CN114065316A - 一种平面内两条曲线的公切圆计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种平面内两条曲线的公切圆计算方法，包括计算曲线1上N+1个被测点；计算曲线2搜索范围内M+1个点的坐标和法向向量；曲线1上取一个被测点i；在曲线2搜索范围按顺序搜索与曲线1上被测点i相切的公切圆的切点范围[q，q+1]；判断切点范围[q，q+1]是否满足精度要求，若不满足则缩小曲线2的搜索范围，对点q与点q+1之间曲线2局部加密形成加密区域，在加密区域搜索直至切点范围[q，q+1]满足公切圆精度要求；对点q和点q+1判断确定曲线2上与曲线1上被测点i对应的切点K；计算公切圆的圆心和直径。本发明的公切圆计算方法具有算法简单、收敛速度快、对各种曲线适应性强、稳定性好的优点。
Description
技术领域
本发明涉及几何建模技术领域，具体为一种平面内两条曲线的公切圆计算方法。
背景技术
平面内两条曲线的公切圆计算是几何建模技术领域最常用到的建模基础操作需求，其中两条曲线的中弧线、封闭曲线的最大厚度等等都要用到公切圆计算，例如在飞机机翼、压气机叶型、涡轮叶型等翼型设计和反设计中需要用到公切圆计算。
目前，现有的平面内两条曲线的公切圆计算方法可以分为两种，一种是通过不断构建与其中一条曲线相切的圆使之与另一条曲线相交，然后通过迭代两个交点不断接近，当这两个交点在给定误差范围重合为一点时，便找到公切圆；另一种是通过分别构造两条曲线的偏置曲线，然后求两组偏置曲线的交点，交点便是公切圆的圆心，交点连成的线便是两条曲线公切圆圆心的连线。上述两种方法都能在一定环境下使用，但也存在几何意义不直观、需要求曲线交点、对曲线质量有一定要求、对关系或形状特殊的曲线，计算适应性和稳定性有待提高，逻辑循环繁琐、需要求解复杂方程组的问题。
发明内容
本发明的目的在于设计一种平面内两条曲线的公切圆计算方法，其可以弥补上述方法的不足，具有几何意义直观、易于理解、算法简单、收敛速度快、对曲线形式适应性强、稳定性好的优点。
实现发明目的的技术方案如下：一种平面内两条曲线的公切圆计算方法，包括以下步骤：
S1、计算曲线1上沿曲线前端至曲线末端N+1个被测点的坐标和法向向量；
S2、在曲线1上取一个被测点i；
S3、设定曲线2的搜索范围为整条曲线；
S4、计算曲线2在搜索范围内沿曲线前端至曲线末端M+1个点的坐标和法向向量；
S5、在曲线2搜索范围内沿曲线前端至曲线末端，从第一个点顺序搜索寻找曲线2上与曲线1上被测点i相切的公切圆的切点范围[q，q+1]；
S6、判断曲线2上点q和点q+1形成的切点范围[q，q+1]是否满足被测点i在曲线2上的公切圆精度要求阈值，若不满足则缩小曲线2的搜索范围，对点q与点q+1之间曲线2进行局部加密形成加密区域，在加密区域内重复S4至S6，继续搜索直至切点范围[q，q+1]满足公切圆精度要求；
S7、对切点范围[q，q+1]中点q和点q+1进行判断，确定曲线2上与曲线1上被测点i对应的切点K；
S8、计算与被测点i对应的曲线1和曲线2的公切圆的圆心和直径；
S9、重复步骤S2至S8，直至曲线1与曲线2的公切圆全部被找出即可。
在本发明的一个实施例中，上述步骤S5的曲线2的点搜索过程中，若搜索到曲线2上M点与M+1点，且M点与M+1点组成的范围[M，M+1]不是切点范围[q，q+1]时，则判断曲线2上没有与曲线1的被测点i对应的公切圆。
在本发明的一个实施例中，上述步骤S5中，在搜索范围内按顺序搜索判断切点范围[q，q+1]的过程中，判断曲线2上当前搜索点j与点j+1形成的搜索点范围[j，j+1]是否为公切圆的切点范围[q，q+1]的方法为：
S501、在曲线1上，获取被测点i的切向向量和法向向量；
S502、在曲线2搜索范围内，获取当前搜索点j与点j+1的切向向量和法向向量；
S503、获取被测点i与当前搜索点j之间的连线，计算连线与被测点i的法向向量之间的夹角A1，计算连线与当前搜索点j的法向向量之间的夹角B1；
获取被测点i与点j+1之间的连线，计算连线与被测点i的法向向量之间的夹角A2，计算连线与点j+1的法向向量之间的夹角B2；
S504、计算夹角A1与夹角B1之间的差值C1，和夹角A2与夹角B2之间的差值C2，计算C1＊C2；
S505、若C1＊C2＞0，则判断搜索点范围[j，j+1]不是公切圆的切点范围[q，q+1]，需继续进行搜索；
若C1＊C2≤0，则判断搜索点范围[j，j+1]为公切圆切点范围[q，q+1]。
在本发明的一个实施例中，上述步骤S6中，判断是否满足公切圆精度要求阈值的方法为：获取上述C1和C2的绝对值，若任意一个的绝对值小于阈值e时，则满足公切圆精度要求。
在本发明的优选一个实施例中，上述步骤S7中，切点K的判断方法为：比较C1和C2的绝对值，绝对值小者对应的点为公切圆的切点K。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
1.本发明的平面内两条曲线的公切圆计算方法中不需要计算曲线的二阶导数和曲率，也不需要求解两条线之间的交点，对曲线没有特别的限制，只需要曲线2的一阶导数连续即可，算法简单、对曲线形式适应性强、稳定性好、收敛速度快，准确性高。
2.本方法所采用的计算方法几何意义明确直观，易于理解，逻辑简单，方便编程实现。
附图说明
为了更清楚地说明本发明具体实施方式中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为具体实施方式中平面内两条曲线的公切圆计算方法的流程图；
图2为具体实施方式中平面内两条曲线的公切圆计算的原理、特征点、特征性的示意图；
图3为具体实施方式中平面内两条曲线的公切圆的示意图；
具体实施方式
下面结合具体实施例来进一步描述本发明，本发明的优点和特点将会随着描述而更为清楚。但这些实施例仅是范例性的，并不对本发明的范围构成任何限制。本领域技术人员应该理解的是，在不偏离本发明的精神和范围下可以对本发明技术方案的细节和形式进行修改或替换，但这些修改和替换均落入本发明的保护范围内。
在本实施例的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明创造和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明创造的限制。
此外，术语“第一”、“第二”、“第三”等仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”等的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本发明创造的描述中，除非另有说明，“多个”的含义是两个或两个以上。
本具体实施方式提供了一种平面内两条曲线的公切圆计算方法，包括以下步骤：
S1、计算曲线1上沿曲线前端至曲线末端N+1个被测点的坐标和法向向量。
S2、在曲线1上取一个被测点i。
S3、设定曲线2的搜索范围为整条曲线。
S4、计算曲线2在搜索范围内沿曲线前端至曲线末端M+1个点的坐标和法向向量。
在此需要说明的是，在程序刚开始时设定曲线2上的搜索范围为整条曲线，在后续步骤S6中，当进行局部加密时(即搜索范围缩小，)并重复上述步骤S4至S6时，搜索范围为加密区域。
S5、在曲线2搜索范围内沿曲线前端至曲线末端，从第一个点顺序搜索寻找曲线2上与曲线1上被测点i相切的公切圆的切点范围[q，q+1]。
具体的，在搜索范围内按顺序搜索判断切点范围[q，q+1]的过程中，判断曲线2上当前搜索点j与点j+1形成的搜索点范围[j，j+1]是否为公切圆的切点范围[q，q+1]的方法为：
S501、在曲线1上，获取被测点i的切向向量和法向向量；
S502、在曲线2搜索范围内，获取当前搜索点j与点j+1的切向向量和法向向量；
S503、获取被测点i与当前搜索点j之间的连线，计算连线与被测点i的法向向量之间的夹角A1，计算连线与当前搜索点j的法向向量之间的夹角B1；
获取被测点i与点j+1之间的连线，计算连线与被测点i的法向向量之间的夹角A2，计算连线与点j+1的法向向量之间的夹角B2；
S504、计算夹角A1与夹角B1之间的差值C1，和夹角A2与夹角B2之间的差值C2，计算C1＊C2；
S505、若C1＊C2＞0，则判断搜索点范围[j，j+1]不是公切圆的切点范围[q，q+1]，需继续进行搜索；
若C1＊C2≤0，则判断搜索点范围[j，j+1]为公切圆切点范围[q，q+1]。
S6、判断曲线2上点q和点q+1形成的切点范围[q，q+1]是否满足被测点i在曲线2上的公切圆精度要求阈值，若不满足则缩小曲线2的搜索范围，对点q与点q+1之间曲线2进行局部加密形成加密区域，在加密区域内重复S4至S6，继续搜索直至切点范围[q，q+1]满足公切圆精度要求。
具体的，判断是否满足公切圆精度要求阈值的方法为：获取上述C1和C2的绝对值，若任意一个的绝对值小于阈值e时，则满足公切圆精度要求。
S7、对切点范围[q，q+1]中点q和点q+1进行判断，确定曲线2上与曲线1上被测点i对应的切点K。
具体的，切点K的判断方法为：比较C1和C2的绝对值，绝对值小者对应的点为公切圆的切点K。
S8、计算与被测点i对应的曲线1和曲线2的公切圆的圆心和直径。
S9、重复步骤S2至S8，直至曲线1与曲线2的公切圆全部被找出即可。
在本发明的一个实施例中，上述步骤S5的曲线2的点搜索过程中，若搜索到曲线2上M点与M+1点，且M点与M+1点组成的范围[M，M+1]不是切点范围[q，q+1]时，则判断曲线2上没有与曲线1的被测点i对应的公切圆。
本发明的平面内两条曲线的公切圆计算方法中不需要计算曲线的二阶导数和曲率，也不需要求解两条线之间的交点，对曲线没有特别的限制，只需要曲线2的一阶导数连续即可，算法简单、对曲线形式适应性强、稳定性好、收敛速度快，准确性高。同时，本发明的方法所采用的计算方法几何意义明确直观，易于理解，逻辑简单，方便编程实现。
以下通过求解曲线1与曲线2之间的公切圆对本发明的公切圆计算方法进行详细的说明。本领域技术人员已知的是，2条不同的曲线，根据曲线的长度、形状等的不同，2条曲线之间公切圆的数量，以及公切圆的圆心和直径都是未知的，如图2所示，曲线1与曲线2之间有多个公切圆，本发明的公切圆计算方法是以曲线1为参照曲线，在曲线2上寻找与曲线1上各个位置对应的公切圆，然后再计算公切圆的圆心和直径的。
如图1~3所示，曲线1与曲线2之间的公切圆计算方法如下所示：
S1、在曲线1上从曲线的一端至另一端依次取N+1个被测点，并分别计算各个被测点的坐标和法向向量；
S2、在曲线1上取一个点，如图2所示的A点，从步骤S1中提取A点的坐标和法向向量AB；
S3、设定曲线2的搜索范围为整条曲线。
S4、在曲线2搜索范围内从一端至另一端依次取M+1个搜索点，并分别计算各个点的坐标和法向向量。
S5、在曲线2搜索范围内，从第一个点开始顺序搜索，寻找曲线2上与A点相切的公切圆的切点范围[q，q+1]。
本步骤中对曲线2上当前搜索点j与其下一个点j+1形成的范围[j，j+1]是否为切点范围[q，q+1]的判断方法：切点范围[q，q+1]的判断方法是以图2中点D作为当前搜索点，以D+1作为下一个搜索点进行说明：
S501、定义A点(被测点)的一阶导数为f＇，A点的切向向量AB＝(1，f＇)，将切向向量AB顺时针方向旋转90°获得法向向量AC；
S502、在搜索到D点时，定义D点的一阶导数为g＇，D点的切向向量DE＝(1，g＇)，将切向向量DE逆时针方向旋转90°获得法向向量DF；
S503、连接A点与点D形成AD，计算法向向量AC旋转到AD的角度∠CAD，计算法向向量DA旋转到DF的角度∠FDA；
S504、计算∠CAD与∠FDA的差值，即C1；其中，搜索点D+1的(∠CAD)｀与(∠FDA)｀的差值，即C2的计算方法与当前搜索点D的相同，在此不再进行说明，根据C1、C2，计算C1＊C2。
S505、若C1＊C2＞0，则说明当前搜索点范围[D，D+1]不是公切圆的切点范围[q，q+1]，需继续往下进行搜索并判断，直至寻找到公切圆切点范围[q，q+1]，或搜索到最后一个点时结束被测点A公切圆的寻找。需要说明的是，由于曲线2上可能没有与A点对应的公切圆，即当曲线2上搜索到第M和第M+1个点时，[M，M+1]不是切点范围[q，q+1]，即可结束对A点公切圆的寻找，可进行下一个被测点公切圆的计算；
若C1＊C2≤0，则说明当前搜索点范围[D，D+1]为公切圆切点范围[q，q+1]。
S6、当前搜索点范围[D，D+1]为公切圆切点范围[q，q+1]时，需要判断D点和D+1点形成的切点范围[D，D+1]是否满足公切圆精度要求阈值。若满足，则说明D点或D+1点为曲线1上被测点A对应的公切圆在曲线2上的切点，需要进入S7中判断D点或D+1点哪一个为近似切点；若不满足，则说明D点或D+1点所形成的公切圆的切点范围大，需要缩小曲线2的搜索范围，对当前搜索点范围[D，D+1]进行局部加密形成加密区域后，在[D，D+1]范围内通过步骤S4~S6重新定位满足公切圆精度要求的切点范围。
上述判断是否满足公切圆精度的方法为：获取C1与C2的绝对值，当绝对值小的一个小于阈值e时，即判断满足精度要求，其中0.1°≥e＞0°。
S7、通过比较C1与C2的值，绝对值小者对应的点为公切圆的切点K(即图2中D点)
S8、计算曲线1上被测点A与曲线2上切点D对应的公切圆的圆心和直径。具体的，以A、D两点连线AD为圆弧弦长，以180°－(∠CAD+∠FDA)为对应的圆心角角度，计算被测点A与切点D对应的公切圆的圆心和直径。
S9、重复步骤S2至S8，直至曲线1与曲线2所有公切圆(如图3所示)全部被找出即可。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。
Claims (5)
1.一种平面内两条曲线的公切圆计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、计算曲线1上沿曲线前端至曲线末端N+1个被测点的坐标和法向向量；
S2、在曲线1上取一个被测点i；
S3、设定曲线2的搜索范围为整条曲线；
S4、计算曲线2在搜索范围内沿曲线前端至曲线末端M+1个点的坐标和法向向量；
S5、在曲线2搜索范围内沿曲线前端至曲线末端，从第一个点顺序搜索寻找与曲线1上被测点i相切的公切圆的切点范围[q，q+1]；
S6、判断曲线2上点q和点q+1形成的切点范围[q，q+1]是否满足被测点i在曲线2上的公切圆精度要求阈值，若不满足则缩小曲线2的搜索范围，对点q与点q+1之间曲线2进行局部加密形成加密区域，在加密区域内重复S4至S6，继续搜索直至切点范围[q，q+1]满足公切圆精度要求；
S7、对切点范围[q，q+1]中点q和点q+1进行判断，确定曲线2上与曲线1上被测点i对应的切点K；
S8、计算与被测点i对应的曲线1和曲线2的公切圆的圆心和直径；
S9、重复步骤S2至S8，直至曲线1与曲线2的公切圆全部被找出即可。
2.根据权利要求1所述的平面内两条曲线的公切圆计算方法，其特征在于：步骤S5的曲线2的点搜索过程中，若搜索到曲线2上M点与M+1点，且M点与M+1点组成的范围[M，M+1]不是切点范围[q，q+1]时，则判断曲线2上没有与曲线1被测点i对应的公切圆。
3.根据权利要求1所述的平面内两条曲线的公切圆计算方法，其特征在于：步骤S5中，在搜索范围内按顺序搜索判断切点范围[q，q+1]的过程中，判断曲线2上当前搜索点j与点j+1形成的搜索点范围[j，j+1]是否为公切圆的切点范围[q，q+1]的方法为：
S501、在曲线1上，获取被测点i的切向向量和法向向量；
S502、在曲线2搜索范围内，获取当前搜索点j与点j+1的切向向量和法向向量；
S503、获取被测点i与当前搜索点j之间的连线，计算连线与被测点i的切向向量之间的夹角A1，计算连线与当前搜索点j的切向向量之间的夹角B1；
获取被测点i与点j+1之间的连线，计算连线与被测点i的切向向量之间的夹角A2，计算连线与点j+1的切向向量之间的夹角B2；
S504、计算夹角A1与夹角B1之间的差值C1，和夹角A2与夹角B2之间的差值C2，计算C1＊C2；
S505、若C1＊C2＞0，则判断搜索点范围[j，j+1]不是公切圆的切点范围[q，q+1]，需继续进行搜索；
若C1＊C2≤0，则判断搜索点范围[j，j+1]为公切圆切点范围[q，q+1]。
4.根据权利要求3所述的平面内两条曲线的公切圆计算方法，其特征在于：步骤S6中，判断是否满足公切圆精度要求阈值的方法为：获取C1和C2的绝对值，若任意一个的绝对值小于阈值e时，则满足公切圆精度要求。
5.根据权利要求3所述的平面内两条曲线的公切圆计算方法，其特征在于：步骤S7中，切点K的判断方法为：比较C1和C2的绝对值，绝对值小者对应的点为公切圆的切点K。
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| GR01 | Patent grant | ||
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