CN105955332A - 一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法：步骤一、建立柔性体的有限元模型，并对所建立的有限元模型做模态分析；步骤二、建立柔性体的基体坐标系和陀螺的框架坐标系，确定陀螺执行机构在柔性体上的初始安装方向；步骤三、利用Kane方法建立约束陀螺柔性体的动力学模型，动力学模型中应该包含执行机构对柔性体的影响；步骤四、对步骤三所建立的动力学模型进行简化，将输入变量转化为陀螺的框架角速度；步骤五、将陀螺在柔性体上的安装看成柔性体的主动阻尼，根据步骤三中所建立的动力学模型设计简单的控制器，并证明控制器的稳定性；步骤六、根据步骤五所设计的控制器，判断执行机构安装位置对柔性体振动抑制的效果。

Description

一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法

技术领域

本发明涉及一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，属于柔性航天器机动控制及振动抑制领域。

背景技术

随着空间技术的发展，航天器的结构日趋复杂，其尺寸越来越大，大型化、低密度和柔性化成为航天结构的一个重要发展趋势，为了降低发射成本和太空作业的需要，大型空间结构，如大型太阳帆板，大型天线和空间柔性机械臂等常常采用轻质材料制造。大型柔性结构通常具有大的挠性和较小的自身阻尼，而太空环境中几乎无外界阻尼，当大型复杂航天器在实现快速机动或受到外界干扰时，柔性结构会产生振动，振动将会严重影响元器件的工作，导致性能下降而失效；另外，长期的振动也会引起结构的疲劳破坏，因此，以刚体为假设前提的被动振动控制不再适用于柔性复杂航天器的控制。

为了实现大型空间柔性空间结构的主动振动抑制，许多学者讨论了在空间柔性结构上粘贴智能结构，利用压电材料做成的执行机构/传感器能够适用于柔性结构的振动抑制。但是压电材料作为执行机构/传感器在大型空间柔性结构中的应用存在一定的问题，其最大缺点是压电执行结构提供的驱动力小。为了提供大型结构主动振动控制所需要的驱动能量，不得不增加执行机构的数目。执行机构的增加会给控制器的设计带来难度，而且计算量也会增加，这会对控制的实时性产生影响。继而有学者提出了陀螺柔性体理论，陀螺柔性体是指具有连续储存的角动量的柔性体，角动量装置可以直接产生控制力矩用于柔性结构的振动抑制。但是在实际应用中不可能实现连续配置的角动量装置，角动量装置的配置必定是离散的，逐点配置的。因此，将配置有离散角动量装置的柔性体定义为陀螺柔性体。要实现角动量装置对柔性体的主动振动抑制，需要考虑角动量执行机构的优化配置，也就是将执行机构配置在柔性结构的什么位置能够具有较好的振动抑制效果。

要实现执行机构的优化配置，需要建立合适的动力学模型，具有压电执行机构的柔性体模型中往往忽略执行机构的质量，而陀螺执行机构安装在柔性体上时，对柔性体的动力学影响较大，因此建模中需要考虑陀螺执行机构对柔性体的影响。另外，执行机构优化配置需要选择合适的性能指标，大多数执行机构/传感器的优化配置是以可观可控性为性能指标进行配置的，这种配置方式能够得到较好的系统可观性和可控性，但是配置结果在振动抑制效果上并不一定是最好的，而且这种配置方法计算量相对较大。

要得到振动抑制效果较好的优化配置构型，需要在一定的控制条件下取得。大多数的复合控制器虽然能够得到较好的控制效果，但是计算量大，效率低。因此可以以简单控制器为工具，以控制效果为目标，对执行机构进行优化配置。基于以上情况，设计一种以振动抑制效果为目标的高效陀螺柔性体执行机构优化配置方法显得尤为重要。

发明内容

本发明的目的是针对主动振动抑制执行机构的安装方式，提出的一种高效的约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，为执行机构安放好坏提供了一种定量判断指标，使优化配置后构型能够实现对柔性体的快速振动抑制。

本发明提供的一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，适用于具有陀螺执行机构的约束梁结构和约束板结构，本发明的方法包括以下步骤：

步骤一、建立柔性体的有限元模型，并对所建立的有限元模型做模态分析；

步骤二、建立柔性体的基体坐标系和陀螺的框架坐标系，确定陀螺执行机构在柔性体上的初始安装方向，即确定框架坐标系和本体坐标系的坐标转换矩阵；

步骤三、利用Kane(凯恩)方法建立约束陀螺柔性体的动力学模型，动力学模型中应该包含执行机构对柔性体的影响；

步骤四、对步骤三所建立的动力学模型进行简化，将输入变量转化为陀螺的框架角速度；

步骤五、将陀螺在柔性体上的安装看成柔性体的主动阻尼，根据步骤三中所建立的动力学模型设计简单的控制器，并证明控制器的稳定性；

步骤六、根据步骤五所设计的控制器，判断执行机构安装位置对柔性体振动抑制的效果，在相同的控制器参数的条件下，以振动抑制时间为目标或振幅衰减程度为指标，控制器抑制振动越快或在相同时间内振幅衰减越快说明该安装位置越好。

其中，步骤二中的确定陀螺执行机构在柔性体上的初始安装方向，要根据陀螺输出力矩来确定，输出力矩应该能够实现对柔性结构的弯曲和扭转变形进行有效的抑制。

其中，步骤三中利用Kane(凯恩)方法建立约束陀螺柔性体的动力学模型，是将陀螺框架与柔性体的连接及陀螺框架与转子之间的连接看成单自由度的转动连接，并给出了陀螺柔性体的拓扑构型，建立了陀螺柔性体的动力学模型，该模型中包含了陀螺执行机构对柔性结构的影响。

其中，步骤五中有效回避了对模态坐标的测量，柔性结构模态坐标是不可测的，而柔性结构的角速度是可测的，将测量的角速度通过一定的比例直接反馈到陀螺柔性系统中，用以增加柔性结构的阻尼，所设计的反馈控制器简单，且具有全局稳定性能。

其中，步骤六中给出了判断执行机构安装位置处振动抑制好坏的判别标准，以时间为判别标准，或者在相同时间内，以振动衰减程度为判别标准，确定安装构型的优劣。

本发明提出了一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，其优点及功效在于：该方法将陀螺执行机构的安装位置通过有限元模型中的节点来表示，实现了执行机构安装与有限元模型的紧密结合，为陀螺柔性体的动力学建模提供了方便；本方法在动力学建模中考虑了陀螺对柔性体的影响，所得到的动力学模型更精确；该方法以振动抑制的快慢作为执行机构安装位置好坏的判断，与现有方法相比，该方法更能体现振动抑制的效果，而且该算法能够快速判断执行机构安装位置的可行性，同时该方法简单易于实施，是一种理想的优化配置方法。

附图说明

图1约束陀螺柔性体的一般构型。

图2陀螺柔性体的拓扑构型。

图3a、图3b约束边界陀螺柔性板。

图4节点19安装陀螺时的模态坐标响应。

图5节点46安装陀螺时的模态坐标响应。

图6节点104安装陀螺时的模态坐标响应。

图7节点137安装陀螺时的模态坐标响应。

图8节点206安装陀螺时的模态坐标响应。

图9节点233安装陀螺时的模态坐标响应。

图10本发明方法的流程框图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的技术方案做进一步的说明。

如图10所示，本发明一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，具体包括如下步骤：

第一步，建立柔性体的有限元模型，并对所建立的有限元模型做模态分析。约束陀螺柔性体的一般构型如图1所示，柔性体的一端为固定约束，另一端自由，陀螺执行机构嵌入到柔性体中，柔性体可以为梁结构也可以为板结构，柔性体通常具有无穷维自由度，为方便系统动力学建模，可以将柔性体位移离散为有限维固有模态的线性组合，为此需要假设柔性体的变形为小变形，则柔性体的位移可以通过通过离散化的模态坐标表示为：

${\stackrel{\→}{u}}_b=O_b^T{T}_{m,b}{\mathrm{\τ}}_b$

其中，上标“T”代表转置运算，O_b为柔性体上的固连坐标系，T_m,b为柔性体上质量微元处的平动模态矩阵，τ_b为质量微元处的模态坐标。

柔性体固有模态的获得是通过有限元分析得到的，要得到给定约束陀螺柔性体的固有模态首先要建立柔性体的有限元模型，如果约束柔性体为梁结构，将约束边界梁离散为N_x个梁单元，有限元可以得到N_x+1个节点；如果约束柔性体为板结构，将板结构离散为N_x×N_y个板单元，板的有限元模型中可以得到(N_x+1)×(N_y+1)个节点，对有限元模型做模态分析可以得到柔性体的模态阵型。

第二步，建立柔性体的基体坐标系和陀螺的框架坐标系，确定陀螺执行机构在柔性体上的初始安装方向，即确定框架坐标系和本体坐标系的坐标转换矩阵。首先确立约束陀螺柔性体本体坐标系位置及各个轴的方向，如图1中所示将陀螺柔性体的本体坐标系建立在柔性体的固定端，如果柔性体为梁结构，则本体坐标系的原点在固定端点处，如果柔性结构为板结构，则本体坐标系的原点建立在固定边线的中心处，定义本体坐标系O_b的各个坐标轴的方向如下：轴沿柔性结构的中线由固定端指向自由端，沿固定端边线由原点指向上边缘，根据右手法则得到；继而建立陀螺的框架坐标系，第i个陀螺的框架坐标系用O_gi来表示，陀螺框架坐标系固定在框架上随着陀螺框架的转动而转动，框架坐标系的原点在框架的质心处，其中框架坐标系的轴沿框架速率输出方向，框架坐标系的轴沿转子自转轴方向，轴根据右手法则确定；陀螺转子坐标系O_ri的原点在转子的中心处，坐标轴与方向相同。建立了陀螺柔性体的本体坐标系和陀螺的框架坐标系后，可以通过坐标转换关系确定框架坐标系在本体坐标系中的初始方向，即，陀螺的初始安装方向，将陀螺初始安装下的框架坐标系表示为O_gi0，对应于坐标轴的初始方向为假设坐标系O_b到坐标系O_gi0是经过三次转动得到的，而每一次绕其新的连体坐标系的某一轴的转动作为描述物体转动的参数，记O_b第一次绕轴转动的角度为转动后的坐标系为O_b1，则坐标系O_b与O_b1之间的坐标转换矩阵可以写为：

第二次转动为坐标系O_b1绕轴转动得到坐标系O_b2，转角记为则坐标系O_b1与O_b2之间的坐标转换关系为：

第三次转动为坐标系O_b2绕轴转动得到O_gi0，转角记为则坐标系O_b2与O_gi0之间的坐标转换关系为：

经过以上三次转动可以得到坐标系O_b与坐标系O_gi0之间的坐标转换矩阵为：

A_b,gi0＝A_b,1A_1,2A_2,gi0 (4)

整理后可以得到：

坐标转化矩阵A_b,gi0确定了第i个陀螺在柔性结构上的初始安装方向。

第三步，利用Kane(凯恩)方法建立约束陀螺柔性体的动力学模型，动力学模型中应该包含执行机构对柔性体的影响。陀螺安装在柔性体上实现柔性体的振动抑制，陀螺的框架和转子可以看成是通过转动关节连接的两个刚体，陀螺柔性体的拓扑构型如图2所示，

选择陀螺柔性系统广义速度

$u_1={\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b,u_{2i+1}={\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_i,u_{2i+2}={\mathrm{\Ω}}_i,(i=1,\mathrm{...}{n}_j)$

其中，上标“·”代表求导运算，和Ω_i分别为柔性体上第i个陀螺的框架角速度及转子角速度，n_j为柔性体上安装的总的陀螺的个数。

利用Kane方法建立陀螺柔性体的动力学模型：

$f_{Is}^{*}+f_{As}^{*}+f_{Ns}^{*}=0,(s=1,...,n)---\left(6\right)$

其中和分别为第s个广义速度对应的广义惯性力，n＝1+2n_j为广义坐标的个数，广义主动力和广义弹性力；广义惯性力的求解方法如下：

$f_{Is}^{*}=-({\∫}_b\frac{\∂v_{m,b}}{\∂u_s}\·\frac{{\mathrm{dv}}_{m,b}}{dt}dm+\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{gi}\frac{\∂v_{m,gi}}{\∂u_s}\·\frac{{\mathrm{dv}}_{m,gi}}{dt}dm+\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{ri}\frac{\∂v_{m,ri}}{\∂u_s}\·\frac{{\mathrm{dv}}_{m,ri}}{dt}dm),(s=1,...,n)$

其中，v_m,b为柔性体上质量微元的速度，v_m,gi和v_m,ri分别为柔性体上第i个陀螺的框架质量微元的速度和转子质量微元的速度，各个速度的表示如下：

${\stackrel{\→}{v}}_{m,b}=O_b^T{T}_{m,b}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b$

${\stackrel{\→}{v}}_{m,gi}=O_b^T(T_{gi,b}-A_{b,gi}{\tilde{r}}_{m,gi}{A}_{gi,b}{R}_{gi,b}){\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b-O_{gi}^T{\tilde{r}}_{m,gi}{U}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_i$

${\stackrel{\→}{v}}_{m,ri}=O_b^T(T_{gi,b}-A_{b,ri}{\tilde{r}}_{m,ri}{A}_{ri,b}{R}_{gi,b}){\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b-O_{ri}^T{\tilde{r}}_{m,ri}{A}_{ri,gi}{U}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_i-O_{ri}^T{\tilde{r}}_{m,ri}{U}_y{\mathrm{\Ω}}_i$

式中，T_gi,b和R_gi,b分别为柔性结构上第i个陀螺安装点处的模态平动阵和模态转动阵，r_m,gi为框架质量微元在框架坐标系中的位置向量，r_m,ri为转子质量微元在转子坐标系中的位置向量，A_x,y为坐标系O_y相对与坐标系O_x的坐标转换矩阵，U_x和U_y定义为如下形式：

U_x＝[1 0 0]^T，U_y＝[0 1 0]^t (7)

广义主动力的求解公式如下：

$f_{As}^{*}=\frac{\∂v_{b,O}}{\∂u_s}\·{\stackrel{\→}{F}}_{b,O}+\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_{b,O}}{\∂u_s}\·{\stackrel{\→}{T}}_{b,O}+\frac{\∂v_{b,Q}}{\∂u_s}\·{\stackrel{\→}{F}}_{b,Q}+\frac{\∂{\mathrm{\ω}}_{b,Q}}{\∂u_s}\·{\stackrel{\→}{T}}_{b,Q},(s=1,...,n)$

其中，v_b,O和ω_b,O分别为柔性体基体坐标系原点O处的速度和角速度，v_b,Q和ω_b,Q为柔性体上受力点或力矩施加点Q处的速度和角速度，和原点O处所受到的力和力矩，和为Q点所受到的力及力矩。由于柔性体基体坐标系建立在约束端，因此v_b,O＝0，ω_b,Q＝0，点Q处的速度和角速度可以写为如下形式：

${\stackrel{\→}{v}}_{b,Q}=O_b^T{T}_{Q,b}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b,{\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}}_{b,Q}=O_b^T{R}_{Q,b}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b$

式中，T_Q,b和R_Q,b分别为柔性结构上Q点处的模态平动阵和模态转动阵

忽略柔性体自身的阻尼，弹性速度对应的广义弹性力为：

$f_{N1}^{*}=-K_b{\mathrm{\τ}}_b---\left(8\right)$

其余广义坐标对应的广义弹性力为

根据公式(6)可以得到陀螺柔性体的动力学模型，由于陀螺执行机构主要对柔性结构实现主动振动抑制，因此，模型中只考虑广义速度所对应的动力学，

则

$f_{I1}^{*}=E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+F_{gyros}---\left(9\right)$

其中

$E_b^a=E_b+\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{gi}^a{T}_{gi,b}^T{T}_{gi,b}+R_{gi,b}^T{\hat{J}}_{gi}^a{R}_{gi,b}$

$E_b={\∫}_b{T}_{m,b}^T{T}_{m,b}dm$

$m_b^a=m_b+\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{gi}^a,m_{gi}^a=m_{gi}+m_{ri}$

${\hat{J}}_{gi}^a=A_{b,gi}{J}_{gi}^a{A}_{gi,b},J_{gi}^a=J_{gi}+A_{gi,ri}{J}_{ri}{A}_{ri,gi}$

$J_{gi}=d\[\begin{array}{ccc}{J}_{gi}^x& J_{gi}^y& J_{gi}^z\end{array}\],J_{ri}=d\[\begin{array}{ccc}{J}_{ri}^x& J_{ri}^y& J_{ri}^z\end{array}\],J_{ri}^x=J_{ri}^z$

框架和转子的惯性矩阵中d[x]表示方阵主对角线上的元素为向量的x值，陀螺力矩项F_gyros可以表示为：

$F_{gyros}=\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{gi,b}^T{T}_{gyros,i},T_{gyros,i}=T_{gyros,i}^r+T_{gyros,i}^e$

式中

$T_{gyros,i}^r=c_{zi}{J}_{ri}^y{\mathrm{\Ω}}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i$

$T_{gyros,i}^e={\widetilde{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}}_{gi}{c}_{xi}{J}_{gi}^{ax}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+{\widetilde{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}}_{gi}{c}_{yi}{J}_{ri}^y{\mathrm{\Ω}}_i+\[c_{zi}(J_{gi}^{ay}-J_{gi}^{az})c_{yi}^T+c_{yi}(J_{gi}^{ay}-J_{gi}^{az})c_{zi}^T\]{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{gi}{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i$

变量为柔性结构上第i个陀螺的质心节点处的弹性转角， 是通过得到的，向量c_xi，c_yi和c_zi是通过下式定义的：

$A_{b,gi}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\[\begin{array}{ccc}{c}_{xi}& c_{yi}& c_{zi}\end{array}\]$

对应于广义速度的广义主动力为：

$f_{A1}^{*}=T_{Q,b}{F}_{b,Q}+R_{Q,b}{T}_{b,Q}---\left(10\right)$

将公式(8)，(9)和(10)相加可以得到陀螺柔性体的振动方程。

$E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+F_{gyros}+K_b{\mathrm{\τ}}_b=T_{Q,b}{F}_{b,Q}+R_{Q,b}{T}_{b,Q}$

第四步，对步骤三所建立的动力学模型进行简化，将输入变量转化为陀螺的框架角速度。通常情况下陀螺框架运动量较小，可以对框架转角及框架角速度做小量假设，方便动力学模型的简化。优化配置时假设柔性体上无主动外力和力矩作用，所有控制量均由控制力矩陀螺提供，对步骤三中所建立的动力学模型进行简化，模型简化时舍弃动力学中的高阶小量项和项，则系统动力学模型可以简化为：

$E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{gi,b}^T(c_{zi}{h}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+{\widetilde{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}}_{gi}{c}_{yi}{h}_i)+K_b{\mathrm{\τ}}_b=0---\left(11\right)$

其中，为第i个转子的角动量大小，将转动模态向量划分为根据第二步中确定的陀螺执行机构的初始安装方向和陀螺框架运动的小量假设，可以将陀螺柔性体动力学模型简化为如下形式：

$E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+G_b{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+K_b{\mathrm{\τ}}_b=B_b^{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}$

当第二步中确定的陀螺初始安装方向O_gi0与O_b重合时，则

$G_b={\mathrm{\ΣG}}_i,G_i=({R_{gi}^z}^T{R}_{gi}^x-R_{gi}^{xT}{R}_{gi}^z)h_i$

$B_b^{\mathrm{\τ}}=\[B_1^{\mathrm{\τ}},B_2^{\mathrm{\τ}},\mathrm{...},B_{n_j}^{\mathrm{\τ}}\],B_i^{\mathrm{\τ}}=-R_{gi}^{zT}{h}_i$

当O_gi0与O_b坐标转换矩阵为

$A_{b,gi0}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

则

$G_b={\mathrm{\ΣG}}_i,G_i=(R_{gi}^{xT}{R}_{gi}^y-R_{gi}^{yT}{R}_{gi}^x)h_i$

$B_b^{\mathrm{\τ}}=\[B_1^{\mathrm{\τ}},B_2^{\mathrm{\τ}},...,B_n^{\mathrm{\τ}}\],B_i^{\mathrm{\τ}}=-R_{gi}^{xT}{h}_i.$

第五步，将陀螺在柔性体上的安装看成柔性体的主动阻尼，根据步骤三中所建立的动力学模型设计简单的控制器，并证明控制器的稳定性。由于模态坐标在工程中是无法测量的，但是柔性结构上的角速度可以通过角速度传感器测量得到，将测量得到的角速度值通过一定的比例直接反馈到系统中以增加系统的阻尼，因此设计系统简单的控制器如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=-k_d{B}_b^{\mathrm{\τ}T}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b---\left(12\right)$

其中k_d＝d[k_d1,...,k_dn]，k_di＞0为控制器的增益，构造如下李亚普诺夫函数，利用李亚普诺夫方法证明控制器的稳定性:

$L=\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{E}_b^a{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\frac{1}{2}{\mathrm{\τ}}_b^T{K}_b{\mathrm{\τ}}_b---\left(13\right)$

对李亚普诺夫函数求导可以得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{L}=\frac{1}{2}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{E}_b^a{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{E}_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{K}_b{\mathrm{\τ}}_b+\frac{1}{2}{\mathrm{\τ}}_b^T{K}_b{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\\ =\frac{1}{2}{(E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+K_b{\mathrm{\τ}}_b)}^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T(E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+K_b{\mathrm{\τ}}_b)\\ =\frac{1}{2}{(B_b^{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}-G_b{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b)}^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+\frac{1}{2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T(B_b^{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}-G_b{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b)\\ ={\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{B}_b^{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\\ =-{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b^T{B}_b^{\mathrm{\τ}}{k}_d{B}_b^{\mathrm{\τ}T}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\≤0\end{array}---\left(14\right)$

因此陀螺柔性系统是李亚普诺夫稳定的，根据LaSalle不变集原理，其不变集为由于可以得到继而可得Λ_bτ_b＝0，这意味着τ_b＝0，因此陀螺柔性系统为全局渐进稳定的。

第六步，根据步骤五所设计的控制器，判断执行机构安装位置对柔性体振动抑制的效果。设定柔性振动的范围，即柔性振动到达某一设定值之内，则认为振动得到了抑制，根据振动抑制的时间判断执行机构在某个节点的安装位置上对柔性体振动抑制的效果，如果振动抑制需要较长的时间，可以设定某个时间，在该时间点上判断振幅衰减的程度来确定振动抑制的效果，控制器抑制振动越快说明该安装位置越好。

实施例

实施例对约束板柔性结构进行执行机构优化配置，验证本发明方法的有效性。

(1)对图3a所示的陀螺柔性板结构建立有限元模型，约束板的长为10m，宽为6米，将板结构离散为21×13个板单元，板的有限元模型中可以得到273个节点，对有限元模型做模态分析可以得到系统的模态平动阵和模态转动阵。

(2)将陀螺柔性体本体坐标系O_b建立在柔性板固定端的中心处，如图3a所示，其中本体坐标系的x轴沿板的中心线由固定端指向自由端，y轴沿板的固定边线由中心点指向内测，z轴根据右手法则确定。第i个陀螺的框架坐标系的初始方向如图3b所示，陀螺框架转轴的方向沿本体坐标系x轴的负方向，陀螺转子转轴的方向沿本体系的z轴方向，根据右手法则确定，则坐标系O_b到坐标系O_gi0的三次转动角分别为坐标转换矩阵：

$A_{b,1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right],A_{1,2}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],A_{2,gi0}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

继而可以得到陀螺框架坐标系初始安装方向O_gi0与本体坐标系之间的坐标转换矩阵为

$A_{b,gi0}=A_{b,1}{A}_{1,2}{A}_{2,gi0}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

(3)本发明方法步骤三中所建立的动力学模型同样适用于约束陀螺柔性板结构，即陀螺柔性板的振动方程可以表示为：

$E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+F_{gyros}+K_b{\mathrm{\τ}}_b=T_{Q,b}{F}_{b,Q}+R_{Q,b}{T}_{b,Q}---\left(15\right)$

柔性板及陀螺的质量特性和几何数据如下表一所示

表一

(4)根据框架运动小量假设可知：

$c_{yi}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],c_{zi}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$

则式

$\begin{array}{c}{F}_{non}^{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}=\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{gi,b}^T(c_{zi}{h}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i+{\widetilde{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}}_{gi}{c}_{yi}{h}_i)\\ =\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}(\[R_{gi}^{xT},R_{gi}^{yT},R_{gi}^{zT}\]\left[\begin{array}{ccc}0& -R_{gi}^z{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b& R_{gi}^y{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\\ R_{gi}^z{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b& 0& -R_{gi}^x{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\\ -R_{gi}^y{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b& R_{gi}^x{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]h_i+\[R_{gi}^{xT},R_{gi}^{yT},R_{gi}^{zT}\]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]h_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i)\\ =\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}(\[R_{gi}^{xT},R_{gi}^{yT},R_{gi}^{zT}\]\left[\begin{array}{c}{R}_{gi}^y{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\\ -R_{gi}^x{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b\\ 0\end{array}\right]h_i+R_{gi}^{yT}{h}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i)\\ =\underset{i=1}{\overset{n_j}{\mathrm{\Σ}}}\[(R_{gi}^{xT}{R}_{gi}^y{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b-R_{gi}^{yT}{R}_{gi}^x{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b)h_i+R_{gi}^{yT}{h}_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_i\]\end{array}---\left(16\right)$

将式(16)代入到式(11)中，则动力学简化后的模型可以写为：

$E_b^a{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\τ}}}_b+G_b{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b+K_b{\mathrm{\τ}}_b=B_b^{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}---\left(17\right)$

其中

$G_b={\mathrm{\ΣG}}_i,G_i=(R_{gi}^{xT}{R}_{gi}^y-R_{gi}^{yT}{R}_{gi}^x)h_i$

$B_b^{\mathrm{\τ}}=\[B_1^{\mathrm{\τ}},B_2^{\mathrm{\τ}},\mathrm{...},B_n^{\mathrm{\τ}}\],B_i^{\mathrm{\τ}}=-R_{gi}^{yT}{h}_i.$

(5)陀螺柔性板上与执行机构共位安装处的传感器测量板的绝对角速度沿初始时刻控制力矩陀螺输出力矩方向的分量，即第i个陀螺安装处的敏感器输出为：

$y_i=R_{gi}^y{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b$

假设所有陀螺的角动量大小相等，此处设角动量h_i＝5Nm/s,则陀螺柔性体的输出可以表示为：

$Y=B_b^{\mathrm{\τ}T}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b$

控制器即为输出量的比例反馈，

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=-k_d{B}_b^{\mathrm{\τ}T}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_b$

选取控制器参数

(6)选择节点19、46、104、137、206和233共6个不同的节点位置安装陀螺执行机构，选择柔性板的前12阶模态用作执行机构优化配置分析，前四阶模态坐标的初始值为[0.6,0.5,-0.2,-0.2]，其余初始模态坐标值设为零，初始模态速度值均设为零，各节点的前四阶模态响应曲线如图4-9所示。通过相应曲线可以看出，节点19处安装陀螺执行机构对柔性结构的振动抑制较其它位置快，即振动抑制效果好。

以上所述是本发明的实施方法，本发明针对约束陀螺柔性体执行机构优化配置给出了一种高效的配置方法，通过该方法得到的约束陀螺柔性体能够较好的实现振动抑制的效果具有良好的推广前景。

Claims (1)

1.一种约束陀螺柔性体执行机构优化配置的方法，适用于具有陀螺执行机构的约束梁结构和约束板结构，具体包括以下步骤：

步骤一、建立柔性体的有限元模型，并对所建立的有限元模型做模态分析；

步骤二、建立柔性体的基体坐标系和陀螺的框架坐标系，确定陀螺执行机构在柔性体上的初始安装方向，即确定框架坐标系和本体坐标系的坐标转换矩阵；

步骤三、利用凯恩方法建立约束陀螺柔性体的动力学模型，动力学模型中应该包含执行机构对柔性体的影响；

步骤四、对步骤三所建立的动力学模型进行简化，将输入变量转化为陀螺的框架角速度；

步骤五、将陀螺在柔性体上的安装看成柔性体的主动阻尼，根据步骤三中所建立的动力学模型设计简单的控制器，并证明控制器的稳定性；

步骤六、根据步骤五所设计的控制器，判断执行机构安装位置对柔性体振动抑制的效果，在相同的控制器参数的条件下，以振动抑制时间为目标或振幅衰减程度为指标，控制器抑制振动越快或在相同时间内振幅衰减越快说明该安装位置越好。