i个关节坐标系与第i-1个关节坐标系的参考坐标变换矩阵，i＝0时即为基础坐标系ObaseXbaseYbaseZbase，i为E时表示末端坐标系OendXendYendZend；i-1 iT具体表示为：
Figure BDA0003349942140000041
其中，c是cos的简记，s是sin的简记；Rot代表旋转变换运算符，Trans代表平移变换运算符，Xi-1代表第i-1个关节坐标系的X轴，Yi-1代表第i-1个关节坐标系的Y轴，Zi代表第i个关节坐标系的Z轴；αi-1、ai-1、βi-1、θi、di是MDH参数，分别代表第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴在绕Xi-1轴旋转方向形成的夹角(记为连杆扭角)、第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴之间公垂线的长度(记为连杆长度)、第i-1个关节坐标系绕Xi-1轴旋转αi-1后，第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴在绕第i-1个关节坐标系的Y轴旋转方向形成的夹角(记为连杆偏角)、第i-1个关节坐标系在先后绕其X轴旋转αi-1和绕其Y轴旋转βi-1后，第i-1个关节坐标系的X轴与第i个关节坐标系的X轴在绕Zi轴旋转方向形成的夹角(记为关节转角)、第i-1个关节坐标系在先后绕其X轴旋转αi-1和绕其Y轴旋转βi-1后，第i-1个关节坐标系的X轴与第i个关节坐标系的X轴在沿Zi轴平移方向形成的距离(记为连杆偏距)；Rot(Xi-1,αi-1)代表绕Xi-1轴旋转角度αi-1的变换矩阵，Trans(Xi-1,ai-1)代表沿Xi-1轴平移位移ai-1的变换矩阵，Rot(Yi-1,βi-1)、Rot(Zi,θi)、Trans(Zi,di)的含义类似。
机械臂是由多个关节串接构成，相邻关节之间通过连杆连接，也形成连杆间通过关节铰接的结构，两端的连杆也通过关节连接到末端和根部。
在步骤二中，通过控制器控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制设定的各个关节转角，并使用激光跟踪仪测量机械臂末端坐标系原点、Xend轴上一点、Yend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标
Figure BDA0003349942140000042
x、y、z分别表示机械臂末端坐标系原点相对于基础坐标系的实际位置坐标在Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的取值，/>
Figure BDA0003349942140000043
分别表示机械臂末端坐标系Xend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标在Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的取值，/>
Figure BDA0003349942140000044
Figure BDA0003349942140000051
分别表示机械臂末端坐标系Yend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标在Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的取值计算出机械臂末端坐标系Xend轴、Yend轴、Zend轴在基础坐标系中的实际空间向量/>
Figure BDA0003349942140000052
Figure BDA0003349942140000053
x1、y1、z1分别表示机械臂末端坐标系Xend轴在基础坐标系中的实际空间向量在Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的取值，x2、y2、z2和x3、y3、z3的含义类似，分别对应于Yend轴和Zend轴在基础坐标系中的实际空间向量在Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的取值进而计算基础坐标系到末端坐标系之间的实际坐标变换矩阵/>
Figure BDA0003349942140000054
如下所示：
Figure BDA0003349942140000055
Figure BDA0003349942140000056
Figure BDA0003349942140000057
其中，nxreal、nyreal、nzreal分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，oxreal、oyreal、ozreal分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，axreal、ayreal、azreal分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，
Figure BDA0003349942140000061
表示机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际旋转变换矩阵的简记，/>
Figure BDA0003349942140000062
是机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的实际三维坐标向量的简记。
由于存在测量误差，为了使标定结果尽可能地准确，需要采集不同姿态下的机械臂末端坐标系的实际位置坐标，计算得到尽量多姿态下的机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵，同时记录不同姿态下的机械臂各个关节转角。机械臂的姿态数量记为n。
在步骤三中，将机械臂的末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure BDA0003349942140000063
和实际坐标变换矩阵/>
Figure BDA0003349942140000064
分别展开为向量形式的：
f(xMDH)＝[px py pz nx ox ax ny oy ay nz oz az]T
C＝[pxreal pyreal pzreal nxreal oxreal axreal nyreal oyreal ayreal nzreal ozreal azreal]T，
其中，C表示实际坐标变换向量，f(xMDH)表示参考坐标变换向量，T表示矩阵转置；
构建以xMDH为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数：
Figure BDA0003349942140000065
其中，n代表测量的机械臂姿态的总个数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，T表示矩阵转置。
目标函数能够使F(xMDH)最小化的xMDH的取值，即为机械臂实际的运动学MDH参数，从而将MDH参数标定问题转换为使目标函数F(xMDH)最小化的数值优化问题。
在步骤四中，
4.1)设定xMDH的初值
Figure BDA0003349942140000066
为理想MDH参数的取值，对应于不同的机械臂姿态，其中关节转角参数的理想取值为步骤二中记录的相应姿态下控制器控制的各个关节转角值；
4.2)计算目标函数在xMDH上的梯度
Figure BDA0003349942140000071
Figure BDA0003349942140000072
其中，fi′(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量对xMDH的一阶导数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，i表示机械臂姿态的序数，n表示机械臂姿态的总个数；
4.3)基于Adadelta方法自适应计算梯度下降的步长取值：
4.3.1)当迭代次数t＝0时，直接给定步长取值
Figure BDA0003349942140000073
Figure BDA0003349942140000074
表示第t次迭代中机械臂MDH参数的变化量，αadadelta表示梯度下降的速度，当t＝0时，αadadelta是一个给定的常数值，具体取值根据实际情况进行调整；
4.3.2)当迭代次数t≥1时，根据历史梯度信息计算梯度下降的速度αadadelta：
Figure BDA0003349942140000075
Figure BDA0003349942140000076
Figure BDA0003349942140000077
其中，V[ΔxMDH 2]t-2表示第t-1次迭代之前的w个ΔxMDH的平方算数均值(当t＝1时，
Figure BDA0003349942140000078
），使得E[ΔxMDH 2]t-1是基于第t-1次迭代之前w个MDH参数变化量的平方算数均值和第t-1次迭代时的MDH参数变化量平方的加权平均；/>
Figure BDA0003349942140000079
表示第t次迭代之前的w个梯度的平方算数均值，使得/>
Figure BDA00033499421400000710
是基于第t次迭代之前w个梯度的平方算数均值和第t次迭代时的梯度值平方的加权平均；w为选取的历史数据的个数，取值一般为30，历史数据不足30个时按实际个数全部选取；γ是加权平均的权值，取值范围0-1；ε是避免分母为0的平滑项，取值一般为10-10；
基于梯度下降的速度αadadelta的取值按照以下公式自适应调整
Figure BDA00033499421400000711
的取值：
Figure BDA00033499421400000712
4.4)根据公式
Figure BDA00033499421400000713
对xMDH进行迭代更新；
4.5)重复执行步骤4.2)到4.4)，当相邻两次迭代所得的xMDH满足
Figure BDA0003349942140000081
或达到最大迭代次数时，则xMDH停止迭代更新，将此时得到的xMDH作为标定得到的实际MDH参数取值，此时/>
Figure BDA0003349942140000082
的值即为标定得到的MDH参数误差。
本发明的有益效果是：
相比于传统的基于伪逆的机械臂运动学MDH参数标定，本发明采用的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法不需要求雅可比矩阵的伪逆，有效避免了雅可比矩阵奇异性引起的标定所得MDH参数对测量误差的敏感性问题，增强了标定方法的稳定性。
相比于基于遗传算法或者粒子群算法的机械臂运动学MDH参数标定，本发明方法不需要存储大量的粒子信息，所消耗的计算机内存更小。
相比于基于遗传算法或者粒子群算法的机械臂运动学MDH参数标定，本发明方法避免了遗传算法或者粒子群算法迭代更新的随机性，迭代优化过程确定化，标定所得结果可重复。
附图说明
图1为机械臂关节坐标系的定义方式和MDH参数定义方式示意图；
图2为本发明的基于自适应梯度下降法对机械臂运动学MDH参数进行标定的流程图；
图3为标定前在理想MDH参数下，计算所得机械臂末端位置与实际位置之间的偏差示意图；
图4为标定后在标定所得MDH参数下，计算所得机械臂末端位置与实际位置之间的偏差示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。
本发明对机械臂运动学MDH参数进行标定的方法包括：构建机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵(以MDH参数为自变量的函数表达式)、实际测量得到机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际坐标变换矩阵、构建目标函数、优化目标函数得到实际的机械臂MDH参数。
在机械臂运动学模型建立过程中采用的MDH规则，对每个连杆所连接的两个关节坐标系之间进行坐标变换时最多均涉及5个MDH参数，分别是连杆扭角、连杆长度、连杆偏角、关节转角、连杆偏距。图1中的αi-1、ai-1、βi-1、θi、di即为求解第i个关节坐标系OiXiYiZi与第i-1个关节坐标系Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1之间的参考坐标变换矩阵时所对应的MDH参数。图1中的Xi-1、Yi-1、Zi-1分别代表第i-1个关节坐标系的X轴、Y轴、Z轴；Xi、Yi、Zi分别代表第i个关节坐标系的X轴、Y轴、Z轴；X′i-1、Y′i-1、Z′i-1分别代表第i-1个关节坐标系在绕Xi-1轴旋转αi-1和沿Xi-1轴平移ai-1后得到的过渡状态坐标系O′i-1X′i-1Y′i-1Z′i-1的X轴、Y轴、Z轴；X″i-1、Y″i-1、Z″i-1分别代表坐标系O′i-1X′i-1Y′i-1Z′i-1绕Y′i-1轴旋转βi-1后的X轴、Y轴、Z轴；连杆扭角αi-1即为Zi-1轴与Zi轴在绕Xi-1轴旋转方向形成的夹角；连杆长度ai-1即为Zi-1轴与Zi轴之间公垂线的长度；连杆偏角βi-1即为Z′i-1轴与Zi轴之间在绕Y′i-1轴旋转方向形成的夹角；关节转角θi即为X″i-1轴与Xi轴在绕Zi轴旋转方向形成的夹角；连杆偏距di即为X″i-1轴与Xi轴在沿Zi轴平移方向形成的距离。
根据机械臂的自由度不同，MDH参数数量也不相同，其中连杆偏角的数量与相邻关节相互平行的数量有关。常见的六自由度机械臂，如果6个相邻关节均相互平行，则需要标定的MDH参数共计有34个参数，记为向量xMDH。一般选择机械臂中最靠近根部的第一个关节的中心为坐标原点、以竖直向上方向为Z轴、以上述Z轴与第一个关节轴线之间的公垂线方向为X轴(如存在无数个公垂线方向时，取其中指向机械臂前方的公垂线方向为X轴)，建立右手系直角基础坐标系。然后根据机械臂正向运动学建模方法利用MDH参数对机械臂进行建模，从而获得机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure BDA0003349942140000091
矩阵各元素是以MDH参数为自变量的函数表达式。
建立机械臂的运动学模型之后，通过控制器控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制的各个关节转角，使用激光跟踪仪测量机械臂末端坐标系原点、Xend轴上一点、Yend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标[x y z]T、
Figure BDA0003349942140000092
计算出机械臂末端坐标系Xend轴、Yend轴、Zend轴在基础坐标系中的实际空间向量
Figure BDA0003349942140000093
[x2 y2 z2]T＝[y3z1-y1z3 x1z3-x3z1 x3y1-x1y3]T、
Figure BDA0003349942140000094
进而计算得到机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵/>
Figure BDA0003349942140000095
以MDH参数xMDH为自变量，构建反映机械臂末端坐标系在基础坐标系中的实际位姿与理论位姿之间偏差的表达式F(xMDH)，以使F(xMDH)最小化为优化目标对MDH参数xMDH进行求解，从而完成参数标定。
图2为本发明的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法的流程图，整体操作流程分述如下：
1)根据机械臂的物理结构，按照机械臂的MDH建模原理，建立机械臂运动学模型，得到机械臂末端坐标系相对于基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵。具体地，以某平面六连杆机械臂为例(该机械臂运动关节均相互平行)，利用机械臂的理论MDH参数(如表1所示)建立机械臂的运动学模型。
机械臂各个相邻关节间第i个关节坐标系与第i-1个关节坐标系的参考坐标变换矩阵表达式i-1 iT如下(i＝0时即为基础坐标系ObaseXbaseYbaseZbase，i为E时表示末端坐标系OendXendYendZend)：
Figure BDA0003349942140000101
其中，c是cos的简记，s是sin的简记；Rot代表旋转变换运算符，Trans代表平移变换运算符，Xi-1代表第i-1个关节坐标系的X轴，Yi-1代表第i-1个关节坐标系的Y轴，Zi代表第i个关节坐标系的Z轴；αi-1、ai-1、βi-1、θi、di是MDH参数；Rot(Xi-1,αi-1)代表绕Xi-1轴旋转角度αi-1的变换矩阵，Trans(Xi-1,ai-1)代表沿Xi-1轴平移位移ai-1的变换矩阵，Rot(Yi-1,βi-1)、Rot(Zi,θi)、Trans(Zi,di)的含义类似。
基于相邻关节之间的坐标变换矩阵，可以递推推导出机械臂基础坐标系到末端坐标系之间的参考坐标变换矩阵表达式
Figure BDA0003349942140000102
如下所示：
Figure BDA0003349942140000103
其中，nx、ny、nz分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ox、oy、oz分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ax、ay、az分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，
Figure BDA0003349942140000104
代表机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考旋转变换矩阵的简记，/>
Figure BDA0003349942140000111
代表机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的参考三维坐标向量的简记。
综上，所建立的机械臂运动学模型可以根据机械臂不同的关节转角计算出不同姿态下，机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵。
表1某平面六连杆机械臂运动学模型的理想MDH参数取值
Figure BDA0003349942140000112
2)通过控制器控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制的各个关节转角，并使用激光跟踪仪测量机械臂末端坐标系原点、Xend轴上一点、Yend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标
Figure BDA0003349942140000113
计算出机械臂末端坐标系Xend轴、Yend轴、Zend轴在基础坐标系中的实际空间向量/>
Figure BDA0003349942140000114
Figure BDA0003349942140000115
进而计算基础坐标系到末端坐标系之间的实际坐标变换矩阵/>
Figure BDA0003349942140000116
如下所示：
Figure BDA0003349942140000121
其中，
Figure BDA0003349942140000122
Figure BDA0003349942140000123
/>
其中，nxreal、nyreal、nzreal分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，oxreal、oyreal、ozreal分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，axreal、ayreal、azreal分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，
Figure BDA0003349942140000124
表示机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际旋转变换矩阵的简记，/>
Figure BDA0003349942140000125
是机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的实际三维坐标向量的简记。
由于存在测量误差，为了使标定结果尽可能地准确，需要采集不同姿态下的机械臂末端坐标系的实际位置坐标，计算得到尽量多姿态下的机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵，同时记录不同姿态下的机械臂各个关节转角。机械臂的姿态数量记为n。在实际标定中，通常n＝30。
3)构建目标函数。根据机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure BDA0003349942140000126
和机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际坐标变换矩阵/>
Figure BDA0003349942140000127
分别提取/>
Figure BDA0003349942140000128
和/>
Figure BDA0003349942140000129
两个矩阵中的前三行元素展开为向量形式，如下所示：
C＝[pxreal pyreal pzreal nxreal oxreal axreal nyreal oyreal ayreal nzreal ozreal azreal]T
f(xMDH)＝[px py pz nx ox ax ny oy ay nz oz az]T
其中，C表示实际坐标变换向量，f(xMDH)表示参考坐标变换向量，T表示矩阵转置；
构建以xMDH为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数：
Figure BDA0003349942140000131
其中，n代表测量的机械臂姿态的总个数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，T表示矩阵转置。
目标函数能够使F(xMDH)最小化的xMDH的取值，即为机械臂实际的运动学MDH参数，从而将MDH参数标定问题转换为使目标函数F(xMDH)最小化的数值优化问题。
4)利用梯度下降法对目标函数进行参数的优化求解。
a)设定xMDH的初值
Figure BDA0003349942140000132
为理想MDH参数的取值，对应于不同的机械臂姿态，其中关节转角参数的理想取值为步骤2)中记录的相应姿态下控制器控制的各个关节转角值；
b)计算目标函数在xMDH上的梯度：
Figure BDA0003349942140000133
其中，fi′(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量对xMDH的一阶导数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，i表示机械臂姿态的序数，n表示机械臂姿态的总个数；
c)基于Adadelta方法自适应计算梯度下降的步长的取值：
i)当迭代次数t＝0时，直接给定步长取值
Figure BDA0003349942140000134
Figure BDA0003349942140000135
表示第t次迭代中机械臂MDH参数的变化量，αadadelta表示梯度下降的速度，当t＝0时αadadelta是一个给定的常数值，具体取值根据实际情况进行调整；
ii)当迭代次数t≥1时，梯度下降的速度αadadelta根据历史梯度信息计算：
Figure BDA0003349942140000141
Figure BDA0003349942140000142
以上公式中，V[ΔxMDH 2]t-2表示第t-1次迭代之前的w个ΔxMDH的平方算数均值(当t＝1时，
Figure BDA0003349942140000143
)，使得E[ΔxMDH 2]t-1是基于第t-1次迭代之前w个MDH参数变化量的平方算数均值和第t-1次迭代时的MDH参数变化量平方的加权平均；
Figure BDA0003349942140000144
表示第t次迭代之前的w个梯度的平方算数均值，使得/>
Figure BDA0003349942140000145
是基于第t次迭代之前w个梯度的平方算数均值和第t次迭代时的梯度值平方的加权平均；w为选取的历史数据的个数，取值一般为30，历史数据不足30个时按实际个数全部选取；γ是加权平均的权值，取值范围0-1；ε是避免分母为0的平滑项，取值一般为10-10；
基于梯度下降的速度αadadelta的取值按照以下公式自适应调整
Figure BDA0003349942140000146
的取值：
Figure BDA0003349942140000147
d)根据公式
Figure BDA0003349942140000148
对xMDH进行迭代更新；
e)重复执行步骤0到0，当相邻两次迭代所得的xMDH满足
Figure BDA0003349942140000149
或达到最大迭代次数时，xMDH停止迭代更新并将此时的xMDH作为标定得到的实际MDH参数取值，此时/>
Figure BDA00033499421400001410
的值即为标定得到的MDH参数误差。
根据理想MDH参数和标定所得MDH参数，基于蒙特卡洛方法分别获得机械臂运动学模型在相应MDH参数下所得末端坐标系相对于基础坐标系的位置与实际位置之间的偏差分布图，测试结果如图3、图4所示。
观察图3、图4可知，在理想MDH参数下，机械臂运动学模型所得末端坐标系相对于基础坐标系的位置与实际位置之间的偏差较大，最大约80.93mm，不满足实际使用需求；使用本发明的MDH参数标定方法，可以准确有效地获得机械臂的实际MDH参数，明显降低机械臂运动学模型所得末端坐标系相对于基础坐标系的位置与实际位置之间的偏差，最大偏差约0.29mm。
由此通过上述实施可见本发明可以对机械臂运动学MDH参数进行标定，避免了传统方法对传感器测量误差敏感的缺点，标定结果更加稳定可靠。
以上实施例，仅为本发明的具体实施例，用以说明本发明的技术方案，而非对其进行限制。本发明的保护范围并不局限于此，尽管参考前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改或可轻易想到变化，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改、变化或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明实施例技术方案的精神和范围，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一、利用机械臂待标定的MDH参数xMDH建立机械臂的运动学参数模型，并得到机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure FDA0004126066230000011
其中/>
Figure FDA0004126066230000012
的各个元素是以xMDH为自变量的函数；
步骤二、控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制设定的各个关节转角，利用激光跟踪仪测量得到机械臂末端坐标系的原点、X轴上一点、Y轴上一点相对于基础坐标系的实际坐标，基于前述测量得到的数据计算得到机械臂末端坐标系相对于基础坐标系的实际坐标变换矩阵
Figure FDA0004126066230000013
其中/>
Figure FDA0004126066230000014
的各个元素是常数值；
步骤三、构建以MDH参数为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数F(xMDH)；
步骤四、给定MDH参数xMDH的初始值，针对目标函数最小化利用自适应梯度下降法优化获得使目标函数取最小值的xMDH，即为实际的MDH参数取值。
2.根据权利要求1所述的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法，其特征在于：
在步骤一中，建立机械臂运动学模型，得到机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵(以六关节机械臂为例)：
Figure FDA0004126066230000015
其中：nx、ny、nz分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ox、oy、oz分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，ax、ay、az分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的参考方向余弦，
Figure FDA0004126066230000016
代表机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的参考旋转变换矩阵，/>
Figure FDA0004126066230000021
代表机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的参考三维坐标向量的简记，i-1 iT代表机械臂各个相邻关节间第i个关节坐标系与第i-1个关节坐标系的参考坐标变换矩阵；i-1 iT具体表示为：/>
Figure FDA0004126066230000022
其中，c是cos的简记，s是sin的简记；Rot代表旋转变换运算符，Trans代表平移变换运算符，Xi-1代表第i-1个关节坐标系的X轴，Yi-1代表第i-1个关节坐标系的Y轴，Zi代表第i个关节坐标系的Z轴；αi-1、ai-1、βi-1、θi、di是MDH参数，分别代表第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴在绕Xi-1轴旋转方向形成的夹角、第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴之间公垂线的长度、第i-1个关节坐标系绕Xi-1轴旋转αi-1后，第i-1个关节坐标系的Z轴与Zi轴在绕第i-1个关节坐标系的Y轴旋转方向形成的夹角、第i-1个关节坐标系在先后绕其X轴旋转αi-1和绕其Y轴旋转βi-1后，第i-1个关节坐标系的X轴与第i个关节坐标系的X轴在绕Zi轴旋转方向形成的夹角、第i-1个关节坐标系在先后绕其X轴旋转αi-1和绕其Y轴旋转βi-1后，第i-1个关节坐标系的X轴与第i个关节坐标系的X轴在沿Zi轴平移方向形成的距离；Rot(Xi-1,αi-1)代表绕Xi-1轴旋转角度αi-1的变换矩阵，Trans(Xi-1,ai-1)代表沿Xi-1轴平移位移ai-1的变换矩阵，Rot(Yi-1,βi-1)、Rot(Zi,θi)、Trans(Zi,di)的含义类似。
3.根据权利要求2所述的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法，其特征在于：
在步骤二中，通过控制器控制机械臂运动到指定姿态，记录下控制器控制设定的各个关节转角，并使用激光跟踪仪测量机械臂末端坐标系原点、Xend轴上一点、Yend轴上一点相对于基础坐标系的实际位置坐标
Figure FDA0004126066230000023
计算出机械臂末端坐标系Xend轴、Yend轴、Zend轴在基础坐标系中的实际空间向量
Figure FDA0004126066230000031
进而计算基础坐标系到末端坐标系之间的实际坐标变换矩阵/>
Figure FDA0004126066230000032
如下所示：
Figure FDA0004126066230000033
/>
Figure FDA0004126066230000034
Figure FDA0004126066230000035
其中，nxreal、nyreal、nzreal分别代表末端坐标系的Xend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，oxreal、oyreal、ozreal分别代表末端坐标系的Yend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，axreal、ayreal、azreal分别代表末端坐标系的Zend轴在基础坐标系的Xbase轴、Ybase轴、Zbase轴上的实际方向余弦，
Figure FDA0004126066230000036
表示机械臂末端坐标系与基础坐标系之间的实际旋转变换矩阵的简记，/>
Figure FDA0004126066230000037
是机械臂末端坐标系原点在基础坐标系中的实际三维坐标向量的简记。
4.根据权利要求3所述的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法，其特征在于，
在步骤三中，将机械臂的末端坐标系与基础坐标系之间的参考坐标变换矩阵
Figure FDA0004126066230000038
和实际坐标变换矩阵/>
Figure FDA0004126066230000039
分别展开为向量形式的：
f(xMDH)＝[px py pz nx ox ax ny oy ay nz oz az]T
C＝[pxreal pyreal pzreal nxreal oxreal axreal nyreal oyreal ayreal nzreal ozreal azreal]T，
其中，C表示实际坐标变换向量，f(xMDH)表示参考坐标变换向量，T表示矩阵转置；
构建以xMDH为自变量，反映机械臂末端坐标系实际和理论位姿之间偏差的目标函数：
Figure FDA0004126066230000041
其中，n代表机械臂姿态的总个数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，T表示矩阵转置。
5.根据权利要求4所述的基于自适应梯度下降的机械臂运动学MDH参数标定方法，其特征在于：在步骤四中，
4.1)设定xMDH的初值
Figure FDA0004126066230000042
为理想MDH参数的取值，对应于不同的机械臂姿态，其中关节转角参数的理想取值为步骤二中记录的相应姿态下控制器控制的各个关节转角值；
4.2)计算目标函数在xMDH上的梯度
Figure FDA0004126066230000043
/>
Figure FDA0004126066230000044
其中，fi′(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量对xMDH的一阶导数，fi(xMDH)表示第i个机械臂姿态的参考坐标变换向量，Ci表示第i个机械臂姿态的实际坐标变换向量，i表示机械臂姿态的序数，n表示机械臂姿态的总个数；
4.3)自适应计算梯度下降的步长取值：
4.3.1)当迭代次数t＝0时，直接给定步长取值
Figure FDA0004126066230000045
Figure FDA0004126066230000046
表示第t次迭代中机械臂MDH参数的变化量，αadadelta表示梯度下降的速度，当t＝0时，αadadelta是一个给定的常数值，具体取值根据实际情况进行调整；
4.3.2)当迭代次数t≥1时，根据历史梯度信息计算梯度下降的速度αadadelta：
Figure FDA0004126066230000047
Figure FDA0004126066230000048
Figure FDA0004126066230000051
其中，V[△xMDH 2]t-2表示第t-1次迭代之前的w个△xMDH的平方算数均值(当t＝1时，
Figure FDA0004126066230000052
Figure FDA0004126066230000053
表示第t次迭代之前的w个梯度的平方算数均值，w为选取的历史数据的个数，γ是加权平均的权值，ε是避免分母为0的平滑项；
基于梯度下降的速度αadadelta的取值按照以下公式自适应调整
Figure FDA0004126066230000054
的取值：
Figure FDA0004126066230000055
4.4)根据公式
Figure FDA0004126066230000056
对xMDH进行迭代更新；
4.5)重复执行步骤4.2)到4.4)，当相邻两次迭代所得的xMDH满足
Figure FDA0004126066230000057
或达到最大迭代次数时，则xMDH停止迭代更新，将此时得到的xMDH作为标定得到的实际MDH参数取值，此时/>
Figure FDA0004126066230000058
的值即为标定得到的MDH参数误差。/>
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