CN113779782B - 考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，所适用的装配线为具有加工质量问题的离散生产系统，且各工位具有相同的生产节拍。所述方法包括将加工工位的质量合格率设定为1，解决加工工位和质量检测工位参数不同的问题；两工位一缓冲装配线的系统状态识别和状态转移方程的构建和求解，得到系统性能指标的精确解；多工位装配线分解方程的建立和求解，得到系统性能指标的近似解。所提供的方法在计算生产系统的生产率和在制品数量方面具有较高的准确性。

Description

考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法

技术领域

本发明涉及装配线生产系统的建模与性能评估领域。

背景技术

装配线生产系统性能分析旨在利用数学模型刻画生产过程，揭示系统运行和演化的客观基本规律，是生产系统性能客观评价、效益衡量的直接手段，是生产系统产能提升、精益设计的重要依据，对于生产系统的控制具有重要指导意义。

装配线生产系统性能分析常用方法包括仿真方法和解析方法。仿真方法适用于复杂的生产线，主要通过建立仿真模型，模拟生产线的运行，得到系统性能指标。解析方法通过建立数学模型，刻画工位可靠性、质量特性以及缓冲区容量等参数与生产线生产率以及平均在制品数量之间的关系。解析方法进一步分为精确解析方法和近似分析方法。精确解析方法适用于简单的两工位一缓冲生产线，主要通过建立马尔可夫状态转移方程，得到产线状态的稳态概率分布，进而计算得到性能指标；近似分析方法适用于工位数量较多的生产线，主要通过调用两工位生产线的稳态解进行递归迭代，最后得到多工位生产线的近似解。近似分析方法又分为分解方法和聚合方法。分解方法将原生产线分解为多个两工位构建块，根据上下游构建块之间关系，建立分解方程，构建迭代算法求解系统性能指标。聚合方法将两工位构建块等效为单个工位，调用两工位构建块解析模型，通过前向聚合和后向聚合过程交替进行递推迭代直至满足收敛条件，获得系统生产率和平均在制品数量等性能指标。

质量问题及其他扰动因素如工位随机故障、物料供应短缺、紧急订单插入等，使生产系统成为一个随机的、不可靠的复杂系统。这些扰动因素不仅能通过阻碍工位的加工影响工位自身的产出，还会通过缓冲区沿着生产线上游和下游进行传播，影响相邻工位及其他工位的正常运行，造成系统产能的损失。缓冲区的存在虽然减缓了这种扰动传播影响，但缓冲区容量的有限性导致其并不能完全消除扰动传播的影响。扰动事件的随机性与缓冲容量的有限性相耦合使得生产系统的输入输出呈现出非线性变化关系，导致系统生产动态难以预测、投入产出比难以计算。现有的性能分析解析方法主要集中于工位可靠性和缓冲容量等特征参数对系统性能的影响。加工和质量的耦合影响研究较少，尤其是质量不合格工件的处理对系统状态转移的影响，目前还没有相关研究。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提出一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，装配线如图1所示，建立两工位构建块精确解析模型和多工位近似分析模型以评估该装配线的生产率和平均在制品数量，主要包含以下内容：

(1)考虑工件报废的两工位构建块解析模型

针对考虑工件报废的两工位一缓冲构建块，采用解析方法进行建模。考虑工件报废对系统稳定状态转移的影响，建立系统状态转移方程，求解得到系统稳态概率分布，进而计算得到系统各项性能指标。

(2)考虑工件报废的多工位生产线近似模型

针对考虑工件报废的多工位装配线，采用近似分析方法进行建模。采用分解方法将多工位装配线分解为多个两工位构建块，建立上下游两工位构建块之间的流守恒和流修复方程。通过调用两工位构建块的性能指标循环迭代对多工位装配线的流守恒和流修复方程进行了求解，并通过对仿真实验对比，对分解模型的有效性进行了验证。

本发明的技术方案为：

所述一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，包括以下步骤：

步骤1：确定装配线结构布局和参数；

步骤2：建立两工位一缓冲构建块状态转移方程；

步骤3：对两工位一缓冲构建块状态转移方程求解，并根据求解得到的系统稳态概率分布计算构建块的性能指标，包括工位效率、生产率、在制品水平、饥饿和阻塞率等；

步骤4：将多工位装配线分解为多个两工位一缓冲构建块，并建立多工位装配线分解方程，包括流守恒方程和流修复方程；

步骤5：使用DDX算法对分解方程进行求解，并计算多工位装配线的生产率和平均在制品水平。

进一步的，步骤1中，确定装配线结构布局和参数包括以下步骤：

步骤1.1：确定装配线结构布局，包括工位和缓冲区的数量，以及质量检测工位的位置；

步骤1.2：确定装配线参数，包括工位的故障率和修复率、加工周期、加工质量概率和缓冲区容量；

步骤1.3：根据质量检测工位的位置和工位的加工质量概率计算工位的质量合格率，其中加工工位的质量合格率q_i＝1；质量检测工位的质量合格率为相邻质量检测工位之间工位加工质量概率的乘积，即，

其中m_h-1和m_i为相邻的两个质量检测工位。

进一步的，步骤2中建立两工位一缓冲构建块状态转移方程的过程包括以下步骤：

步骤2.1：定义装配线生产系统状态s＝(b,Λ^u,Λ^d)，其中b为缓冲区水平，Λ^u为上游工位状态，Λ^d为下游工位状态；

步骤2.2：根据工件报废对系统稳态的影响，识别并剔除系统瞬时状态；

步骤2.3：建立系统状态转移方程；所述状态转移方程描述了系统处于各状态的概率之间的转化关系；

步骤2.4：建立系统状态的归一化方程。

进一步的，步骤3中对状态转移方程进行求解，并计算系统性能指标的过程包括以下步骤：

步骤3.1：将系统状态转移方程和归一化方程构成方程组；

步骤3.2：使用克拉默法则对方程组求解，得到稳态时系统处于各状态的概率；

步骤3.3：根据稳态时系统处于各状态的概率计算两工位构建块的性能指标，包括工位效率、生产率、在制品水平、饥饿率、阻塞率。

进一步的，步骤4中建立多工位装配线分解方程的过程包括以下步骤：

步骤4.1：将多工位装配线根据缓冲区分解为多个两工位一缓冲构建块；

步骤4.2：建立上下游构建块之间的流守恒方程；

步骤4.3：建立构建块L_i中上下游虚拟工位的流修复方程。

有益效果

进行实验对比说明本专利的所提性能评估方法的有效性。为保证准确性，分别选取3工位、4工位、5工位和6工位装配线各50条进行性能指标的对比，结果取实验平均值。

分解方法和仿真实验得到的性能指标误差对比如表1所示。

表1考虑工件报废的装配线分解方法和仿真实验结果对比

通过3工位至6工位装配线使用分解方法得到的系统生产率和在制品水平与仿真实验的对比，可知：

1、本发明所提分解方法得到的结果与仿真实验得到的结果偏差小，分解方法正确有效。

2、对于系统生产率，分解方法与仿真实验所得结果的偏差均小于3％，最大偏差为2.802％。对于平均在制品水平，分解方法与仿真实验所得结果的偏差均小于9％，最大偏差为8.772％。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1考虑工件报废的装配线。

图2两工位装配线。

图3多工位装配线分解示意图。

具体实施方式

本发明提出了考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，并通过与仿真实验对比对其有效性进行了说明。具体过程如下：首先，建立两工位一缓冲构建块系统状态转移方程，求解工位效率、生产率和饥饿阻塞率等系统性能指标。然后，采用分解方法将多工位装配线分解为多个两工位构建块，构建装配线分解模型，并调用两工位构建块模型迭代求解，得到系统生产率和平均在制品水平。最后，设计实验验证分解模型的准确性和有效性。

1、装配线相关描述及假设

假设有一条具有质量检测和不合格工件报废的装配线，如图1所示，空白矩形表示加工工位，带阴影的矩形表示质量检测工位，圆圈表示缓冲区。装配线中共有M个工位和M-1个缓冲区。工件依次经过工位m_i的加工和缓冲区B_i的存储和转运，从最后一个工位M_M流出系统。相关假设如下：

(1)所有工位具有相同的生产节拍τ，将时间轴按生产节拍τ分段，工件的转运时间忽略不计，工位的故障和修复均发生在每一时段开始时刻，缓冲区容量变化发生在每一时段结束时刻。

(2)用m_i，i＝1,…,M，表示第i个工位；B_i，i＝2,…,M，表示第i个缓冲区。为便于表述，依旧使用B_i表示缓冲区B_i的容量，即缓冲区B_i可容纳工件的最大数量。缓冲区B_i容量有限，即B_i＜∞。b_i(t)表示t时段的缓冲区中在制品的数量。

(3)每一时段结束，上游工位m_i-1加工完成的工件放入缓冲区B_i；每一时段开始，下游工位m_i从缓冲区B_i中提取工件进行加工。

(4)装配线中有两类工位：加工工位和质量检测工位。加工工位仅用于加工进入该类工位的工件，不具有质量检测功能，加工完成的工件放入下游缓冲区；质量检测工位用于加工并检测工件质量是否合格，如果工件质量检测合格，则放入下游缓冲区，否则工件报废离开系统。

(5)质量检测工位检测每个工件的时间很短，可以忽略不计。质量检测工位全数检测流经该工位的工件，且不存在检测错误。

(6)Λ_i，i＝1,…,M，表示工位状态。工位m_i有两种状态：运行状态(Λ_i＝1)和故障状态(Λ_i＝0)。工位处于运行状态时可以加工工件，工位处于故障状态时不能加工工件。

(7)工位m_i，i＝1,…,M，服从几何可靠性模型。若工位m_i当前处于运行状态，则下一时段该工位以p_i的概率发生故障，以1-p_i的概率继续运行，p_i为工位m_i的故障率；若工位m_i当前处于故障状态，则下一时段该工位以r_i的概率修复，以1-r_i的概率停留在故障状态，r_i为工位m_i的修复率。

(8)工位m_i，i＝1,…,M，服从伯努利质量模型，即任意时段内工位m_i加工出合格工件的概率为g_i，加工出不合格工件的概率为1-g_i，称g_i为工位m_i的加工质量概率。

(9)在质量检测工位m_i检测的工件中，出现质量合格工件的概率为出现质量不合格工件的概率为1-q_i，其中m_h-1和m_i为相邻的两个质量检测工位，称q_i为工位m_i的质量合格率，即经工位m_i检测的工件以q_i的概率流入下游缓冲区，1-q_i的概率因报废而离开系统。由于加工工位不执行检测操作，即所有的工件均流入下游缓冲区，因此认为所有加工工位的质量合格率为q＝1。

(10)当工位m_i，i＝2,…,M，处于运行状态(Λ_i＝1)，但上游缓冲区为空(b_i＝0)时，工位m_i因无法从缓冲区提取工件加工而处于饥饿状态，称工位m_i饥饿。假设装配线原料供应充足，第一个工位m₁永远不会饥饿。

(11)当工位m_i，i＝1,…,M-1，处于运行状态(Λ_i＝1)，但下游缓冲区被在制品充满(b_i+1＝B_i+1)时，工位m_i因无法转移工件而处于阻塞状态，称工位m_i被阻塞。假设装配线成品缓冲区容量无限，最后一个工位m_M永远不会被阻塞。

(12)考虑加工前阻塞，若一个时段内某工位处于运行状态，但下游缓冲区前一时段结束时处于充满状态，且该时段下游工位无法从该缓冲区中提取工件，则认为这一时段该工位被阻塞。

(13)工位故障模型影响马尔可夫链模型的构建，假设工位故障模式为操作相关故障，即工位故障与加工工件相关，工位只有在加工工件时才能发生故障，在饥饿或阻塞状态时不能发生故障，该类故障主要是由机械原因引起的，如工具断裂，电机烧坏等。

根据以上描述和假设，缓冲区在制品数量按以下规则变化：

其中，表示t时段是否有工件从上游达到缓冲区B_i。

2、考虑工件报废的两工位装配线解析模型

两工位一缓冲构建块是最简单的装配线，也是多工位装配线分解模型的基础。如图2所示，本专利首先对考虑工件报废的两工位构建块，基于马尔可夫过程建立两工位构建块解析模型，提出系统性能评价指标并求解。

2.1、建立解析模型

系统状态刻画

考虑工件报废的两工位构建块包含上下游两个工位m^u，m^d和一个缓冲区B，系统状态可表示为s＝(b,Λ^u,Λ^d)，其中b为缓冲区水平，Λ^u为上游工位状态，Λ^d为下游工位状态。两工位构建块共有S＝4(B+1)个状态，可分为瞬时状态T和其他状态C。由于上下游工位的加工、故障或修复，除瞬时状态外，其他系统状态均能从一个状态转移到另一个状态。系统瞬时状态的定义如下：

定义1瞬时状态(Transient State)设f_ij表示经过一定的演变，装配线由状态j转移到状态i的概率。若f_ij＜1，则称状态i为瞬时状态。

系统瞬时状态总存在于缓冲区水平的边界上，如b＝0，1，B-1，B。在考虑工件报废的两工位构建块模型中瞬时状态有：

T＝{(B，0，1)，(B，1，1)，(B，0，0)，(B-1，0，1)}

系统状态转移方程

除瞬时状态外，在考虑工件报废的两工位构建块中有4B个稳定状态。由于工位加工、故障或报废工件，系统可以由一种状态转移到另一种状态。系统状态转移方程描述了系统各状态之间的转移关系。根据缓冲区水平的不同，系统状态转移方程分为下边界状态转移方程、中间状态转移方程和上边界状态转移方程。

下边界状态转移方程：缓冲区中在制品数量b≤1

P(0，0，0)＝(1-ru)(1-rd)P(0，0，0)+pu(1-rd)P(0，1，0) (1)

P(0，1，0)＝(1-q^u)(1-r^d)[(1-p^u)P(0，1，0)+r^uP(0，0，0)] (3)

内部状态转移方程：缓冲区中在制品数量介于1和B-1之间，2≤b≤B-3

上边界状态转移方程：缓冲区中在制品数量b≥B-2

在稳态下系统状态空间中所有状态的概率之和满足归一化条件：

2.2、求解解析模型

本发明将构建的4B个状态转移方程和1个归一化公式构成4B+1元方程组，该方程组含有4B个未知量。用P_4B×1表示系统状态概率矩阵，A_(4B+1)×4B表示转移方程系数矩阵，b_(4B+1)×1表示常数项，该系统状态转移方程组可转化为如下形式：

AP＝b (20)

其中，

对方程组(20)进行求解，可得到状态概率矩阵P。

2.3、计算性能指标

本发明使用系统状态概率分布，计算得到以下性能指标：

工位效率(Efficiency，E)：工位mⁱ在任意时段工作的概率，用Eⁱ表示。

对于上游工位m^u，工位效率E^u为该工位运行且不被阻塞的概率：

E^u＝∑_b＜BP(b,1,Λ^d) (21)

对于下游工位m^d，工位效率E^d为该工位运行且不被饥饿的概率：

E^d＝∑_b>0P(b,Λ^u,1) (22)

生产率(Production Rate,PR)：装配线稳态运行时，最后一个工位在一个加工周期内产出工件的数量。

在考虑工件报废的两工位构建块中，生产率与下游工位m^d效率的关系如下：

PR＝q^dE^d (23)

装配线稳态运行时，缓冲区中工件的流入和流出量相等，上下游工位效率满足以下关系：

q^uE^u＝E^d (24)

在制品水平(Work-in-process,WIP)：装配线稳态运行时，缓冲区中平均在制品数量。

WIP＝∑_Sb×P(b,Λ^u,Λ^d) (25)

饥饿率(Starvation,ST)：装配线稳态运行时，工位因上游缓冲区为空，无法加工而被饥饿的概率。

考虑工件报废的两工位构建块的饥饿率为下游工位m^d被饥饿的概率：

ST＝P(0,0,1)+P(0,1,1) (26)

阻塞率(Blockage,BL)：装配线稳态运行时，工位因下游缓冲区为满，无法加工而被阻塞的概率。

考虑工件报废的两工位构建块的饥饿率为上游工位m^u被阻塞的概率：

BL＝P(B,1,0) (27)

3、考虑工件报废的多工位装配线近似模型

3.1、建立分解模型

本专利使用分解方法将M个工位M-1个缓冲区的多工位装配线L分解为M-1个两工位一缓冲的构建块L_i，2≤i≤M，如图3所示。

每个构建块L_i由中间缓冲区B_i、上游虚拟工位和下游虚拟工位组成。上游虚拟工位是原装配线L中缓冲区B_i的上游系统(工位m₁到工位m_i-1之间的装配线)的表征，由参数故障率修复率和质量合格率q_i-1确定；下游虚拟工位是原装配线L中缓冲区B_i的下游系统(工位m_i到工位m_M之间的装配线)的表征，由参数故障率修复率和质量合格率q_i确定。

每一个构建块中虚拟工位的质量参数q_i-1、q_i与原装配线L中的质量合格率一致，缓冲区容量与原装配线L中缓冲区容量一致。构建块中缓冲区B_i的物料流入流出动态由上下游工位的参数以及q_i-1和q_i控制。为了确定未知参数和的值，需要根据分解后上下游构建块之间的物料流动关系和虚拟工位之间的关联关系建立分解方程，包括流守恒方程和流修复方程。

流守恒方程(Conservation of Flow Equation)

流守恒方程描述了相邻构建块之间物料流入流出的关系。针对原装配线L，工位m_i的工件流入率和流出率满足f_i ^out＝q_if_i ⁱⁿ。系统达到稳态时，每个缓冲区B_i中的工件数量不变，即工件流入和流出相等。使用表示原装配线达到稳态时缓冲区B_i的流入(流出)率。使用E_i表示系统达到稳态时构建块L_i中缓冲区B_i的流入或流出率，则

对于两个相邻的构建块L_i-1和L_i，缓冲区B_i和B_i-1的流入流出率满足以下关系：

E_i＝q_i-1E_i-1 (28)

在构建块L_i中，缓冲区B_i的流入率为上游工位m^u的生产率，即上游工位在不被阻塞的状态下加工一个合格工件的概率，其计算公式如下：

在构建块L_i-1中，缓冲区B_i-1的流出率为下游工位m^d的工位效率，即下游工位在不被饥饿的状态下加工一个工件的概率，其计算公式如下：

在原装配线L中，缓冲区B_i的流入率为工位m_i-1的生产率，即工位m_i-1在既不饥饿也不阻塞的状态下加工一个合格工件的概率，其计算公式如下：

其中，表示虚拟工位的独立运行效率，表示虚拟工位的独立运行效率，表示工位m_i-1的独立运行效率。工位的独立运行效率表示在不受其他工位和缓冲区的影响下该工位独立运行的生产率。

由于分解方法的目标是使分解前原装配线L中缓冲区物料流动情况与分解后构建块L_i中缓冲区物料流动情况一致，则令将公式(28)、(29)和(30)带入公式(31)中，化简整理可得：

流修复方程(Resumption of Flow Equation)

流修复方程描述了虚拟工位故障后修复率与相邻构建块参数之间的关系。以构建块L_i为例，虚拟工位代表了原装配线L中缓冲区B_i上游所有工位和缓冲区的综合作用。处于故障状态表示原装配线中工位m_i-1故障或饥饿而无法加工工件。工位m_i-1的饥饿则是由缓冲区B_i-1为空引起的。虚拟工位代表了原装配线L中缓冲区B_i下游所有工位和缓冲区的综合作用。处于故障状态表示原装配线中工位m_i故障或阻塞而无法加工工件。工位m_i的阻塞则是由缓冲区B_i+1为满引起的。因此虚拟工位和故障的条件表示如下：

当且仅当{b_i-1(t-1)＝0或Λ_i-1(t)＝0} (34)

当且仅当{b_i+1(t-1)＝B_i+1或Λ_i(t)＝0} (35)

工位修复率表示工位从故障中恢复生产能力的概率。针对虚拟工位假设在t时段内处于故障状态，且未被阻塞，工位修复率可表示为该工位在t+1时段内可以加工工件的概率：

如果虚拟工位的故障是由缓冲区B_i-1为空导致的，则虚拟工位的修复表示该缓冲区由空变为非空；如果虚拟工位的故障是由工位m_i-1故障导致的，则虚拟工位的修复表示工位m_i-1从故障中修复，且下游缓冲区B_i非满以保证虚拟工位不被阻塞。因此，虚拟工位的修复率又可表示如下：

其中，μ_i-1表示缓冲区B_i-1由空变为非空状态的概率：

υ_i表示工位m_i-1从故障中修复的概率：

ψ_i为条件概率，表示虚拟工位的故障是由缓冲区B_i-1为空引起的概率。ψ′_i表示虚拟工位的故障是由工位m_i-1故障引起的概率，ψ′_i＝1-ψ_i。公式(37)中，ψ_i表示为：

对构建块L_i-1而言，缓冲区B_i-1为空是由虚拟工位故障引起的，当虚拟工位恢复生产且产出合格品后，缓冲区B_i-1由空变为非空状态，因此公式(38)可写为：

工位m_i-1从故障中修复的概率为r_i-1，因此公式(39)可写为：

υ_i＝r_i-1 (42)

由于

公式(40)又可写为：

缓冲区B_i-1为空且B_i为满是小概率事件，因此公式(43)中的分子P{b_i-1(t-1)＝0与b_i(t-1)＜B_i}可以写为P{b_i-1(t-1)＝0}。根据公式(34)可知，事件{b_i-1(t-1)＝0或Λ_i-1(t)＝0}表示虚拟工位故障，即因此公式(2-43)的分母可写为又， 因此 经过以上分析，可得到ψ_i的计算公式：

在稳定状态下可用P{b_i-1＝0}表示P{b_i-1(t-1)＝0}，则虚拟工位修复率的计算公式如下：

针对虚拟工位假设在t时段内处于故障状态，且不被饥饿，工位修复率可表示为该工位在t+1时段内可以加工工件的概率：

当虚拟工位的故障是由缓冲区B_i+1为满导致的，虚拟工位的修复表示该缓冲区由满变为非满的概率；当虚拟工位的故障是由工位m_i的故障导致，虚拟工位的修复表示该工位从故障中修复，且上游缓冲区B_i非空，保证虚拟工位不被饥饿。因此，虚拟工位的修复率又可表示如下：

其中，φ_i表示缓冲区B_i+1由满变为非满状态的概率；表示工位m_i从故障中修复的概率；χ_i+1为条件概率，表示虚拟工位的故障是由缓冲区B_i+1为满引起的概率。χ′_i+1表示虚拟工位的故障是由工位m_i的故障引起的概率，χ′_i+1＝1-χ_i+1。

与虚拟工位修复率的推导过程类似，虚拟工位的修复率最终可写为：

其中，

由于第一个构建块L₂中上游虚拟工位是缓冲区B₂上游工位m₁的表征，因此虚拟工位的故障与修复表示工位m₁的故障与修复。同理，最后一个构建块L_M中下游虚拟工位是缓冲区B_M下游工位m_M的表征，因此虚拟工位的故障与修复表示工位m_M的故障与修复。由此可得上述分解方程的边界条件为：

通过迭代求解公式(45)和(48)可以得到虚拟工位和的故障率和修复率和

3.2求解分解模型

本发明采用DDX算法对分解方程进行求解。该算法基于流守恒原则，通过调用两工位构建块解析模型，递归迭代实现多工位装配线分解模型及性能指标的求解。

为便于求解，首先定义

根据公式(33)可得：

因此，每个构建块中上下游工位的修复率函数公式(45)和公式(48)可简化为：

P{b_i-1＝0}和P{b_i+1＝B_i+1}分别表示构建块L_i-1中下游虚拟工位的饥饿率和构建块L_i+1中上游虚拟工位的阻塞率。E_i对应于构建块L_i中下游虚拟工位的工位效率，因此P{b_i-1＝0}，P{b_i+1＝B_i+1}和E_i由考虑工件报废的两工位构建块模型计算得到。

DDX算法的具体步骤如下：

3.3、计算性能指标

当DDX算法终止时，多工位装配线的系统生产率为构建块L_M中虚拟工位的生产率，平均在制品水平为缓冲区B_M的在制品数量。

4、有效性分析

针对两工位装配线，本发明建立了精确解析模型，无需进行有效性分析。针对多工位装配线，通过将分解模型结果与仿真实验结果对比，验证考虑工件报废的装配线分解模型的有效性。

本专利所考虑性能指标为装配线生产率PR和所有缓冲区平均在制品水平之和具体地，以仿真实验结果为基准，计算分解方法得到性能指标的误差百分比作为评价分解模型有效性的指标，分解方法和仿真实验所得性能指标的误差百分比计算公式如下：

其中，和PR分别表示分解方法和仿真实验得到的装配线生产率；和WIP分别表示分解方法和仿真实验得到的缓冲区在制品水平之和。

进行实验对比说明本专利的所提性能评估方法的有效性。为保证准确性，分别选取3工位、4工位、5工位和6工位装配线各50条进行性能指标的对比，装配线参数的取值范围如下，结果取实验平均值。

工位个数：M∈{3,4,5,6}

工位故障率：p_i∈[0.01,0.1],i＝1,2,…,M

工位修复率：r_i∈[0.1,0.5],i＝1,2,…,M

加工质量概率：g_i∈[0.9,1],i＝1,2,…,M

缓冲区容量：B_i∈[4,12],i＝2,…,M

为保证最终产品为质量合格产品，假设所有装配线中最后一个工位为质量检测工位，其余工位为质量检测工位的概率为0.5。质量检测工位m_i检测出质量合格工件的概率为检测出质量不合格工件的概率为1-q_i，m_h-1和m_i为相邻的两个检测工位。

仿真实验的步骤如下：

1)随机生成缓冲区B_i的初始在制品水平；

2)每个时段开始判断前一时段工位的状态，若工位m_i前一时段故障，则在该时段以r_i的概率恢复工作，1-r_i的概率继续故障；若工位m_i前一时段饥饿或阻塞，则在该时段状态不发生改变；若工位m_i前一时段既不饥饿也不阻塞，则在该时段以p_i的概率故障，1-p_i的概率正常运行；

3)每个时段，质量检测工位m_i以q_i的概率将工件放入下游缓冲区，以1-q_i的概率将工件报废，丢出系统；

4)每个时段结束更新缓冲区状态；

5)循环步骤2)-4)直至仿真时间结束，计算本次仿真的系统生产率和所有平均在制品水平之和。

针对仿真实验，每条装配线仿真程序运行50次，每次仿真运行500000个时段，前200000个时段为预热期，后300000个时段统计系统生产率和各缓冲区在制品水平之和，仿真结果取50次运行结果的平均值。

针对分解模型，设置终止条件为收敛参数σ＝10^-6与最大迭代次数N＝1000。当DDX算法满足终止条件时，算法结束，计算系统生产率和各缓冲区中在制品水平之和。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (4)

1.一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：确定装配线结构布局和参数；

步骤2：建立两工位一缓冲构建块状态转移方程，包括以下步骤：

步骤2.1：定义装配线生产系统状态s＝(b,Λ^u,Λ^d)，其中b为缓冲区水平，Λ^u为上游工位状态，Λ^d为下游工位状态；

步骤2.2：根据工件报废对系统稳态的影响，识别并剔除系统瞬时状态：T＝{(B,0,1),(B,1,1),(B,0,0),(B-1,0,1)}；

步骤2.3：建立系统状态转移方程；所述状态转移方程描述了系统处于各状态的概率之间的转化关系；

其中根据缓冲区中的在制品数量，将系统状态分为下边界状态、内部状态和上边界状态，使用P(b,Λ^u,Λ^d)表示系统处于状态s＝(b,Λ^u,Λ^d)的概率，分别建立系统状态转移方程：

下边界状态转移方程：缓冲区水平b≤1

P(0,0,0)＝(1-r^u)(1-r^d)P(0,0,0)+p^u(1-r^d)P(0,1,0)

P(0,0,1)＝(1-r^u)[r^dP(0,0,0)+P(0,0,1)]

+p^u[r^dP(0,1,0)+P(0,1,1)]

+(1-r^u)[r^dP(1,0,0)+(1-p^d)P(1,0,1)]

+p^u[r^dP(1,1,0)+(1-p^d)P(1,1,1)]

P(0,1,0)＝(1-q^u)(1-r^d)[(1-p^u)P(0,1,0)+r^uP(0,0,0)]

P(0,1,1)＝(1-q^u)r^u[r^dP(0,0,0)+P(0,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[r^dP(0,1,0)+P(0,1,1)]

+(1-q^u)r^u[r^dP(1,0,0)+(1-p^d)P(1,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[r^dP(1,1,0)+(1-p^d)P(1,1,1)

P(1,0,0)＝(1-r^u)[(1-r^d)P(1,0,0)+p^dP(1,0,1)]

+p^u(1-r^d)P(1,1,0)+p^up^dP(1,1,1)

P(1,0,1)＝(1-r^u)[r^dP(2,0,0)+(1-p^d)P(2,0,1)]

+p^ur^dP(2,1,0)+p^u(1-p^d)P(2,1,1)

P(1,1,0)＝q^u(1-r^d)[r^uP(0,0,0)+(1-p^u)P(0,1,0)]

+(1-q^u)r^u[(1-r^d)P(1,0,0)+p^dP(1,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[(1-r^d)P(1,1,0)+p^dP(1,1,1)]

P(1,1,1)＝q^ur^u[r^dP(0,0,0)+P(0,0,1)]

+q^u(1-p^u)[r^dP(0,1,0)+P(0,1,1)]

+q^ur^u[r^dP(1,0,0)+(1-p^d)P(1,0,1)]

+q^u(1-p^u)[r^dP(1,1,0)+(1-p^d)P(1,1,1)]

+(1-q^u)r^u[r^dP(2,0,0)+(1-p^d)P(2,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[r^dP(2,1,0)+(1-p^d)P(2,1,1)]

内部状态转移方程：缓冲区水平介于1和B-1之间，2≤b≤B-3

P(b,0,0)＝(1-r^u)[(1-r^d)P(b,0,0)+p^dP(b,0,1)]

+p^u[(1-r^d)P(b,1,0)+p^dP(b,1,1)]

P(b,0,1)＝(1-r^u)[r^dP(b+1,0,0)+(1-p^d)P(b+1,0,1)]

+p^u[r^dP(b+1,1,0)+(1-p^d)P(b+1,1,1)]

P(b,1,0)＝q^ur^u[(1-r^d)P(b-1,0,0)+p^dP(b-1,0,1)]

+q^u(1-p^u)[(1-r^d)P(b-1,1,0)+p^dP(b-1,1,1)]

+(1-q^u)r^u[(1-r^d)P(b,0,0)+p^d(b,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[(1-r^d)P(b,1,0)+p^dP(b,1,1)]

P(b,1,1)＝q^ur^u[r^dP(b,0,0)+(1-p^d)P(b,0,1)]

+q^u(1-p^u)[r^dP(b,1,0)+(1-p^d)P(b,1,1)]

+(1-q^u)r^u[r^dP(b+1,0,0)+(1-p^d)P(b+1,0,1)]

+(1-q^u)(1-p^u)[r^dP(b+1,1,0)+(1-p^d)P(b+1,1,1)]上边界状态转移方程：缓冲区水平b≥B-2

P(B-2,0,1)＝(1-r^u)r^dP(B-1,0,0)

+p^u[r^dP(B-1,1,0)+(1-p^d)P(B-1,1,1)]

P(B-2,1,1)＝q^ur^u[r^dP(B-2,0,0)+(1-p^d)P(B-2,0,1)]

+q^u(1-p^u)[r^dP(B-2,1,0)+(1-p^d)P(B-2,1,1)]

+(1-q^u)r^d[r^uP(B-1,0,0)+(1-p^u)P(B-1,1,0)]

+(1-q^u)(1-p^u)(1-p^d)P(B-1,1,1)

P(B-1,0,0)＝(1-r^u)[(1-r^d)P(B-1,0,0)]

+p^u[(1-r^d)P(B-1,1,0)+p^dP(B-1,1,1)]

P(B-1,1,0)＝q^ur^u[(1-r^d)P(B-2,0,0)+p^dP(B-2,0,1)]

+q^u(1-p^u)[(1-r^d)P(B-2,1,0)+p^dP(B-2,1,1)]

+(1-q^u)r^u[(1-r^d)P(B-1,0,0)]

+(1-q^u)(1-p^u)[(1-r^d)P(B-1,1,0)+p^dP(B-1,1,1)]

P(B-1,1,1)＝q^ur^ur^dP(B-1,0,0)+r^dP(B,1,0)

+q^u(1-p^u)[r^dP(B-1,1,0)+(1-p^d)P(B-1,1,1)]

P(B,1,0)＝q^ur^u[(1-r^d)P(B-1,0,0)]

+q^u(1-p^u)[(1-r^d)P(B-1,1,0)+p^dP(B-1,1,1)]

+(1-r^d)P(B,1,0)

步骤2.4：建立系统状态的归一化方程：

步骤3：对两工位一缓冲构建块状态转移方程求解，并根据求解得到的系统稳态概率分布计算构建块的性能指标，包括工位效率、生产率、在制品水平、饥饿和阻塞率等；

步骤4：将多工位装配线分解为多个两工位一缓冲构建块，并建立多工位装配线分解方程，包括流守恒方程和流修复方程，包括以下步骤：

步骤4.1：将多工位装配线根据缓冲区分解为多个两工位一缓冲构建块；

步骤4.2：建立上下游构建块之间的流守恒方程：

E_i＝q_i-1E_i-1

其中E_i-1和E_i分别表示系统达到稳态时上下游构建块L_i-1和L_i中缓冲区B_i-1和B_i的流入或流出率；

步骤4.3：建立构建块L_i中上游虚拟工位的流修复方程

其中r_i-1为工位m_i-1的修复率，和分别为构建块L_i-1和L_i中上游虚拟工位的修复率，为构建块L_i中上游虚拟工位的故障率，P{b_i-1＝0}表示构建块L_i-1中缓冲区为空的概率；

步骤4.4：建立构建块L_i中下游虚拟工位的流修复方程

其中r_i为工位m_i的修复率，和分别为构建块L_i和L_i+1中下游虚拟工位的修复率，为构建块L_i中下游虚拟工位的故障率，P{b_i+1＝B_i+1}为构建块L_i+1中缓冲区为满的概率；

步骤5：使用DDX算法对分解方程进行求解，并计算多工位装配线的生产率和平均在制品水平，包括以下步骤：

步骤5.1：定义和

步骤5.2：使用DDX算法，对分解方程进行求解；

步骤5.3：当DDX算法终止时，多工位装配线的系统生产率为最后一个构建块中下游虚拟工位的生产率，平均在制品水平为所有缓冲区中的在制品数量之和。

2.根据权利要求1所述一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤1中确定装配线结构布局和参数包括以下步骤：

步骤1.1：确定装配线结构布局，包括工位和缓冲区的数量，以及质量检测工位的位置；

步骤1.2：确定装配线参数，包括工位的故障率和修复率、加工周期、加工质量概率和缓冲区容量；

步骤1.3：根据质量检测工位的位置和工位的加工质量概率计算工位的质量合格率，其中加工工位的质量合格率q_i＝1；质量检测工位的质量合格率为相邻质量检测工位之间工位加工质量概率的乘积：

其中m_h-1和m_i为相邻的两个质量检测工位。

3.根据权利要求1所述一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤3中对状态转移方程进行求解，并计算系统性能指标的过程包括以下步骤：

步骤3.1：将系统状态转移方程和归一化方程构成方程组；

步骤3.2：使用克拉默法则对方程组求解，得到稳态时系统处于各状态的概率；

步骤3.3：根据稳态时系统处于各状态的概率计算两工位构建块的性能指标，包括工位效率、生产率、在制品水平、饥饿率、阻塞率。

4.根据权利要求3所述一种考虑工件报废的装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤3.3中计算两工位构建块的性能指标包括：

(1)工位效率E：

上游工位的工位效率E^u的计算公式：

E^u＝∑_b<B P(b,1,Λ^d)

下游工位的工位效率E^d计算公式：

E^d＝∑_b>0P(b,Λ^u,1)

(2)生产率PR的计算公式：

PR＝q^dE^d

(3)在制品水平WIP的计算公式：

WIP＝∑_Sb×P(b,Λ^u,Λ^d)

(4)饥饿率ST的计算公式：

ST＝P(0,0,1)+P(0,1,1)

(5)阻塞率BL的计算公式：

BL＝P(B,1,0)。