CN115495831A - 地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法，可以精确求解列车过缓和曲线时的加宽曲线。其具体计算步骤为：(1)对铁路缓和曲线线路进行函数拟合(2)基于数学函数的应用，联立曲率公式、正矢公式，求解列车过缓和曲线时的内外侧加宽点(3)确定列车在各个状态下加宽点，利用最小二乘法拟合各点求出列车加宽曲线。本发明在坚实的理论研究基础上开发了一种精确、系统、使用方便的缓和曲线地段限界加宽计算方法。本发明专利能用于任意工况下铁路限界的设计、建设。特别对于应对城市轨道交通小半径、多曲线的复杂工况能够保证良好的设计精度，针对列车过缓和曲线归纳出内侧和外侧的加宽计算方法能大大节省设计者时间和精力。

Description

地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法

技术领域

本发明涉及一种地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法，具体为一种求解地铁车辆过缓和曲线时内外侧加宽曲线的方法。

背景技术

随着我国城市规模和经济建设的快速发展、城市化进程逐步加快，地铁车辆运营速度的提高成为了城市轨道交通的发展趋势；与此同时，城市轨道交通小半径曲线也越来越多这对车辆的限界安全有直接的影响；面对变化越来越复杂的城市轨道线路和运营速度的提高。目前在建设施工中常用到的设计方法已经无法满足城市轨道交通对限界设计的需求，现有的缓和曲线地段限界加宽计算方法基本采用三种较为常规方法：一是先计算出圆曲线范围内的加宽值，然后将这个加宽值沿缓和曲线有规则的分配，这种计算方法的缺陷是精度不高会使得限界设计造成过度的冗余存在着工程浪费现象；二是采用图解法使用CAD软件绘制出缓和曲线的图像再模拟列车过曲线的过程；三是利用几何分析法针对线路缓和曲线段的过渡区段，提出一种基于线路中心线的精确加宽量计算方法，上述计算方法中有些含有大量三角函数，增加了算法的复杂性；亦或者没有建立车体函数，不便于动态实时的监测列车的运动变化且在一些特殊点上不适用；依靠CAD软件的方法实际运算也是非常复杂的，且对软件设备具有较高的要求。因此，本发明专利针对上述问题以建立数学函数为基础，使用微积分、最小二乘法拟合曲线以及导函数的应用通过建立车体函数，研究车体过缓和曲线段的运行过程；针对列车过缓和曲线归纳出内侧和外侧的加宽计算方法，最后对线路用三次幂函数拟合缓和曲线表达式进行限界加宽的分析。

发明内容

本发明的目的在于提供一种地铁缓和曲线段加宽的计算方法，以解决上述背景技术中提出的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种列车过缓和曲线段内外侧限界加宽的计算方法。

地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法，包括以下几个步骤：

S1，考虑车体因几何偏移产生的内侧限界加宽，包括以下几个小的步骤：

a1.任意选取一种地铁车辆车型，根据车型的转向架定距i以及车长I设定车体函数表达式；

b1.任意选取一种地铁缓和曲线的工况，根据《地铁设计规范》规定：线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，常用的缓和曲线为三次方抛物线型起方程为：

式中，R为目标圆曲线的半径，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，用于确定列车前后转向架的函数关系；

c1.建立一个直角坐标系，定义坐标系原点为直缓(ZH)点(直线和缓和曲线的切点，标注时用ZH表示)；直缓(ZH)点到圆缓(YH)点(圆缓点是缓和曲线的终点和下一段圆曲线的起点相交的点)之间的曲线为缓和曲线；圆缓(YH)点之后为圆曲线；长方形ABCD表示地铁A型车车体；定义虚线L_ab为车体函数；，L_ab与曲线相交的动点b(x_b，y_b)、a(x_a，y_a)分别代表列车的前后转向架中心点；

d1.根据步骤a、b的求解车体函数的表达式，用直线L_ab表示简化的车体，此时前后转向架都落在缓和曲线上，因此，可设

转向架定距l_ab＝im，可知a、b是满足直线距离恒等于im的两个点，通过这一条件可以确定动点a、b之间的关系式：

在已知a点坐标(x_a，y_a)的情况下，可以通过计算a、b之间的关系式解出动点b的坐标，最后利用b的坐标，列出缓和曲线段列车的车体函数：

e1.求解车体最大内侧偏移点c的坐标值，建立动点a(x_a，y_a)与列车内侧最大偏移点c(x_m，y_m)之间的关系，已知l_ab＝im，内侧最大偏移点c点同时也是列车中点，因此有：

根据距离公式,可列出最大偏移点c点与车辆后转向架中心点a的关系式：

在已知a点坐标的基础上就可以求解c(x_m，y_m)的坐标值；

f1.求解缓和曲线的曲率半径，现已知c(x_m，y_m)的坐标值，带入c点坐标对缓和曲线三次方抛物线求K_ec值，可得：

式中，x_m为c点的横坐标，K_ec为缓和曲线对应c点的曲率，缓和曲线的曲率半径

因此，可建立曲率半径R_ec随着c点的横坐标值x_m的变化而变化的关系式；

以三次抛物线为函数分析其值等于：

式中，L是缓和曲线总长度，单位m，R是圆曲线半径，单位m，x_m为c点的横坐标，R_ec为缓和曲线的曲率半径，单位m；

g1.求解列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，使用正矢公式

可以对圆曲线上列车因几何偏移造成的加宽值做计算，但在缓和曲线段则需联立正矢公式和曲率公式计算缓和曲线上任意一点的正矢值f_ec；

以拟合的缓和曲线函数为

为例，可到出处在于缓和曲线

上任意一点的正矢值求解方法：

式中，R为目标圆曲线的半径，单位m，L为缓和曲线长度，单位m，l_ab为车辆转向架定距，单位m，x_m为c点的横坐标，f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm；

S2，考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值，包括以下小步骤：

a2.计算缓和曲线的超高H_ec，缓和曲线的超高H_ec为变量，H_ec的值在0到H_max的范围内均匀的变化，即H_ec∈[0，H_max]；

H_ec的计算方法：

其中：

其中：

式中，L_临为从直缓点算起至列车行驶到缓和曲线上任意一点的距离，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，x_b为列车前转向架中心点b的横坐标，x_YH为圆缓点的横坐标；

由于积分为不可积积分，因此用幂级数展开成多项式，舍去高次项，再进行积分，可得：

前转向架中心点b点的超高最大因此需要带入前转向架中心b点的横坐标x_b来计算，考虑x_b、x_YH，再带入原函数

做积分，就可以求出L、L_临、H_ec的值；

b2.计算缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值W_ecv：

式中，W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，1500为钢轨中心距，单位mm，H_ec为缓和曲线外轨超高值，单位mm，h为限界控制点自轨面的高度，单位mm；

S3，考虑缓和曲线上列车内侧限界总加宽，包括以下公式：

缓和曲线段内侧限界总加宽计算公式为：

式中，W_i为列车过缓和曲线时总的内侧加宽值，单位mm，f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm，W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，h为限界控制点自轨面的高度，单位mm；

S4，考虑缓和曲线外侧限界加宽，包括以下小步骤：

a4.对列车过缓和曲线求解外侧加宽值的方法，定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点；

b4.设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点，b(x_b，y_b)为列车前转向架中心点，地铁A型车总车长l_ef＝Im、转向架定距l_ab＝im，可知

设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)；

c4.求列车车尾外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg；

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标(x_g，y_g)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

d4.求列车车头外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标(x_f，y_f)，再做垂直与L_ef的直线L_hf；

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标(x_h，y_h)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

其中：

其中：

式中，W_车头为列车行驶在缓和曲线处车头的外侧曲线加宽值，单位mm，W_车尾为列车行驶在缓和曲线处车尾的外侧曲线加宽值，单位mm；

S5，用最小二乘法拟合列车过缓和曲线时的加宽函数，包括以下步骤：

a5.确定列车后转向架x_a的取值范围，设后转向架中心点为点a(x_a，y_a)，那么(0≤x_a<x_YH)；

b5.对x_a在(0≤x_a<x_YH)平均取点，以这些点为基准，求解列车相对应的内侧最大偏移点c(x_m，y_m)的坐标；

c5.对x_a在(0≤x_a<x_YH)平均取点，以这些点为基准，求出相对应的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标；

d5.用最小二乘法对S1、S2、S3、S4中所求的点进行函数拟合，最终求出在缓和曲线段车体函数内外侧加宽函数曲线。

优选的，考虑车体因几何偏移产生的内侧限界加宽的计算方法，S1的步骤a1中i为车辆转向架定距长度，单位m，I为车体车长长度，单位m，此算法适应与任意车型的限界加宽计算，S1的步骤b1中R代表缓和曲线后圆曲线的半径，单位m，L代表缓和曲线总长度，单位m，S1的步骤c1中动点b代表列车前转向架中心点，动点a代表列车后转向架中心点，L_ab代表车体函数，此算法适应与任意铁路缓和曲线工况下的计算，其目的在于建立直角坐标系对S1的步骤a1、b1的缓和曲线进行拟合，建立车体函数便于监测车体的运动轨迹，S1的步骤d1其目的在于以列车后转向架中心点a为已知的基准点对车体函数进行分析，S1的步骤e1中l_ab代表转向架定距，c(x_m，y_m)代表列车内侧最大偏移点，S1步骤中的x_m代表c点的横坐标，K_ec代表缓和曲线对应c点的曲率，R_ec代表缓和曲线对应c点的曲率半径，m^-1，S1的步骤f1其目的在于找出a点与c点的函数关系，S1的步骤g1中f_ec表示列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm。

优选的，考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值的计算方法，其中：S2的步骤a2中H_ec代表缓和曲线外轨超高值，单位mm，L_临为从直缓点算起至列车行驶到缓和曲线上任意一点的距离，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，x_b为列车前转向架中心点b的横坐标，x_YH为圆缓点的横坐标，其目的在于利用微积分等知识计算变量H_ec，S2的步骤b2中W_ecv代表列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，1500为钢轨中心距，单位mm，H_ec代表缓和曲线外轨超高值，单位mm，h代表限界控制点自轨面的高度，单位mm。

优选的，考虑缓和曲线上列车内侧限界总加宽值的计算方法，S3中W_i代表列车过缓和曲线时总的内侧加宽值，单位mm。

优选的，考虑缓和曲线外侧限界加宽的计算方法，其中：S4的步骤a4中定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点，S4的步骤b4中的l_ef代表列车总车长，S4的步骤c4中l_eg代表列车车尾外侧加宽值，l_ea代表车为到后转架的距离，l_bf代表车头到前转向架的距离，l_hf代表列车车头外侧加宽值。

与现有的技术相比，本发明的有益效果是：

此种算法可提高限界加宽计算值的精度且能在保证限界安全的前提下不会有过多的冗余，能够有效的控制地铁施工的成本。

附图说明

图1为本发明实施例中车体在缓和曲线段的拟合示意图；

图2为本发明实施例中车体在缓和曲线段的简化图；

图3为本发明实施例中车体在缓和曲线段的拟合简化图；

图4为本发明实施例中列车在缓和曲线处的内侧加宽曲线；

图5为本发明实施例中列车在缓和曲线处的外侧侧加宽曲线；

具体实施方式

下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例一：以总车长22.1m、转向架定距为15.7m的地铁A型车，以总长为50m，目标圆曲线半径为200m的缓和曲线工况为实施例对本发明专利进行详细的阐述说明，此工况下的H_max＝120mm，通过确定A型车危险点，h取3231mm，包括以下步骤：

S1，考虑车体几何偏移产生的内侧限界加宽计算方法：

对列车过缓和曲线时的限界曲线加宽进行计算，构造x、y轴坐标系。如附图1所示，直缓(ZH)点为坐标系原点；曲线为拟合后的缓和曲线；长方形ABCD表示地铁A型车车体定义虚线L_ab为车体函数；L_ab与曲线相交的动b(x_b，y_b)、a(x_a，y_a)分别代表列车的前后转向架中心点。

根据《地铁设计规范》规定：线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，常用的缓和曲线为三次方抛物线型起方程为：

式中，L是缓和曲线总长度，单位m；R是圆曲线半径，单位m。

又已知曲率公式：

如附图2所示，在已知车辆后转向架中心a点坐标(x_a，y_a)的情况下，求车辆对应的几何偏移产生的限界加宽值f_ec，求解思路如下：

根据实施例工况可得缓和曲线的函数表达式为

前后转向架都落在缓和曲线上因此可设

依据地铁A型车的标准尺寸转向架定距l_ab＝15.7m，可知a、b是满足直线距离恒等于15.7m的两个点；通过这一条件可以确定动点a、b之间的关系式

在已知a点坐标(x_a，y_a)的情况下可以用a、b之间的关系式求解出动点b的坐标，解出点b的坐标后，再列出缓和曲线段A型车的车体函数L_ab如下：

接着建立动点a(x_a，y_a)于列车内侧最大偏移点c(x_m，y_m)之间的关系，已知l_ab＝15.7m，内侧最大偏移点c点同时也是列车中点，因此有：

根据距离公式，可列出：

得c(x_m，y_m)的坐标值。

在已知c(x_m，y_m)的坐标值的前提下，带入c点坐标对缓和曲线三次方抛物线求K_ec值，可得：

式中，x_m为c点的横坐标；K_ec为缓和曲线对应c点的曲率。

缓和曲线是指设置在直线与圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。缓和曲线曲率K_ec的值从零平滑且连续的增长到目标圆曲线的曲率值，可有效的减少因为曲率突变对列车运行带来的不利影响。圆曲线曲率值

因此缓和曲线K_ec值的取值范围在

即

因此，缓和曲线可视为由不同曲率半径的圆弧组成的平面线型，利用曲率公式可对缓和曲线的任意一点求得相对应的K_ec值，缓和曲线的曲率半径

可建立曲率半径R_ec随着c点的横坐标值x_m的变化而变化的关系式，以三次抛物线为函数分析其值等于：

式中，x_m为c点的横坐标；R_ec为缓和曲线的曲率半径。

公式(5)中，E为定值代表圆曲线的半径，圆曲线的K值也是固定不变的，即

但所求的缓和曲线曲率K_ec则在

区间里不断变化，因而缓和曲线相对应的R_ec值也在不停的变化，列车运行在圆曲线上时K值不变。因此，可以使用已知的正矢公式

对列车处在圆曲线上因几何偏移造成的限界加宽做分析，然而在缓和曲线上则需要额外考虑变量R_ec带来的影响，需联立正矢公式和曲率公式才能计算出缓和曲线上任意一点的正矢值f_ec，以缓和曲线函数为

为例，可得出任意点在曲线

的正矢值求解方法如下：

式中，l为车辆转向架定距，单位m；x_m为c点的横坐标；f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm；

如公式(6)所示，f_ec的大小与c点位置以及缓和曲线的表达式有关，在缓和曲线变化比较陡峭(即曲率大，曲率半径R小)时计算出的f_ec值就会变大，在缓和曲线变化较为平缓(即曲率小，曲率半径R大)时f_ec值就小。

S2，考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值：

考虑缓和曲线上超高对限界加宽的影响，已知计算圆曲线超高的公式(7)，车辆在圆曲线上垂向内侧限界加宽公式：

式中，H_max为目标圆曲线外轨超高值此工况为120，单位mm；V为过圆曲线时列车的设计速度，单位m/s；R为圆曲线的半径，单位m；h为限界控制点自轨面的高度，单位mm；1500为钢轨中心距，单位mm；W_v为圆曲线超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm。

现求解因缓和曲线线路超高产生的车辆垂向内侧加宽值W_ecv：

式中，W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm；1500为钢轨中心距，单位mm；H_ec为缓和曲线外轨超高值，单位mm；3231为限界控制点自轨面的高度，单位mm。

在圆曲线线路上超高为定值，而缓和曲线的超高H_ec则为一个变量，H_ec的值在0到H_max的范围内均匀的变化，减少超高的突变对列车运行造成的不利影响，即H_ec∈[0，H_max]。H_ec的计算方法如下：

式中，L_临为从直缓点算起至列车行驶到缓和曲线上任意一点的距离，单位m；L为缓和曲线的总长度，单位m；x_b为列车前转向架中心点b的横坐标；120mm为目标圆曲线外轨超高值。

由于(11)式不可积分，因此用幂级数展开成多项式，舍去高次项，再进行积分，可得：

缓和曲线的超高是渐变的，当列车车辆行驶时，前转向架中心点b点的超高最大因此需要带入前转向架中心b点的横坐标x_b来计算；根据公式(12)，考虑x_b，再带入原函数

做积分，就可以求出L_临，最后带入公式(10)即可求出H_ec的值。

S3，缓和曲线下总内侧限界加宽计算方法，计算公式如下：

式中，W_i为列车过缓和曲线时总的内侧加宽值，单位mm；f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm；W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值；单位mm。

S4，缓和曲线外侧限界加宽计算方法：

考虑的是对列车过缓和曲线求解外侧加宽值的方法，定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点，如附图3所示。

根据车辆后转向架中心点所在坐标a(x_a，y_a)求车体的最大外侧曲线加宽值，求解的思路如下：

第一步，设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点，b(x_b，y_b)为列车前转向架中心点，地铁A型车总车长l_ef＝22.1m、转向架定距l_ab＝15.7m，可知l_ea＝3.2m，设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)；

第二步，求列车车尾外侧曲线加宽：

由l_ea＝3.2m可列长度方程

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg；

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标(x_g，y_g)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽。

第三步，求列车车头外侧曲线加宽：

由l_bf＝3.2m可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标(x_f，y_f)，做垂直与L_ef的直线L_hf；

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标(x_h，y_h)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

式中，W_车头为列车行驶在缓和曲线处车头的外侧曲线加宽值，单位mm；W_车尾为列车行驶在缓和曲线处车尾的外侧曲线加宽值，单位mm。

S5，收集S1、S2、S3、S4中得到的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标、内侧最大偏移点c(x_m，y_m)的坐标。最终求出在缓和曲线段车体函数内外侧加宽函数曲线，如附图4、5所示。

本发明优点是：根据经验，地铁限界尺寸毫米级的优化或者改动，往往会引起土建工程费用千万元级的变化。所以，确定一个既能保证车辆运行安全，又不增大隧道空间的经济、合理的断面尺寸，是地铁限界设计的任务和目的，后期可以编写程序带入不同列车过缓和曲线工况数据，利用计算机进自动计算，可以节省大量的人力、物力，缩短设计周期，提高设计、计算精度。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (5)

1.一种地铁线路缓和曲线段的加宽曲线计算方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

S1，考虑车体因几何偏移产生的内侧限界加宽，其特征在于，包括以下几个小的步骤：

a1.任意选取一种地铁车辆车型，根据车型的转向架定距i以及车长I设定车体函数表达式；

b1.任意选取一种地铁缓和曲线的工况，根据《地铁设计规范》规定：线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，常用的缓和曲线为三次方抛物线型起方程为：

式中，R为目标圆曲线的半径，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，用于确定列车前后转向架的函数关系；

c1.建立一个直角坐标系，定义坐标系原点为直缓(ZH)点(直线和缓和曲线的切点，标注时用ZH表示)；直缓(ZH)点到圆缓(YH)点(圆缓点是缓和曲线的终点和下一段圆曲线的起点相交的点)之间的曲线为缓和曲线；圆缓(YH)点之后为圆曲线；长方形ABCD表示地铁A型车车体；定义虚线L_ab为车体函数，L_ab与曲线相交的动点b(x_b，y_b)、a(x_a，y_a)分别代表列车的前后转向架中心点；

d1.根据步骤a、b的求解车体函数的表达式，用直线L_ab表示简化的车体，此时前后转向架都落在缓和曲线上，因此，可设

转向架定距l_ab＝im，可知a、b是满足直线距离恒等于im的两个点，通过这一条件可以确定动点a、b之间的关系式：

在已知a点坐标(x_a，y_a)的情况下，可以通过计算a、b之间的关系式解出动点b的坐标，最后利用b的坐标，列出缓和曲线段列车的车体函数：L_ab：

e1.求解车体最大内侧偏移点c的坐标值，建立动点a(x_a，y_a)与列车内侧最大偏移点c(x_m，y_m)之间的关系，已知l_ab＝im，内侧最大偏移点c点同时也是列车中点，因此有：

根据距离公式,可列出最大偏移点c点与车辆后转向架中心点a的关系式：

在已知a点坐标的基础上就可以求解c(x_m，y_m)的坐标值；

f1.求解缓和曲线的曲率半径，现已知c(x_m，y_m)的坐标值，带入c点坐标对缓和曲线三次方抛物线求K_ec值，可得：

式中，x_m为c点的横坐标，K_ec为缓和曲线对应c点的曲率，缓和曲线的曲率半径

因此，可建立曲率半径R_ec随着c点的横坐标值x_m的变化而变化的关系式；

以三次抛物线为函数分析其值等于：

式中，L是缓和曲线总长度，单位m，R是圆曲线半径，单位m，x_m为c点的横坐标，R_ec为缓和曲线的曲率半径，单位m；

g1.求解列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，使用正矢公式

可以对圆曲线上列车因几何偏移造成的加宽值做计算，但在缓和曲线段则需联立正矢公式和曲率公式计算缓和曲线上任意一点的正矢值f_ec；

以拟合的缓和曲线函数为

为例，可到出处在于缓和曲线

上任意一点的正矢值求解方法：

式中，R为目标圆曲线的半径，单位m，L为缓和曲线长度，单位m，l_ab为车辆转向架定距，单位m，x_m为c点的横坐标，f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm；

S2，考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值，其特征在于，包括以下小步骤：

a2.计算缓和曲线的超高H_ec，缓和曲线的超高H_ec为变量，H_ec的值在0到H_max的范围内均匀的变化，即H_ec∈[0，H_max]；

H_ec的计算方法：

其中：

其中：

式中，L_临为从直缓点算起至列车行驶到缓和曲线上任意一点的距离，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，x_b为列车前转向架中心点b的横坐标，x_YH为圆缓点的横坐标；

由于积分为不可积积分，因此用幂级数展开成多项式，舍去高次项，再进行积分，可得：

前转向架中心点b点的超高最大因此需要带入前转向架中心b点的横坐标x_b来计算，考虑x_b、x_YH，再带入原函数

做积分，就可以求出L、L_临、H_ec的值；

b2.计算缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值W_ecv：

式中，W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，1500为钢轨中心距，单位mm，H_ec为缓和曲线外轨超高值，单位mm，h为限界控制点自轨面的高度，单位mm；

S3，考虑缓和曲线上列车内侧限界总加宽，其特征在于，包括以下公式：

缓和曲线段内侧限界总加宽计算公式为：

式中，W_i为列车过缓和曲线时总的内侧加宽值，单位mm，f_ec为列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm，W_ecv为列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，h为限界控制点自轨面的高度，单位mm；

S4，考虑缓和曲线外侧限界加宽，其特征在于，包括以下小步骤：

a4.对列车过缓和曲线求解外侧加宽值的方法，定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点；

b4.设点a(x_a，y_a)为列车后转向架中心点，b(x_b，y_b)为列车前转向架中心点，地铁A型车总车长l_ef＝Im、转向架定距l_ab＝im，可知

设动点e(x_e，y_e)、f(x_f，y_f)；

c4.求列车车尾外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知a点坐标的情况下，很容易算出e点坐标(x_e，y_e)，再做垂直与L_ef的直线L_eg；

L_eg：

联立直线L_eg和缓和曲线方程即可求出g点坐标(x_g，y_g)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

d4.求列车车头外侧曲线加宽：

由

可列长度方程

在已知b点坐标的情况下，很容易算出f点坐标(x_f，y_f)，再做垂直与L_ef的直线L_hf；

L_hf：

联立L_hf和圆曲线方程即可求出h点坐标(x_h，y_h)，最后计算出来的

就是列车车尾外侧曲线加宽；

其中：

其中：

式中，W_车头为列车行驶在缓和曲线处车头的外侧曲线加宽值，单位mm，W_车尾为列车行驶在缓和曲线处车尾的外侧曲线加宽值，单位mm；

S5，用最小二乘法拟合列车过缓和曲线时的加宽函数，其特征在于，包括以下步骤：

a5.确定列车后转向架x_a的取值范围，设后转向架中心点为点a(x_a，y_a)，那么(0≤x_a<x_YH)；

b5.对x_a在(0≤x_a<x_YH)平均取点，以这些点为基准，求解列车相对应的内侧最大偏移点c(x_m，y_m)的坐标；

c5.对x_a在(0≤x_a<x_YH)平均取点，以这些点为基准，求出相对应的车尾最大偏移点e(x_e，y_e)、车头最大偏移点f(x_f，y_f)的坐标；

d5.用最小二乘法对S1、S2、S3、S4中所求的点进行函数拟合，最终求出在缓和曲线段车体函数内外侧加宽函数曲线。

2.根据权利要求1所述的考虑车体因几何偏移产生的内侧限界加宽，其特征在于：S1的步骤a1中i为车辆转向架定距长度，单位m，I为车体车长长度，单位m，此算法适应与任意车型的限界加宽计算，S1的步骤b1中R代表缓和曲线后圆曲线的半径，单位m，L代表缓和曲线总长度，单位m，S1的步骤c1中动点b代表列车前转向架中心点，动点a代表列车后转向架中心点，L_ab代表车体函数，此算法适应与任意铁路缓和曲线工况下的计算，其特征在于建立直角坐标系对S1的步骤a1、b1的缓和曲线进行拟合，建立车体函数便于监测车体的运动轨迹，S1的步骤d1其特征在于以列车后转向架中心点a为已知的基准点对车体函数进行分析，S1的步骤e1中l_ab代表转向架定距，c(x_m，y_m)代表列车内侧最大偏移点，S1步骤中的x_m代表c点的横坐标，K_ec代表缓和曲线对应c点的曲率，R_ec代表缓和曲线对应c点的曲率半径，m^-1，S1的步骤f1其特征在于找出a点与c点的函数关系，S1的步骤g1中f_ec表示列车在缓和曲线上因几何偏移引起的内侧加宽值，单位mm。

3.根据权利要求1所述的考虑缓和曲线线路超高产生的垂向内侧限界加宽值，其特征在于：S2的步骤a2中H_ec代表缓和曲线外轨超高值，单位mm，L_临为从直缓点算起至列车行驶到缓和曲线上任意一点的距离，单位m，L为缓和曲线的总长度，单位m，x_b为列车前转向架中心点b的横坐标，x_YH为圆缓点的横坐标，其特征在于利用微积分等知识计算变量H_ec，S2的步骤b2中W_ecv代表列车在缓和曲线上超高引起的垂向内侧限界加宽值，单位mm，1500为钢轨中心距，单位mm，H_ec代表缓和曲线外轨超高值，单位mm，h代表限界控制点自轨面的高度，单位mm。

4.根据权利要求1所述的考虑缓和曲线上列车内侧限界总加宽，其特征在于：S3中W_i代表列车过缓和曲线时总的内侧加宽值，单位mm。

5.根据权利要求1所述的考虑缓和曲线外侧限界加宽，其特征在于：S4的步骤a4中定义g(x_g，y_g)、e(x_e，y_e)、h(x_h，y_h)、f(x_f，y_f)四点，S4的步骤b4中的l_ef代表列车总车长，S4的步骤c4中l_eg代表列车车尾外侧加宽值，l_ea代表车为到后转架的距离，l_bf代表车头到前转向架的距离，l_hf代表列车车头外侧加宽值。

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