CN113722812A - 一种地铁圆缓段加宽的计算方法 - Google Patents

Abstract

一种地铁圆缓段加宽的计算方法，所述方法对铁路缓和曲线、目标圆曲线线路进行函数拟合；求解列车过缓和曲线时的内外侧加宽点；利用最小二乘法对各点坐标进行拟合求出列车加宽曲线。所述方法包括以下步骤：(1)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值；(1)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值；(3)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值；(4)求解列车在缓和曲线段的外侧曲线加宽值；(5)求解缓和曲线段列车车体函数内外侧加宽函数曲线。本发明适用于任意工况下铁路限界的设计、建设；特别对于应对城市轨道交通小半径、多曲线的复杂工况能够保证良好的精度。

Description

一种地铁圆缓段加宽的计算方法

技术领域

本发明涉及一种地铁圆缓段加宽的计算方法，属地铁线路设计技术领域。

背景技术

随着我国城市规模和经济建设的快速发展、城市化进程逐步加快，地铁车辆运营速度的提高成为了城市轨道交通的发展趋势；与此同时，城市轨道交通小半径曲线也越来越多这对车辆的限界安全有直接的影响；面对变化越来越复杂的城市轨道线路和运营速度的提高。

目前在建设施工中常用到的设计方法已经无法满足城市轨道交通对限界设计的需求，现有的圆缓段限界加宽计算方法基本采用三种较为常规方法：第一种是先计算出圆曲线范围内的加宽值，然后将这个加宽值沿缓和曲线有规则的分配，这种计算方法的缺陷是精度不高会使得限界设计造成过度的冗余存在着工程浪费现象；第二种是采用图解法使用CAD软件绘制出缓和曲线、圆曲线的图像再模拟列车过曲线的过程；第三种是采用几何分析法，针对线路圆缓段的过渡区段，提出一种基于线路中心线的精确加宽量计算方法。

上述计算方法中有些含有大量三角函数，增加了算法的复杂性；亦或者没有建立车体函数，不便于动态实时的监测列车的运动变化且在一些特殊点上不适用；依靠CAD软件的方法实际运算也是非常复杂的，且对软件设备具有较高的要求。

发明内容

本发明的目的是，针对现有技术对圆缓段限界加宽计算方法存在的问题，提出一种地铁圆缓段加宽的计算方法，

本发明实现的技术方案如下，一种地铁圆缓段加宽的计算方法，所述方法对铁路缓和曲线、目标圆曲线线路进行函数拟合；求解列车过缓和曲线时的内外侧加宽点；利用最小二乘法对各点坐标进行拟合求出列车加宽曲线；

所述方法包括以下步骤：

(1)考虑车体因几何偏移产生的内侧限界加宽，计算车体几何偏移产生的内侧曲线加宽值。

任意选取一种地铁车辆车型；根据车型的转向架定距i以及车长l设定车体函数表达式；

任意选取一种地铁缓和曲线的工况；根据缓和曲线的总长、线性、最大半径拟合出缓和曲线的函数表达式

式中，R表示目标圆曲线半径，单位m；L表示缓和曲线的总长度，单位m；根据工况拟合圆曲线表达式，设圆曲线表达式为(x-x₁)²+(y-y₁)²＝R²；用于确定列车前后转向架的函数关系。

求车体函数L_ab的函数表达式，动点b(x_b，y_b)代表列车前转向架中心点；动点a(x_a，y_a)代表列车后转向架中心点。

设动点a落在缓和曲线上、动点b落在圆曲线上，由拟合的缓和曲线和圆曲线表达式可设动点a的坐标为：x_a,

动点b的坐标为：x_b,

列车转向架定距为im，因此线段l_ab恒等于im，根据两点距离公式，可列出动点a和动点b之间的距离方程式：

其中，动点b(x_b，y_b)代表列车前转向架中心点，动点a(x_a，y_a)代表列车后转向架中心点；x_a为动点a的x座标值；y_a为动点a的y座标值；x_b为动点b的x座标值；y_b动点b的y座标值；R表示目标圆曲线半径；L表示缓和曲线的总长度；x₁为圆曲线圆心的横坐标；y₁为圆曲线圆心的纵坐标。

已知曲线函数和列车后转向架中心点a的坐标后，可以通过距离方程式确定列车前转向架中心点b点的坐标值以及动点a、b之间的函数关系，在求出列车前后转向架中心点b、a的坐标后，可列出车体函数L_ab的表达式：

通过车体函数L_ab斜率并确定辅助线L_cd的斜率；从车体函数L_ab的表达式中可知斜率

所构造的辅助线L_cd与车体函数L_ab恒垂直，可求得L_cd的斜率：

L_cd代表计算内侧曲线加宽值所拟定的辅助线，垂直于车体函数L_ab通过车体函数L_ab的斜率，以及两者的垂直关系可以得到辅助线L_cd的斜率。

求l_cd的最大值，求取最大值的过程关键在于确定动点d的坐标，d点为落在缓和曲线或圆曲线上的一个动点，对缓和曲线或圆曲线求导找出满足y′_d＝K_ab的动点d，满足条件的动点d即是l_cd取到最大值的位置，此时会出现三种情况：

情况1：K_ab＜y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点未过圆缓点处于缓和曲线上，因此，求解动点d时应对缓和曲线进行求导，

情况2：K_ab＝y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点落在圆缓(YH)点上，缓和曲线和圆曲线在圆缓点处曲率几乎相等，因此，带入任意一种函数都可以进行计算；

情况3：K_ab＞y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点越过圆缓点处于圆曲线上，因此，求解动点d时应对圆曲线进行求导即：

式中，y′_圆曲线为圆曲线的导数，y′_缓和曲线为缓和曲线的导数，y′_圆缓点为圆缓点的导数值，K_ab为车体函数L_ab的斜率。

此处只针对K_ab＜y′_圆缓点的情况1做分析，情况3只需把缓和曲线函数换成圆曲线函数重新求导计算即可。

可得x_d用a、b坐标表示的解析式：

x_d取正值，可用(x_a，y_a)、(x_b，y_b)来表示d点坐标：

算得动点d的坐标和L_cd的斜率K_cd后，可求出线段L_cd的表达式：

求解车辆内侧偏移点c点的坐标，联立L_cd与L_ab的函数表达式，求解方程式：

得：

又因内侧偏移点c点处在车体函数L_ab上，把x_c带入L_ab的方程式即可算得：

最后对c点和d点坐标使用一次两点距离方程即可求出L_cd的值：

式中，l_cd为车体几何偏移产生的内侧曲线加宽值，单位mm。

(2)考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值，计算圆缓段处因线路超高产生的加宽值。

列车处于圆缓段时，前转向架中心点b点已经落在了圆曲线上，因此在圆缓段的超高应使用圆曲线的超高：

式中，H_yh为计算圆缓段曲线加宽用到的曲线超高值，单位mm；H_max为目标圆曲线的超高值，单位mm，V为过圆曲线时列车的设计速度，单位m/s；R为目标圆曲线半径，单位m；力代表限界控制点自轨面的高度，单位mm；1500为钢轨中心距，单位mm；W_yhv为圆缓段处因线路超高产生的加宽值，单位mm。

(3)考虑缓和曲线上列车内侧限界总加宽，计算列车行驶在缓和曲线处车头和车尾的内侧曲线加宽值。

式中，W_i为圆缓段处车辆总的内侧加宽值，单位mm。

(4)考虑缓和曲线外侧限界加宽，计算列车行驶在缓和曲线处车头和车尾的外侧曲线加宽值。

对列车过缓和曲线求解外侧加宽值的方法，定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点；

设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点，b(x_b，yb)为列车前转向架中心点，地铁A型车总车长l_ef＝Im、转向架定距l_ab＝im，可知

设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)。

求列车车尾外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg；

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标(x_g，y_g)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽。

求列车车头外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标(x_f，y_f)，做垂直与L_ef的直线L_hf。

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标(x_h，y_h)，最后计算出来的

就为列车车尾外侧曲线加宽。

式中，W_车头为列车行驶在缓和曲线处车头的外侧曲线加宽值，单位mm；W_车尾为列车行驶在缓和曲线处车尾的外侧曲线加宽值，单位mm。

(5)用最小二乘法拟合列车过缓和曲线时的加宽函数，步骤如下：

1)确定列车后转向架x_a的取值范围，设后转向架中心点为点a(x_a，y_a)，当x_圆缓点≤x_a时列车就完全进入了圆曲线，因此，(x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点)；

2)对x_a在(x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点)平均取点，以这些点为基准，求解列车相对应的内侧最大偏移点c(x_c，y_c)的坐标；

3)对x_a在(x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点)平均取点，以这些点为基准，求出相对应的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标；

4)用最小二乘法对步骤(1)、(2)、(3)、(4)中所求的点进行函数拟合，最终求出在圆缓段处车体函数内外侧加宽函数曲线。

本发明的有益效果在于，本发明在坚实的理论研究基础上开发了一种精确、系统、使用方便的缓和曲线地段限界加宽计算方法，本发明适用于任意工况下铁路限界的设计、建设；特别对于应对城市轨道交通小半径、多曲线的复杂工况能够保证良好的精度。本发明使用微积分、最小二乘法拟合曲线以及导函数的应用通过建立车体函数，研究车体过圆缓段的运行过程，并得出在此过程中，列车需加宽限界的变化规律，针对列车过缓和曲线归纳出内侧和外侧的加宽计算方法能大大节省设计者时间和精力。

根据经验，地铁限界尺寸毫米级的优化或者改动，往往会引起土建工程费用千万元级的变化。所以，确定一个既能保证车辆运行安全，又不增大隧道空间的经济、合理的断面尺寸，是地铁限界设计的任务和目的，本发明对后期编写程序带入不同列车过缓和曲线工况数据，利用计算机进自动计算，可以节省大量的人力、物力，缩短设计周期，提高设计、计算精度。

附图说明

图1为车体在圆缓段上的拟合示意图；

图2为车体在圆缓段上的简化图；

图3为车体在圆缓段的拟合简化图；

图4为列车在圆缓段曲线处的外侧加宽曲线；

图5为列车在圆缓段曲线处的内侧加宽曲线图；

图6为本实施例一种地铁圆缓段加宽的计算方法流程图。

具体实施方式

本实施例一种地铁圆缓段加宽的计算方法，如图6所示。

本实施例选用总车长度为22.1m、转向架定距为15.7m的地铁A型车；选用总长为50m、目标圆曲线半径为200m的缓和曲线工况。为实施例对本发明进行详细的阐述说明，此工况下的H_max＝120mm、通过确定A型车危险点h值取3231mm，包括以下实施步骤：

S1、本实施例表述的是列车前转向架中心点b落在圆曲线上、后转向架中心点a落在缓和曲线的工况，在此工况下，求解列车因几何偏移照成的内侧曲线加宽值：

为便于分析，构造坐标系；如图1所示，定义坐标系原点为直缓(ZH)点(直线和缓和曲线的切点，标注时用ZH表示)；直缓(ZH)点到圆缓(YH)点(圆缓点是缓和曲线的终点和下一段圆曲线的起点相交的点)之间的曲线为缓和曲线；圆缓(YH)点之后为圆曲线；长方形ABCD表示地铁A型车车体；定义虚线L_ab为车体函数；L_ab与曲线相交的动点b、a分别代表列车的前后转向架中心点。

根据《地铁设计规范》规定：“线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，常用的缓和曲线为三次方抛物线型起方程为：

其中，C＝RL

式中，L是缓和曲线总长度，单位m；R是圆曲线半径，单位m。

假设现已知车辆后转向架中心a点坐标(x_a，y_a)，以此为条件求解车辆对应的最大内侧加宽值l_cd，求解思路如下：

首先，确定列车处于缓和曲线上后转向架中心点a的横坐标x_a的取值范围，当34≤x_a列车前转向架进入圆曲线，当50≤x_a列车则完全进入圆曲线段，因此x_a∈[34，50]。

接着，对前转向架中心点a落在圆曲线上，后转向架中心点b落在缓和曲线的圆缓段曲线加宽进行分析前，需要确定各点、曲线以及车体函数的表达式，对R＝200m、L＝50m的工况进行函数拟合，拟合缓和曲线的表达式为三次方函数：

拟合圆曲线表达式为函数：(x-21.21)²+(y-200)²＝40000；动点a为列车后转向架、动点b为列车前转向架，依据地铁A型车的标准尺寸设线段l_ab＝15.7m。

求线段l_cd的最大长度即是车体最大的内侧偏移量，直线L_cd是计算内侧曲线加宽值所拟定的辅助线，车辆内侧偏移点c落在车体函数L_ab上，动点d落在曲线上，辅助线L_cd垂直于车体函数L_ab；如图2所示，L_cd在L_ab与曲线形成的封闭平面内任意的移动，L_cd的长度随着列车后转向架中心点a的变化而变化，此过程中可取到无数条L_cd，对曲线的某一个点进行求导(此点为上述定义的动点d)，当动点d的曲线导数值与车体函数L_ab的斜率K_ab相等时，就是L_cd取到最大值的位置。

最后，再考虑超高对车辆限界加宽带来的影响，具体的求解数理推导过程如下：

第一步，求出车体函数L_ab的函数表达式。

由拟合曲线的表达式可知，动点a的坐标为

动点b的坐标为(x_b，

)，已知地铁A型车转向架定距为15.7m，因此线段l_ab恒等于15.7m，根据两点距离公式，可列出动点a和动点b之间的距离方程式：

在已知曲线函数和列车后转向架中心点a的坐标后，可以用此公式确定列车前转向架b点的坐标值以及动点a、b之间的函数关系，为简化方程推导过程用y_b代替较为复杂的下式，

函数关系如下：

化简可得：

把x_b看作是未知量对其求解二元一次方程：

因x_a＜x_b，可确定x_a与x_b之间的关系：

根据动点a、b的坐标，列出车体函数L_ab的表达式：

第二步，通过车体函数L_ab斜率，确定辅助线L_cd的斜率：

所构造的辅助线L_cd与车体函数L_ab恒垂直，可求得L_cd的斜率：

第三步，求l_cd的最大值，求取最大值的过程关键在于确定动点d的坐标，对缓和曲线或圆曲线求导找出满足y′_d＝K_ab的动点d，满足条件的动点d即是l_cd取到最大值的位置，此时会出现三种情况。

情况一：K_ab＜y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点未过圆缓点处于缓和曲线上，因此，求解动点d时应对缓和曲线进行求导；

情况二：K_ab＝y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点落在圆缓(YH)点上，缓和曲线和圆曲线在圆缓点处曲率几乎相等，因此，带入任意一种函数都可以进行计算；

情况三：K_ab＞y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点越过圆缓点处于圆曲线上，因此，求解动点d时应对圆曲线进行求导即：

式中，y′_圆曲线为圆曲线的导数；y′_缓和曲线为缓和曲线的导数；y′_圆缓点为圆缓点的导数值；K_ab为车体函数的斜率。

此处只针对K_ab＜y′_圆缓点的情况一做分析，情况二只需把缓和曲线函数换成圆曲线重新求导计算即可，

可得x_d用a、b坐标表示的解析式：

x_d取正值，可用(x_a，y_a)、(x_b，y_b)来表示d点坐标：

算得动点d的坐标和L_cd的斜率K_cd后，可求出线段L_cd的表达式：

第四步，求解车辆内侧偏移点c点的坐标，L_cd与L_ab的交点为c点，联立两直线方程式可求出c点的坐标：

解方程式可得c点坐标(x_c，y_c)：

最后对c点和d点坐标使用一次两点距离方程即可求出L_cd的值：

式中，l_cd为车体几何偏移产生的内侧曲线加宽值，单位mm。

S2、本实施例表述的是列车前转向架中心点落在圆曲线上、后转向架中心点落在缓和曲线的工况，在此工况下求解列车因线路超高照成的内侧曲线加宽值：

考虑超高对圆缓段车辆曲线内加宽带来的影响，列车处圆缓段时，前转向架中心点b点已经落在圆曲线上，因此在圆缓段的超高应使用圆曲线的超高。

H_yh＝H_max＝120mm (15)

式中，H_yh为计算圆缓段曲线加宽用到的曲线外轨超高值，单位mm；H_max为目标圆曲线的超高值，单位mm；V为过圆曲线时列车的设计速度，单位m/s；R为圆曲线的半径，单位m；h代表限界控制点自轨面的高度，单位mm；1500为钢轨中心距，单位mm；W_yhv为圆缓段处因线路超高产生的加宽值，单位mm。

S3、本实施例表述的是列车前转向架中心点落在圆曲线上、后转向架中心点落在缓和曲线的工况，在此工况下求解列车总的内侧曲线加宽值：

式中，W_i为圆缓段处，车辆总的内侧加宽值，单位mm。

S4、本实施例表述的是列车前转向架中心点落在圆曲线上、后转向架中心点落在缓和曲线的工况，在此工况下求解列车外侧曲线加宽值。

对列车前转向架落中心点a落在在圆曲线上、后转向架中心点b落在缓和曲线上的情况，求解外侧加宽值的方法，如图3所示。

根据车辆后转向架中心点所在坐标a(x_a，y_a)求车体的最大外侧曲线加宽值，求解的思路如下：

第一步，设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点，b(x_b，y_b)为列车前转向架中心点，地铁A型车总车长l_ef＝22.1m、转向架定距l_ab＝15.7m，可知l_ea＝3.2m，设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)。

第二步，求列车车尾外侧曲线加宽：

由l_ea＝3.2m可列长度方程

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg。

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标(x_g，y_g)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽。

第三步，求列车车头外侧曲线加宽：

由l_bf＝3.2m可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标(x_f，y_f)，做垂直与L_ef的直线L_hf。

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标(x_h，y_h)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽。

式中，W_车头为列车运行在圆缓段处车头处的外侧曲线加宽值，单位mm；W_车尾为列车运行在圆缓段处车尾处的外侧曲线加宽值，单位mm。

S5、收集S1、S2、S3、S4中得到的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标、内侧最大偏移点c(x_m，y_m)的坐标。最终求出在缓和曲线段车体函数内外侧加宽函数曲线，如图4和图5所示。

Claims (7)

1.一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述方法对铁路缓和曲线、目标圆曲线线路进行函数拟合；求解列车过缓和曲线时的内外侧加宽点；利用最小二乘法对各点坐标进行拟合求出列车加宽曲线；

所述方法包括以下步骤：

(1)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值；

(2)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值；

(3)求解列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值：

(4)求解列车在缓和曲线段的外侧曲线加宽值：

(5)求解缓和曲线段列车车体函数内外侧加宽函数曲线。

2.根据权利要求1所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值求解如下；

求车体函数L_ab的函数表达式，设动点a落在缓和曲线上、动点b落在圆曲线上，由拟合的缓和曲线和圆曲线表达式可设动点a的坐标为：x_a，

动点b的坐标为：x_b，

列车转向架定距为im，因此线段l_ab恒等于im；根据两点距离公式，可列出动点a和动点b之间的距离方程式：

其中，动点b(x_b，y_b)代表列车前转向架中心点，动点a(x_a，y_a)代表列车后转向架中心点；x_a为动点a的x座标值；y_a为动点a的y座标值；x_b为动点b的x座标值；y_b动点b的y座标值；R表示目标圆曲线半径；L表示缓和曲线的总长度；x₁为圆曲线圆心的横坐标；y₁为圆曲线圆心的纵坐标；

已知曲线函数和列车后转向架中心点a的坐标后，可以通过距离方程式确定列车前转向架中心点b点的坐标值以及动点a、b之间的函数关系，在求出列车前后转向架中心点b、a的坐标后，可列出车体函数L_ab的表达式：

通过车体函数L_ab斜率，确定辅助线L_cd的斜率；从车体函数L_ab的表达式中可知斜率

所构造的辅助线L_cd与车体函数L_ab恒垂直，因此，可得L_cd的斜率：

求l_cd的最大值：求取最大值的过程关键在于确定动点d的坐标，d点为落在缓和曲线或圆曲线上的一个动点，对缓和曲线或圆曲线求导找出满足y′_d＝K_ab的动点d，满足条件的动点d即是l_cd取到最大值的位置；点d(x_d，y_d)表示运动在缓和曲线上或圆曲线上的动点，c(x_c，y_c)表示车体因几何偏移产生的最大偏移点；

当K_ab＜y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点未过圆缓点，处于缓和曲线上，因此，求解动点d时应对缓和曲线进行求导；

当K_ab＝y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点落在圆缓YH点上，缓和曲线和圆曲线在圆缓点处曲率几乎相等，因此，带入任意一种函数都可以进行计算；

当K_ab＞y′_圆缓点，说明车体内侧最大偏移点越过圆缓点处于圆曲线上，因此，求解动点d时应对圆曲线进行求导，即：

式中，y′_圆曲线为圆曲线的导数；y′_缓和曲线为缓和曲线的导数；y′_圆缓点为圆缓点的导数值；K_ab为车体函数的斜率；R表示目标圆曲线半径；L表示缓和曲线的总长度；

3.根据权利要求1所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值求解如下：

列车处于圆缓段时，前转向架中心点b点已经落在了圆曲线上，因此在圆缓段的超高应使用圆曲线的超高：

式中，H_yh为计算圆缓段曲线加宽用到的曲线超高值，单位mm；H_max为目标圆曲线的超高值，单位mm，V为过圆曲线时列车的设计速度，单位m/s；R为目标圆曲线半径，单位m；h代表限界控制点自轨面的高度，单位mm；1500为钢轨中心距，单位mm；W_yhv为圆缓段处因线路超高产生的加宽值，单位mm；

4.根据权利要求1所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述列车在缓和曲线段因几何偏移造成的内侧曲线加宽值求解如下：

其中，W_i为圆缓段处，车辆总的内侧加宽值，单位mm；

5.根据权利要求1所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述列车在缓和曲线段的外侧曲线加宽值求解如下：

对列车过圆缓段求解外侧加宽值的方法，定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点；

设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点；b(x_b，y_b)为列车前转向架中心点；地铁A型车总车长l_ef＝Im、转向架定距l_ab＝im；可知

设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)；

求列车车尾外侧曲线加宽：

由

可列长度方程：

l_ea代表车尾到后转架中心点的距离；

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg；L_eg：

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标x_g，y_g；

计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

求列车车头外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标x_f，y_f，做垂直与L_ef的直线L_hf；代表列车车头外侧加宽值：

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标x_h，y_h；

计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

式中，W_车头为列车行驶在缓和曲线处车头的外侧曲线加宽值，单位mm；W_车尾为列车行驶在缓和曲线处车尾的外侧曲线加宽值，单位mm；

6.根据权利要求1所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述缓和曲线段列车车体函数内外侧加宽函数曲线求解如下：

确定列车后转向架x_a的取值范围，设后转向架中心点为点a(x_a，y_a)，当x_圆缓点≤x_a时列车就完全进入了圆曲线，因此，x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点；

对x_a在x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点平均取点，以这些点为基准，求解列车相对应的内侧最大偏移点c(x_c，y_c)的坐标；

对x_a在x_圆缓点-i≤x_a≤x_圆缓点平均取点，以这些点为基准，求出相对应的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标；

用最小二乘法对步骤(1)、(2)、(3)(4)中所求的点进行函数拟合，最终求出在缓和曲线段车体函数内外侧加宽函数曲线。

7.根据权利要求2所述的一种地铁圆缓段加宽的计算方法，其特征在于，所述K_ab＞y′_圆缓点时，只需把缓和曲线函数换成圆曲线函数重新求导计算即可：

由

可得x_d用a、b坐标表示的解析式：

x_d取正值，可用(x_a，y_a)、(x_b，y_b)来表示d点坐标：

算得动点d的坐标和L_cd的斜率K_cd后可求出线段L_cd的表达式：

接着，求解车辆内侧偏移点c点的坐标，联立L_cd与L_ab的函数表达式，求解方程式：

得：

又因内侧偏移点c点处在车体函数L_ab上，把x_c带入L_ab的方程式即可算得：

最后对c点和d点坐标使用一次两点距离方程即可求出L_cd的值：

式中，l_cd为车体几何偏移产生的内侧曲线加宽值，单位mm。

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