CN113722845A - 温度对圆柱齿轮传动误差影响的计算方法 - Google Patents

Abstract

温度对圆柱齿轮传动误差影响的计算方法属于精密测试技术及仪器领域。在环境温度变化的情况下，同时在齿轮在啮合过程中，轮齿间相对滑动产生的摩擦热流量，造成了齿轮温度场的复杂性。由于齿轮材料的热胀冷缩，在温度影响下产生的热变形和在接触应力的作用下产生变形，这两种变形都会影响齿轮传动误差。本发明在已知齿轮的基本参数和齿轮材料基本参数后，使用热网络法计算在环境温度变化下齿轮温度场，然后得到齿轮热变形；再计算在接触应力的作用下的齿轮弯曲变形、剪切变形、齿根齿体变形和接触变形；把计算的热变形和在接触应力下的变形合并到啮合线上，得到齿轮啮合线上的变形量，最终得到在温度影响下的齿轮传动误差。

Description

温度对圆柱齿轮传动误差影响的计算方法

技术领域

本发明涉及精密测试技术及仪器领域，具体是一种温度对圆柱齿轮传动误差影响的计算方法。

背景技术

齿轮作为一种关键零件，因传动效率好，性能稳定，被广泛应用很多行业。在实际生产中，齿轮的传动性能直接影响到整台设备的使用寿命，特别是在精密机械领域中。齿轮的传动误差能很好地对齿轮的传动性能做出评价，齿轮的传动误差是指输出轴齿轮实际转角和理论转角的差值。由于齿轮实际工作的环境温度发生变化，特别是在高速、重载的条件下，齿轮的温度场会发生改变，在温度的影响下齿轮发生热变形，因热变形产生的误差对齿轮的传动误差造成影响，严重影响齿轮的使用寿命。

齿轮在传动过程中的环境温度很难维持在理想条件下，同时在齿轮传动过程中，整个齿体温度是非均匀温度场。由于齿轮材料的热胀冷缩的物质属性，齿轮的温度场分布会导致齿轮热变形，热变形产生的误差会直接影响到齿轮传动性能，严重影响齿轮传动误差。

由于物体材料具有热胀冷缩现象，在生产和生活中，温度的变化对精密传动机构的传动性能具有重要影响。但是温度作为常见影响因素，尽管采取一定措施来减小温度对齿轮传动性能的影响，但不能消除。齿轮在受到温度影响下，齿轮会产生热变形，尤其在单个轮齿上的热变形会使齿轮之间的传动比发生变化，严重影响齿轮传动性能。

在齿轮的实际工况中，特别是在高温、高速和重载的条件下，齿轮的温度场会发生较大变化，温度的变化会产生热变形，热变形产生的误差会直接影响到齿轮的传动误差，这会对齿轮的传动性能造成极大影响。因此研究齿轮在温度影响下的传动误差对评估齿轮的传动性能具有重要意义，对在实际工作环境中的齿轮传动性能具有指导性意义。

目前对于求解温度影响下的齿轮传动误差的方法，大多数是通过有限元仿真的方法，以直接耦合或者间接耦合的方式得到环境温度影响下的齿轮传动过程中的齿轮温度场、热变形和传动误差。在圆柱齿轮传动过程中，特别是在高速、重载和环境温度不稳定的情况下，齿体温度会的变化会引起齿轮的热变形，进而会影响齿轮传动性能。为评估温度影响下的圆柱齿轮的传动性能，得到齿轮的传动误差的变化，因此提出一种温度对圆柱齿轮传动误差影响的计算方法尤为重要。

发明内容

本发明为解决背景技术中存在的问题而提供一种计算在温度影响下圆柱齿轮传动误差变化的方法。

本发明所采取的技术方案是：首先根据齿轮的工况条件和齿轮参数使用热网络法计算齿轮的温度场，包括左右齿廓的温度场和齿体内部的温度场；然后计算包括单个轮齿渐开线部分的热变形、过渡曲线的热变形和齿轮基体部分的热变形，将齿轮的热变形分解到x、y方向上；接下来计算齿轮在接触应力作用下的齿轮啮合线方向上的弯曲变形、剪切变形、齿根齿体变形和接触变形；最后将在x、y方向上的热变形以及前面计算的弯曲变形、剪切变形、齿根齿体变形和接触变形合并到啮合线上，即可得到在齿轮传动过程中，齿轮副啮合线上的变形量，即可得到温度影响下的齿轮传动误差。具体包括以下步骤：

在使用热网络法计算齿轮温度场之前首先根根齿轮啮合过程分为三部分，将每个部分离散为若干区域，在每个离散区域设置4个温度节点，分别计算离散区域上的摩擦热流量和相应热阻，将得到的摩擦热量视为电流，热阻视为电阻，相邻温度节点通过热阻相连，这样就构建起热网络模型。使用MATLAB得到齿轮温度场。已知齿轮材料的热膨胀系数和温度值和齿轮参数，将齿轮热变形分为x、y方向上，在x方向上的热变形可以假设为每一离散区域对应齿厚的热变形，在y方向上的热变形可以假设为每一离散区域对应齿高的热变形。

根据齿轮的边界条件计算在一定转矩的情况下齿轮接触应力分布情况，然后计算齿轮在啮合线上的接触应力的作用下的在啮合线上的弯曲变形、剪切变形、齿根齿体变形和接触变形。

将之前得到的x、y方向上的热变形合并到啮合线方向上，再和在啮合线上的弯曲变形、剪切变形、齿根圆角变形和接触变形进行合并，得到温度影响下的齿轮啮合线的变形量，最终得到温度影响下的齿轮传动误差。

附图说明

图1是齿轮的传动误差计算示意图。

图2是单个轮齿啮合过程示意图。

图3是单个轮齿的各个部分热变形计算示意图。

图4是单个轮齿热变形转化为啮合线上变形量计算示意图。

图5是单个轮齿渐开线部分的任一离散区域热变形计算示意图。

图6是单个轮齿弯曲变形和剪切变形计算示意图。

图7是单个轮齿齿根齿体变形计算示意图。

图8是单个轮齿赫兹接触变形计算示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清晰，以下结合附图和推导公式对本发明作进一步说明。

齿轮的传动误差是指在齿轮机构中齿轮的理论转角和实际转角的差值，如图1所示，m₀是齿轮上一时刻的接触位置，m₁是齿轮下一时刻理论接触位置，m′_i是齿轮下一时刻实际接触位置，θ₁、θ₂是齿轮1、齿轮2的理论转角，θ′₁、θ′₂是齿轮1、齿轮2的实际转角，齿轮的传动误差即可以用角度误差表示，也可以用啮合线上的变形量δ_n表示，用啮合线上的位移表示传动误差如公式(1)所示，其中i₁₂是齿轮1、齿轮2传动比。

在齿轮传动过程中环境温度发生变化，同时在齿轮啮合过程中齿轮接触应力和齿轮相对滑动速度的变化，都会导致齿轮温度场的变化，由于齿轮材料热胀冷缩的性质产生的热变形，齿轮啮合过程中的受载变形，本算例只考虑在其他条件都不变的情况下，齿轮热变形和受载变形对齿轮的传动误差影响。齿轮的啮合线上的变形量δ_n主要包括齿轮的受载变形δ_F和热变形δ_T两种，通过计算这两种变形在齿轮啮合线上的变形量，即可得到在特定工况条件下的传动误差，如公式(2)所示。

TE＝δ_n＝δ_T+δ_F (2)

在齿轮在啮合过程中对单个轮齿来说啮合过程是周期性的，在一个周期内分经历双齿啮合部分I、单齿啮合部分和双齿啮合部分II，如图2所示，N₁N₂是齿轮啮合线，K是瞬时啮合点，A是齿轮啮合起始点，E是齿轮脱啮点。由于齿轮在双齿啮合部分到单齿啮合部分，由两个接触点变为一个接触点，齿轮法向载荷不同，在加上齿轮啮合过程中相对滑动速度不同，这两个因素直接影响齿轮温度场的分布情况，因此需要分区域来计算齿轮的温度场和传动误差。当齿轮运转平稳后，此时的单个轮齿上的温度场变化时间远小于齿轮旋转速度，此时的齿轮温度场可以视为稳态温度场，使用热网络法求解的也是稳态温度场。

在本文中使用的是基于热网络的单面啮合圆柱齿轮副啮合线温度场计算方法，首先根据齿轮的啮合过程分为双齿啮合部分I、单齿啮合部分和双齿啮合部分II三部分，将每部分离散为若干区域，在每个离散区域设有若干温度节点，本文以4个温度节点为例。然后计算每个离散区域的对应摩擦热流量和热阻，每个温度节点通过热阻相连，摩擦热流量在各个温度节点流动，这样就构建好热网络模型后，使用MATLAB对热网络模型进行计算，得到在每个离散区域的温度值。

已知齿轮温度场后，在齿轮中取出单个轮齿，将单个轮齿分为：渐开线部分、过渡曲线部分和齿轮基体部分，如图3所示。热网络法求解的是渐开线部分的温度场，齿轮过渡曲线部分的温度场和齿轮基体部分的温度场可以视为和环境温度相同的温度。已知齿轮的温度场、齿轮材料热膨胀系数和齿轮参数即可得出齿轮热变形。由于齿轮1和齿轮2的热变形方向相反，取齿轮2的热变形方向为正，可得齿轮1和齿轮2的热变形在啮合线上的变形δ_T，如公式(3)所示。

δ_T＝δ_T2-δ_T1 (3)

δ_T1、δ_T2是齿轮1、齿轮2的热变形在啮合线上的变形量，单位：m。

为评估齿轮热变形对齿轮传动误差的影响，需把之前计算任一离散区域在x、y方向上的齿轮热变形δ_txi、δ_txi(i＝1，2，...，n)合并到啮合线上，得到齿轮1、齿轮2的热变形在啮合线上的变形量δ_T1、δ_T2，如图4所示，具体计算如公式(4)和公式(5)所示，对于齿轮1、齿轮2直角坐标系y轴与齿轮啮合线的夹角计算方法相同，这里以齿轮1为例，计算齿轮1直角坐标系y轴与齿轮啮合线的夹角α′_i，如公式(6)所示。

δ_T1＝δ_txicosα′_i+δ_tyisinα′_i (4)

δ_T2＝δ′_txicosα″_i+δ′_tyisinα″_i (5)

α′_i＝α_i-ξ_i (6)

δ_txi、δ_tyi(i＝1，2，...，n)是齿轮1在x、y方向上热变形，单位：m；δ′_txi、δ′_tyi(i＝1，2，...，n)是齿轮2在x、y方向上热变形，单位：m；α′_i、α″_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1、齿轮2直角坐标系y轴与齿轮啮合线(齿廓法向)的夹角，单位：rad；α_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1在每个啮合点上的压力角，单位：rad；ξ_i是齿轮1任一啮合点与齿轮1圆心相连的半径和y轴的夹角，单位：rad。

为便于分析齿轮热变形对齿轮传动误差的影响，首先将齿轮渐开线部分从齿顶到基圆离散为若干份，本算例离散为n份，计算齿轮渐开线部分任一离散区域在x、y方向上的热变形δ_txi、δ_txi(i＝1，2，...，n)，如公式(7)和公式(8)所示，这里以齿轮1为例，同理也可求得齿轮2的热变形。在齿轮1上，对于渐开线部分任一离散区域的热变形分成x、y方向上的δ_lxi、δ_lyi、δ_rxi、δ_ryi(i＝1，2，...，n)；对于过渡曲线的热变形计算等效为圆柱的热变形δ_Tc，只需计算在y方向上的变形，可以等效为过渡曲线高度h_Tc、过渡曲线部分的温度T_a和热膨胀系数λ₁相乘，如图3所示，具体计算如公式(9)所示；对于齿轮基体部分的热变形δ_Ba计算，只需计算在y方向上的热变形，可以等效为齿根圆半径r_f1、基圆温度值T_a和热膨胀系数λ₁相乘，如图3所示，具体计算如公式(10)所示。

δ_txi＝0.5(δ_lxi+δ_rxi) (7)

δ_tyi＝0.5((δ_lyi+δ_Tc+δ_Ba)+(δ_ryi+δ_Tc+δ_Ba)) (8)

δ_Tc＝h_Tc·T_a·λ₁ (9)

δ_Ba＝r_f1·T_a·λ₁ (10)

h_Tc＝r_b1-r_f1 (11)

h_Tc是齿轮1过渡曲线高度，单位：m；T_a是环境温度，单位：℃；λ₁是齿轮1热膨胀系数，单位：1/℃；r_b1是齿轮1基圆半径，单位：m；r_f1是齿轮1齿根圆半径，单位：m。

取出单个轮齿渐开线部分的任一离散区域，如图5所示，对于渐开线部分的热变形计算，在x方向上热变形δ_lxi、δ_rxi(i＝1，2，...，n)可以等效为任一离散区域对应的齿厚

温度值ΔT_li、ΔT_ri(i＝1，2，...，n)和热膨胀系数λ₁的相乘，如公式(12)和公式(14)所示。在y方向上热变形δ_lyi、δ_ryi(i＝1，2，...，n)可以等效为任一离散区域对应的齿高h_i(i＝1，2，...，n)、温度值ΔT_li、ΔT_ri(i＝1，2，...，n)和热膨胀系数λ₁相乘，如公式(13)和公式(15)所示。

ΔT_li＝T_ci+T_lci-T_a (16)

ΔT_ri＝T_nci+T_rci-Ta (17)

T_ci、T_lci、T_rci、T_nci(i＝1，2，...，n)是齿轮1啮合齿廓部分、齿体内部靠近啮合齿廓部分、齿体内部靠近非啮合部分、非啮合齿廓上温度节点对应的温度值，单位：℃；λ₁是齿轮1热膨胀系数，单位：1/℃；T_a是标准环境温度，单位：℃。

齿轮在一定转矩下进行转动，在传动过程中的每一个啮合点上都有相应的接触应力，对于齿轮1任一啮合点的接触应力F_ni(i＝1，2，...，n)，如公式(18)所示。

T₁是齿轮1的输入转矩，单位：N·m；d_c1是齿轮1分度圆直径，单位：m；α_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点的压力角，单位：rad。

由于齿轮1、齿轮2在接触应力作用下的变形计算方法相同，这里以齿轮1为例，计算齿轮1在接触应力作用下的变形。在计算齿轮受载变形的方法中，由于weber的能量法计算方法简便，能够通过MATLAB等软件来计算齿轮的弹性变形，被广泛应用。在齿轮啮合过程中，由于接触应力的作用，齿轮会发生变形，包括弯曲和剪切变形，齿根齿体变形，接触变形，这些变形共同组成在啮合线上的变形量δ_F。对于计算齿轮1的弯曲变形δ_b、剪切变形δ_s、齿根齿体变形δ_f和接触变形δ_h，同理也可得出齿轮2的弯曲变形δ′_b、剪切变形δ′_s、齿根齿体变形δ′_f和接触变形δ′_h，齿轮在啮合线上的受载变形具体计算如公式(19)所示。根据weber的能量法可知，把齿轮看作为非均匀的悬臂梁，将单个轮齿的渐开线部分的长度(相当于齿轮基圆到齿顶圆的距离)分为若干份的长方形微元，本算例取n份，齿轮的弹性变形是各个长方形微元变形的累加。在齿轮啮合过程中的任一时刻，齿轮在法向接触应力F_ni(i＝1，2，...，n)的作用下产生弯曲变形δ_b和剪切变形δ_s，如图6所示，计算如公式(20)和公式(21)所示。

δ_F＝(δ_b+δ_s+δ_f+δ_h)+(δ′_b+δ′_s+δ′_f+δ′_h) (19)

F_ni(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点的接触应力，单位：N；α′_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点上直角坐标系x轴与齿轮啮合线(齿廓法向)的夹角，单位：rad；σ_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一长方形微元的宽度，单位：m；l_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一长方形微元到在载荷作用点的在y轴上的距离，单位：m；E₁是齿轮1的弹性模量，单位：MPa；

是齿轮1任一相邻两个长方形微元上下两个侧面截面模量的均值，单位：m³；μ₁是齿轮1材料的泊松比，G₁是齿轮1材料的剪切模量，单位：MPa；

是齿轮1任一相邻两个长方形微元上下两个侧面面积的均值，单位：m²。

I_i和I_i+1(i＝1，2，...，n)是任一长方形微元上下侧面的截面模量，单位：m³；A_i和A_i+1(i＝1，2，...，n)是任一长方形微元上下侧面的面积，单位：m²。

齿根在变形计算中相当于齿轮基体部分和轮齿部分的联结，在力的作用下也会发生变形，如图7所示，尤其是在齿根部分有较大的应力集中。对于齿根齿体部分的变形齿轮在法向接触应力的作用下产生齿根圆角及齿体变形δ_f，如公式(24)所示。

F_ni(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点的接触应力，单位：N；α′_i(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点上直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角，单位：rad；E₁是齿轮1的弹性模量，单位：MPa；b₁是齿轮1的齿宽，单位：m；l_f是齿轮1齿根圆到载荷作用点的距离，单位：m；h_f是齿轮1齿根圆处的齿厚，单位：m，μ₁是齿轮1材料的泊松比。

l_f＝l₀+r_f1(sinψ_f-sinψ) (25)

h_f＝h_r+2r_f1(cosψ-cosψ_f) (26)

l₀是齿轮1基圆到载荷作用点的距离，单位：m；r_f1是齿轮1工作齿根圆的半径，单位：m；ψ_f是齿轮1有效齿根圆角，单位：rad；ψ是齿轮1齿根圆圆心到单个轮齿齿廓起始啮合点的连线与直角坐标系y轴方向的夹角，单位：rad；h_r是齿轮1工作齿根圆处的齿厚，单位：m。

根据赫兹接触理论可知，齿轮的啮合相当于两个圆柱等效接触滚动，在接触区域产生接触应力，并产生相应的接触变形，齿轮的接触变形δ_h，如图8所示，具体计算如公式(27)所示。

F_ni(i＝1，2，...，n)是齿轮1任一啮合点的接触应力，单位：N；b₁是齿轮1齿宽，单位：m；μ₁、μ₂是齿轮1、齿轮2的泊松比；E₁、E₂是齿轮1、齿轮2的弹性模量，单位：MPa。

Claims (1)

1.一种温度影响下的齿轮传动误差的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)齿轮的传动误差是指输出轴齿轮的实际转角和理论转角的差值，在两边同乘r_b2表达为齿轮啮合线上的变化量，如公式(1)所示；

其中，r_b1、r_b2是齿轮1、齿轮2的基圆半径；θ₁、θ₂是齿轮1、齿轮2的理论转角；θ′₂是齿轮2的实际转角；i₁₂是齿轮1和齿轮2的传动比；

(2)将由于温度变化引起的齿轮热变形和接触应力引起的齿轮变形合并到齿轮啮合线上，得到齿轮1、齿轮2组成的齿轮副啮合线上的变形量，进而得出温度影响下的齿轮传动误差，如公式(2)所示；

TE＝δ_n＝δ_F+δ_T (2)

其中，δ_n是齿轮副啮合线上的变形量；δ_F是接触应力引起的齿轮变形；δ_T是温度引起的齿轮热变形；

(3)当环境温度发生变化时，齿轮由于热胀冷缩的性质会产生热变形，为准确分析齿轮热变形，将齿轮分为三部分，渐开线部分、过渡曲线部分、齿轮基体部分；由于齿轮1和齿轮2的热变形方向相反，因此取齿轮2在啮合线上的变形方向为正，最终得到圆柱齿轮热变形在啮合线上的变形量δ_T，如公式(3)所示；由于对齿轮1、齿轮2的热变形计算采用同样方法，这里以齿轮1为例，计算齿轮1由于热变形在齿轮啮合线上的变形量δ_T1；为计算δ_T1，计算需要将在x、y方向上的热变形合并到啮合线上，如公式(4)所示；同理可得出齿轮2热变形在啮合线上的变形量δ_T2，如公式(5)所示；对于齿轮1、齿轮2直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角α′_i、α″_i计算方法相同，这里以齿轮1为例，计算齿轮1直角坐标系y轴与齿轮啮合线的夹角α′_i，如公式(6)所示；将齿轮1渐开线部分、过渡曲线部分、齿轮基体部分的热变形进行累加得到单个轮齿在x、y方向上的热变形δ_txi、δ_tyi，如公式(7)和公式(8)所示，同理可得出齿轮2单个轮齿在x、y方向上的热变形δ′_txi、δ′_tyi；

δ_T＝δ_T2-δ_T1 (3)

δ_T1＝δ_txicosα′_i+δ_tyisinα′_i (4)

δ_T2＝δ′_txicosα″_i+δ′_tyisinα″_i (5)

α′_i＝α_i-ξ_i (6)

δ_txi＝0.5(δ_lxi+δ_rxi) (7)

δ_tyi＝0.5((δ_lyi+δ_Tc+δ_Ba)+(δ_ryi+δ_Tc+δ_Ba)) (8)

其中，δ_lxi、δ_lyi是齿轮1任一左端离散区域在x、y上的热变形；δ_rxi、δ_ryi是齿轮1任一右端离散区域在x、y上的热变形；α_i是齿轮1在任一啮合点上的压力角；α′_i是在齿轮1任一啮合点上直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角；α″_i是齿轮2任一啮合点上齿轮2直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角；ξ_i是齿轮1任一啮合点到圆心的半径与直角坐标系y轴的夹角；δ_Tc是齿轮1过渡曲线部分在y方向上的热变形；δ_Ba是齿轮1基体部分在y方向上的热变形；

(4)对于齿轮1、齿轮2渐开线部分热变形计算，齿轮1、齿轮2均使用热网络法计算出单个轮齿每个离散区域上温度节点的温度值，然后在计算每个离散区域的热变形，这里以齿轮1为例计算齿轮1的热变形；首先将齿轮1的渐开线部分从齿顶到基圆离散为若干份，本算例划分n个离散区域，这里以任一离散区域第i个离散区域为例，然后使用热网络法得到单个轮齿渐开线部分每个离散区域上温度节点的温度，在x方向上热变形δ_lxi、δ_rxi等效为任一离散区域对应的齿厚

温度值ΔT_li、ΔT_ri和热膨胀系数λ₁的相乘，如公式(9)和公式(11)所示；在y方向上热变形δ_lyi、δ_ryi等效为任一离散区域对应的齿高h_i、温度值ΔT_li、ΔT_ri和热膨胀系数λ₁相乘，如公式(10)和公式(12)所示；对于齿轮1、齿轮2过渡曲线和齿轮基体的热变形计算方法相同，这里以齿轮1为例，计算齿轮1过渡曲线和齿轮基体的热变形，只需计算在y方向上的热变形δ_Tc、δ_Ba，如公式(15)和公式(16)所示；

ΔT_li＝T_ci+T_lci-T_a (13)

ΔT_ri＝T_nci+T_rci-T_a (14)

δ_Tc＝h_Tc·T_a·λ₁ (15)

δ_Ba＝r_f1·T_a·λ₁ (16)

h_Tc＝r_b1-r_f1 (17)

其中，T_ci、T_lci、T_rci、T_nci是齿轮1任一离散区域啮合齿廓部分、齿体内部靠近啮合齿廓部分、齿体内部靠近非啮合部分、非啮合齿廓上温度节点对应的温度值；h_Tc是齿轮1过渡曲线高度；T_a是标准环境温度；λ₁是齿轮1的热膨胀系数；r_b1是齿轮1基圆半径；r_f1是齿轮1齿根圆半径；

(5)在接触应力的作用下，齿轮会发生变形，包括弯曲和剪切变形，齿根齿体变形，接触变形，这四种变形共同组成在啮合线上的变形量δ_F，如公式(18)所示，δ_b、δ_s、δ_f、δ_h是齿轮1在接触应力作用下的弯曲和剪切变形，齿根齿体变形，接触变形，δ′_b、δ′_s、δ′_f、δ′_h是齿轮2在接触应力作用下的弯曲和剪切变形，齿根齿体变形，接触变形；齿轮1、齿轮2在接触应力作用下的变形计算方法相同，这里以齿轮1为例，计算齿轮1在接触应力作用下的变形；根据weber的能量法可知，把齿轮看作为非均匀的悬臂梁，将单个轮齿的渐开线部分的长度分为若干份的长方形微元，本算例取n份，齿轮的弹性变形是各个长方形微元变形的累加；齿轮1在接触应力F_ni的作用下产生弯曲变形δ_b和剪切变形δ_s，如公式(19)和公式(20)所示；

δ_F＝(δ_b+δ_s+δ_f+δ_h)+(δ′_b+δ′_s+δ′_f+δ′_h) (18)

其中，F_ni是齿轮1任一啮合点接触应力；α′_i是齿轮1任一啮合点上直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角；σ_i是齿轮1任一长方形微元的宽度；l_i是齿轮1任一长方形微元到在载荷作用点的在y轴上的距离；E₁是齿轮1的弹性模量；

是齿轮1任一相邻两个长方形微元上下两个侧面截面模量的均值；μ₁是齿轮1的泊松比；G₁是齿轮1材料的剪切模量；

是齿轮1任一相邻两个长方形微元上下两个侧面面积的均值；

(6)齿根在变形计算中相当于齿轮基体部分和轮齿部分的联结，在力的作用下也会发生变形，尤其是在齿根部分有较大的应力集中；对于齿根齿体部分的变形齿轮在法向接触应力的作用下产生齿根圆角及齿体变形δ_f，如公式(21)所示；

其中，F_ni是齿轮1任一啮合点接触应力；α′_i是齿轮1任一啮合点上直角坐标系x轴与齿轮啮合线的夹角；E₁是齿轮1的弹性模量；b₁是齿轮1齿宽；l_f是齿轮1齿根圆到载荷作用点的距离；h_f是齿轮1齿根圆处的齿厚；μ₁是齿轮1的泊松比；

(7)根据赫兹接触理论可知，齿轮的啮合相当于两个圆柱等效接触滚动，在接触区域产生接触应力，并产生相应的接触变形δ_h，如公式(22)所示；

其中，F_ni是齿轮1任一啮合点接触应力；b₁是齿轮1齿宽；μ₁、μ₂是齿轮1、齿轮2的泊松比；E₁、E₂是齿轮1、齿轮2的弹性模量。

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