CN114047703B - 一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，属于微纳控制技术领域。该方法将基于全格式动态线性化的无模型自适应控制与离散时间扩张状态观测器相结合，设计无模型自适应控制器。与现有的技术相比，本发明不需要任何压电陶瓷微定位平台的迟滞非线性模型等其他模型的信息，引入了全格式动态线性化数据模型，避免了对平台建模的复杂过程和所建模型的精确度对控制器有效性的影响；考虑系统扰动和不确定性，采用离散时间扩张状态观测器估计系统的总扰动，从而降低了未知参数估计的复杂度，提升了无模型自适应控制方法控制系统的控制精度；利用偏差原理对离散时间扩张状态观测器进行改进，对扩张状态观测器的提高了控制器的控制性能。
Description
技术领域
本发明属于微纳控制技术领域，更具体地，涉及一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法。
背景技术
随着超大规模集成电路、超精密机械加工等一系列高精尖学科的高速发展，压电陶瓷被广泛应用于半导体芯片制造业、数据储存技术、显微与成像技术、航空航天设备等超精密定位领域。但在对压电陶瓷微定位平台进行开环测试时发现输入信号和输出位移之间存在着明显的非线性关系，压电材料本身具有的特性如迟滞非线性、蠕变特性等会对压电微定位平台的定位精度和轨迹跟踪速度产生非常严重的影响。
国内外学者对压电陶瓷微定位平台的研究不断深入，不断提高了其轨迹跟踪能力，目前最常用的是基于模型的控制方法，即对压电陶瓷微定位平台进行建模再选择合适的方法有效控制压电陶瓷微定位平台，弗朗什-孔泰大学的Micky Rakotondrabe等人利用逆Bouc-Wen模型设计出前馈补偿控制器，有效控制了多自由度的压电微纳平台；约克大学的Li Zhi和Shan Jinjun等人设计了基于KP模型的前馈控制器控制压电陶瓷微定位平台取得了良好的控制效果；休斯顿大学的G.song等人用逆Preisach模型作为前馈补偿控制器，并设计基于PID方法的复合反馈控制器实现了对压电陶瓷微定位平台的有效控制；肯考迪大学的Su Chunyi等人利用鲁棒自适应滑模控制策略实现了对压电陶瓷微定位平台的高精度跟踪控制；中国科学院大学的程龙等人采用模型预测控制方法实现了对压电陶瓷微定位平台的高精度轨迹跟踪控制。然而基于模型的控制方法，其控制器的有效程度取决于模型的精确程度，对于压电陶瓷微定位平台这种复杂的非线性其模型也会比较复杂，对控制器的设计、使用、故障诊断、维护等造成困难。
随着压电陶瓷微定位平台在超精密机电系统中的广泛应用，为了避免模型精度对控制精度的影响，国内外部分学者开始研究无模型自适应控制方法，可以在平台模型参数完全未知的情况下，进一步提高超精密机电系统运动精度，满足纳米级加工和操作的要求。传统的无模型自适应控制方法理论上不存在任何未建模动态，但是在非采样点系统不可避免会有扰动等不确定性，会对控制效果产生一定的影响。
发明内容
针对现有技术的缺陷和改进需求，本发明提供了一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其目的在于，不需要任何与平台有关的模型参数信息，通过对压电陶瓷微定位平台采用无模型自适应控制的方法，提高对压电陶瓷微定位平台的轨迹跟踪精度。
本发明采用以下方案实现：
一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，具体步骤如下：
步骤一：在对压电陶瓷微定位平台建立全格式动态线性化的数据模型的基础上，通过控制输入准则函数得到基于全格式动态线性化的无模型自适应控制器。
为了避免忽略系统自身不确定性以及扰动对控制效果的影响，因此将压电陶瓷微定位平台描述为如下考虑系统扰动和不确定性的非线性非仿射系统：
其中，和/>分别是系统在k时刻的输入电压和输出位移，d(k)表示k时刻系统的总扰动，ny,nu,nd∈Z+是系统的输出、输入和总扰动的未知阶数，f(·)是一个未知的非线性函数。
当系统总扰动有界，f(·)满足对任意变量的偏导数连续且满足广义Lipschiz条件时，压电陶瓷微定位平台(1)可以等价为如下的全格式动态线性化的数据模型：
其中，0≤Ly≤ny,1≤Lu≤nu为系统的伪阶数；
为在输入相关的滑动时间窗口[k-Lu+1,k]内的所有控制输入信号以及在输出相关的滑动时间窗口[k-Ly+1,k]内的所有系统输出信号组成的向量；/>θ(k)表示系统的总扰动，包括系统的扰动和不确定；△y(k+1)＝y(k+1)-y(k)；
称为伪梯度向量，伪梯度向量在任意k时刻有界。
定义控制输入准则函数为：
J(u(k))＝|yd(k+1)-y(k+1)|2+λ|u(k)-u(k-1)|2 (3)
其中，λ>0为权重因子，yd(k+1)表示系统在k+1时刻的期望输入。
将式(2)代入式(3)中，根据得到无模型自适应控制控制算法：
其中，ρi∈(0,1],i＝1,2,…,Ly+Lu表示步长因子。
以上所述的控制算法中参数伪梯度和系统总扰动θ(k)未知，因此需要设计算法得到其参数估计值。
步骤二：采用投影算法对数据模型中的参数伪梯度进行在线参数估计。
定义伪梯度的估计准则函数为：
其中，μ>0为权重因子，为/>的估计值。
根据最优条件以及逆矩阵引理，采用改进的投影算法可得到伪梯度/>的估计算法：
为了使参数伪梯度的在线估计算法具有更强的时变跟踪能力，引入如下重置算法：
步骤三：采用离散时间扩张状态观测器估计系统的全部扰动和不确定性θ(k)。
定义状态向量x(k)＝[x1(k),x2(k)]T＝[y(k),θ(k)]T，其中系统的总扰动x2(k)＝θ(k)为新扩张出来的扰动项，根据式(2)可得到状态空间形式：
其中，χ(k)＝θ(k+1)-θ(k)；Cf＝[1 0]，Df＝[0 1]T。常用的离散时间扩张状态观测器：
其中，L＝[l1 l2]T为观测增益，
对于离散时间扩张状态观测器(9)，其观测误差为
式(9)所述离散时间扩张状态观测器是通过e1(k)来调节下一时刻状态观测值的变化，使其分别跟踪其实际值。在这种调节机制下，系统对/>和/>的调节是同时进行的，在/>跟踪x1(k)并达到稳态之前，对/>跟踪x2(k)的控制意义不大，当完成/>对x1(k)的跟踪后，由于此时的e1(k)已经较小，因此调节/>就变得困难。对于这种调节模式，式(9)所述离散时间扩张状态观测器仅能通过选取较大的参数l2调节/>对x2(k)的跟踪，然而过大的参数l2会降低扩张状态观测器的性能，仅通过选取非线性函数来获得“小增益大输出，大增益小输出”的特性不能解决上述问题。
针对以上扩张状态观测器存在的问题，基于偏差原理，用x1(k)的观测误差e1(k)调节用x2(k)的观测误差/>调节/>可以避免上述问题，使扩张状态观测器的性能大大提升，从而大大提升控制器的控制性能和跟踪精度。
基于以上改进思路，考虑如下改进方案：
其中，为参数伪梯度/>的估计误差。
控制算法式(4)中的参数伪梯度用其估计值/>代替，扰动项θ(k)用其观测值/>代替。将式(6)和式(10)代入式(4)中，得到基于改进离散时间扩张状态观测器的全格式动态线性化无模型自适应控制算法如下：
本发明的有益效果：
本发明提供了一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，避免了对平台建模的复杂过程和所建模型的精确度对控制器有效性的影响；考虑系统本身的不确定性以及扰动，大大提升了控制器对压电陶瓷微定位平台的控制效果，降低了未知参数估计的复杂性；对离散时间扩张状态观测器进行改进，以各状态变量观测值与实际值的偏差调节各状态变量下一时刻的观测值，避免了参数观测误差对控制器效果的影响，提高观测值跟踪实际值的精度，从而提高控制系统整体的轨迹跟踪精度。
附图说明
图1为本发明的压电陶瓷微定位平台实验装置图；
图2为本发明的压电陶瓷微定位平台的工作原理图；
图3为本发明的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制系统框图；
图4为本发明的输入信号频率为1Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线；
图5为本发明的输入信号频率为10Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线；
图6为本发明的输入信号频率为20Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线；
图7为本发明的输入信号频率为50Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线；
图8为本发明的输入信号频率为100Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线；
图9为本发明的输入信号频率为1Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线；
图10为本发明的输入信号频率为10Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线；
图11为本发明的输入信号频率为20Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线；
图12为本发明的输入信号频率为50Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线；
图13为本发明的输入信号频率为100Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线；
具体实施方式
为使本发明提出的技术方案、解决的技术问题更加清晰，通过详细说明一个较佳的具体实施例，对本发明做进一步阐述。
本发明所述的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法所需的输入、输出数据是通过压电陶瓷微定位平台在线采集得到的。
如图1展示了压电陶瓷微定位平台控制系统的主要设备，其型号和用途是：
高精度测微仪，型号为MDSL-0500M6-1A，主要用于完成高精度位移测量；高精度隔振台，型号为J02-1809，主要用于减少外界振动干扰；精密定位控制器，型号为PPC-2CR0120，主要用于对信号进行放大处理；多功能数据采集卡，型号为PCI-1716，主要用于对采集到的信号进行A/D和A/D转换；压电陶瓷微定位平台，型号为MPT-2MRL102A，作为实验对象，主要提供实验数据；计算机，型号为Dell Vostro 3900，主要处理并完成控制算法。
结合图2，压电陶瓷微定位平台的工作过程为：
安装有MATLAB/Simulink软件的计算机发出期望信号，通过多功能数据采集卡的D/A转换器将计算机输出的期望信号转化为电压信号，再经过精密定位控制器将电压信号放大15倍作为压电陶瓷微定位平台的驱动电压信号驱动压电陶瓷微定位平台中的压电执行器产生位移信号，由压电陶瓷微定位平台中的高精度测微仪测出并输入多功能数据采集卡的A/D转换器并转换为跟踪信号传送回计算机，完成压电陶瓷微定位平台的控制过程。实验过程中压电陶瓷微定位平台始终位于高精度隔振台上。
接下来设计无模型自适应控制器。
如图3所示的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制控制框图，根据本发明实例提供的一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，包括全格式动态线性化无模型自适应控制器、参数伪梯度估计器、扩张状态观测器。
将压电陶瓷微定位平台描述为如下考虑系统总扰动的非线性非仿射系统：
其中，和/>分别是系统在k时刻的输入电压和输出位移，d(k)表示k时刻系统的总扰动。ny,nu,nd∈Z+是系统的输出、输入和总扰动的未知阶数，f(·)是一个未知的非线性函数。
当系统总扰动有界，f(·)满足对任意变量的偏导数连续且满足广义Lipschiz条件时，压电陶瓷微定位平台(1)可以等价为如下的全格式动态线性化的数据模型：
其中，0≤Ly≤ny,1≤Lu≤nu为系统的伪阶数；
为在输入相关的滑动时间窗口[k-Lu+1,k]内的所有控制输入信号以及在输出相关的滑动时间窗口[k-Ly+1,k]内的所有系统输出信号组成的向量；/>θ(k)表示系统的总扰动，包括系统的扰动以及不确定性；△y(k+1)＝y(k+1)-y(k)；
称为伪梯度向量，伪梯度向量在任意k时刻有界。
定义系统的控制输入准则函数为：
J(u(k))＝|yd(k+1)-y(k+1)|2+λ|u(k)-u(k-1)|2 (3)
其中，λ>0为权重因子，yd(k+1)表示系统在k+1时刻的期望输入。
将式(2)代入式(3)中，根据得到无模型自适应控制控制算法：
其中，ρi∈(0,1],i＝1,2,…,Ly+Lu表示步长因子。
接下来，在参数伪梯度调节器中采用改进的投影算法对数据模型中的参数伪梯度进行在线参数估计。
定义关于参数伪梯度的估计准则函数：
其中，μ>0为权重因子，为/>的估计值。
根据最优条件以及逆矩阵引理，采用改进的投影算法可得到伪梯度/>的估计算法：
在离散时间扩张状态观测器中扩张出新的变量θ(k)用于估计和补偿系统的总扰动。
为了增强参数伪梯度在线参数估计算法，使其具有更强的时变跟踪能力，引入如下重置算法：
定义状态向量x(k)＝[x1(k),x2(k)]T＝[y(k),θ(k)]T，其中为x2(k)＝θ(k)新扩张出来的扰动项，根据式(2)可得到状态空间形式：
其中，χ(t)＝θ(t+1)-θ(t)，Cf＝[1 0]，Df＝[0 1]T。
常用的离散时间扩张状态观测器：
其中，L＝[l1 l2]T为观测增益，
对于离散时间扩张状态观测器(9)，仅能通过选取较大的参数l2调节对x2(k)的跟踪，然而过大的参数l2会降低扩张状态观测器的性能，这是仅通过选取非线性函数来获得“小增益大输出，大增益小输出”的特性所不能完全解决的。
针对上述扩张状态观测器(9)存在的问题，基于偏差原理，用x1(k)的观测误差e1(k)调节用x2(k)的观测误差/>调节/>可以使扩张状态观测器的性能大大提升，从而大大提升控制器的控制性能和跟踪精度，避免了离散时间扩张状态观测器(9)同时调节/>和/>的问题，从而避免了仅能通过选取较大的参数l2调节/>对x2(k)的跟踪，以及过大的参数l2会降低扩张状态观测器性能的问题。
基于以上改进思路，考虑如下对离散时间扩张状态观测器(9)改进方案：
其中，表示对系统扰动项θ(k)的观测与估计值；/>表示参数伪梯度的估计误差，在实际系统中，估计误差是有界的，即/>
控制算法式(4)中伪梯度用其估计值/>代替，扰动项θ(k)用其观测值/>代替。将式(6)和式(10)代入式(4)中，得到基于改进离散时间扩张状态观测器的全格式动态线性化无模型自适应控制算法如下：
最后通过压电陶瓷微定位平台控制系统验证本发明提出的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法的有效性。
给定压电陶瓷微定位平台的期望正弦信号的频率f为1Hz，10Hz，20Hz，50Hz和100Hz，即期望输入信号为：yd＝3sin(2πf+1.5π)+3。轨迹跟踪信号的范围为0-36V，通过试凑法，无模型自适应控制器的参数设置为：Lu＝1,Ly＝2,λ＝0.1,ρ1＝0.1,ρ2＝0.5,ρ3＝0.7,η＝1.8,μ＝0.1,l1＝0.8,l2＝0.2,b＝0.1，参数伪梯度的初值设置为
如图4、图5、图6、图7和图8分别是输入的期望正弦信号1Hz，10Hz，20Hz，50Hz和100Hz时系统期望位移与实际位移的跟踪曲线。
如图9、图10、图11、图12和图13分别是输入的期望正弦信号1Hz，10Hz，20Hz，50Hz和100Hz时系统期望位移与实际位移的误差曲线。
计算在上述不同频率下的均方根误差(RMSE)和稳定后的最大绝对误差(MAE)，更好地说明本发明的控制效果。
上述的均方根误差的计算公式：
其中，e(k)表示每个采样时刻k的跟踪误差，N是采样运行时间。
上述的稳定后的最大绝对误差的计算公式：
其中，max|e(k)|表示压电陶瓷微定位平台控制系统达到稳定之后的最大误差，Lm表示轨迹跟踪信号的峰峰值。
下表1为压电陶瓷微定位平台在不同频率期望正弦信号1Hz，10Hz，20Hz，50Hz和100Hz时的均方根误差和最大绝对误差。
| 频率/Hz | 均方根误差/μm | 最大绝对误差/％ |
| 1 | 0.0072 | 0.0833 |
| 10 | 0.0391 | 0.2517 |
| 20 | 0.1210 | 0.3683 |
| 50 | 0.6776 | 1.3608 |
| 100 | 1.1482 | 2.3081 |
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
以下为本发明中所使用符号的对照表
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Claims (5)
1.一种压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一：在对压电陶瓷微定位平台建立全格式动态线性化的数据模型的基础上，通过控制输入准则函数得到基于全格式动态线性化的无模型自适应控制器；
所述的全格式动态线性化的数据模型为：
其中，△y(k+1)＝y(k+1)-y(k)；
称为伪梯度向量，伪梯度向量在任意k时刻有界；0≤Ly≤ny,1≤Lu≤nu为系统的伪阶数；ny是系统的输出的未知阶数，nu是系统的输入的未知阶数，且ny，nu∈Z+；
为在输入相关的滑动时间窗口[k-Lu+1,k]内的所有控制输入信号以及在输出相关的滑动时间窗口[k-Ly+1,k]内的所有系统输出信号组成的向量；/>和/>分别是系统在k时刻的输入电压和输出位移；θ(k)表示系统的总扰动，即包含系统扰动以及不确定性的一项；
定义的控制输入准则函数为：
J(u(k))＝|yd(k+1)-y(k+1)|2+λ|u(k)-u(k-1)|2 (2)
其中，λ>0为权重因子，yd(k+1)表示系统在k+1时刻的期望输入；
将式(1)代入式(2)中，再根据得到基于全格式动态线性化的无模型自适应控制器：
其中，ρi表示步长因子，ρi∈(0,1],i＝1,2,…,Ly+Lu；
步骤二：采用投影算法对数据模型中的参数伪梯度进行在线参数估计；
步骤三：采用离散时间扩张状态观测器估计系统的全部扰动和不确定性θ(k)。
2.根据权利要求1所述的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其特征在于，步骤二：采用改进的投影算法对数据模型中的参数伪梯度进行在线参数估计具体如下：定义关于伪梯度的估计准则函数：
其中，μ>0为权重因子，为/>的估计值；
根据最优条件以及逆矩阵引理，采用改进的投影算法可得到伪梯度的估计算法：
其中，η∈(0,2]为步长因子。
3.根据权利要求2所述的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其特征在于，步骤三：采用离散时间扩张状态观测器估计系统的全部扰动和不确定性具体如下：
定义状态向量x(k)＝[x1(k),x2(k)]T＝[y(k),θ(k)]T，其中x1(k)＝y(k)，x2(k)＝θ(k)，x2(k)为新扩张出来的扰动项，称为系统的总扰动；
根据式(2)可得到状态空间形式：
其中，χ(k)＝θ(k+1)-θ(k)， Cf＝[1 0]，Df＝[0 1]T；
所述的离散时间扩张状态观测器为：
其中，为k时刻x(k)的估计值，L＝[l1 l2]T为观测增益，/>
4.如权利要求2或3所述的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其特征在于，步骤二中引入重置算法：
。
5.如权利要求4所述的压电陶瓷微定位平台的无模型自适应控制方法，其特征在于，步骤三中基于偏差原理，用x1(k)的观测误差e1(k)调节用x2(k)的观测误差调节/>
则基于偏差原理对离散时间扩张状态观测器为：
其中，表示参数伪梯度/>的估计误差。
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| 压电式微纳米定位系统数据驱动自适应控制方法研究;王一帆;压电式微纳米定位系统数据驱动自适应控制方法研究;20230215(第2期);全文 * |
| 压电陶瓷微定位平台迟滞建模及自适应控制方法研究;张雁南;张雁南;20191115(第11期);全文 * |
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