CN113962036B - 一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑黏滞‑滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法，包括以下步骤：通过求解ALE节点的绳索包角、相对切向速度和ALE单元的绳索张力来计算绳索与过孔之间的摩擦力；并将绳索与过孔之间的摩擦力加入到ALE单元的动力学方程中的广义外力向量中以得到ALE单元的改进动力学方程，并根据ALE单元的改进动力学方程建立所述绳驱机构的动力学方程，其中所述绳驱机构包含穿过多个过孔的绳索，ALE节点是指绳索的过孔处，ALE单元是指每两个相邻的过孔之间的绳索。本发明可以有效地模拟绳索与过孔接触点的黏滞‑滑移运动。

Description

一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法

技术领域

本发明涉及绳索驱动机构技术领域，尤其涉及一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法。

背景技术

绳索驱动机构在工程上有广泛的应用场景，如大型绳驱可展天线、绳驱并联机器人、绳驱柔性机械臂等等。绳驱机构的优点是重量轻、承载大、适合在极端环境中使用。关于绳驱机构动力学建模的研究已经有很多年时间，传统绳索动力学建模是基于接触检测方法，为了对接触事件进行有效描述，绳索单元的尺寸往往需要划分很小，这会引入大量绳索单元，对系统增加大量的自由度，不利于程序的高效求解。近年来，学者们提出了一种基于任意拉格朗日-欧拉(ALE)的建模方法，该方法可以极大降低动力学建模所引入的自由度，从而提高程序的计算效率。然而，现有ALE方法不能考虑绳索所受的黏滞-滑移摩擦，在很多绳索驱动的机构中，绳索相对于其它部件频繁做往复运动，因此接触点的黏滞-滑移现象是无法回避的；此外，由于绳索较大的杨氏模量，绳索的动力学方程会呈现数值计算的刚性问题，影响计算效率，通常需要采用刚性积分算法求解，然而现有常见的刚性积分算法求解效率仍然不够高。

以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本专利申请的申请日已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提出一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法，可以有效地模拟绳索与过孔接触点的黏滞-滑移运动。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明的一个实施例公开了一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法，包括以下步骤：

通过求解ALE节点的绳索包角、相对切向速度和ALE单元的绳索张力来计算绳索与过孔之间的摩擦力；并将绳索与过孔之间的摩擦力加入到ALE单元的动力学方程中的广义外力向量中以得到ALE单元的改进动力学方程，并根据ALE单元的改进动力学方程建立所述绳驱机构的动力学方程，其中所述绳驱机构包含穿过多个过孔的绳索，ALE节点是指绳索的过孔处，ALE单元是指每两个相邻的过孔之间的绳索。

优选地，绳索与过孔之间的摩擦力f_ti的表达式为：

其中，T_i和T_i+1分别表示节点i两端的绳索张力，μ为滑动摩擦系数，θ_i为节点i处的绳索包角，v_τi为节点i处的相对切向速度，f_imax为节点i处的最大静摩擦力。

优选地，其中节点i处的最大静摩擦力f_imax的表达式为：

其中，μ′为静摩擦系数。

优选地，ALE节点处的绳索包角为：

其中，r_i为节点i的位置坐标；

ALE节点的相对切向速度为：

其中，

为节点i的物质坐标对时间的导数；

ALE单元的绳索张力为：

其中，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，ε_i为单元i的绳索应变，k_i表示单元i的绳索只能受拉不能受压，β为瑞利阻尼系数。

优选地，在根据ALE单元的改进动力学方程建立所述绳驱机构的动力学方程之前还包括：

计算绳索的应变在一个时间间隔内的平均值

并计算绳索的应变对时间一阶导数在同一个时间间隔内的平均值

并将

和

代入到ALE单元的改进动力学方程。

优选地，绳索的应变在一个时间间隔(t,t+h)内的平均值

为：

绳索的应变对时间一阶导数在一个时间间隔(t,t+h)内的平均值

为：

其中，h为模型降噪步长，ε_t为时刻t的绳索的应变。

优选地，将

和

代入到ALE单元的改进动力学方程得到：

其中，M_ele为单元的广义质量矩阵，M_elastic为经

和

修正后引入的单元的广义质量矩阵，Q_f为包含摩擦力的广义外力向量，Q_e′为经

和

修正后的广义弹性力向量，Q_p为附加惯性力向量。

优选地，其中经

和

修正后引入的单元的广义质量矩阵M_elastic为：

其中，s_i为节点i的物质坐标，

为雅克比矩阵，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，γ＝βh/2+kh²/6，k表示绳索只能受拉不能受压，ε为绳索的应变，β为瑞利阻尼系数，q_ele为ALE单元的广义坐标。

优选地，其中经

和

修正后的广义弹性力向量Q_e′为：

其中，s_i为节点i的物质坐标，

为雅克比矩阵，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，γ＝βh/2+kh²/6，β′＝β+kh/2，β为瑞利阻尼系数，k表示绳索只能受拉不能受压，q_ele为ALE单元的广义坐标。

本发明的另一实施例公开了一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令在被处理器调用和执行时，所述计算机可执行指令促使处理器实现上述的动力学建模方法的步骤。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：通过本发明所提出的摩擦力建模和求解方法，可以有效模拟绳索与过孔接触点的黏滞-滑移运动，且进一步地，通过本发明提出的模型降噪方法，将

和

代入到ALE单元的改进动力学方程中，得到附加的惯性项和阻尼项，系统的固有频率得到显著衰减，因此动力学方程的刚性问题得到有效改善，而且所取降噪步长越大，这种改善越明显；而且这种处理方法只对不需太关心的高频项有衰减作用，而对系统的刚性运动不会有任何影响；从而进一步地可以显著提高计算效率。

附图说明

图1是ALE绳索单元的示意图；

图2是本发明优选实施例的库伦干摩擦模型；

图3是本发明优选实施例的作用在欧拉节点的摩擦力示意图；

图4是本发明优选实施例的相邻节点的几何关系；

图5是本发明优选实施例的含黏滞-滑移摩擦的绳驱机构动力学求解流程图；

图6a是本发明具体实施例的绳索-滑轮机构示意图；

图6b是本发明具体实施例的ALE单元划分示意图；

图7a是本发明具体实施例的各节点绳索移动速度；

图7b是本发明具体实施例的滑轮两端的绳索张力。

具体实施方式

下面对照附图并结合优选的实施方式对本发明作进一步说明。

本发明优选实施例的绳驱机构包含穿过多个过孔的绳索，ALE节点是指绳索的过孔处，ALE单元是指每两个相邻的过孔之间的绳索。

(1)绳索动力学建模的ALE方法

如图1所示，ALE绳索单元的广义坐标可以表示为

其中r_η＝[x_η,y_η,z_η]^T(η＝i,i+1)为节点k的位置坐标，s_η为节点η的物质坐标。通过引入相关约束，ALE节点可以退化为拉格朗日节点或欧拉节点，如引入s_η-s₀＝0，则节点η退化为拉格朗日节点；而引入r_k-r₀＝0，节点η退化为欧拉节点。

单元上任意一点的位置坐标可以表示为

其中N₁和N₂为形函数，而ζ＝(2s-s_i-s_i+1)/(s_i+1-s_i)为该点的自然坐标。上式整理可得：

将上式对时间分别求一阶和两阶导数可得：

其中

是由物质坐标的改变所引起的附加项。根据虚功原理有：

δW＝δW_f+δW_e+δW_i＝0 (5)

其中δW_f、δW_e和δW_i分别表示外力、弹性力和惯性力的虚功，具体如下：

其中

式中f(s,t)表示外力，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，ε为绳索的应变，k表示绳索只能受拉不能受压，β为瑞利阻尼系数，ρ为绳索密度。因此，ALE绳索单元的动力学方程可以表示为：

其中

式中M_ele为单元的广义质量矩阵，Q_f为包含摩擦力的广义外力向量，Q_e为广义弹性力向量，Q_p为附加惯性力向量。

(2)考虑黏滞-滑移摩擦的绳索动力学建模与计算

为了对黏滞-滑移摩擦现象进行描述，本实施例采用库伦干摩擦模型进行建模。考虑含摩擦的点接触问题，摩擦力与正压力有如下关系：

其中f和N分别为摩擦力和正压力，μ为滑动摩擦系数，μ′为静摩擦系数，F_τ为沿切向方向的作用力之和，v_τ为接触点相对切向速度。在具体实施例的数值计算中，当|v_τ|小于一个控制小量v_ε时，即认为为零，如图2所示。

对于绳索与过孔的接触问题，由于绳索长度往往远大于过孔厚度，因此过孔处可看作是一个欧拉节点，而两相邻过孔之间的绳索可看作是一个ALE单元，因此在过孔处存在以下约束方程：

r_i-r_hole,i＝0 (11)

其中r_i、r_hole,i分别表示节点i以及过孔的位置坐标。

如图3所示，绳索与过孔之间的摩擦力，可以由式(10)积分求得，结果如下：

其中T_i和T_i+1分别表示节点i两端的绳索张力，f_ti为节点i处绳索在过孔处所受摩擦力的总和，θ_i为过孔处的绳索包角，

为节点i处最大静摩擦力。其中，绳索在过孔处的摩擦力，只作用于绳索的物质坐标，而与位置坐标无关，因此作用在欧拉节点i上摩擦力的广义力可以表示为

Q_{friction_i}＝[0_1×3,f_ti]^T (13)

将摩擦力的广义力与其他外力一起组装，可以得到单元的广义外力向量Q_f。

如图2所示，由于静摩擦力的多值性，当相对切向速度在零附近时，对静摩擦力的求解，以及对黏滞-滑移状态的判断往往十分困难，然而采用ALE方法后，欧拉节点处的绳索包角、相对切向速度以及两端绳索的张力都可以被确定。如图4所示，节点i处的绳索包角由下式表示：

节点i处相对切向速度是物质坐标对时间导数的负值，即

单元i的绳索张力可以表示为：

其中E为绳索的杨氏模量，A为横截面积，ε_i为单元i的绳索应变，k_i表示单元i的绳索只能受拉不能受压(在ε_i＞0时k_i＝1，否则k_i＝0)，β为瑞利阻尼系数。一旦完成上述物理量的计算，各欧拉节点所受的摩擦力即可由式(12)独立计算。

(3)动力学方程刚性问题的改善

引起动力学方程刚性问题的主要因素是高频的弹性振动，表现为应变ε随时间的剧烈变化。在一个时间间隔(t,t+h)内，应变在时刻τ可以近似计算为

因此应变ε在该时间间隔的平均值可以表示为

同样，应变ε对时间一阶导数的平均值可表示为

其中小时间间隔h称为模型降噪步长。

如果将以上两式的

和

代替式(9)的ε和

则可以滤去高频的弹性振动，得到下式：

其中β′＝β+kh/2，γ＝βh/2+kh²/6，下标t已省略。由式(7)可知，ε＝ε(q_ele)，因此有，

其中

为雅克比矩阵。将上式代入式(19)，再代入式(8)可得，

其中

M_elastic为模型降噪方法新引入的单元广义质量矩阵，Q_e′为修正的广义弹性力向量，其它各项的含义与式(8)和式(9)相同。比较式(21)与式(8)可知，由于增加了附加的惯性项(即为

)和阻尼项(即为Q_e′-Q_e)，系统的固有频率得到显著衰减，因此动力学方程的刚性问题得到改善，而且所取降噪步长h越大，这种改善越明显。而且这种处理方法只对不需太关心的高频项有衰减作用，而对系统的刚性运动不会有任何影响。

(4)绳驱机构系统整体的动力学方程与求解

对于一个包含刚体、柔性体以及绳索的多体系统，系统的广义坐标可以表示为

其中q_c为绳索的广义坐标向量，q_b为其它刚体和柔性体的广义坐标向量。将系统的质量矩阵、广义力向量和约束向量进行组装后，系统的动力学方程可以表示为

其中M为广义质量矩阵，包含绳索、刚体、柔性体，以及由模型降噪方法所引入的附加质量阵；Q为系统的广义力向量，包括绳索弹性力、科氏力，以及包含摩擦力在内的外部作用力等；Φ为约束向量，包括欧拉或拉格朗日节点所引入的约束，以及绳索输入端的非定常绳长输入，且

λ为对应的拉格朗日乘子向量。

为避免动力学方程求解过程的约束漂移问题，引入鲍姆加特稳定化公式：

其中α_B和β_B为鲍姆加特参数，上式整理可得

其中

联立(24)和(26)两式可得

将上式代入式(26)可得系统的拉格朗日乘子向量如下：

其中

再将式(29)代入式(28)，则可得到常微分方程形式的动力学方程如下：

由于动力学方程的刚性问题已经由模型降噪得到大为改善，因此上述动力学方程既可由刚性积分算法求解，也可由非刚性积分算法计算，且具有较高的求解效率。

考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构动力学求解的整体流程如图5所示，首先初始化q₀，然后由式(14)和(15)分别计算所有节点处的绳索包角和所有单元的绳索张力，由式(12)计算节点摩擦力，由式(9)分别计算M_ele、Q_f、Q_e和Q_p，由式(22)计算M_elastic和Q_e′，组装M和Q，计算式(31)的相关矩阵，并求解式(31)，另t＝t+Δt，判断t＞t_end是否成立，如果是，则结束运算，如果否，则将q_t返回重复计算。

本发明的另一实施例公开了一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令在被处理器调用和执行时，所述计算机可执行指令促使处理器实现上述的动力学建模方法的步骤。

为了展示本发明优选实施例所提出的建模和求解方法对黏滞-滑移现象的描述能力以及计算的高效性，这里给出了一个验证算例，如图6a和图6b所示。算例所需参数已经在图6a中给出，其中，绳索被划分成了两个ALE单元，包含两个欧拉节点和一个拉格朗日节点，如图6b所示。左侧给定了一个正弦的绳索速度输入如下：

v_i＝v₀ sinωt＝0.01sin1.0t(m/s)

其中v_i为左侧的绳索输入速度，v₀为速度的幅值，ω为角频率，t为时间。图7a展示了三个节点对应的绳索移动速度。仿真结果表明，即使输入端是一个正弦的速度输入，由于绳索与滑轮摩擦力的作用，输出端呈现出了黏滞-滑移运动，从而验证了本发明所提方法对黏滞-滑移现象的仿真能力。图7b给出了滑轮两端绳索张力的时间历程图。由于本算例给定的绳索加速度相对较小，系统的惯性项可以忽略，因此滑轮右端绳索的张力与质量块所受重力近似相等。表1展示了本发明所提出的方法的CPU耗时与现有的ALE方法的对比，由于所提模型降噪方法对刚性问题的改善，本发明所给方法具有很高的计算效率。本发明计算效率是现有的ALE方法的10倍以上，是传统接触检测方法的1000倍以上。

表1不同方法CPU耗时

综合上述，本发明提出了关于对绳驱机构黏滞-滑移摩擦现象的动力学建模和求解方法，通过本发明所提的摩擦力建模和求解方法，可以有效模拟绳索与过孔接触点的黏滞-滑移运动；而且通过本发明所提的模型降噪方法，可以有效改善绳索动力学方程的刚性问题，从而提高计算效率。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种考虑黏滞-滑移摩擦的绳驱机构的动力学建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

通过求解ALE节点的绳索包角、相对切向速度和ALE单元的绳索张力来计算绳索与过孔之间的摩擦力；并将绳索与过孔之间的摩擦力加入到ALE单元的动力学方程中的广义外力向量中以得到ALE单元的改进动力学方程，并根据ALE单元的改进动力学方程建立所述绳驱机构的动力学方程，其中所述绳驱机构包含穿过多个过孔的绳索，ALE节点是指绳索的过孔处，ALE单元是指每两个相邻的过孔之间的绳索。

2.根据权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，绳索与过孔之间的摩擦力f_ti的表达式为：

其中，T_i和T_i+1分别表示节点i两端的绳索张力，μ为滑动摩擦系数，θ_i为节点i处的绳索包角，v_τi为节点i处的相对切向速度，f_imax为节点i处的最大静摩擦力。

3.根据权利要求2所述的动力学建模方法，其特征在于，其中节点i处的最大静摩擦力f_imax的表达式为：

其中，μ′为静摩擦系数。

4.根据权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，

ALE节点处的绳索包角为：

其中，r_i为节点i的位置坐标；

ALE节点的相对切向速度为：

其中，

为节点i的物质坐标对时间的导数；

ALE单元的绳索张力为：

其中，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，ε_i为单元i的绳索应变，k_i表示单元i的绳索只能受拉不能受压，β为瑞利阻尼系数。

5.根据权利要求1至4任一项所述的动力学建模方法，其特征在于，在根据ALE单元的改进动力学方程建立所述绳驱机构的动力学方程之前还包括：

计算绳索的应变在一个时间间隔内的平均值

并计算绳索的应变对时间一阶导数在同一个时间间隔内的平均值

并将

和

代入到ALE单元的改进动力学方程。

6.根据权利要求5所述的动力学建模方法，其特征在于，绳索的应变在一个时间间隔(t,t+h)内的平均值

为：

绳索的应变对时间一阶导数在一个时间间隔(t,t+h)内的平均值

为：

其中，h为模型降噪步长，ε_t为时刻t的绳索的应变。

7.根据权利要求6所述的动力学建模方法，其特征在于，将

和

代入到ALE单元的改进动力学方程得到：

其中，M_ele为单元的广义质量矩阵，M_elastic为经

和

修正后引入的单元的广义质量矩阵，Q_f为包含摩擦力的广义外力向量，Q_e′为经

和

修正后的广义弹性力向量，Q_p为附加惯性力向量。

8.根据权利要求7所述的动力学建模方法，其特征在于，其中经

和

修正后引入的单元的广义质量矩阵M_elastic为：

其中，s_i为节点i的物质坐标，

为雅克比矩阵，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，γ＝βh/2+kh²/6，k表示绳索只能受拉不能受压，ε为绳索的应变，β为瑞利阻尼系数，q_ele为ALE单元的广义坐标。

9.根据权利要求7所述的动力学建模方法，其特征在于，其中经

和

修正后的广义弹性力向量Q′_e为：

其中，s_i为节点i的物质坐标，

为雅克比矩阵，E为绳索的杨氏模量，A为绳索的横截面积，γ＝βh/2+kh²/6，β′＝β+kh/2，β为瑞利阻尼系数，k表示绳索只能受拉不能受压，q_ele为ALE单元的广义坐标。

10.一种计算机可读存储介质，其特征在于，所述计算机可读存储介质存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令在被处理器调用和执行时，所述计算机可执行指令促使处理器实现权利要求1至9任一项所述的动力学建模方法的步骤。

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