CN113885547A - 一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，该控制策略通过构造预定时间容错控制器和预定时间姿态控制器来实现控制目标：通过基于积分滑模的障碍自适应律在预定时间内，实时估计执行器不完全故障、执行器饱和、外界干扰和系统惯性参数不确定的系统上界，同时在预定时间内补偿其系统的不确定项，从而实现预定时间容错控制；接下来，设计基于二阶滑模变量的预定时间姿态控制器，实现姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零。本发明控制策略解决了刚体航天器在执行器不完全故障、执行器饱和、外界干扰及系统惯性参数不确定下的姿态跟踪控制问题，其算法鲁棒性强，预定时间内实现容错控制，跟踪性能好。

Description

一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略

技术领域

本发明涉及小型航天器姿态控制技术领域，具体是一种执行机构故障和执行机构饱和的小型刚体航天器系统预定时间容错姿态控制策略，可应用于小型刚体航天器，有助于小型航天器深空探测领域的发展。

背景技术

小型航天器是指一种质量在1000kg以下的航天器，20世纪50年代以来，随着计算机、新材料和新工艺等技术的发展，功能密度高和技术性强的小型航天器成为各国研究的重点，较大型航天器相比，不仅具有体积小、重量轻、技术含量高等一系列优点，其研发周期短，发射平台灵活。同时，小型航天器还可以和大型航天器平台进行互补，完成一些复杂的空间探测任务。

需要注意的是，航天器长期处于高辐射，低温，真空环境下，其受到环境扰动以及由于燃料的消耗所导致的惯性参数不确定的影响，高性能的航天器姿态控制器的设计，仍然面临着诸多挑战。首先，由于长时间在恶劣环境下工作，在轨航天器在运行周期中，不可避免的会出现各种故障现象，其中，较为常见的执行器机构故障，例如执行机构不完全失效、执行机构饱和及随机漂移故障，如果航天器发生故障，基本不可能维修。随后，航天器容错以及航天器姿态收敛的时间，在设计航天器时，只能大致估计一个界并无法直接给出，因此，目前迫切的需要一种针对小型刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，以保证系统在外界扰动、参数摄动和执行机构故障、饱和条件下的鲁棒性和可靠性。

发明内容

本发明为克服小型刚体航天器姿态控制问题的执行机构故障和执行机构饱和问题，提出了一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略。该控制策略利用基于障碍自适应律的积分滑模面设计预定时间自适应控制器，实时估计并在预定时间内补偿上界未知的外界扰动、执行器饱和问题、时变的惯性参数以及执行器不完全失效的故障。同时设计了连续的预定时间姿态控制器，使得航天器姿态误差在预定时间内收敛到零，避免了由切换项所引起的抖振现象，跟踪性能好。

本发明解决所述技术问题的技术方案是，设计一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，其特征在于，其设计过程如下：

步骤1：基于单位四元数姿态描述法建立包含执行器饱和、执行器不完全失效、未知参数和不确定项的刚体航天器姿态运动数学模型，同时，根据刚体力矩原理建立姿态动力学模型；

步骤2：通过刚体航天器姿态传感器获取刚体航天器的姿态信息，并给定期望的姿态角速度，根据姿态运动数学模型得到期望的姿态角度，建立刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型；

步骤3：设计积分滑模变量，结合步骤2所得的姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型，考虑边界未知的外界扰动、惯性参数不确定、执行器不完全失效、执行器饱和问题，设计基于积分滑模的障碍自适应律的自适应预定时间容错控制器；

步骤4：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性；

步骤5：刚体航天器在步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的控制下，刚体航天器不受执行器故障以及外界干扰的影响，此时刚体航天器系统可视为标称系统，然后基于二阶滑模变量设计航天器预定时间姿态控制器，在预定时间姿态控制器的控制下，使姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零；

步骤6：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性；

步骤7：通过MATLAB/Simulink模型仿真验证该控制策略的有效性。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：本发明控制策略首先基于单位四元数姿态描述法建立包含执行器饱和、执行器不完全失效、未知参数和不确定项的刚体航天器姿态运动数学模型，并根据刚体力矩原理建立姿态动力学模型。然后根据姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型分别设计了自适应预定时间容错控制器与预定时间姿态控制器，先采用自适应预定时间容错控制器对刚体航天器进行控制，在预定时间内实现对执行机构故障以及扰动的补偿，则刚体航天器系统可视为标称系统；然后采用预定时间姿态控制器对刚体航天器进行控制，使姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零。自适应预定时间容错控制器的设计充分考虑了航天器系统受外界干扰、执行器失效、饱和、惯性参数不确定方面的因素，提出了一种基于积分滑模的预定时间容错控制方案，可以在预定时间内克服综合不确定的影响，实现预定时间内容错控制，该控制方案不需要不确定性上界的信息，能够实现对控制增益的实时在线调节，避免了对不确定上界的过估计。预定时间姿态控制器采用了连续性的设计，使得刚体航天器姿态误差在预定时间内收敛到零，避免了由切换项所引起的抖振现象，跟踪性能好。本发明控制策略解决了刚体航天器在执行器不完全故障、执行器饱和、外界干扰及系统惯性参数不确定下的姿态跟踪控制问题，其算法鲁棒性强，预定时间内实现容错控制，跟踪性能好。

附图说明

图1为本发明控制策略的设计步骤流程图。

图2为本发明控制策略一种实施例的控制原理图。

图3为本发明控制策略一种实施例的采用MATLAB/Simulink模型仿真所得的姿态误差轨迹。

图4为本发明控制策略一种实施例的采用MATLAB/Simulink模型仿真所得的角速度误差轨迹。

图5为本发明控制策略一种实施例的采用MATLAB/Simulink模型仿真所得的积分滑模变量曲线。

图6为本发明控制策略一种实施例的采用MATLAB/Simulink模型仿真所得的增益变化曲线。

图7为本发明控制策略一种实施例的采用MATLAB/Simulink模型仿真所得的控制力矩曲线。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例当中的技术方案进行清楚、完整地描述。

本发明提供一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略(简称控制策略)，其特征在于，其设计过程如下：

步骤1：基于单位四元数姿态描述法建立包含执行器饱和、执行器不完全失效、未知参数和不确定项的刚体航天器姿态运动数学模型，同时，根据刚体力矩原理建立姿态动力学模型。

步骤2：通过刚体航天器姿态传感器获取刚体航天器的姿态信息，并给定期望的姿态角速度，根据姿态运动数学模型得到期望的姿态角度，建立刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型。

步骤3：设计积分滑模变量，结合步骤2所得的姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型，考虑边界未知的外界扰动、惯性参数不确定、执行器不完全失效、执行器饱和问题，设计基于积分滑模的障碍自适应律的自适应预定时间容错控制器。

步骤4：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性。

步骤5：刚体航天器在步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的控制下，刚体航天器不受执行器故障以及外界干扰的影响，此时刚体航天器系统可视为标称系统，然后基于二阶滑模变量设计航天器预定时间姿态控制器，在预定时间姿态控制器的控制下，使姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零。

步骤6：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性。

步骤7：通过MATLAB/Simulink仿真验证该控制策略的有效性。

下面以小型刚体航天器系统为例对本发明控制策略进行详细阐述，小型刚体航天器的姿态运动数学模型和姿态动力学模型描述为如下模型：

式中(·)^T表示矩阵的转置。[q_v,q₄]∈R^3×1×R，其中R为实数,并且R^m×n代表了m×n实数矩阵，为本体坐标系相对于地心惯性坐标系的四元数组，同时，满足约束条件

表示姿态角度对时间t的导数；I_n表示n阶单位向量；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T，为本体坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度对本体坐标系的投影，同时

表示姿态角速度对时间t的导数；J∈R^3×3，为正定的惯性矩阵，其包含标称的惯性矩阵和未知的惯性矩阵；d∈R^3×1，为未知边界的外界干扰力矩；E(t)＝diag(e₁(t),e₂(t),e₃(t))，为执行机构乘性故障系数，不完全失效故障，即0<e_i(t)≤1；sat(τ_u)＝υ(t)+τ_u，为执行机构施加的输入力矩饱和问题，其中τ_u为控制输入力矩，定义为控制器，υ(t)为过量饱和度被限制的部分，并满足

其中ξ₂是一个未知的正常数，运算×和υ(t)表示如下：

其中

为执行机构所能输出的最大力矩。

下文中运算符号与上文所述表示一致。

获取刚体航天器的姿态信息并且给定期望姿态角速度的参考轨迹，通过姿态运动学数学模型，得到期望的姿态角度相关方程：

式中[q_dv,q_d4]^T∈R^3×1×R，为期望的姿态角度，并满足

同时ω_d∈R^3×1，为期望姿态角速度，其余符号的定义同式(1)，则姿态误差变量可以定义为：

式中C为旋转矩阵，并且其满足如下形式：

基于上述表述，刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型可以表述为：

令x＝[x₁,x₂]^T，x₁＝e_v，

将式(7)的刚体航天器姿态误差运动学方程转换为如下形式：

式中

为e_v对时间t的二阶导数；其中控制器τ_u、集总干扰δ(e_v,t)、M和F(e_v,ω_e)分别为：

τ_u＝τ_u,fc+τ_u,nom (9)

其中，τ_u,nom＝[τ_u,nom,1,τ_u,nom,2,τ_u,nom,3]^T定义为预定时间姿态控制器，τ_u,fc＝[τ_u,fc,1,τ_u,fc,2,τ_u,fc,3]^T定义为预定时间容错控制器，均以力矩的形式对刚体航天器进行控制。

为方便后续的控制器设计，针对本实施例中的小型刚体航天器模型，给出如下假设：

假设一：对于航天器编队系统中的任意成员，期望的姿态跟踪信号

均是已知的，并且ω_d和

是有界的，即满足

其中，C₁和C₂均为大于零的未知常数。

假设二：作用于刚体航天器上的干扰力矩是有界的，即满足

其中，γ_d为大于零的未知常数。

假设三：在实际运行中，刚体航天器的输出力矩是有限的，因此假定

其中

是控制器输出力矩，

是执行机构所输出的最大力矩。

基于在上述假设下的刚体航天器误差系统，设计积分滑模变量，其中，滑模变量被设计为：

式中1≤i≤3，

S(t)＝[S₁(t),S₂(t),S₃(t)]^T，F(e_v,ω_e)∈R^3×1，τ_u,nom＝[τ_u,nom,1,τ_u,nom,2,τ_u,nom,3]^T为标称控制器，在下文进行设计。

对(13)两侧同时对时间t求导得：

将式(8)带入式(14)得：

设计自适应预定时间容错控制器为：

式中ρ₀>0、γ₀>0、q₀>0为正常数，并且

其中，exp(·)为以自然常数e为底的指数函数，λ为一个大于0的实数，定义Sign(s)＝[sign(s₁),...,sign(s_n)]^T并且sign(s_i)为标准符号函数，表示如下：

下文符号定义与上文所述相同。

将式(16)带入式(15)中，可得：

所述步骤4中通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性具体过程为：

考虑自适应估计和跟踪误差，首先设计一个Lyapunov函数：

对式(19)进行求导得：

将式(18)带入式(20)得：

由于对于任意向量，下列不等式均成立：

式中||·||₁＝||·||表示为1范数,||·||₂表示为2范数,N为矩阵维数。因此，式(21)可变为：

由不等式

我们可以得到：

简化式(24)，可以得到：

对式(26)两边进行积分，可得：

式中

并且具有如下性质：

Q^-1(a,Q(a,x))＝x,Q^-1(a,1)＝0 (28)

因此，在

时间内系统稳定，并在预定时间T_c0内

对相关不确定进行补偿和估计。

在自适应预定时间容错控制器的控制下，小型刚体航天器系统可视为标称系统，即δ(e_v,t)＝τ_u,fc＝0，此时，式(7)的刚体航天器姿态误差运动学方程转变为

基于刚体航天器姿态误差，构造二阶滑模变量σ_i：

式中，1≤i≤3,1≤j≤2,

p₁>0,γ₁>0,ρ₁>0

并且

满足如下形式：

对式(30)两边求导可得：

设计预定时间姿态控制器为：

式中

其中p₁>0,γ₁>0,ρ₁>0，并且1.5≤γ₁q₁<2，p₂>0,γ₂>0,ρ₂>0，并且1.5≤γ₁q₁<2

将式(33)代入式(32)中，可以得到：

所述步骤6中通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性具体过程为：

考虑跟踪误差，设计下述李雅普诺夫函数：

对式(35)对时间t求导，可得：

将式(33)代入式(36)中：

式(37)可以化简为：

因此，式(38)可变为：

参考步骤4的自适应预定时间容错控制器的稳定性证明过程，可得对于任意t≥T_c2，V₂→0,σ＝0。

由于σ＝0，可得：

选取如下李雅普诺夫函数：

参考步骤4的自适应预定时间容错控制器的稳定性证明过程，可得x₁＝0，可以看出，根据滑模变量的Hurwitz性质，对于任意时间t≥T_c1+T_c2，x₁＝0，x₂＝0。

本发明所设计的控制策略为采用两个控制器对刚体航天器系统进行控制，首先利用自适应预定时间容错控制器，实时估计系统的集总干扰，并在预定时间T_c0内补偿。接下来，利用预定时间姿态控制器，使刚体航天器姿态误差在预定时间T_c1+T_c2内收敛至零。因此，刚体航天器系统(7)在T_c＝T_c0+T_c1+T_c2预定时间内稳定。即

可见步骤3和步骤5所设计的自适应预定时间容错姿态控制的稳定性和收敛性比较好。

利用MATLAB/Simulink模型仿真验证该控制策略的有效性的具体过程为：首先设置仿真参数，在初始时刻积分滑模面为S(0)＝0，其姿态角初值为q_v＝(0.3-0.2-0.30.8832)^T，各姿态角速度ω_e(0)＝(0,0,0)^T，并且，执行机构失效因子为：

为了验证所设计的控制方案，设计外部干扰力矩矩阵为d＝(0.1sin(0.1t),0.2sin(0.2t),0.3sin(0.2t))^T，并且考虑执行机构输出力矩的最大值

期望角速度为：

航天器的惯性参数为：

本例中将控制器的各参数取值为：

T_c0＝2.5s,T_c1＝20s，T_c2＝2.5s.ρ₀＝ρ₂＝1,ρ₁＝2.45,γ₀＝γ₁＝γ₂＝1,p₀＝p₁＝p₂＝1,q₀＝0.6,q₁＝1.68,q₂＝0.8。

其仿真结果见附图3-4，根据姿态角和姿态角速度跟踪误差轨迹图可看出，在步骤3中所述的自适应预定时间容错控制器和步骤5中所述的预定时间姿态控制器的控制下，姿态和姿态角速度在预定时间25s(T_c＝T_c0+T_c1+T_c2)内稳定下来。此外稳态姿态误差收敛至零，表明控制精度很高。积分滑动面的轨迹如图5所示，由于积分滑动模式的全局鲁棒性，其初始状态都在原点。从图6中，基于障碍函数自适应方法的执行器不完全故障的预定时间故障控制器的增益参数，可以看出执行机构失效故障发生在10s，则提出的容错控制将在2.5s内实现补偿。图7显示了所有控制器在执行机构失效故障和执行机构饱和情况下的控制力矩的轨迹。可以看出，较大的最大控制力矩是

证明所提控制策略其性能对执行器故障的适应性较好。

在经过预定时间容错姿态控制后，其姿态跟踪误差为零，证明了该控制策略可靠有效。

本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (3)

1.一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，其特征在于，其设计过程如下：

步骤1：基于单位四元数姿态描述法建立包含执行器饱和、执行器不完全失效、未知参数和不确定项的刚体航天器姿态运动数学模型，同时，根据刚体力矩原理建立姿态动力学模型；

步骤2：通过刚体航天器姿态传感器获取刚体航天器的姿态信息，并给定期望的姿态角速度，根据姿态运动数学模型得到期望的姿态角度，建立刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型；

步骤3：设计积分滑模变量，结合步骤2所得的姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型，考虑边界未知的外界扰动、惯性参数不确定、执行器不完全失效、执行器饱和问题，设计基于积分滑模的障碍自适应律的自适应预定时间容错控制器；

步骤4：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性；

步骤5：刚体航天器在步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的控制下，刚体航天器不受执行器故障以及外界干扰的影响，此时刚体航天器系统可视为标称系统，然后基于二阶滑模变量设计航天器预定时间姿态控制器，在预定时间姿态控制器的控制下，使姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零；

步骤6：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性；

步骤7：通过MATLAB/Simulink模型仿真验证该控制策略的有效性。

2.根据权利要求1所述的一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，其特征在于，该控制策略适用于小型刚体航天器，该控制策略的设计过程如下：

步骤1：小型刚体航天器的姿态运动数学模型和姿态动力学模型描述为如下模型：

式中(·)^T表示矩阵的转置；[q_v,q₄]∈R^3×1×R，其中R为实数,并且R^m×n代表了m×n实数矩阵，为本体坐标系相对于地心惯性坐标系的四元数组，同时，满足约束条件

表示姿态角度对时间t的导数；I_n表示n阶单位向量；ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T，为本体坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度对本体坐标系的投影，同时

表示姿态角速度对时间t的导数；J∈R^3×3，为正定的惯性矩阵，其包含标称的惯性矩阵和未知的惯性矩阵；d∈R^3×1，为未知边界的外界干扰力矩；E(t)＝diag(e₁(t),e₂(t),e₃(t))，为执行机构乘性故障系数，不完全失效故障，即0<e_i(t)≤1；sat(τ_u)＝υ(t)+τ_u，为执行机构施加的输入力矩饱和问题，其中τ_u为控制输入力矩，υ(t)为过量饱和度被限制的部分，并满足

其中ξ₂是一个未知的正常数，运算×和υ(t)表示如下：

其中

为执行机构所能输出的最大力矩；

步骤2：通过刚体航天器姿态传感器获取刚体航天器的姿态信息，并给定期望的姿态角速度，根据姿态运动数学模型得到期望的姿态角度，建立刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型；

步骤3：设计积分滑模变量，结合步骤2所得的姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型，考虑边界未知的外界扰动、惯性参数不确定、执行器不完全失效、执行器饱和问题，设计基于积分滑模的障碍自适应律的自适应预定时间容错控制器；

步骤4：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性；

步骤5：刚体航天器在步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的控制下，刚体航天器不受执行器故障以及外界干扰的影响，此时刚体航天器系统可视为标称系统，然后基于二阶滑模变量设计航天器预定时间姿态控制器，在预定时间姿态控制器的控制下，使姿态跟踪误差在预定时间内收敛至零；

步骤6：通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性；

步骤7：通过MATLAB/Simulink模型仿真验证该控制策略的有效性。

3.根据权利要求2所述的一种刚体航天器预定时间容错姿态控制策略，其特征在于，所述步骤2的具体过程为：获取刚体航天器的姿态信息并且给定期望姿态角速度的参考轨迹，通过姿态运动学数学模型，得到期望的姿态角度相关方程：

式中[q_dv,q_d4]^T∈R^3×1×R，为期望的姿态角度，并满足

同时ω_d∈R^3×1，为期望姿态角速度，其余符号的定义同式(1)，则姿态误差变量可以定义为：

式中C为旋转矩阵，并且其满足如下形式：

基于上述表述，刚体航天器姿态误差运动学模型与姿态误差动力学模型可以表述为：

令x＝[x₁,x₂]^T，x₁＝e_v，

将式(7)的刚体航天器姿态误差运动学方程转换为如下形式：

式中

为e_v对时间t的二阶导数；其中控制器τ_u、集总干扰δ(e_v,t)、M和F(e_v,ω_e)分别为：

τ_u＝τ_u,fc+τ_u,nom (9)

其中，τ_u,nom＝[τ_u,nom,1,τ_u,nom,2,τ_u,nom,3]^T定义为预定时间姿态控制器，τ_u,fc＝[τ_u,fc,1,τ_u,fc,2,τ_u,fc,3]^T定义为预定时间容错控制器，均以力矩的形式对刚体航天器进行控制；

所述步骤3的具体过程为：为方便后续的控制器设计，对所述的小型刚体航天器模型，给出如下假设：

假设一：对于航天器编队系统中的任意成员，期望的姿态跟踪信号

均是已知的，并且ω_d和

是有界的，即满足

其中，C₁和C₂均为大于零的未知常数；

假设二：作用于刚体航天器上的干扰力矩是有界的，即满足

其中，γ_d为大于零的未知常数；

假设三：在实际运行中，刚体航天器的输出力矩是有限的，因此假定，

其中

是控制器输出力矩，

是执行机构所输出的最大力矩；

基于在上述假设下的刚体航天器误差系统，设计积分滑模变量，其中，滑模变量被设计为：

式中1≤i≤3，

S(t)＝[S₁(t),S₂(t),S₃(t)]^T，F(e_v,ω_e)∈R^3×1，τ_u,nom＝[τ_u,nom,1,τ_u,nom,2,τ_u,nom,3]^T为标称控制器，在下文进行设计；

对(13)两侧同时对时间t求导得：

将式(8)带入式(14)得：

设计自适应预定时间容错控制器为：

式中ρ₀>0、γ₀>0、q₀>0为正常数，并且

其中，exp(·)为以自然常数e为底的指数函数，λ为一个大于0的实数，定义Sign(s)＝[sign(s₁),...,sign(s_n)]^T并且sign(s_i)为标准符号函数，表示如下：

将式(16)带入式(15)中，可得：

所述步骤4中通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤3所设计的自适应预定时间容错控制器的稳定性具体过程为：

考虑自适应估计和跟踪误差，首先设计一个Lyapunov函数：

对式(19)进行求导得：

将式(18)带入式(20)得：

由于对于任意向量，下列不等式均成立：

式中||·||₁＝||·||表示为1范数,||·||₂表示为2范数,N为矩阵维数；

因此，式(21)可变为：

由不等式

可以得到：

简化式(24)，可以得到：

对式(26)两边进行积分，可得：

式中

并且具有如下性质：

Q^-1(a,Q(a,x))＝x,Q^-1(a,1)＝0 (28)

因此，在

时间内系统稳定，并在预定时间T_c0内对相关不确定进行补偿和估计；

所述步骤5的具体过程为：在自适应预定时间容错控制器的控制下，小型刚体航天器系统可视为标称系统，即δ(e_v,t)＝τ_u,fc＝0，此时，式(7)的刚体航天器姿态误差运动学方程转变为

基于刚体航天器姿态误差，构造二阶滑模变量σ_i：

式中，1≤i≤3,1≤j≤2,

p₁>0,γ₁>0,ρ₁>0

并且

满足如下形式：

对式(30)两边求导可得：

设计预定时间姿态控制器为：

式中

其中p₁>0,γ₁>0,ρ₁>0，并且1.5≤γ₁q₁<2，p₂>0,γ₂>0,ρ₂>0，并且1.5≤γ₁q₁<2，

将式(33)代入式(32)中，可以得到：

所述步骤6中通过Lyapunov综合能量函数方法证明步骤5所设计的预定时间姿态控制器的稳定性具体过程为：

考虑跟踪误差，设计下述李雅普诺夫函数：

对式(35)对时间t求导，可得：

将式(33)代入式(36)中：

式(37)可以化简为：

因此，式(38)可变为：

参考步骤4的自适应预定时间容错控制器的稳定性证明过程，可得对于任意t≥T_c2，V₂→0,σ＝0；

由于σ＝0，可得：

选取如下李雅普诺夫函数：

参考步骤4的自适应预定时间容错控制器的稳定性证明过程，可得x₁＝0，可以看出，根据滑模变量的Hurwitz性质，对于任意时间t≥T_c1+T_c2，x₁＝0，x₂＝0；

步骤7中利用MATLAB/Simulink模型仿真验证该控制策略的有效性的具体过程为：首先设置仿真参数，在初始时刻积分滑模面为S(0)＝0，其姿态角初值为q_v＝(0.3-0.2-0.30.8832)^T，各姿态角速度ω_e(0)＝(0,0,0)^T，并且，执行机构失效因子为：

为了验证所设计的控制方案，设计外部干扰力矩矩阵为d＝(0.1sin(0.1t),0.2sin(0.2t),0.3sin(0.2t))^T，并且考虑执行机构输出的最大值，

期望角速度为：

小型刚体航天器的惯性参数为：

控制器的各参数取值为：

T_c0＝2.5s,T_c1＝20s，T_c2＝2.5s.ρ₀＝ρ₂＝1,ρ₁＝2.45,γ₀＝γ₁＝γ₂＝1,p₀＝p₁＝p₂＝1,q₀＝0.6,q₁＝1.68,q₂＝0.8；

仿真结果显示，在步骤3中所述的自适应预定时间容错控制器和步骤5中所述的预定时间姿态控制器的控制下，该小型刚体航天的姿态和姿态角速度在预定时间25S内稳定下来，且稳态姿态误差收敛至零。

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