CN113945130A - 一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于精密计量与计算机应用领域，具有涉及一种稳定、快速、形式简单的阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法。本发明包含以下步骤：获取被测段和基准段的初始测点集；进行预定位，获得预定位后的基准段测点集、被测段测点集和基准段截面初始圆心坐标集；根据基准段各截面测点构造参数矩阵，由关键点集构造分析矩阵进行分析，并决定寻优策略；根据寻优结果更新基准段截面圆心坐标集；由基准段截面圆心坐标集构造参数矩阵，由关键点集构造分析矩阵进行分析，并决定寻优策略；根据寻优结果更新基准段和被测段的测点集及相关参数；判断基准段和被测段的是否符合设计尺寸要求；计算并判断被测阶梯轴的被测段的径向圆跳动误差是否合格。
Description
技术领域
本发明属于精密计量与计算机应用领域，具有涉及一种稳定、快速、形式简单的阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，可用于以待测轴段两侧指定轴段的轴线为公共基准轴线的阶梯轴的径向圆跳动的评定，并为其加工工艺的改进提供指导。
背景技术
阶梯轴是机械加工中较为常见的轴类零件，其加工过程中产生的尺寸误差、形位误差（形状误差和位置误差的简称）直接影响产品质量、装配及其使用寿命，快速、准确地计算零件误差，具有重要的意义。
径向圆跳动是轴类零件几何公差的重要指标之一，国家标准GBT 1182-2008和GBT1958 -2004及ISO 1101:2012（E）标准中给出了径向圆跳动误差的定义和检测方法，但并未给出由具体的测量数据计算径向圆跳动误差值的方法。而且，当前流行的五类评定方法都难以直接用于阶梯轴的径向圆跳动误差的评定。
第一类，专门的几何评定方法。利用圆柱的几何性质，按照外切圆柱的平移和变形策略，逐步寻找符合国家标准和ISO标准的定义和/或判别条件的径向圆跳动误差。这类方法速度较快，但数学建模较为复杂，不易于推广使用。
第二类，凸包或类凸包评定方法。利用凸包的性质构建凸包或类凸包，获取有效测量数据，缩小待评定数据规模，最终通过枚举法取得符合国家标准和ISO标准的定义和/或判别条件的径向圆跳动误差。这类方法处理中等规模的测点数据时有明显的优势。对于数据规模较大的场合，也可以通过构建凸包来缩小数据规模，但当这类方法用于直接评定时，效率会显得有所不足。
第三类，构建线性或非线性的目标优化函数，并采用一般优化方法进行优化求解，目标优化函数的优化值作为径向圆跳动误差。这类方法简单易懂，在很多软件中实现了标准解法，易于推广。然而，由于没有加入径向圆跳动误差评定的几何特点，且未考虑评定任务中数据规模较大的情况，这类方法的效率普遍不高。
第四类，人工智能/生物智能算法。这类方法相较于第三类方法的优势在于分析“具有复杂梯度解析式或没有明显解析式的目标函数”和寻找“全局最优值”。这类方法目前也在很多软件中实现了标准解法，也易于推广。虽然目前这类方法比较流行，但并不适用于径向圆跳动误差的评定。这是因为径向圆跳动误差评定的目标函数的梯度是大量简单解析式之和，且目标函数的“局部最优值”就是“全局最优值”。因此，该类方法相较于第三类方法并未具备明显优势。
第五类，有效集法。有效集法是专门处理大规模规划问题的一种方法，其特点在于在寻优过程中尽量减少对“无效约束”的处理。应用于径向圆跳动误差评定时，效率与第一类方法相当，算法成熟度和软件集成度与第三类、第四类方法相当，是目前较为快速、简单的径向圆跳动误差评定方法。但是，这种方法对初始值非常敏感，并不是总能稳定地完成几何评定任务。
综上所述，目前的几何评定方法应用于阶梯轴的径向圆跳动误差的评定时，不能同时兼顾稳定、快速和形式简单。
发明内容
本发明的目的是：
本发明针对现有技术存在的问题和不足，提供一种稳定、快速、形式简单的，以待测轴段两侧指定轴段的轴线为公共基准轴线的阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，评定结果可以为其加工工艺的改进提供指导。
本发明适用于如减速器中的各级传动轴等对轴的加工精度有较高要求且以待测轴段两侧指定轴段的轴线为公共基准轴线的阶梯轴的径向圆跳动误差的评定。
本发明以减速器中的阶梯轴为例，验证一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，测量过程中，将待测阶梯轴置于三坐标测量仪测量平台上并装夹固定，使阶梯轴轴线近似垂直于测量平台上表面，利用三坐标测量仪测头对待测轴段圆柱表面进行测点采集。
本发明采用的方案是：
一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，其评定过程由以下步骤组成：
步骤0：获取被测段的初始测点集{Q i，j *}：以待测轴段的圆柱面为被测段，在该圆柱上沿轴线方向等距截取i个截面，在每个截面圆的圆周上均匀选取j个测点，各截面均垂直于该圆柱的轴线，该i×j个测点构成被测段的初始测点集{Q i，j *}；其中：
i=1, 2, 3, …, N；i为截面序号，N为截面总数；
j=1, 2, 3, …, M；j为单个截面上的测点序号，M为单个截面测点总数；
Q i，j *={x i，j *，y i，j *，z i，j *}是被测段测点的初始空间直角坐标。
步骤0结束后进行步骤1。
步骤1：获取基准段的初始测点集{P k，j *}：以待测轴段两侧轴段的圆柱面分别作为基准段1和基准段2，在基准段1的圆柱上沿轴线方向等距截取K个截面，在基准段2的圆柱上沿轴线方向等距截取K个截面，在每个截面圆的圆周上均匀选取j个测点，各截面均垂直于轴线，该k×j个测点构成基准段的初始测点集{P k，j *}；其中：
k=1, 2, 3, … , 2K；k为截面序号，2K为基准段截面总数；
j=1, 2, 3, … , M；j为单个截面上的测点序号，M为单个截面测点总数；
P k，j *={x k，j *，y k，j *，z k，j *}是基准段测点的初始空间直角坐标。
步骤1结束后进行步骤2。
步骤2：对该阶梯轴进行如下预定位：选取所有基准段测点坐标中的x k，j *max和x k，j *min，计算平均值x o* =（x k，j *max+ x k，j *min）/2，选取所有基准段测点坐标中的y k，j *max和y k，j *min，计算平均值y o*=（y k，j *max+y k，j *min）/2；获取预定位后的基准段测点P k，j ，并用其组成基准段测点集{P k，j }；获取预定位后的被测段测点Q i，j ，并用其组成被测段测点集{Q i，j }；获取预定位后基准段各截面圆的预定圆心坐标O k ，并用其组成基准段截面初始圆心坐标集{O k }；其中：
P k，j ={x k，j ，y k，j ，z k，j }是预定位后基准段测点的空间直角坐标，其中：x k，j = x k，j *- x o*，
y k，j = y k，j *- y o*，z k，j = z k，j *，并且基准段圆柱轴线接近坐标系的z轴，基准段两侧端面的中心平面近似平行于坐标系的XOY平面；
Q i，j ={x i，j ，y i，j ，z i，j }是预定位后被测段测点的空间直角坐标，其中：x i，j = x i，j *- x o*，y i，j = y i，j *- y o*，z i，j = z i，j *，并且被测段圆柱轴线接近坐标系的z轴，被测段两侧端面的中心平面近似平行于坐标系的XOY平面；
O k ={x k ，y k ，z k }是预定位后基准段各截面圆的预定圆心的空间直角坐标，其中：x k = y k =0，z k = z k，j *。
步骤2结束后进行步骤2.1。
步骤2.1：在各截面中，根据基准段测点集{P k，j }分别建立特征行向量集{W k，j }，边界元素集{b k，j }和状态元素集{t k，j }；获取各截面圆的圆心坐标O k ’，并用其组成基准段截面圆心坐标集{O k ’}；其中：
W k，j =（[x k，j /t k，j ，y k，j /t k，j ]），是特征行向量，所有的特征行向量W k，j 的集合为特征行向量集{W k，j }；
B k，j =b，是一个大于0的实数，所有的边界元素b k，j 的集合为边界元素集{b k，j }；
O k ’={x k ’，y k ’，z k ’}是基准段各截面圆心的空间直角坐标，初始时，x k ’= x k ，y k ’= y k ，z k ’= z k 。
步骤2.1结束后进行步骤2.2。
步骤2.2：在各截面中，分别取各截面上t k，j 的最大值t max对应的序号e 1为关键序号，并将e 1分别加入到各自截面的关键序号集{e}中。
步骤2.2结束后进行步骤2.3。
步骤2.3：根据各截面的关键序号集{e}分别建立分析矩阵W和分析列向量b，其中：
W= […，W m T，…，W n T，…]T，是个E行2列的矩阵，E为关键序号集{e}中的元素个数，m，n为关键序号集{e}中的元素；
b= […，b m ，…，b n ，…]T，是个E行的列向量。
步骤2.3结束后进行步骤2.4。
步骤2.4：对分析矩阵W及增广分析矩阵[W，b]进行秩分析。
计算r W =rank(W)，r Wb =rank([W，b])，并比较r W 和r Wb ，分为以下两种情况：
情况一：如果r W =r Wb ，应当继续寻优，执行步骤2.5；
情况二：如果r W <r Wb ，尝试从分析矩阵W和分析列向量b中去除关键序号集{e}中某元素f对应的行，得到缩减矩阵W f- 和缩减列向量b f- ，根据W f- U f- = b f- 求解得到U f- =U f-0，然后计算 b f- =W f U f-0；如果关键序号集{e}中的元素都已尝试过，且未得到任何一个b f- >b，那么应当结束寻优，跳到步骤2.7；如果在尝试关键序号集{e}中的元素f时，得到b f- >b，那么将缩减矩阵W f- 和缩减列向量b f- 分别作为分析矩阵W和分析列向量b，将元素f移出关键序号集{e}，并跳到步骤2.5；其中：U f- =[w f-,1，w f-,2]T，U f-0= [w f-0,1，w f-0,2]T。
步骤2.5：求线性方程组WU=b的解U=U 0，其中 U=[U 1，U 2]T，U 0=[U 0,1，U 0,2]T。
步骤2.5结束后进行步骤2.6。
步骤2.6：在各截面中，分别计算u k，j = W k，j U 0，然后计算τ k = (t max-t k，j )/(b-u k，j )；分别取τ k 中大于零的那部分的最小值τ min对应的序号e 2为新的关键序号，并将e 2加入到各截面的关键序号集{e}中；
根据各截面上的τ min和U 0，将各截面圆的圆心坐标O k ’更新为O k ’+τ min∙[U 1，U 2，0]T；
在各截面中，分别根据更新后的截面圆的圆心坐标O k ’和该截面上各测点的坐标P k，j 更新状态元素集{t k，j }，t max更新为t k，j 的最大值。
步骤2.6结束后完成一次寻优，进行步骤2.3。
步骤2.7：提取各截面最终更新的截面圆的圆心坐标O k ’，并用其更新基准段截面圆心坐标集{O k ’}。
步骤2.7结束后进行步骤3。
步骤3：获取最终更新的基准段截面圆心坐标集{O k ’}，根据{O k ’}建立特征行向量集{A k }，边界元素集{b k }，状态元素集{s k }；提取步骤2中的被测段测点集{Q i，j }，根据{Q i，j }建立状态元素集{T i，j }；提取步骤2中的基准段测点集{P k，j }，根据{P k，j }重新建立状态元素集{t’ k，j }；其中：
O k ’={x k ’，y k ’，z k ’}是基准段各截面圆心的空间直角坐标；
A k =（[-x k ’/s k ，- y k ’/s k ，y k ’ z k ’/s k ，- x k ’ z k ’/s k ]），是特征行向量，所有的特征行向量A k 的集合为特征行向量{A k }；
B k =b，是一个大于0的实数，所有的边界元素b k 的集合为边界元素集{b k }；
{T i，j }；
步骤3结束后进行步骤3.1。
步骤3.1：取s k 最大值s max对应的序号l 1为关键序号，并将l 1加入到关键序号集{l}中。
步骤3.1结束后进行步骤3.2。
步骤3.2：根据关键序号集{l}建立分析矩阵A和分析列向量b’，其中：
A=[…，A p T，…，A q T，…]T，是个L行4列的矩阵，L为关键序号集{l}中的元素个数，p，q为关键序号集{l}中的元素；
b’=[…，b p ，…，b q ，…]T，是个L行的列向量。
步骤3.2结束后进行步骤3.3。
步骤3.3：对分析矩阵A及增广矩阵[A，b’]进行秩分析。
计算r A = rank(A)，r Ab’ = rank([A，b’])，并比较r A 和r Ab’，分为以下两种情况：
情况一：如果r A = r Ab’，应当继续寻优，执行步骤3.4；
情况二：如果r A <r Ab ，尝试从分析矩阵A和分析列向量b’中去除关键序号集{l}中某元素l对应的行，得到缩减矩阵A l- 和缩减列向量b’ l- ，根据A l- Ψ l- = b’ l- 求解得到Ψ l- =Ψ l-0，然后计算 b’ l- =A l Ψ l-0；如果关键序号集{l}中的元素都已尝试过，且未得到任何一个b’ l- >b，那么应当结束寻优，跳到步骤4；如果在尝试关键序号集{l}中的元素l时，得到b’ l- >b，那么将缩减矩阵A l- 和缩减列向量b’ l- 分别作为分析矩阵A和分析列向量b’，将元素l移出关键序号集{l}，并跳到步骤3.4；其中Ψ l- =[v l-,1，v l-,2，v l-,3，v l-,4]T，Ψ l-0=[v l-0,1，v l-0,2，v l-0,3，v l-0,4]T。
步骤3.4：求线性方程组AΨ=b’的解Ψ=Ψ 0，其中 Ψ=[Ψ 1，Ψ 2，Ψ 3，Ψ 4]T，Ψ 0=[Ψ 0,1，Ψ 0,2，Ψ 0,3，Ψ 0,4]T。
步骤3.4结束后进行步骤3.5。
步骤3.5：计算v k =A k Ψ 0，然后计算τ’ k =(s max-s k )/(b-v k )；取τ’ k 中大于零的那部分的最小值τ’min对应的序号l 2为新的关键序号，并将l 2加入到关键序号集{l}中；
将基准段截面圆心坐标集{O k ’}更新为O k ’ +τ’min∙V 1，其中：
根据更新后的{O k ’}更新状态元素集{s k }，s max更新为s k 的最大值；
将被测段测点集{Q i，j }更新为Q i，j +τ’min∙ V 2，其中：
根据更新后的{Q i，j }更新状态元素集{T i，j }；
将基准段测点集{P k，j }更新为P k，j +τ’min∙ V 3，其中：
根据更新后的{P k，j }更新状态元素集{t’ k，j }。
步骤3.5结束后完成一次寻优，进行步骤3.2。
步骤4：获得最终的基准段测点状态元素集{t’ k，j }，比较所有基准段测点的t’ k，j ，其中的最大值t’ k，j max和最小值t’ k，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，判断基准轴段是否符合被测阶梯轴设计尺寸要求，如果符合，进行步骤5，否则，判定该阶梯轴基准段不符合尺寸要求，直接结束。
步骤5：获得最终的被测段测点状态元素集{T i，j }，比较所有被测段测点的T i，j ，其中的最大值T i，j max和最小值T i，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，判断被测轴段是否符合被测阶梯轴设计尺寸要求，如果符合，进行步骤6，否则，判定该阶梯轴被测段不符合尺寸要求，直接结束。
步骤6：在被测段各截面中，分别比较该截面上各测点的T i，j 值，计算T i =T max-T min即为该截面上的径向圆跳动误差；比较所有的T i ，其中的最大值为该圆柱的径向圆跳动误差；判断该阶梯轴的径向圆跳动误差是否符合其径向圆跳动公差要求；其中：T max为该截面上测点的T i，j 的最大值，T min为该截面上测点的T i，j 的最小值。
为了得到更精确的解，可以进行如下优化：
在步骤3.5中，如果τ ’ min ∙V i 的单次值或数次迭代的累加值∑τ ’ min∙ V i 大于给定的阈值a，那么，根据更新后的基准段截面圆心坐标集{O k ’}跳到步骤3中更新特征行向量集{A k }，边界元素集{b k }，状态元素集{s k }。为了便于数值计算，可以令b取一个具体的大于0的数值，可以但不限于1。
本发明的有益效果是：
1、充分考虑径向圆跳动的几何特点，简化评定形式，因此，比第一类评定方法更易于推广。2、充分考虑径向圆跳动的几何特点，每次迭代都通过成熟的线性运算得到一个更优的值，并会最终得到最小的径向圆跳动误差，因此，本算法比较稳定，不存在第五类方法的初值敏感问题。3、隐含径向圆跳动误差评定中“大部分测点是无效测点”的事实，这些无效的测点不会加入迭代，因此，本发明的迭代次数较少，与第一类评定方法和第五类评定方法相当。4、在计算寻优方向时，只考虑关键序号集{l}对应的测点，因此，每次迭代的运算量较小，与第五类评定方法相当。5、由于迭代次数较少、每次迭代的运算量较小，因此，总运算速度与第一类评定方法和第五类评定方法相当。
本发明提供了一种快速、稳定、形式简单的径向圆跳动误差的评定方法，可用于以待测轴段两侧指定轴段的轴线为公共基准轴线的阶梯轴的径向圆跳动的评定，并为其加工工艺的改进提供指导，因此具备工业可能性。
附图说明
图1为本发明的流程图。
图2为本发明的流程图。
图3为具体实施例中零件的公差设计图。
具体实施方式
以下是本发明的具体实施例，参照附图对本发明的方案作进一步的描述，但本发明并不限于这些实施例。
评定一个阶梯轴的径向圆跳动误差，其公差设计规范如图3所示。
步骤0：获取被测段的初始测点集{Q i，j *}如下：
步骤0结束后进行步骤1。
步骤1：获取基准段的初始测点集{P k，j *}如下：
步骤1结束后进行步骤2。
步骤2：获取预定位后的基准段测点集{P k，j }如下：
获取预定位后的被测段测点集{Q i，j }如下：
获取预定位后基准段截面初始圆心坐标集{O k }如下：
步骤2结束后进行步骤2.1。
步骤2.1：以截面1为例，根据截面1上各测点对应的基准段测点集{P k，j }中的{P 1，j }部分建立特征行向量集{W 1，j }如下：
建立边界元素集{b 1，j }如下：
{b 1，j }=[1，1，1，1，1，1]T；
建立状态元素集{t 1，j }如下：
获取基准段截面1的圆心坐标O 1’如下：
O 1’={0，0，2}。
步骤2.1结束后进行步骤2.2。
步骤2.2：在截面1中，取t 1，j 的最大值t max对应的序号3为关键序号，并将3加入到截面1的关键序号集{e}中，{e}={3}。
步骤2.2结束后进行步骤2.3。
步骤2.3：根据截面1的关键序号集{e}建立分析矩阵W和分析列向量b，其中：
W= W 1=[ -1.00000 ，-0.00009 ]T，
W是个1行2列的矩阵，关键序号集{e}中的元素个数为1，元素为3；
b=1。
步骤2.3结束后进行步骤2.4。
步骤2.4：对分析矩阵W及增广分析矩阵[W，b]进行秩分析。
计算r W =rank(W)=1，r Wb =rank([W，b])=1，并比较r W 和r Wb 。因为r W =r Wb ，所以应当继续寻优，执行步骤2.5。
步骤2.5：求线性方程组WU=b的解U=U 0=[ -1.00000 ，-0.00009 ]T。
步骤2.5结束后进行步骤2.6。
步骤2.6：在截面1中，计算u 1，j = W 1，j U 0，结果如下：
然后计算τ k = (t max-t k，j )/(b-u k，j )，取τ k 中大于零的那部分结果如下：
其中的最小值τ min对应的序号6为新的关键序号，并将3加入到截面1的关键序号集{e}中，此时，{e}={3，6}。
根据截面1上的τ min和U 0将截面1中的圆心坐标O 1’更新为O 1’+τ min∙[U 1，U 2，0]T，结果如下：
O 1’={ -0.00201 ，0.00000，2 }；
根据更新后的截面圆的圆心坐标O 1’和该截面上各测点的坐标P 1，j 更新状态元素集{t 1，j }，t max更新为t 1，j 的最大值，结果如下：
步骤2.6结束后完成一次寻优，进行步骤2.3。
以此类推，进行第二次寻优后，关键序号集{e}={3，6，2}，O 1’={ -0.00201，-0.00982, 0}。
此时，先进行步骤2.3：根据截面1的关键序号集{e}={3，6，2}建立分析矩阵W和分析列向量b，其中：
b=[1，1，1]T。
步骤2.3结束后进行步骤2.4。
步骤2.4：对分析矩阵W及增广分析矩阵[W，b]进行秩分析。
计算得r W =rank(W)=2，r Wb =rank([W，b])=3，r W < r Wb ；首先，尝试从分析矩阵W和分析列向量b中删掉关键序号集{e}={3，6，2}中的第一个元素3对应的行，得到缩减矩阵W 3- ：
和b 3-列向量：
b 3-=[1，1]T。
根据W 3- U 3- = b 1-求解得到U 3- = U 3-0=[ 1.00015 ，1.73202 ]T，然后计算求得b 3-=W 3 U 3-0=
-1.00030 <1=b。
类似地，分别求得b 6-= -1.00010 <1=b，b 2-= 0.99980 <1=b，未得到任何一个b f- >b，所以应当结束寻优，跳到步骤2.7。
步骤2.7：提取截面1的最终更新的截面圆的圆心坐标O 1’={ -0.00201，-0.00982，2}。
以此类推，得到其余各截面最终更新的截面圆的圆心坐标O k ’，并用其更新基准段截面圆心坐标集{O k ’}如下：
步骤2.7结束后进行步骤3。
步骤3：提取上述最终更新的基准段截面圆心坐标集{O k ’}，根据{O k ’}建立特征行向量集{A k }如下：
建立状态元素集{s k }如下：
建立边界元素集{b k }如下：
{b k }=[1，1，1，1，1，1，1，1，1，1]T。
提取步骤2中的被测段测点集{Q i，j }，根据{Q i，j }建立状态元素集{T i，j }如下：
提取步骤2中的基准段测点集{P k，j }，根据{P k，j }重新建立状态元素集{t’ k，j }如下：
步骤3结束后进行步骤3.1。
步骤3.1：取s k 最大值s max对应的序号9为关键序号，并将9加入到关键序号集{l}中，{l}=9。
步骤3.1结束后进行步骤3.2。
步骤3.2：根据关键序号集{l}建立分析矩阵A和分析列向量b’，其中：
A= A 9=[ -0.91711 ，0.39862 ，-68.16460 ，-156.82662 ]T；
b’=1。
步骤3.2结束后进行步骤3.3。
步骤3.3：对分析矩阵A及增广矩阵[A，b’]进行秩分析。
计算r A = rank(A)=1，r Ab’= rank([A，b’])=1，比较r A 和r Ab’；因为r A = r Ab’，所以应当继续寻优，执行步骤3.4。
步骤3.4：求线性方程组AΨ=b’的解，得Ψ=Ψ 0=[ -0.00003，0.00001，-0.00233，-0.00536 ]T。
步骤3.4结束后进行步骤3.5。
步骤3.5：计算v k =A k Ψ 0，结果如下：
然后计算τ’ k =(s max-s k )/(b-v k )，取τ’ k 中大于零的那部分结果如下：
其中的最小值τ’min对应的序号8为新的关键序号，并将8加入到关键序号集{l}中。此时，{l}={9，8}。
将基准段截面圆心坐标集{O k ’}更新为O k ’ +τ’min∙V 1，其中：
得到更新后的{O k ’}如下：
根据更新后的{O k ’}更新状态元素集{s k }，s max更新为s k 的最大值，结果如下：
将被测段测点集{Q i，j }更新为Q i，j +τ’min∙ V 2，其中：
得到更新后的{Q i，j }如下：
根据更新后的{Q i，j }更新状态元素集{T i，j }，结果如下：
将基准段测点集{P k，j }更新为P k，j +τ’min∙ V 3，其中：
得到更新后的{P k，j }如下：
根据更新后的{P k，j }更新状态元素集{ t’ k，j }，结果如下：
步骤3.5结束后完成一次寻优，进行步骤3.2。
以此类推，进行第4次寻优后，关键序号集{l}={9，8，6，2，1}。
此时，先进行步骤3.2：根据关键序号集{9，8，6，2，1}建立分析矩阵A和分析列向量b’，其中：
b’=[1，1，1，1，1]T。
步骤3.3：对分析矩阵A及增广矩阵[A，b’]进行秩分析。
计算r A = rank(A)=4，r Ab’= rank([A，b’])=5， r A < r Ab’。首先，尝试从分析矩阵A和分析列向量b’中去除关键序号集{l}={9，8，6，2，1}中的第一个元素9对应的行，得到缩减矩阵A 9- ：
和缩减列向量b’9- ：
b’9- =[1，1，1，1]T。
根据A 9- Ψ 9- = b’9- 求解得到Ψ 9- =Ψ 9-0=[-0.79546，1.17708，-0.00013，0.01437]T，然后计算求得b’9-= A 9 Ψ 9-0= -1.04629 <1=b。
类似地，分别求得b’8-=-1.00810 <1=b，b’6-=-146.91652 <1=b，b’2-=-172.96270<1=b，b’1-=0.99832 <1=b，未得到任何一个b’ l- >b，所以应当结束寻优，跳到步骤4。
步骤4：获得最终的基准段测点状态元素集{ t’ k，j }如下：
比较所有基准段测点的t’ k，j ，其中的最大值t’ k，j max和最小值t’ k，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，t’ k，j min=35.00001>35.000，t’ k，j max=35.02756 <35.030，该阶梯轴基准轴段符合设计尺寸要求35.000~35.030，进行步骤5。
步骤5：获得最终的被测段测点状态元素集{T i，j }如下：
比较所有被测段测点的T i，j ，其中的最大值T i，j max和最小值T i，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，T i，j max=49.99974<50.000，T i，j min=49.97016>49.962，该阶梯轴被测轴段符合零件设计尺寸要求49.962~50.000，进行步骤6。
步骤6：在被测段各截面中，分别比较该截面上各测点的T i，j 值，计算T i =T max-T min即为该截面上的径向圆跳动误差，结果如下：
比较所有的T i ，其中的最大值0.02708即为该阶梯轴被测轴段的径向圆跳动误差，0.02708<0.030，所以该阶梯轴被测轴段符合其径向圆跳动公差要求。
在上述说明中，通过特定实施例说明了本发明，但本领域的技术人员应理解在不脱离权利要求范围内发明的思想及领域内可进行各种改造及变形。
测量得到的结果符合GBT 1182-2008、GBT 1958 -2004和ISO 1101:2012（E）。
Claims (6)
1.本发明以减速器中的阶梯轴为例，验证一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，测量过程中，将待测阶梯轴置于三坐标测量仪测量平台上并装夹固定，使阶梯轴轴线近似垂直于测量平台上表面，利用三坐标测量仪测头对待测轴段圆柱表面进行测点采集。
2.一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，其特征在于，由以下步骤组成：
步骤0：获取被测段的初始测点集{Q i，j *}：以待测轴段的圆柱面为被测段，在该圆柱上沿轴线方向等距截取i个截面，在每个截面圆的圆周上均匀选取j个测点，各截面均垂直于该圆柱的轴线，该i×j个测点构成被测段的初始测点集{Q i，j *}；其中：
i=1, 2, 3, …, N；i为截面序号，N为截面总数；
j=1, 2, 3, …, M；j为单个截面上的测点序号，M为单个截面测点总数；
Q i，j *={x i，j *，y i，j *，z i，j *}是被测段测点的初始空间直角坐标；
步骤0结束后进行步骤1；
步骤1：获取基准段的初始测点集{P k，j *}：以待测轴段两侧轴段的圆柱面分别作为基准段1和基准段2，在基准段1的圆柱上沿轴线方向等距截取K个截面，在基准段2的圆柱上沿轴线方向等距截取K个截面，在每个截面圆的圆周上均匀选取j个测点，各截面均垂直于轴线，该k×j个测点构成基准段的初始测点集{P k，j *}；其中：
k=1, 2, 3, … , 2K；k为截面序号，2K为基准段截面总数；
j=1, 2, 3, … , M；j为单个截面上的测点序号，M为单个截面测点总数；
P k，j *={x k，j *，y k，j *，z k，j *}是基准段测点的初始空间直角坐标；
步骤1结束后进行步骤2；
步骤2：对该阶梯轴进行如下预定位：选取所有基准段测点坐标中的x k，j *max和x k，j *min，计算平均值x o* =（x k，j *max+ x k，j *min）/2，选取所有基准段测点坐标中的y k，j *max和y k，j *min，计算平均值y o*=（y k，j *max+
y k，j *min）/2；获取预定位后的基准段测点P k，j ，并用其组成基准段测点集{P k，j }；获取预定位后的被测段测点Q i，j ，并用其组成被测段测点集{Q i，j }；获取预定位后基准段各截面圆的预定圆心坐标O k ，并用其组成基准段截面初始圆心坐标集{O k }；其中：
P k，j ={x k，j ，y k，j ，z k，j }是预定位后基准段测点的空间直角坐标，其中：x k，j = x k，j *- x o*，y k，j = y k，j *- y o*，z k，j = z k，j *，并且基准段圆柱轴线接近坐标系的z轴，基准段两侧端面的中心平面近似平行于坐标系的XOY平面；
Q i，j ={x i，j ，y i，j ，z i，j }是预定位后被测段测点的空间直角坐标，其中：x i，j = x i，j *- x o*，y i，j = y i，j *- y o*，z i，j = z i，j *，并且被测段圆柱轴线接近坐标系的z轴，被测段两侧端面的中心平面近似平行于坐标系的XOY平面；
O k ={x k ，y k ，z k }是预定位后基准段各截面圆的预定圆心的空间直角坐标，其中：x k = y k =0，z k = z k，j *；
步骤2结束后进行步骤2.1；
步骤2.1：在各截面中，根据基准段测点集{P k，j }分别建立特征行向量集{W k，j }，边界元素集{b k，j }和状态元素集{t k，j }；获取各截面圆的圆心坐标O k ’，并用其组成基准段截面圆心坐标集{O k ’}；其中：
W k，j =（[x k，j /t k，j ，y k，j /t k，j ]），是特征行向量，所有的特征行向量W k，j 的集合为特征行向量集{W k，j }；
B k，j =b，是一个大于0的实数，所有的边界元素b k，j 的集合为边界元素集{b k，j }；
O k ’={x k ’，y k ’，z k ’}是基准段各截面圆心的空间直角坐标，初始时，x k ’= x k ，y k ’= y k ，z k ’= z k ；
步骤2.1结束后进行步骤2.2；
步骤2.2：在各截面中，分别取各截面上t k，j 的最大值t max对应的序号e 1为关键序号，并将e 1分别加入到各自截面的关键序号集{e}中；
步骤2.2结束后进行步骤2.3；
步骤2.3：根据各截面的关键序号集{e}分别建立分析矩阵W和分析列向量b，其中：
W= […，W m T，…，W n T，…]T，是个E行2列的矩阵，E为关键序号集{e}中的元素个数，m，n为关键序号集{e}中的元素；
b= […，b m ，…，b n ，…]T，是个E行的列向量；
步骤2.3结束后进行步骤2.4；
步骤2.4：对分析矩阵W及增广分析矩阵[W，b]进行秩分析；
计算r W =rank(W)，r Wb =rank([W，b])，并比较r W 和r Wb ，分为以下两种情况：
情况一：如果r W =r Wb ，应当继续寻优，执行步骤2.5；
情况二：如果r W <r Wb ，尝试从分析矩阵W和分析列向量b中去除关键序号集{e}中某元素f对应的行，得到缩减矩阵W f- 和缩减列向量b f- ，根据W f- U f- = b f- 求解得到U f- =U f-0，然后计算 b f- =W f U f-0；如果关键序号集{e}中的元素都已尝试过，且未得到任何一个b f- >b，那么应当结束寻优，跳到步骤2.7；如果在尝试关键序号集{e}中的元素f时，得到b f- >b，那么将缩减矩阵W f- 和缩减列向量b f- 分别作为分析矩阵W和分析列向量b，将元素f移出关键序号集{e}，并跳到步骤2.5；其中：U f- =[w f-,1，w f-,2]T，U f-0= [w f-0,1，w f-0,2]T；
步骤2.5：求线性方程组WU=b的解U=U 0，其中 U=[U 1，U 2]T，U 0=[U 0,1，U 0,2]T；
步骤2.5结束后进行步骤2.6；
步骤2.6：在各截面中，分别计算u k，j = W k，j U 0，然后计算τ k = (t max-t k，j )/(b-u k，j )；分别取τ k 中大于零的那部分的最小值τ min对应的序号e 2为新的关键序号，并将e 2加入到各截面的关键序号集{e}中；
根据各截面上的τ min和U 0，将各截面圆的圆心坐标O k ’更新为O k ’+τ min∙[U 1，U 2，0]T；
在各截面中，分别根据更新后的截面圆的圆心坐标O k ’和该截面上各测点的坐标P k，j 更新状态元素集{t k，j }，t max更新为t k，j 的最大值；
步骤2.6结束后完成一次寻优，进行步骤2.3；
步骤2.7：提取各截面最终更新的截面圆的圆心坐标O k ’，并用其更新基准段截面圆心坐标集{O k ’}；
步骤2.7结束后进行步骤3；
步骤3：获取最终更新的基准段截面圆心坐标集{O k ’}，根据{O k ’}建立特征行向量集{A k }，边界元素集{b k }，状态元素集{s k }；提取步骤2中的被测段测点集{Q i，j }，根据{Q i，j }建立状态元素集{T i，j }；提取步骤2中的基准段测点集{P k，j }，根据{P k，j }重新建立状态元素集{t’ k，j }；其中：
O k ’={x k ’，y k ’，z k ’}是基准段各截面圆心的空间直角坐标；
A k =（[-x k ’/s k ，- y k ’/s k ，y k ’ z k ’/s k ，- x k ’ z k ’/s k ]），是特征行向量，所有的特征行向量A k 的集合为特征行向量{A k }；
B k =b，是一个大于0的实数，所有的边界元素b k 的集合为边界元素集{b k }；
步骤3结束后进行步骤3.1；
步骤3.1：取s k 最大值s max对应的序号l 1为关键序号，并将l 1加入到关键序号集{l}中；
步骤3.1结束后进行步骤3.2；
步骤3.2：根据关键序号集{l}建立分析矩阵A和分析列向量b’，其中：
A=[…，A p T，…，A q T，…]T，是个L行4列的矩阵，L为关键序号集{l}中的元素个数，p，q为关键序号集{l}中的元素；
b’=[…，b p ，…，b q ，…]T，是个L行的列向量；
步骤3.2结束后进行步骤3.3；
步骤3.3：对分析矩阵A及增广矩阵[A，b’]进行秩分析；
计算r A = rank(A)，r Ab’ = rank([A，b’])，并比较r A 和r Ab’，分为以下两种情况：
情况一：如果r A = r Ab’，应当继续寻优，执行步骤3.4；
情况二：如果r A <r Ab ，尝试从分析矩阵A和分析列向量b’中去除关键序号集{l}中某元素l对应的行，得到缩减矩阵A l- 和缩减列向量b’ l- ，根据A l- Ψ l- = b’ l- 求解得到Ψ l- =Ψ l-0，然后计算 b’ l- =A l Ψ l-0；如果关键序号集{l}中的元素都已尝试过，且未得到任何一个b’ l- >b，那么应当结束寻优，跳到步骤4；如果在尝试关键序号集{l}中的元素l时，得到b’ l- >b，那么将缩减矩阵A l- 和缩减列向量b’ l- 分别作为分析矩阵A和分析列向量b’，将元素l移出关键序号集{l}，并跳到步骤3.4；其中Ψ l- =[v l-,1，v l-,2，v l-,3，v l-,4]T，Ψ l-0=[v l-0,1，v l-0,2，v l-0,3，v l-0,4]T；
步骤3.4：求线性方程组AΨ=b’的解Ψ=Ψ 0，其中 Ψ=[Ψ 1，Ψ 2，Ψ 3，Ψ 4]T，Ψ 0=[Ψ 0,1，Ψ 0,2，Ψ 0,3，Ψ 0,4]T；
步骤3.4结束后进行步骤3.5；
步骤3.5：计算v k =A k Ψ 0，然后计算τ’ k =(s max-s k )/(b-v k )；取τ’ k 中大于零的那部分的最小值τ’min对应的序号l 2为新的关键序号，并将l 2加入到关键序号集{l}中；
将基准段截面圆心坐标集{O k ’}更新为O k ’ +τ’min∙V 1，其中：
根据更新后的{O k ’}更新状态元素集{s k }，s max更新为s k 的最大值；
将被测段测点集{Q i，j }更新为Q i，j +τ’min∙ V 2，其中：
根据更新后的{Q i，j }更新状态元素集{T i，j }；
将基准段测点集{P k，j }更新为P k，j +τ’min∙ V 3，其中：
根据更新后的{P k，j }更新状态元素集{t’ k，j }；
步骤3.5结束后完成一次寻优，进行步骤3.2；
步骤4：获得最终的基准段测点状态元素集{t’ k，j }，比较所有基准段测点的t’ k，j ，其中的最大值t’ k，j max和最小值t’ k，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，判断基准轴段是否符合被测阶梯轴设计尺寸要求，如果符合，进行步骤5，否则，判定该阶梯轴基准段不符合尺寸要求，直接结束；
步骤5：获得最终的被测段测点状态元素集{T i，j }，比较所有被测段测点的T i，j ，其中的最大值T i，j max和最小值T i，j min即为基准轴段的最小外切圆柱半径和最大内接圆柱半径，判断被测轴段是否符合被测阶梯轴设计尺寸要求，如果符合，进行步骤6，否则，判定该阶梯轴被测段不符合尺寸要求，直接结束；
步骤6：在被测段各截面中，分别比较该截面上各测点的T i，j 值，计算T i =T max-T min即为该截面上的径向圆跳动误差；比较所有的T i ，其中的最大值为该圆柱的径向圆跳动误差；判断该阶梯轴的径向圆跳动误差是否符合其径向圆跳动公差要求；其中：T max为该截面上测点的T i，j 的最大值，T min为该截面上测点的T i，j 的最小值。
3.如权利要求2所述的一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，其特征在于，所述的坐标变换为按坐标的平均值进行移动。
4.如权利要求2所述的一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，其特征在于，在步骤3.5中，如果τ’min ∙V i 的单次值或数次迭代的累加值∑τ ’ min∙ V i 大于给定的阈值a，那么，根据更新后的基准段截面圆心坐标集{O k ’}跳到步骤3中更新特征行向量集{A k }，边界元素集{b k }，状态元素集{s k }。
5.如权利要求2所述的一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法，其特征在于，b =1。
6.测量得到的结果符合GBT 1182-2008、GBT 1958 -2004和ISO 1101:2012（E）；本发明适用于如减速器中的各级传动轴等对轴的加工精度有较高要求且以待测轴段两侧指定轴段的轴线为公共基准轴线的阶梯轴的径向圆跳动误差的评定。
Priority Applications (1)
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| CN202010691937.3A CN113945130A (zh) | 2020-07-17 | 2020-07-17 | 一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法 |
Applications Claiming Priority (1)
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| CN202010691937.3A CN113945130A (zh) | 2020-07-17 | 2020-07-17 | 一种阶梯轴的径向圆跳动误差的评定方法 |
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- 2020-07-17 CN CN202010691937.3A patent/CN113945130A/zh active Pending
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