CN117319994A - 无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法 - Google Patents

Abstract

一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者的设计方法，属于无人机通信的安全传输领域。首先，考虑主动检测者共谋的场景，建立无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者的系统模型。其次，在最坏隐蔽通信和检测者位置不确定约束下，联合优化无人机的三维轨迹和发射功率，构建平均隐蔽传输速率最大化的优化问题；最后将多变量耦合的原问题分解为两个子问题，利用S‑引理、连续凸近似和块坐标下降等方法将非凸的优化问题转化为凸规划问题，并提出一个交替优化框架迭代求解。本发明提出一种联合优化无人机的三维轨迹和发射功率的设计方法，旨在满足通过设计无人机的飞行轨迹和发送功率对抗主动检测者以保证隐蔽通信，最大化平均隐蔽传输速率。

Description

无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法

技术领域

本发明属于无人机通信的安全传输领域，涉及无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方案，具体是指在考虑主动检测者共谋和最差隐蔽约束下，通过联合无人机的发送功率和3D轨迹，最大化平均隐蔽速率。

背景技术

随着第五代移动通信网络的部署和智能移动终端的发展，人们对提高无线通信性能的需求越来越迫切。然而，现有的地面通信在某些场景下不能满足全区域的覆盖或者提供可靠的传输，人们开始利用无人机等构建新的通信链路来辅助地面通信。由于无人机具有低成本、易操作和高灵活性等优势，在军事和民用领域得到了广泛应用。与地面通信相比，无人机灵活性更好，可以快速部署，还可以利用其高度更容易地建立短程视距链路。此外，由其移动性，可以通过无人机轨迹优化适应不同的信道条件，保障信息高效传输。

然而，由于空地无人机通信的视距链路和广播特点使得通信易被恶意者截获。作为一个新兴技术，物理层安全可以在无线通信中达到数据传输安全，但是该技术不适用于一些重要的场景，因为当通信被检测者检测到时会被检测或袭击。为了解决这个问题，隐蔽通信可以以极低的概率隐藏无线通信且不被检测者检测到。

检测者具有主动检测的特点，存在这样一种场景：主动检测者合作判断无线通信是否发生，进而增加无线通信被检测到的风险。为了增强通信系统的隐蔽性能，通过设计无人机的轨迹和发送功率可以保证数据通信的隐蔽性。

结合无人机的优点，本发明提出一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，在满足最差隐蔽约束下，通过联合优化无人机的3D轨迹和发送功率，最大化平均隐蔽速率。

发明内容

本发明的目的是为了解决无人机辅助的隐蔽通信对抗主动检测者，实现安全传输的问题。在网络模型中，无人机与地面用户视为视距链路，同时不能够获得主动检测者的准确位置，通过设计无人的轨迹来规避检测者以保证通信的隐蔽性。具体方案如示意图1所示。基于此模型本发明提供一种联合优化无人机的3D轨迹和发送功率，最大化平均隐蔽速率。

为达到上述技术目的，本发明采用的技术方案如下：

一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者的设计方法，首先，考虑主动检测者存在的场景，建立无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者的系统模型；其次，在最差隐蔽和检测者位置不确定约束下，联合优化无人机的三维(3D)轨迹和发送功率，构建无人机平均隐蔽速率最大化的优化问题；最后，将多变量耦合的原问题分解为两个子问题，利用块坐标下降，S-引理和连续凸近似等方法将非凸的优化问题转化为凸问题，并提出一个交替优化框架迭代求解，该优化方法能够以较低复杂度将两个非凸子问题转为凸问题，并得到一个次优解。包括以下步骤：

第一步，构建系统模型：

(1)建立一个无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者系统，该系统包括一个单天线无人机作为发送端给地面单天线接收端Bob发送保密信息，K个地面检测者，其中每一个检测者配备两根天线，一根接收无人机发送的信息，另一个产生干扰信号。其中，无人机与Bob之间为合法链路，无人机与检测者之间为隐蔽链路，检测者与Bob之间为发送干扰信号链路，检测者之间为干扰与自干扰链路。不失一般性，所有节点的位置采用3D笛卡尔坐标系表示，Bob和第k个检测者(W_k)的水平坐标分别为B＝(x_b,y_b)^T和w_k＝(x_k,y_k)^T。假设无人机只能够获得检测者的不完美位置，则存在误差的W_k估计位置为：

其中，表示W_k的评估位置；Δe_k表示评估误差；Φ_k表示不确定范围和r_k表示不确定范围半径；R表示向量空间。

(2)假设无人机可以任意飞行，其对应的水平坐标为q[t]＝(x[t],y[t])^T，竖直坐标为H[t]，其中0≤t≤T，飞行时间T均分为N个时隙，即δ_t＝T/N，每个时隙非常小，使得UAV在每个时隙的位置几乎不改变。则在第n个时隙与第n+1个时隙，UAV的水平飞行距离为：

其中，V_max为最大水平飞行速度；和/>为始末位置。UAV竖直飞行高度为：

其中，V_Z为最大竖直飞行速度；H_I和H_F为始末高度；H_min和H_max为最小和最大飞行高度；

(3)假设无人机悬停的足够高以避免碰撞，其到地面节点的空地信道主要包含视距分量，因此，从无人机到Bob、W_k的信道增益分别为：

其中，β₀表示单位距离的路径损耗。W_k的发送天线和Bob之间的信道经历瑞利衰落，则信道增益为：

其中，d_kb＝||B-w_k||表示W_k与Bob之间的欧氏距离；α为路径损耗指数；信道系数g_kb遵循具有零均值和方差为1的复高斯分布小尺度瑞利衰落。由公式(1)可知，W_k的准确位置不能获得，根据三角不等式，d_kb可以表示为：

其中，表示d_kb的下界。

无人机在第n个时隙的发送功率为P[n]，满足

其中，和P_max分别表示平均发送功率和最大发送功率。因此，Bob在第n个时隙接收到的信号为：

其中，x_b[n]为UAV发送的信号；x_k,J[n]为W_k以最大发送功率P_w发送的干扰信号，这两个信号都满足 为期望算子；n_b[n]为均值为0方差为/>的加性高斯白噪声。那么Bob的可达速率为：

因为R_b[n]关于随机变量g_kb[n]是凸的，则根据杰森不等式，R_b[n]的下界可以表示为：

其中，因此，/>可以用来衡量被主动检测者影响的隐蔽通信质量。

(4)假设每一个检测者有L次检测次数并告知融合中心其测量的能量。在这种情况下，每一个检测者使用同一码本发送干扰信号。假设W_k通过自干扰消除技术能够尽可能完全消除自干扰以及来自其他检测者的干扰，则W_k在第n个时隙接受到的第l次信号为：

其中，H₀表示零假设，即UAV不发送保密信号；H₁表示备选假设，即UAV发送保密信号；n_k为均值为0、方差为的加性高斯白噪声。考虑最坏的情况，主动检测者合作进行检测。为了判断无人机和Bob之间是否存在通信，所有的检测者将接受到的第l次信号能量传送给融合中心，则融合中心接收到的检测能量可以表示为：

其中，表示噪声功率之和；/>表示融合中心接收到的功率增益之和；虚警概率和漏检概率可以分别表示为P_FA[n]＝(D₁∣H₀)和P_MD[n]＝(D₀∣H₁)，其中D₀表示融合中心认为无人机没有发送信号和D₁表示融合中心认为无人机发送了信号。因此，检错概率可以表示为/>利用似然比最小化ξ_k[n]为：

其中，和/>分别为H₀和H₁的似然函数。利用统计决策理论，最优检测门限为：

其中，和/>分别表示为不完全伽马函数和伽马函数，其中的t表示随机变量；/>为了保证隐蔽通信，则有：

其中，ε∈[0,1]表示隐蔽水平门限。

第二步，确定目标函数和优化变量，形成优化问题；

为了易于表达，另P＝[P[1],...,P[N]]^T，Q＝[q[1],...,q[N]]^T和H＝[H[1],...,H[N]]^T。通过联合优化无人机的3D轨迹和发送功率，最大化平均隐蔽速率，形成如下的优化问题：

其中，C1-C4为无人机的移动约束，C5表示无人机发送功率约束，C6是隐蔽约束。可以看出C6关于P、Q和H是非凸约束，可以获得这意味着ξ[n]是μ₂[n]的非增函数，因此存在一个μ₂[n]的最大值/>能够满足C6，/>可以通过二分搜索法得到。则C6可以重写：

第三步，设计算法求解优化问题：

采用分块迭代的思想，将上述优化问题分解为两个子问题；具体来说，首先给定无人机的飞行轨迹，将发送功率子问题转化为一个凸问题；然后引入辅助变量将原问题转化为半定规划，利用半定松弛、S-引理和一阶泰勒展开求解无人机飞行轨迹。具体包括以下步骤：

(1)无人机发送功率的优化

固定无人机的轨迹Q和H，子问题可以表示为：

约束(17)可以进一步表示为：

其中，

在(20)中，因此，(P1.1a)可以重构为：

公式(21)所示的约束是凸的并且能够通过传统的CVX求解；

(2)无人机3D轨迹的优化

在给定发送功率P的情况下，无人机3D轨迹可以表示为：

由于目标函数和约束(17)，则该子问题是非凸的。为了解决该问题，引入松弛变量θ＝{θ[n]}和则(P1.2a)可以重构为：

其中，表示平均隐蔽速率的下界；θ^m[n]为第m次迭代的可行解。利用S-引理，C9可以表示为：

其中，是非凸的，||q[n]-B||²和H²[n]是非线性的。那么，(P1.2b)可以重构为：

其中，(P1.2c)是凸的且能够利用CVX可以高效地求解；

(3)通过交替迭代算法来求解优化问题，在每次迭代中，利用半定松弛和连续凸逼近求解无人机的发送功率和3D轨迹，进而最大化平均隐蔽速率；最后更新参变量的值进行下一次迭代，直至最后算法收敛；具体流程如下：

1)初始化无人机的水平位置Q⁰和高度H⁰，迭代次数m＝0，迭代终止阈值ε₀；

2)对于给定的Q^(m)和H^(m)，求解凸优化问题(P1.1b)得到第k次迭代的优化结果，即无人机发送功率P^(m+1)，作为第m+1迭代的初始值；

3)对于给定的P^(m+1)，求解凸优化问题(P1.2c)，从而得到Q^(m+1)和H^(m+1)，更新迭代次数m＝m+1；

4)计算经此次迭代后，问题(P1)目标值的增加量，若大于阈值ε₀，则更新迭代次数m＝m+1，跳至步骤2)进行下一次的迭代优化；若优化目标值增加量小于阈值ε₀，则终止迭代，输出相对应的优化变量的值。

本发明主要分析存在多个检测者发送干扰信号且共谋的场景，为了使得平均隐蔽速率最大化，通过对无人机轨迹和发送功率迭代优化，设计出无人机的轨迹和发送功率在规避检测者的同时建立更好的空地链路，以增强通信质量。

本发明的有益效果是：

本发明通过对无人机的发送功率和3D轨迹的联合优化设计，给出了在满足隐蔽通信的同时实现平均隐蔽速率最大化的对抗主动检测方案。通过设计无人机的3D轨迹，在保证通信隐蔽的情况下，使得平均隐蔽速率最大化。本发明为实现无人机通信隐蔽传输给出了参考取值方法。

附图说明

图1是无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者设计示意图。

图2是无人机水平飞行轨迹曲线图。

图3是无人机高度飞行轨迹曲线图。

图4是平均隐蔽速率与不确定范围半径的关系曲线图。

图5是平均隐蔽速率与隐蔽约束的关系曲线图。

具体实施方式

为了更好的理解上述技术方案，以下结合附图以及具体的实施方式，给出具体分析。

一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，包括以下步骤：

第一步，构建系统模型：

建立一个无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者系统，该系统包括一个单天线无人机作为发送端给地面单天线接收端Bob发送保密信息，K个地面检测者，其中每一个检测者配备两根天线，一根接收无人机发送的信息，另一个产生干扰信号以干扰Bob；

第二步，确定目标函数和优化变量，列出优化问题：

通过联合优化无人机发送功率P和无人机的轨迹Q和H，对抗主动检测，最大化平均隐蔽速率，形成如下的优化问题(16)；

第三步，设计算法求解优化问题：

(1)无人机发送功率P的优化

固定无人机的轨迹Q和H，求解无人机发送功率P子问题(21)；

(2)无人机3D轨迹Q和H的优化

根据步骤(1)求得的无人机发送功率P，求解无人机3D轨迹Q和H子问题(25)；

第四步，设计迭代算法：

通过交替迭代算法来求解优化问题，在每次迭代中，利用半定松弛和连续凸逼近求解无人机的发送功率和3D轨迹，进而最大化平均隐蔽速率；最后更新参变量的值进行下一次迭代，直至最后算法收敛；具体流程如下：

1)初始化无人机的水平位置Q⁰和高度H⁰，迭代次数m＝0，迭代终止阈值ε₀；

2)对于给定的Q^(m)和H^(m)，求解凸优化问题(P1.1b)得到第k次迭代的优化结果，即无人机发送功率P^(m+1)，作为第m+1迭代的初始值；

3)对于给定的P^(m+1)，求解凸优化问题(P1.2c)，从而得到Q^(m+1)和H^(m+1)，更新迭代次数m＝m+1；

4)计算经此次迭代后，问题(P1)目标值的增加量，若大于阈值ε₀，则更新迭代次数m＝m+1，跳至步骤2)进行下一次的迭代优化；若优化目标值增加量小于阈值ε₀，则终止迭代，输出相对应的优化变量的值。

本实施例验证：

在450m×120m区域内，无人机的始末位置分别为[0，0]m和[400，100]m，当存在3个检测者时，他们的位置分别为[100，-50]m、[400，0]m和[205，-20]m，接收端Bob的位置为[200，80]m，最小和最大高度分别为H_min＝80m和H_max＝120m，最大水平和竖直速度为V_max＝V_Z＝10m/s，不确定范围半径为r_k＝30m，单位功率增益为β₀＝-50dB，路径损耗指数为α＝2.8，观察次数为L＝10，无人机和检测者的最大发送功率为P_max＝P_w＝20dBm,无人机的最大平均发送功率为隐蔽约束为ε＝0.05，容忍误差为ε₀＝10^-3。

(1)本实施例所提出的方法采用连续凸逼近和坐标下降，并考虑了一个基准进行比较：固定飞行轨迹，优化发送功率；

(2)对无人机水平飞行轨迹进行分析：

图2描述了无人机3D轨迹和基准方案之间的对比关系。从图2中可以观察到所提策略的水平轨迹比基准方案更远离检测者。详细地，无人机首先以弧形飞向Bob，最后沿着弧形在远离第二个检测者的情况下飞向终点。这个原因是无人机在不能获得检测者的准确位置时，需要避免检测并发送更多信息。

(3)对无人机竖直飞行轨迹进行分析：

图3描述了无人机先飞到最低高度，然后保持一段时间，逐渐上升到最后的位置。这是因为降低无人机高度能够建立一个更好地空地链路，同时增强了隐蔽传输速率。

(4)是平均隐蔽速率与不确定范围半径的关系；

图4描述了对于不同的发送功率P_w和观察次数L，平均隐蔽速率与不确定范围半径r之间的关系。可以观察到平均隐蔽速率随着r的增大而减小，因为当无法获得检测者的准确位置时，无人机将远离检测者以保证隐蔽通信。平均隐蔽速率随着L的增加而减小，因为检测者可以获得更多的样例从而达到更好地检测性能。除此之外，还可以观察到传输性能随着P_w的增加在减小，这表明检测者发送干扰信号对Bob产生了较大影响，最终造成了平均隐蔽速率的减小。

(5)是平均隐蔽速率与隐蔽约束的关系；

图5描述了平均隐蔽速率在不同的检测者数量K和飞行时间T的情况下受隐蔽约束门限ε的关系，其中第三个检测者的位置为[205，-20]m，不确定范围半径为r₃＝30m。可以观察到平均隐蔽速率随着ε的增大而增大，因为隐蔽约束变得不严格，无人机将以更过的发送功率发送合法信号。另外平均隐蔽速率随着检测者数量的增加而增大，这是因为无人机的轨迹和发送功率将被优化以保证隐蔽通信。此外，当飞行时间T增大时，无人机有更多的时间靠近Bob，使得传输性能增强，而基准方案不受T的影响。

以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，其特征在于，所述设计方法首先，考虑主动检测者存在的场景，建立无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者的系统模型；其次，在最差隐蔽和检测者位置不确定约束下，联合优化无人机的三维轨迹和发送功率，构建无人机平均隐蔽速率最大化的优化问题；最后，将多变量耦合的原问题分解为两个子问题，并将非凸的优化问题转化为凸问题进行迭代求解。

2.根据权利要求1所述的一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，构建系统模型：

(1)建立一个无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动监测者系统，该系统包括一个单天线无人机作为发送端给地面单天线接收端Bob发送保密信息，K个地面检测者，其中每一个检测者配备两根天线，一根接收无人机发送的信息，另一个产生干扰信号；其中，无人机与Bob之间为合法链路，无人机与检测者之间为隐蔽链路，检测者与Bob之间为发送干扰信号链路，检测者之间为干扰与自干扰链路；所有节点的位置采用3D笛卡尔坐标系表示，Bob和第k个检测者(W_k)的水平坐标分别为B＝(x_b,y_b)^T和w_k＝(x_k,y_k)^T；假设无人机只能够获得检测者的不完美位置，则存在误差的W_k估计位置为：

其中，表示W_k的评估位置；Δe_k表示评估误差；Φ_k表示不确定范围和r_k表示不确定范围半径；R表示向量空间；

(2)假设无人机能够任意飞行，其对应的水平坐标为q[t]＝(x[t],y[t])^T，竖直坐标为H[t]，其中0≤t≤T，飞行时间T均分为N个时隙，即δ_t＝T/N，每个时隙非常小，使得UAV在每个时隙的位置几乎不改变；则在第n个时隙与第n+1个时隙，UAV的水平飞行距离为：

其中，V_max为最大水平飞行速度；和/>为始末位置；UAV竖直飞行高度为：

其中，V_Z为最大竖直飞行速度；H_I和H_F为始末高度；H_min和H_max为最小和最大飞行高度；

(3)假设无人机悬停高度能够避免碰撞，其到地面节点的空地信道主要包含视距分量，则W_k的发送天线和Bob之间的信道经历瑞利衰落，则信道增益为：

其中，β₀表示单位距离的路径损耗，d_kb＝||B-w_k||表示W_k与Bob之间的欧氏距离；α为路径损耗指数；信道系数g_kb遵循具有零均值和方差为1的复高斯分布小尺度瑞利衰落；根据三角不等式，d_kb表示为：

其中，表示d_kb的下界；

无人机在第n个时隙的发送功率为P[n]，满足

其中，和P_max分别表示平均发送功率和最大发送功率；因此，Bob在第n个时隙接收到的信号为：

其中，x_b[n]为UAV发送的信号；x_k,J[n]为W_k以最大发送功率P_w发送的干扰信号，这两个信号都满足 为期望算子；n_b[n]为均值为0方差为/>的加性高斯白噪声；那么Bob的可达速率为：

因为R_b[n]关于随机变量g_kb[n]是凸的，则根据杰森不等式，R_b[n]的下界可以表示为：

其中，因此，/>可以用来衡量被主动检测者影响的隐蔽通信质量；

(4)假设每一个检测者有L次检测次数并告知融合中心其测量的能量；每一个检测者使用同一码本发送干扰信号；假设W_k通过自干扰消除技术能够尽可能完全消除自干扰以及来自其他检测者的干扰，则W_k在第n个时隙接受到的第l次信号为：

其中，H₀表示零假设，即UAV不发送保密信号；H₁表示备选假设，即UAV发送保密信号；n_k为均值为0、方差为的加性高斯白噪声；考虑最坏的情况，主动检测者合作进行检测；为了判断无人机和Bob之间是否存在通信，所有的检测者将接受到的第l次信号能量传送给融合中心，则融合中心接收到的检测能量可以表示为：

其中，表示噪声功率之和；/>表示融合中心接收到的功率增益之和；虚警概率和漏检概率可以分别表示为P_FA[n]＝(D₁∣H₀)和P_MD[n]＝(D₀∣H₁)，其中D₀表示融合中心认为无人机没有发送信号和D₁表示融合中心认为无人机发送了信号；因此，检错概率可以表示为/>

第二步，确定目标函数和优化变量，形成优化问题；

令P＝[P[1],...,P[N]]^T，Q＝[q[1],...,q[N]]^T和H＝[H[1],...,H[N]]^T；通过联合优化无人机的3D轨迹和发送功率，最大化平均隐蔽速率，形成如下的优化问题：

其中，C1-C4为无人机的移动约束，C5表示无人机发送功率约束，C6是隐蔽约束；可以看出C6关于P、Q和H是非凸约束，可以获得这意味着ξ[n]是μ₂[n]的非增函数，因此存在一个μ₂[n]的最大值/>能够满足C6，/>可以通过二分搜索法得到；则C6可以重写：

第三步，设计算法求解优化问题：

采用分块迭代的思想，将上述优化问题分解为两个子问题；具体来说，首先给定无人机的飞行轨迹，将发送功率子问题转化为一个凸问题；然后引入辅助变量将原问题转化为半定规划，利用半定松弛、S-引理和一阶泰勒展开求解无人机飞行轨迹。

3.根据权利要求2所述的一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，其特征在于，所述的第三步具体包括以下步骤：

(1)无人机发送功率的优化

固定无人机的轨迹Q和H，子问题可以表示为：

约束(17)进一步表示为：

其中，

在(20)中，因此，(P1.1a)重构为：

(2)无人机3D轨迹的优化

在给定发送功率P的情况下，无人机3D轨迹表示为：

由于目标函数和约束(17)，则该子问题是非凸的；为了解决该问题，引入松弛变量和/>则(P1.2a)重构为：

其中，表示平均隐蔽速率的下界；/>为第m次迭代的可行解；利用S-引理，C9可以表示为：

其中，是非凸的，||q[n]-B||²和H²[n]是非线性的；那么，(P1.2b)重构为：

其中，(P1.2c)是凸的且能够利用CVX可以高效地求解；

(3)通过交替迭代算法来求解优化问题，在每次迭代中，利用半定松弛和连续凸逼近求解无人机的发送功率和3D轨迹，进而最大化平均隐蔽速率；最后更新参变量的值进行下一次迭代，直至最后算法收敛；具体流程如下：

1)初始化无人机的水平位置Q⁰和高度H⁰，迭代次数m＝0，迭代终止阈值ε₀；

2)对于给定的Q^(m)和H^(m)，求解凸优化问题(P1.1b)得到第k次迭代的优化结果，即无人机发送功率P^(m+1)，作为第m+1迭代的初始值；

3)对于给定的P^(m+1)，求解凸优化问题(P1.2c)，从而得到Q^(m+1)和H^(m+1)，更新迭代次数m＝m+1；

4)计算经此次迭代后，问题(P1)目标值的增加量，若大于阈值ε₀，则更新迭代次数m＝m+1，跳至步骤2)进行下一次的迭代优化；若优化目标值增加量小于阈值ε₀，则终止迭代，输出相对应的优化变量的值。

4.根据权利要求2所述的一种无人机辅助稳健隐蔽通信对抗主动检测者的设计方法，其特征在于，

所述的第一步步骤(4)中，采用似然比最小化检错概率ξ_k[n]为：

其中，和/>分别为H₀和H₁的似然函数；利用统计决策理论，最优检测门限为：

其中，和/>分别表示为不完全伽马函数和伽马函数，其中的t表示随机变量；/>为了保证隐蔽通信，则有：

其中，ε∈[0,1]表示隐蔽水平门限。