CN113904743B - 一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明请求保护一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法，属于无人机安全通信领域。本发明采用TDMA传输协议考虑了多个合法用户的情况，同时存在一个窃听者，由最大化最小用户的安全速率为准则建立优化模型。由于所考虑的约束中存在二进制约束，本发明首先利用放缩的思想将二进制变量转换为连续变量，其次再运用分块的思想将原始的优化问题转换为三个子问题，然后利用一种交替优化的算法以及引入松弛变量、一阶泰勒展开等数学方法进行迭代求解。最后本发明还提出了一种圆形轨迹初始化的方法，该方法也可以作为一种基准方法与所提方法进行对比，仿真结果表明，所提方法能明显提升系统的安全性能，本发明具有更好的适用性与可行性。

Description

一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法

技术领域

本发明属于无人机物理层安全通信领域，具体是无人机中继系统基于TDMA协议传输的最小安全速率最大化的资源分配方法。

背景技术

近年来，无人机由于其可控的机动性，灵活的部署和较低的维护成本在军事以及各种民用应用(例如监视和监控，航空成像，货物交付，紧急通信，资源勘探等)中引起了人们广泛的关注，配备先进的收发器和智能传感器的无人飞行器由于其高度的应用性而在无线通信中越来越受欢迎。无人机具有动态和快速部署的特点，这使得它可以根据实际的通信场景和物理环境实时调整飞行状态，并对复杂环境有一定的适应能力，可以对通信中断、通信热点等临时紧急突发状况和区域迅速响应和快速部署，从而提升通信系统的适应性和抗干扰能力。无人机由于良好的移动性能，可以通过降低无人机飞行高度和飞行速度，与被调度用户建立可靠的通信连接，减少路径损耗，从而支持更高的数据传输速率。

然而，无人机通信也存在一些缺陷，由于无线信道的开放性和公开性，尤其是无人机与地面节点之间的视距(Line-of-Sight,LoS)链路特性，使得无人机通信很容易被地面窃听者截获，这些因素都将会大大降低信息传输的安全性。为此，针对无人机在无线通信领域的安全问题，已有相关工作做了大量研究。研究人员把无人机在无线安全通信领域的应用主要分为了两类，第一类应用为无人机辅助无线通信，即无人机充当一个空中干扰机，为了提升地面终端的安全通信服务质量，研究人员利用无人机在服务区内发射的干扰信号，从而保证地面终端的安全通信。

Duo B等人在《Joint trajectory and power optimization for securing UAVcommunications against active eavesdropping,China Communications,2021,vol.18,no.1,pp.88-99》中考虑了一种上下链路同时传输的无人机安全通信系统，无人机在发送机密信息的同时也发送干扰信号扰乱窃听者的窃听，并提出了一种最大化平均安全速率的资源分配算法。Miao J等人在《Cooperative jamming for secure UAV-enabled mobilerelay system，IEEE Access，2020,vol.8,pp.1421-1430》引入了另一架干扰机,，在保证最大功率约束和平均功率约束下，利用块坐标下降方法和连续凸逼近等方法实现了安全速率的最大化。

无人机的第二类应用主要是通信中继，在两个或多个角色的远距离通信中承担辅助通信中继的责任。根据合法用户数量的不同，无人机中继安全网络可以分为单目标和多目标两类。

Shen L等人在2019IEEE 90th Vehicular Technology Conference(VTC2019-Fall)会议上发表了《Trajectory optimization for physical layer secure buffer-aided UAV mobile relaying》，该文章通过无人机中继实现了两个节点之间的安全通信。通过优化无人机的飞行轨迹，使其保密和速率最大化。Cao S N等人在2021 7thInternational Symposium on Mechatronics and Industrial Informatics(ISMII)会议上发表的《Physical Layer Security Communication of Cognitive UAV Mobile RelayNetwork》提出了一种无人机中继辅助认知无线电网络的安全传输方案，通过对无人机飞行轨迹和传输功率的优化来实现安全速率的最大化。然而，考虑多目标用户无人机中继安全网络的工作却较少。Sun X等人在2019IEEE International Conference onCommunications Workshops(ICC Workshops)会议上发表的《Robust trajectory andresource allocation design for secure UAV-aided communications》考虑了两个合法接收用户的安全和速率的最大化，并且已知窃听者的部分位置信息。此外，Chen Q等人在《Joint trajectory and resource optimization for UAV-enabled relaying systems,IEEE Access,2020,vol.8,pp.24108-24119》考虑了无人机通过使用时分多址(TimeDivision Multiple Access,TDMA)，帮助多个地面基站向地面用户发送信息。

基于已有研究的不足，本发明考虑建立一个无人机通信系统模型，包括源地面基站、一个无人机、多个合法用户、一个窃听者。无人机作为空中移动中继来服务地面用户，将机密信息通过解码转发给多个合法用户，同时无人机采用时分多址的方式与用户进行通信，而且存在窃听者企图窃听信息。目标是通过联合优化多用户通信调度，无人机飞行轨迹和发射功率，最大化所有地面用户的最小平均安全速率。

发明内容

本发明旨在解决以上现有技术的问题。提出了一种保证用户公平性同时提高用户安全性能的无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法。本发明的技术方案如下：

一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法，其，包括：步骤一：建立一个无人机安全通信系统模型，包括源地面基站、一个无人机、多个合法用户、一个窃听者，无人机作为中继采用时分多址的协议与地面用户进行通信；步骤二：在步骤一建立的模型基础上考虑源基站、无人机功率约束，用户调度约束，信息因果约束以及无人机轨迹约束，构建一个最大化所有地面用户的最小平均安全速率优化问题，所述最小平均安全速率优化问题为一个非凸优化问题；步骤三：利用分块的思想将步骤二的优化问题转换为三个非凸子问题，然后利用包括放缩法、引入松弛变量和一阶泰勒展开在内的数学方法将三个非凸子问题等价转换为凸优化问题；步骤四：运用交替优化的算法迭代求解步骤三得到的三个凸优化问题，并设置收敛阈值，通过收敛条件判断每次迭代结果与上一次迭代结果之间是否满足收敛阈值，最后得到最优目标值以及所对应的最优解包括最优功率分配，最优无人机轨迹和最优调度。

进一步的，所述步骤二中，构建一个最大化所有地面用户的最小平均安全速率优化问题，具体为：

s.t.C1:

C2:

C3:

C4:

C5:

C6:q[1]＝q[N],

C7:||q[n+1]-q[n]||≤S_max,n＝1,...,N-1.

其中

在上述问题中，各参数定义如下：

无人机飞行时间为T，δ_t表示单位时隙的长度，N＝T/δ_t被划分为N个时隙；A、P、Q分别表示调度变量、基站和无人机发射功率、无人机飞行轨迹的向量变量；H：表示无人机飞行高度；α_i[n]：用户调度变量；R_i[n]：表示合法用户i∈I＝{1,...,K}在时隙n可达的信息传输速率；K表示用户数；R_e[n]：窃听者E在时隙n的窃听速率；R_s[n]：源地面基站S在时隙n发送给无人机的信息传输速率；P_s[n]：基站的发射功率；P_r[n]：无人机的发射功率；基站的平均发射功率；/>无人机的平均发射功率；P_s ^max：基站的最大发射功率；P_r ^max：无人机的最大发射功率；h_i[n]：第n时隙无人机到用户i的信道功率增益；h_e[n]：第n时隙无人机到窃听者E的信道功率增益；h_s[n]：第n时隙基站S到无人机的信道功率增益；d_i[n]：第n时隙无人机到用户i的距离；d_e[n]：第n时隙无人机到窃听者E的距离；d_s[n]：第n时隙无人机到基站S的距离；q[n]：第n时隙无人机水平飞行轨迹；w_i：用户i的水平坐标；w_e：窃听者E的水平坐标；w_s：基站S的水平坐标；β₀：表示参考距离d₀＝1m时的信道功率增益；σ²：用户处的加性高斯白噪声(AWGN)功率；γ₀：表示参考信噪比。

其中C1，C2是调度约束，表示无人机在每个时隙内最多调用一个用户；C3，C4分别表示了基站和无人机的最大发射功率约束和平均功率约束；C5表示信息因果约束，由于无人机只能转发已经从基站S接收到的数据；C6，C7为无人机的飞行轨迹约束。

进一步的，所述步骤三将非凸优化问题等价转换为三个凸子问题，三个凸子问题分别为：子问题一：用户调度优化；子问题二：发射功率优化；子问题三：无人机轨迹优化。

进一步的，所述子问题一：用户调度优化，具体为：

s.t.C8:

C9:

C10:

C11:

其中η是引入的松弛变量，为了方便求解，对变量α_i[n]进行了放缩，可以发现上述问题为凸问题。C8和C9是调度约束，表示无人机在每个时隙内最多调用一个用户；C10是对目标函数的放缩；C11是信息因果约束，由于无人机只能转发已经从基站S接收到的数据。

进一步的，所述子问题二：发射功率优化，具体为：

s.t.C12:

C13:

C14:

C15:

其中η是引入的松弛变量， 为中间变量，C12是对目标函数的松弛；C13是信息因果约束类似于C11；C14和C15分别表示了基站和无人机的最大发射功率约束和平均功率约束。紧接着将上述非凸优化问题转变为凸优化问题为

s.t.C16:

C17:

C18:

C19:

C20:

其中是引入的松弛变量，在给定的/>情况下，上述问题的非凸项的一阶泰勒展开为：

分别为log₂(1+P_r[n]G_e[n])和log₂(1+P_s[n]G_s[n])的上趋界。

进一步的，所述子问题三：无人机轨迹优化具体为：

s.t.C21:

C22:

C23:

C24:

C25:

C26:

C27:q[1]＝q[N],

C28:||q[n+1]-q[n]||≤S_max,n＝1,...,N-1.

其中η，是引入的松弛变量，C21是对目标函数的松弛；C22信息因果约束；C23-C26分别是对所替换目标的放缩；C27-C28为无人机的飞行轨迹约束。由于约束C21，C22，C25，C26的非凸性，将以上非凸约束的非凸项进行一阶泰勒展开，展开结果如下：

因此，上述问题可以近似地表示为：

s.t.C29:

C30:

C31:

C32:

C33:

C34:

C35:q[1]＝q[N],

C36:||q[n+1]-q[n]||≤S_max,n＝1,...,N-1.

通过引入松弛变量和使用连续凸逼近方法，子问题三已被转换为凸问题

进一步的，所述步骤四求解优化问题的步骤包括：

步骤4.1：初始化Q^m，P^m，A^m，η^m令m＝0，m表示迭代次数；

步骤4.2：将给定的Q^m，P^m带入子问题一，得到更新后的A^r+1；

步骤4.3：对于更新后的A^m+1和给定的Q^m带入子问题二的凸优化问题，得到P^m+1；

步骤4.4：对于更新后的A^m+1和P^m+1带入子问题三的凸优化问题，得到Q^m+1；

步骤4.5：更新m＝m+1，重复步骤4.2到4.5，直至满足收敛条件ε。

本发明的优点及有益效果如下：

本发明基于现有研究对于无人机中继系统同时考虑多用户公平性以及安全性研究的不足，提供了一种有效提高无人机物理层安全性能的方法。本发明采用TDMA传输协议考虑了多个合法用户的情况，同时存在一个窃听者，由最大化最小用户的安全速率为准则建立优化模型。由于所考虑的约束中存在二进制约束，本发明首先利用放缩的思想将二进制变量转换为连续变量，其次再运用分块的思想将原始的优化问题转换为三个子问题，然后利用一种交替优化的算法以及引入松弛变量、一阶泰勒展开等数学方法进行迭代求解。最后本发明还提出了一种圆形轨迹初始化的方法，该方法也可以作为一种基准方法与所提方法进行对比，仿真结果表明，所提方法能明显提升系统的安全性能。此外，本发明考虑的是无人机中继系统，在考虑长距离以及遮蔽物较多场景下，本发明具有更好的适用性与可行性。

附图说明

图1是本发明提供优选实施例提供的一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法流程图；

图2是本发明提供优选实施例提供的一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法的系统模型图；

图3为本发明在不同飞行时间下，无人机的飞行轨迹曲线图；

图4为本发明在不同方案下，最大化最小平均安全速率与飞行时间T的关系曲线图；

图5为本发明在飞行时间T＝200情况下，最大化最小平均安全速率与迭代次数的关系曲线图；

图6为本发明在不同飞行时间下，最大化最小平均安全速率与无人机发射功率的关系曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、详细地描述。所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例。

本发明解决上述技术问题的技术方案是：

本实施例为无人机中继系统的安全通信资源优化方案，系统随机设置6个合法用户和一个窃听者，无人机在高度为100m处飞行，最大的飞行速度为V_max＝50m/s，基本时隙长度δ_t＝1s，参考距离d₀＝1m时的信道功率增益为-50dB，基站的最大发射功率和无人机中继的最大发射功率P_s ^max，P_r ^max分别为5W和0.1W，基站的平均发送功率和无人机中继的平均发送功率分别为1W和0.02W，背景噪声为零均值的高斯白噪声，方差为σ²＝-110dBm。

第一步，初始化无人机轨迹Q^m，基站、无人机发射功率P^m，调度变量A^m，目标值η^m，初始迭代次数m＝0。

第二步，将给定的Q^m，P^m带入原始优化问题转换的子问题一，通过运用内点方法可以方便求出第m+1次迭代的A^m+1和最优目标值

第三步，对于更新后的A^m+1和给定的Q^m带入原始优化问题转换的子问题二的凸优化问题，通过内点方法可以求出第m+1次迭代的P^m+1和最优目标值

第四步，对于更新后的A^m+1和P^m+1带入原始优化问题转换的子问题三的凸优化问题，运用内点方法可以求出第m+1次迭代的Q^m+1和最优目标值

第五步，η^m+1为的平均值，设置收敛阈值为ε，判断η^m+1-η^m是否小于ε，成立则输出最优目标值、最优调度、最优功率分配和最优轨迹，反之，更新m＝m+1，重复步骤二到五，直至满足收敛条件。

进一步的，所述第一步中各变量初始化设置。

无人机初始飞行轨道被设置为圆形轨迹，无人机速度取恒定值V，其中0＜V≤V_max。其中圆形轨迹的中心坐标位置和半径分别为c_trj＝[x_trj,y_trj]^T和r_trj。同时对于任何给定的周期T，我们有2πr_trj＝VT。为了平衡用户速率，几何中心是初始无人机轨迹的圆心的合理选择，即以c_trj为圆心且可以覆盖所有用户的圆的最小半径为r_u，它是c_trj与所有用户之间的最大距离，即/>为了平衡无人机轨迹圆内外的用户数，/>是圆半径的合理候选者。但是，由于无人机最大速度的限制，如果πr_u＝V_maxT，则在给定有限周期T的情况下，所得到的半径/>可能并不总是可实现的。在这种情况下，最大允许半径为由此，得到初始圆轨迹的半径为/>令/>基于c_trj和r_trj，得到无人机在时隙n中的初始轨迹为q⁰[n]＝[x_trj+r_trjcosθ_n，y_trj+r_trjsinθ_n]^T,n＝1,...,N。基站、无人机发射功率初始设置为最大发射功率的平均值，调度变量A初始设置为K×N的零矩阵，η初始为零。

进一步的，所述第二步通过给定的Q^m，P^m带入子问题一求解出A^m+1和子问题一的具体表达式为：

s.t.C1:

C2:

C3:

C4:可以发现子问题一为标准的凸优化问题可以通过CVX的内点法进行求解。

进一步的，所述第三步通过更新后的A^m+1和给定的Q^m带入子问题二求解出P^m+1和子问题二通过转换之后的最终凸的形式为：

s.t.C1:

C2:

C3:

C4:

C5:子问题二也同样可以直接进行求解得到P^m+1和

进一步的，所述第四步通过更新后的A^m+1和给定的P^m+1带入子问题三求解出Q^m+1和子问题三通过转换之后的最终凸的形式为：

s.t.C1:

C2:

C3:

C4:

C5:

C6:

C7:q[1]＝q[N],

C8:||q[n+1]-q[n]||≤S_max,n＝1,...,N-1.

同理子问题三也可以通过CVX进行求解Q^m+1和

进一步的，所述第五步收敛精度ε设置为10^-4，通过收敛条件η^m+1-η^m判断是否满足收敛精度，从而得到最优解。

在本实施例中，图2为本发明提供优选实施例无人机中继系统的安全通信资源优化方案的系统模型，图中基站通过将机密信息发送给无人机，无人机作为中继以TDMA通信方式和DF(decode and forward)协议进行转发给多个合法用户；图3给出了T＝50s，125s,200s下的无人机飞行轨迹曲线图；图4分别对比了静态无人机、圆形轨迹飞行无人机和本实例联合优化得到的最大最小安全速率曲线图；图5是T＝200s最大最小安全速率与迭代次数的关系曲线图；图6是T＝100s和T＝120s情况下最大化最小平均安全速率与无人机发射功率的关系曲线图。由图3可见：随着T的增加，无人机的活动范围扩大，当T足够大时，无人机悬停在所有用户的顶部，以获得最佳LoS信道，从而增加最大化最小平均用户速率。由图4可见：当T<150s时，随着T的增加，联合优化、静态无人机、圆形轨迹三种方案的最大最小平均安全速率都会增加，并且本实例联合优化方案有着更好的安全性能。由图5可见：当迭代次数等于6时本实例所提方案最大最小安全速率趋于稳定。由图6可见：随着无人机发射功率的增加最大化最小安全速率也相应增加。

还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、商品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、商品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、商品或者设备中还存在另外的相同要素。

以上这些实施例应理解为仅用于说明本发明而不用于限制本发明的保护范围。在阅读了本发明的记载的内容之后，技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等效变化和修饰同样落入本发明权利要求所限定的范围。

Claims (2)

1.一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法，其特征在于，包括：步骤一：建立一个无人机安全通信系统模型，包括源地面基站、一个无人机、多个合法用户、一个窃听者，无人机作为中继采用时分多址的协议与地面用户进行通信；步骤二：在步骤一建立的模型基础上考虑源基站、无人机功率约束，用户调度约束，信息因果约束以及无人机轨迹约束，构建一个最大化所有地面用户的最小平均安全速率优化问题，所述最小平均安全速率优化问题为一个非凸优化问题；步骤三：利用分块的思想将步骤二的优化问题转换为三个非凸子问题，然后利用包括放缩法、引入松弛变量和一阶泰勒展开在内的数学方法将三个非凸子问题等价转换为凸优化问题；步骤四：运用交替优化的算法迭代求解步骤三得到的三个凸优化问题，并设置收敛阈值，通过收敛条件判断每次迭代结果与上一次迭代结果之间是否满足收敛阈值，最后得到最优目标值以及所对应的最优解包括最优功率分配，最优无人机轨迹和最优调度；

所述步骤二中，构建一个最大化所有地面用户的最小平均安全速率优化问题，具体为：

C6：q[1]＝q[N]，

C7：||q[n+1]-q[n]||≤S_max，n＝1，...，N-1，

其中

在上述问题中，各参数定义如下：

无人机飞行时间为T，δ_t表示单位时隙的长度，N＝T/δ_t被划分为N个时隙：A、P、Q分别表示调度变量、基站和无人机发射功率、无人机飞行轨迹的向量变量；H：表示无人机飞行高度；α_i[n]：用户调度变量；R_i[n]：表示合法用户i∈I＝{1，...，K}在时隙n可达的信息传输速率；K表示用户数；R_e[n]：窃听者E在时隙n的窃听速率；R_s[n]：源地面基站S在时隙n发送给无人机的信息传输速率；P_s[n]：基站的发射功率；P_r[n]：无人机的发射功率；基站的平均发射功率；/>无人机的平均发射功率；/>基站的最大发射功率；/>无人机的最大发射功率；h_i[n]：第n时隙无人机到用户i的信道功率增益；h_e[n]：第n时隙无人机到窃听者E的信道功率增益；h_s[n]：第n时隙基站S到无人机的信道功率增益；d_i[n]：第n时隙无人机到用户i的距离；d_e[n]：第n时隙无人机到窃听者E的距离；d_s[n]：第n时隙无人机到基站S的距离；q[n]：第n时隙无人机水平飞行轨迹；w_i：用户i的水平坐标；w_e：窃听者E的水平坐标；w_s：基站S的水平坐标；β₀：表示参考距离d₀＝1m时的信道功率增益；σ²：用户处的加性高斯白噪声(AWGN)功率；γ₀：表示参考信噪比；

其中C1，C2是调度约束，表示无人机在每个时隙内最多调用一个用户；C3，C4分别表示了基站和无人机的最大发射功率约束和平均功率约束；C5表示信息因果约束，由于无人机只能转发已经从基站S接收到的数据；C6，C7为无人机的飞行轨迹约束；

所述步骤三将非凸优化问题等价转换为三个凸子问题，三个凸子问题分别为：子问题一：用户调度优化；子问题二：发射功率优化；子问题三：无人机轨迹优化；

所述子问题一：用户调度优化，具体为：

其中η是引入的松弛变量，为了方便求解，对变量α_i[n]进行了放缩，可以发现上述问题为凸问题；C8和C9是调度约束，表示无人机在每个时隙内最多调用一个用户；C10是对目标函数的放缩；C11是信息因果约束，由于无人机只能转发已经从基站S接收到的数据；

所述子问题二：发射功率优化，具体为：

其中η是引入的松弛变量， 为中间变量，C12是对目标函数的松弛；C13是信息因果约束类似于C11；C14和C15分别表示了基站和无人机的最大发射功率约束和平均功率约束；紧接着将上述非凸优化问题转变为凸优化问题为

其中是引入的松弛变量，在给定的/>情况下，上述问题的非凸项的一阶泰勒展开为：

分别为log₂(1+P_r[n]G_e[n])和log₂(1+P_s[n]G_s[n])的上趋界；

所述子问题三：无人机轨迹优化具体为：

C27：q[1]＝q[N]，

C28：||q[n+1]-q[n]||≤S_max，n＝1，...，N-1，

其中η，是引入的松弛变量，C21是对目标函数的松弛；C22信息因果约束；C23-C26分别是对所替换目标的放缩；C27-C28为无人机的飞行轨迹约束；由于约束C21，C22，C25，C26的非凸性，将以上非凸约束的非凸项进行一阶泰勒展开，展开结果如下：

因此，上述问题可以近似地表示为：

C35：q[1]＝q[N]，

C36：||q[n+1]-q[n]||≤S_max，n＝1，...，N-1，

通过引入松弛变量和使用连续凸逼近方法，子问题三已被转换为凸问题。

2.根据权利要求1所述的一种无人机中继系统的安全通信资源优化设计方法，其特征在于，所述步骤四求解优化问题的步骤包括：

步骤4.1：初始化Q^m，P^m，A^m，η^m令m＝0，m表示迭代次数；

步骤4.2：将给定的Q^m，P^m带入子问题一，得到更新后的A^m+1；

步骤4.3：对于更新后的A^m+1和给定的Q^m带入子问题二的凸优化问题，得到P^m+1；

步骤4.4：对于更新后的A^m+1和P^m+1带入子问题三的凸优化问题，得到Q^m+1；

步骤4.5：更新m＝m+1，重复步骤4.2到4.5，直至满足收敛条件，收敛精度ε设置为10^-4，通过收敛条件η^m+1-η^m判断是否满足收敛精度；

所述步骤4.2通过给定的Q^m，P^m带入子问题一求解出A^m+1和子问题一的具体表达式为：

可以发现子问题一为标准的凸优化问题可以通过CVX的内点法进行求解。

所述步骤4.3通过更新后的A^m+1和给定的Q^m带入子问题二求解出P^m+1和子问题二通过转换之后的最终凸的形式为：

子问题二也同样可以直接进行求解得到P^m+1和

所述步骤4.4通过更新后的A^m+1和给定的P^m+1带入子问题三求解出Q^m+1和子问题三通过转换之后的最终凸的形式为：

C7：q[1]＝q[N]，

C8:||q[n+1]-q[n]||≤S_max，n＝1，...，N-1，

同理子问题三也可以通过CVX进行求解Q^m+1和。